线线角线面角二面角的讲义

1、线线角与线面角一、课前预习1.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2, E、F分别为AB、CD的中点且EF=，AD、BC所成的角为 .2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 ，B1C和C1D与底面所成的角分别为60和45，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为 ( ) (A). (B). (C). (D). 3.平面与直线所成的角为,则直线与平面内所有直线所成的角的取值范围是 4.如图,ABCD是正方形,PD平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成的角的度数为(A).30 (B).45 (C).60 (D).905.有一个三角尺ABC,A=30, C=90,BC是贴于桌面上,当三角

2、尺与桌面成45角时,AB边与桌面所成角的正弦值是 二、典型例题例1.(96全国) 如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60角,求异面直线AD与BF所成角的余弦值.【备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有:平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.】例2.如图在正方体AC1中, (1) 求BC1与平面ACC1A1所成的角; (2) 求A1B1与平面A1C1B所成的角.备课说

3、明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线. 作垂线的方法常采用:利用平面垂直的性质找平面的垂线.点的射影在面内的特殊位置.例3. 已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC, F为棱BB1上一点,BFFB1=21, BF=BC=. (1)若D为BC的中点,E为线段AD上不同于A、D的任意一点,证明：EFFC1; (2)试问:若AB=,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60角,为什么?证明你的结论.备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾,从而判断命题是否成立.一

4、、知识与方法要点：1斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。2二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。3判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。两个平面垂直的

5、性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面二、例题例1正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点(1)求证：AC1平面A1BD(2)求BM与平面A1BD成的角的正切值解： (1)连AC，C1C平面ABCD， C1CBD又ACBD， AC1BD同理AC1A1BA1BBD=BAC1平面A1BD(2)设正方体的棱长为，连AD1，AD1交A1D于E，连结ME，在D1AC1中，MEAC1，AC1平面A1BDME平面A1BD连结BE，则MBE为BM与平面A1BD成的角在中，例2如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转，使C点移动的距离等于AC时停止，

6、并记为点P（1）求证：面ABP面ABC；（2）求二面角C-BP-A的余弦值证明（1） 由题设知APCPBP点P在面ABC的射影D应是ABC的外心，即DABPDAB，PD面ABP，由面面垂直的判定定理知，面ABP面ABC（2）解法1 取PB中点E，连结CE、DE、CDBCP为正三角形，CEBDBOD为等腰直角三角形，DEPBCED为二面角C-BP-A的平面角又由（1）知，面ABP面ABC，DCAB，AB面ABP面ABC，由面面垂直性质定理，得DC面ABPDCDE因此CDE为直角三角形设，则，例3如图所示，在正三棱柱中，截面侧面(1)求证：；(2)若，求平面与平面所成二面角(锐角)的度数证明：在截

7、面A1EC内，过E作EGAC，G是垂足，如图，面AEC面AC，EG侧面AC取AC的中点F，分别连结BF和FC，由ABBC得BFAC面ABC侧面AC，BF侧面AC，得BFEGBF和EG确定一个平面，交侧面AC于FGBE侧面AC，BEFG，四边形BEGF是 ，BEFGBEAA，FGAA，AACFGC解：(2)分别延长CE和C1B1交于点D，连结ADBACBCA60，DACDABBAC90，即 DAACCC面ACB，由三垂线定理得DAAC，所以CAC是所求二面角的平面角且ACC90CCAAABAC，CAC45，即所求二面角为45说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法三、作业： 1已知平面的一条

8、斜线a与平面成角，直线b，且a,b异面，则a与b所成的角为（A）A有最小值，有最大值B无最小值，有最大值。C有最小值，无最大值D有最小值，有最大值。2下列命题中正确的是（D）A过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个B过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个C过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条D过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个3一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为 45和30，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是（A）A30B20C15D124设正四棱锥SABCD的侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC

9、所成的角是（C）A30B45C60D905正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为，则它的侧棱与底面所成的角为6A是BCD所在平面外的点，BAC=CAB=DAB=60，AB=3，AC=AD=2.（）求证：ABCD； （）求AB与平面BCD所成角的余弦值.7正四面体ABCD中，E是AD边的中点，求：CE与底面BCD所成角的正弦值解过A，E分别作AH面BCD，EO面BCD，H，O为垂足，AH 2OE，AH，OE确定平面AHD，连结OC，ECO即为所求AB=AC=AD，HB=HC=HDBCD是正三角形，H是BCD的中心，连结DH并延长交BC于F，F为BC的中点， ，在RtADH中，8在四面体ABCD中，D

10、A面ABC，ABC90，AECD，AFDB求证：（1）EFDC；（2）平面DBC平面AEF证明 如图1-83（1）AD面ABCADBC又ABC90BCABBC面DABDB是DC在面ABD内的射影AFDBAFCD（三垂线定理）AECDCD平面AEFCDEF（2）CDAE，CDEFCD面AEFCD 面BCD面AEF面BCD（3）由EFCD，AECD AEF为二面角B-DC-A的平面又AFDB，AFCD，BDCDD AF平面DBC，二面角题目：如图所示，已知面，二面角的平面角为，求证：2如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，求二面角的大小。例3设在平面内的射影是

11、直角三角形的斜边的中点，求（1）AC与平面BCD所成角的大小；（2）二面角的大小；（3）异面直线AB和CD所成角的大小。例4.在正方体中，为的中点，求截面与底面所成较小的二面角的大小。选用：如图，正方体的棱长为1，求：（1）与所成角；（2）与平面所成角的正切值；（3）平面与平面所成角解：（1） 与所成角就是平面 （三垂线定理）在中， （2）作，平面平面平面，为与平面所成角在中， （3） 平面又平面 平面平面即平面与平面所成角为二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下：一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的

12、特性；POBA例、 如图,已知二面角-等于120,PA,A,PB,B. 求APB的大小.例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA平面ABCD，PA=AB=a，ABC=30，求二面角P-BC-A的大小。ABCDA1B1C1D1EO例、(2003北京春)如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,侧棱AA1长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求面C1DE与面CDE所成

13、二面角的正切值.CDPMBA例、ABC中，A=90，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角PACB的大小为45。求（1）二面角PBCA的大小；（2）二面角CPBA的大小例、(2006年陕西试题)如图4，平面平面，=l，A，B，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：二面角A1ABB1的大小.图4B1AA1BL EF三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；PlCBA例、空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分

14、别为4、3、，求二面角的大小.四、射影法：（面积法）利用面积射影公式S射S原cos,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA平面ABCD，PAABa，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。例、如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。 AHMD1C1B1A1BCD五、平移或延长（展）线（面）法对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA平面ABCD，PAA

15、Ba，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。课前预习1. 60 2.A 3. , 4.C 5.典型例题例1解:CBADCBF为异面直线AD与BF所成的角.连接CF、CE设正方形ABCD的边长为,则BF=CBAB, EBABCEB为平面ABCD与平面ABEF所成的角CBE=60 CE= FC= cosCBF=例2解:(1)设所求的角为,先证BD平面ACC1A1,则sin=sinOC1B=.故=30o.(2)A1BC1是正三角形,且A1B1=B1C1=BB1. 棱锥B1-A1BC1是正三棱锥.过B1作B1H平面A1BC1,连A1H, B1A1H是直线A1B1与平面A1C1B所成的角.设A1B1

16、=则A1B=得A1H=.故cosB1A1H=.所求角为例3解:(1)连接OF,容易证明AD面BB1C1C, DF是EF在面B1C1CB的射影,且DFFC1,FC1EF.(2) AD面BB1C1C, EFD是EF与平面BB1C1C所成的角.在EDF中,若EFD=60,则ED=DFtan60=,AB=BC=AC=2,AD=.E在DA的延长线上,而不在线段AD上;故线段AD上的E点不可能使EF与平面BB1C1C成60角.反馈练习1. D 2. D 3. 4. 3 5. 60,90 6. 45 7.解:(1)作DD于D,连接AD,BD.CA,CADD.四边形CADD是直角梯形,CAD=D DA=90,AB,ABDD.又ABBD,AB平面BDD,BD平面BDD.ABBD.DBD是BD与所成的角,DBD=30,BD=,DD=,BD=.在ABD中,AB=,BD=,ABD=90,AD=.在CADD中，CD=.(2)作DCDC交CA于C,CDA是CD与所成的角,sinCDA=.反馈练习1设集合A、B、C分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范围,则（ ） (A)A=B=C (B)A=BC (C)ABC (D) BAC.2两条直线,与平面所成的角相等,则直线,的位置关系是（ ） (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D) 以