连续介质力学讲义

1、第1帝绪论第1章绪论1.1连续介质力学及其意义1. 连续介质力学研究物质的宏观力学性质：连续介质的概念來门数学的一个连续实数系的集。 连续介质包扌乩 固体、液体、气体，在本课程中的假设为连续体。连续介质是本课程的堆本假设以前：弹性体m弹性力学粘弹性体in粘弹性力学弹型性体m弹塑性力学流体m流体力学流变体in流变力学这吐均是针对某一特殊物质，建立一门特殊的力学。现在：统称为连续体，但不是将上述理论简的地加起來，而是做一般性的理论概括，在 高度概括的尿础上，形成理论，又指导各门fl体力学理论。2. 学习本课程的目的和意义连续介质力学把现实物体抽象成理论模型，把现实物体的运动抽象成理论模熨的运动，

2、利用数学和实验的方法，精确描述在外界作用卜，物怵的运动响应。该课程既是前述力学课 程的高度概括，又具仃很强的理论指导意义。具体的工程目的有: 双卄线性工程问题。如：金属成住等。 复杂条件、复杂介质的本构方程。如土壤等的本构方程。 周体力学的新的学科分支。如：损伤力学（本构方程随损伤程度而变化）、生物力学 等。 进入理性力学的境地。如理性连续介质力学。 沟通宏观与微观力学的桥梁。如断裂力学中，缺陷前沿的裂纹扩展是原子键的破坏, 现在时罐的是宏观与和微观结介的损伤力学。1.2连续介质力学中的“基元”基本名词和术语连续介质力学以现实物体的理论模型作为研究对彖，并力求使它能在本质上准确地描写 客观物体

3、的运动。为了描写运动，石耍给出一些基本的名词和术语，它们构成连续介质力学 的棊兀”,通过一些定律、理论和公式，把这些名词和术常相互连系起来,使构成连续介 质力学的理论体系。我们耍力求将这些名词和术语说得准确些。1. 物体在某一确定的瞬时，物体其有一定的几何形状，并佝一定的质量。同时物体还可具令 电确、热容和变形等许多咆耍的性质。物体由质点组成，质点占据非常小的确定的空问，貝冇非常小的确定的质吊，物体可以抽彖成各种模型：如质点，刚体、弹塑性体、流体、颗粒体等；按几何性质还 可分为质点、一维的弦和杆、二维的板壳、三维的块体等。若干个物体可以形成集合，组成 系统。系统外的物体构成这个系统的环境或外界

4、，2. 质量质届是物体运动惯性的度昴，对冇限体或理想化的质届，它是一个冇限数。质彊是物体 的垄本属性，没仃不JI质駅的物体。在Newton力学领域屮，质彊是一个町加届，即物体的总质駅是其备部分质磺的H接和。 质帚服从质杲守恆定律，不能被消灭，也不能无中牛有。质起可分为点质起、线分布质吊、面分布质就和体分布质鼠。单位为kg.3. 时空系时间和空间是运动物体的客观存在形式，离开空间和时间來讨论物体的存在和运动是没 有意义的。空何表7代物体的形状、人小和相互位置的关系；时间农示物体运动过程的顺序。标架：作为描写物体运动的基准一时空系，称为标架。位置变化是可逆的：时间变化是不可逆的。但在讨论些理想化的

5、可逆模型时，仃时时间也理想化成可逆的。时空系之间可转换.4. 运动物体状态或各种参数随时间的变化过程称为运动。物体的运动满足某些一般的规律，如质帚、动吊、能灵和电荷等的守恒定律。5. 动量动磺是物体机械运动的度R。质点的线动彊等J：某质战和运动速度的乘枳：动吊是欠彊，服从欠晟运动规则；物体的 总动杲是各部分动杲的矢杲和。6. 力物体线动彊的变化率等J：作用其上的合力，力是改变物体运动的原因。根据力存在的性质，力可分为：内力和外力；根据力的作用形式，力可分为：集屮力、线分布力、面力和体力等。力的单位为：N或kN.7. 功和能力和沿力方向位移的乘积称为功。物体的动能等J：其质駅和速度平方乘积的一半

6、。功、能可互相转换。能昴是纯录，服从能吊守恒和转化定律，不能无中生冇，也不能被消灭8. 温度和热温度是物体冷热朽!度的度帚。当存在温度差时，将会形成热流，热流有人小和方向，随着热流的存在，热将从一个物 体流向另一个物体，并以能鼠形式表示出来。同时物体内的受力也随之变化。9. 烦爛是热力学第二定律的数学表述中引进-个态函数。爛是可加函数，系统的爛等各部分爛的和。特性：系统的埔的变化永不小于系统由环境得到的热量与得到（或放出）此一热最时的 热力学温度的比值。理性热力学把爛看成无须用K它物理届定义的“本原届”。1.3连续介质力学研究的内容和方法1. 内容连续介质力学研究连续介质（包括固体、流体、松散

7、介质、颗粒体等）的变形和运动, 也研究其破坏机理。将力学屮的各个分支学科放在一起讨论，看看哪些规律是它们共仃的，哪些规律互不 相同，进而在统-的基础上加以研究，这是连续介质力学研究的亜耍内容。所以连续介质力 学既可以看成各分支学科的出发点，也可看成是各学科分支的归宿。作为出发点，定给出了 并分支学科的骨架：而作为归宿，它却是冇血冇肉，用骨架支拶起來的客观冇机体。J1体内容为：（不针対某一見体物性的物体）1）有限变形（变形人小不限），研究其描述；2）应力和应变增率:3）连续介质热力学；4）本构方程原理。2. 方法非线性连续介质力学的基本方程含物理垄本定律和材料本构方程两类：1）物理棊本定律（适用

8、于所有材料动力学定律（牛顿定律）: 3第I d绪论质量守恒定律（非相对论，牛顿力学观点）;能彊守恒（热力学定律）；有限变形及连续性条件（儿何方程）。2）材料本构方程不同材料具冇不同特性是材料属性，这屈性称为本构屈性。本构属性的描述为本构方 程。在本课程中,只讨论本构方程的框架（形式）。具体本构方程只右通过实验得出，本构方程包含：应力、W变关系；材料常数。本课程中，研究本构方程框架所应用的基本理论为： 甚本连续介质热力学的内变鼠理论： 廣丁理性化公理的本构方程原理。所紂到的本构方程框架旳本构方程的指导原则。非线性方面在卜面两个方面反映： 有限变形一称为儿何非线性。 本构方程II：线性一称为物理（

9、材料）非线性。若同时占虑以上两个方而的罪线性因索，则称为双罪线性问题。3. 本课程的特点 普遍性； 严密性（只有一个基本假设，物理定律和公理作为依据）； 溶入r连续介质热力学： 对连续介质的本构方程作框架的理论研究。1.4固体力学的学习、应用和研究学习是为了应用和研究，要求每一个学习固体力学的人都应能应用和研究。硕士生： 加强基础知识的训练，主要是学习，但为应用和研究打卜甚础，并进行初步的应用和研究： 側上生：进一步加强垄础知识的训练，主要学习某一学科领域的前沿知识，培养应用和研究 的能力。学习固体力学（材料力学、弹性力学，非线性连续介质力学）容易，但W用和研究会 冇很人的难度应用和研究是分不

10、开的，要做好应用耍做到：1）.读好书（上述教材及某一领域的专业书籍）,融会贯通,深入到理论的粘微Z处；2）.消化文献（不仅是看文献,而且要看懂）,借鉴前人的应用和研究之道;3）.实践出克知，探索独到之处，开通创造之源。上述过程氏实也是相互交错地进行，硕士或购士毕业也仅仅是应用和研究的开始。第2章张虽分析#第2章张虽分析第2章张量分析 2. 1矢量空间1. 线性矢量空间设有个欠吊wj = l,2,它们构成一个集合R,苴中每个欠昴何称为R的一个 元索。若卩+5（心刀唯一地确定R的另一个元索，及如（R为标啟）也给定R内唯一确 定的兀素，则称R为线性（矢量）空间。R中的零元素记为O,且具UO a =O

11、.2. 空间的维数设为加个标杲，若能选取 ,使得工 a=0（2.1.1）t=i且y不全为零，则称此/”个矢量线性相关，否则，称为线性无关。例1位J：同一平面内的两个矢呈何和佚（如图2.1.1）是线性无关的，即aLaL + a2a2 # 0（ q和冬可为任意值，且不全为零）。例2位同一平面内的三个欠磺件，為是线 性相关的，即总可找到（不全为零使+ a22 + aiai = 如图 2.1.2 所示，a2 = aal + o集介R内线性无关尤索的最人个数称为集介或空间的维数。设R的维数为n ,则记为R“，欧氏空间为R、。3. 空间的基和基元素R”中任意“个线性元素无关元素的全体称为R,的-个基。基的

12、每个尤索称为基尤索，db J Rn的个基尤素是线性无关的。是/?”内任- 个元素尸可表示成基元素的线性组合。设a（i = l,2,，町为心的任选的垄，则有土如 h 0, a；为任意的不全为零的标杲/-I但总可选取aHO及不全等于零，使得n咛+工也=01=1图2.1.1平面匕两个矢示线件无关图2丄2平而上三个矢昴线性相关或者7第2贯张献分析(2.1.2) 因为%工0耳不全等J：零，所以纟不全等丁零，J1为有限值。 内勺无限个基，但只有一个基是独芒的，因为R”内至多只有/?个尤索是线性无 关的。设兀及兀是心的两个基，则兀中的每个某尤素都可用兀的线性组合来表示； 反之亦然，因此，/?“中的任两个基尤

13、之间存在唯一的变换关系。 对J同-个尤索r,采用不同的基时，其系数彳不同。(2.1.3)#第2贯张献分析图2.1.3平面笛卡儿坐标中位矢的表示因为兀与兀间冇确定的变换关系，因此，与严间亦冇确定的变换关系。 空间的肚往往与坐标系相关连，每-种坐标系仃一个与Z对应的确定的基，(2.1.2) 式中纟则是欠量尸在基叫或以为坐标方向的分鼠值。 空间的尤索若为欠屋，则基尤索称为基矢。如前所述，不同坐标系的基矢Z间存在 确定的变换关系，它是坐标变换的基础。正交基：乞甚欠相互正交的皋，称为正交基。标准正交基：基欠为单位欠届的正交基，称为标准正交基。 现以欧氏空间为例，欧氏空间为三维空间。在欧氏空间内，笛卡儿处

14、标系为标准正交某，记作，在 此坐标系内，任一欠鼠尸(位矢)为尸二二兀尼+无冬+ 56勺是不因坐标位置而改变的dr = S dv dr p =，dxi当只一个坐标仃变化时，例如“仃变化dr = dxlel此时，dr| = dr = dx-,因此，勺为单位矢鼠。1弓都等J J,且彼此正交，故笛卡儿坐标系的肚为标准 正交J乩正交曲线坐标系的基亦为正交基，记作&用0表不坐图2.1.4空间笛卡儿坐标中位矢的表示 标值则某欠定义为#第2敢张就分析9第2敢张就分析#第2敢张就分析#第2敢张就分析随坐标位置而变化. g,Z间相互正交。因此是正交某，但不是标准正交某。 例如：在极坐标系内dr =+ dO2g2

15、0,1q =厂0 = 0dr = d/ + d2其中|d| = dr, |ft| = l, |d2| = rd,因此, |g:| = r o令g = Hi (拉梅系数)及#第2敢张就分析(2.1.4)#第2敢张就分析则Q为正交曲线W标系的标准化正交基。因此，显然冇#第2敢张就分析#第2敢张就分析 2. 2字母指标法1. 字母标号法(标号：mdex or suffix )点位置:x,y,z (矢径)-x19x2,x3 - x.(/= 1,2,3) 欠IS：(位移)一心,“2川3 (T，2,3)vx,vv,v.(速度)- Vj,v2,V, - v.(/ = 1,2,3) (w, V, W - w,

16、 u2, u5 - u, (/ = 1,2,3)应力(张量):6,巧,兀,岛,T Tn ,T22,0*33, 归,T21, 723,0*32,0*3 ,(/, J = 1,2,3)#第2敢张就分析#第2敢张就分析应变（张量）:乙灼，%，%#第2章张就分析T 1,勺2，*33，12，*21，*23，*32，6 *13-%(ij = 123)微分符号：-、-、?f Jj (if) U = 1,2,3)av1 ox2 ox oxtd2f d2f d2f d2f9 79 STdvf dxi dx； dxtx2约定 i,j,k,英文字母下标表示三维指标,取值1, 2, 3.在该约定下,上述简写表 达式后

17、的说明（心123）或（/； j = l,2,3）在以后的写法中将被略公。2. 求和约定：首先考虑欠杲点枳的实例。设攸。为两欠杲，具分龟分别记为5切，则(2.2.1)3a b = 0血 + a2b2 + a3b5 =工也一丝t ah（=1哑标：在农达式的某项屮，若某拆标重复出现两次，则衣示耍把该项指标在取值范阳内 遍历求和。该重复指标称为“哑标”或“伪标”。哑标的符号町以任意改变（仅表示求和）。如#第2章张就分析#第2章张就分析再考居线性变换的实例。(222)x = allxi + al2x2 + aI3x3 x； =x2 = a2lxk + a2l2x2 + a23x3 -= aljxj =

18、x： = aijxiX； =+ a52x2 + 刑 ； = a.jXj .上式中，/为哑标表示求和，m”在每项中只出现一次，称为自由指标。自由指标：在表达式的某项中，若某指标只出现一次，若在取值范囤内轮流取该指标的 任-值时，关系式恒成立。该指标称为fl由拆标。口山指标仅农示为轮流取值，因此也对以换标。如，（222）式可写为(2.2.3)注意：自由指标必须整个表达式换标。 同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和。如(2.2.4)33auXXJ =工工陶Xf=l 哑标只能成对山现，否则要加上求和兮或特别指出。3如： 工心切仃不能写为aCj.i=l 宙aibi = aici不能得出5 =5

19、若重复出现的标号不求和，应特别声明。1. 町符号(kionechei delta )哲符号定义为(23.1)6 =!1 为 i = jIJ 0 当 iwjq符号的性质(23.2) 対称性 町进行换标或运算(233)哲符巧的应用欠龟与代数运算微分运算aijxj-Ajci=(aij-ASij)xjdXj(23.4)(23.5)(2.3.6)(23.7)(23.8)11第2贯张就分析(23.9)2. 排列符号(置换符号)eijk ( Peimutatisn Symbol)排列符号的定义1当为顺循环eijk = -1当为逆循环0当不循环其循环方向如图2.3.1所示。排列符右的性质(23.10)循坏方向

20、图2.3.1排列符号的循环方向eiik = 一 = _(_ 幺紺)=%(23.11)(2.3.11)式农明，标号改变奇次位置时改变正、负号：标号改变偶数次位置时不改变符排列符号切的应用(2.3.12)(2.3.13)5 55 =%叽皿或=心5(23.14)#第2贯张就分析#第2贯张就分析3 巧之关系(恒等式) 因为ax(bxc) = (ac)b-(a b)c(2.3.15)#第2贯张就分析#第2贯张就分析是一个欠员恒等式。役 a = akek b = bses c = c(et,反复运用(2.3.13)式，仃 ax(bxc) = (aek)x(弓上占) = (eislakbsct)ek x弓=

21、eijkeistaksCte j(2.3.16)#第2贯张就分析#第2贯张就分析另一方面,反复运用(2.36)式，有(2.3.17)( c)b-(a b)c = (akck)bjei-(cikbk)c.ej=(巧易一氐岛)兔也勺将(2.3.16)式和(2.3.17)式代入欠彊恒等式(2.3.15)式，令(矢吊恒等则欠吊的各分就应相 等)ijkeist)akbsc, =(6血一兀hWkbe(2.3.18)由于对任意的代,c”(2.3.18)式均成立,则eijkeiit =-几耳(2.3.19)若将(2.3.19)式中的卜标s换为J,有% % = 6 気-如 Sjt = 2 気(2.3.20)若将

22、(2.3.19)式中的卜标和分别换为厶R,有eijkeijk = 2妹=6 = 3!(23.21)(2.3.19)式至(2.3.21)式为呦与列么间的关系。 2.4坐标变换设O - 入3为老坐标系，対应的川 矢为 el9e29e3.设o-xx2x为新坐标系，対丿卫的皋 矢为新老两坐标轴夹角的方向余眩用Lkl 表示，且A= =cos(x；,xj(2.4.1)厶U构成一个二阶张杲ZJLZ = LW张届与-般张届不同，它是宙两个坐标系的基矢构成的。称为转移(shifter)(总 是新坐标在前，老坐标在后)。张帚的性质张帚不是対称张杲因为 Lkl = e -et,而 Lik = e -ek,所以(2.

23、4.2)张彊Z的转置记为张帚I是正交张届根据定义(2.4.1)式和(2.4.3)(2. 4.3)式，有(2.4.4)(2.4.5)L 於=因为(2. 4.1)式的卜面两种写法是等价的Lki = h Lki = ere，k 将(2.4.5)式屮的第一式两边乘以j,有#第2敢张园分析ek= 5 勺将（2.4.5）式中的第二式两边乘以 ,Yj-ei = Lkie，k是 = Lkiei Lnu,en = M3 “ = Lkg将（2.4.8）式代入（2.4.4）式，有L=Shlleem=I张彊工是正交张鼠得证。张磺Z的应用 欠最的坐标变换设在两坐标系卜的同一个欠駅可分别写为u =也,u = ue将（2.

24、4.7）式代入（2.4.10）式中的第一式，仃将（2.4.6）式代入（2.4.10）式中的第二式，有“厶冋将（2.4. 12）式和（2.4.11）式分别与（2.4. 10）式中的第一式和第；=协4 或II k = L/aW；将（2.4.13）式写为矢最形式为u = Lu u = L! u 二阶张彊的坐标变换设在两坐标系卜的同一个二阶抿駁町分别写为/ =人局et与上同样推导,可得nn = Lmk L戒 ArA” =厶厶”九（2. 1.11）式的张战写法为A=LA L1(2. 4.6)(2. 4.7)(2.4.7)(2.4.8)(2. 4.9)(2.4. 10)(2.4. 11)(2. 4. 12

25、)式进行比较,有(2.4. 13)(2.4. 14)(2.4. 15)(2. 4. 16)(2.4. 17)A = l! A L2.5张量的代数运算1. 张量的坐标系不变性及其记法客观磺都是与坐标系无关（坐标系只是人为的选择工几，如长度是不变的，但测最长度 町用不同的l：H）o若张彊与坐标系选择无关，则张晟反映了一个客观彊。a、小写字母表示欠杲；表示笛卡儿坐标系卜的基矢；2,表示标准化的正交曲 线坐标卜的阜欠： ,表示对应J：标准化的正交曲线坐标卜的欠乗的分吊，则任一欠吊w在 不同坐标系卜可写为(2.5.1)a = aei = alel + a2e2 + a3e3 =dei = ae + ci

26、2e + 心； = acbI I由j:矢彊么是一个客观彊，它的人小和方向是不变的。而（2.5.1）式中的 与a；与时是不同的，但它们之间有 一定的变换关系（即坐标变换公式），通过基欠的变换来导 出它们之间的变换关系。称为一阶基（由三个欠量构成的基）。张量的阶数及描述 欠最是一阶张量欠最可用一个方向來确定。 应力应变等是二阶张量图2.5.2单元体及其应力描述有些最不能只利用一个方向來确定。如应力：它与两个 方向有关，常用的应力单元体也是如此。如图2. 5. 1所示，在/!方向（为作用而的法欠），应力 矢为p异而在*方向，应力矢为龙这说明应力矢本身有方 lJ, ifiilL还与其作用方向有关，必须

27、用两个方向才能描述应力 矢。如图2. 5. 2所示，每一个应力分帚也必须用两个方向才能 描述，第-个方向为应力作用而的方向，第一个方向为应力作 用的方向。J：是引入二阶基：0。从数学上说，可引入e1e2-en n阶基,n阶基中有3”个基矢.与“阶呈相关连的就称为阶张昴。时为标/ = 1时为欠駅； 时为二阶 张量（简称张量:）。张磺的记法如表2.5.1。* 2.5.1张量记法衰直接记法矩阵记法（0阶、一阶、二阶张虽）（抽象记法）分昼记法标帚:a/a何如二阶张吊T6如宜接记法与坐标系选择无关，只用J：描绘公式，不能进行计算。分帚中标最称为伪标凤 因为该标员与坐标选择冇关。学生应该较熟悉学握分吊记法

28、和ri接记法z间的变化关系。2. 张量的外乘张量的外乘,也称为并乘,外积,并积。用记号表示。其定义为aB = aiei 8jkei e,= aiBikeieie,Jk 1 J k（2.5.2）=Ccijk = aijk（2.5.3）这里，为欠G（阶张彊），B为二阶弓长駁，（7为三阶张琏。个张晟外乘，结果仍为张舄，新张晟的阶数为个张鼠阶数Z和。BaaB 不适交换率，与秩序白关。例：ab = a：b尼= Ccij = aibJ分起的组介冇9个，该9个为一.阶张员的分鼠。3. 张量的内乘张彊的内乘，也称为点乘，内积，点积。用记号“”表示。其定义为B a = B占 勺 akek = B .a e ek

29、（2.5.4）=BE h C尼=C这里，为二阶张最，Q为矢最，6也为欠最。张吊的内乘法结果仍为张杲，具阶数为二个张杲的阶数之和再减去点乘的次数乘2。例1：二阶张届与二阶张甌的内乘17第2敢张园分析19第2敢张园分析A-B = A.eieJ-Bklekel= AijBjleiel其中,C为二阶张量,且Cii=AijBji例2：二阶张帚的左右两边都与欠竜内乘aBb = c其中,C为标量,且c = aiBijbjc4.张量的缩并张彊的缩并的定义为（不能变换顺序） = Cljklei-eJekel=5坯=A其中，人対=C陶张砒的缩并也町特别定义为 ? = 5 eeee,= cijuejek=B(2.5

30、.5)(2.5.6)其中,B-k = Cljkl.但AB o张量的缩并还可特别定义为 f/A/AC = AB = Aiy etBklek et=D(2.5.7)其屮，Dji = AjjBj!张看的缩并仍为张最，其阶数等原张吊的阶数减去缩并数x2.张彊的缩并的惯用定义为#第2敢张园分析21第2敢张园分析y :=俎叫小 %切9 0勺0g enSo J$次缩并几体 记为一次缩并Cl（AB） = A B = C（2.5.0）其中5 =人述紂。二次缩并CAB） = AB=C（2.5.10）也称为双点乘,其中S都为二阶张量。进一步有三次缩并四次缩并(2.5.11)(2.5.12)5.求迹求迹（gee）就是

31、求矩阵对角线上的尤素之和。即定义为trA = A；(2.5.13)6若干结论 商法则（也称为张量识别定理,也可以说是张量的另外定义）设已知B和C为张杲.H.满足（好”后 % &=（士7刃(2.5.14)则A亦为张駅，IL为厂阶，（C的阶数减去B的阶数+2S）。 特别是，当/ = S即B的指标与zl的指标全部依次 相同，则X的阶数为C的阶数加1.的阶数。如图2. 5. 3所示，兀是一阶张鼠（点的位逐矢），有图253点的位於欠及其农示#第2匣张就分析AjXj =易根据上血分析，则町知5“为二阶张最分炭（单位张杲），记为2。 町的矩阵记法为单位矩阵A I = A又axb = c = eijkabke

32、.t 即q =句则q茯为三阶张鼠，记为“w ” 二阶张最可视为一个变换.把一个矢最变换为另一个欠杲。即B a = a 二- (2.5.15)一般情况Va与的人小不同、方向不同。一阶、二阶张最的运算,可用矩阵的运算方法（下面均指二阶张量）张最写法B = C Ctj = AikBkJ(2.5.16a)矩阵写法C = AB(2.5.16b)同样求aat aY(2.5.17)AYA2=A A T AA 类似 An =An(2.5.18)特别地a)B a = cc =(2.5.19)a-B =(faTB = dr(2.5.20)a B $ B a(2.5.21)a b a1 b = abt(2.5.22

33、)b)(Ba)Ab) = c=国何和国何=何丁 町好卩 = a Br A b(B a)A b) = a-B -A-b = cc)A:B = AijBij = c=AIjiBij4 B = 4 B筋 ef = C C. = Aik B甘 tr(AB) = trC = Cti = Aik Bki则A B = tr(Ar B) = tr(A Br)A B = B A = tr(B AT) = tr(Br A)进一步tr(A B C) = (A B):Cr = CT :(A B) = tr(C - A B)2.6特殊张量 张量函数(二阶张量)1. 对称和反对称张量(与矩阵的对称和反对称意义相同)定义：

34、 设s为二阶张屋，若仃s = L；s帀二则称s为对称张址 设力为二阶张晟，若有A = -At：码=_绻，则称A为反对称张鼠特性， 对称张最弓反对称张吊:之双点积为零，即:力三0证：S :A = tr(S7 - A) = tr(S A) = S : AT =-S : A又S:/总为标最，则S:A = Q一般张彊总可以分解为对称张届与反对称张駅Z和，即丁 = % + 花)心产扣+巧(S =扭+)(2.5.23)(2.5.24)(2.5.25)(2.5.26)(2. 6. 1)(2. 6. 2)仃何两张吊的双点积为两张吊的对称部分与反対称部分的双点积之和，即23第2贯张就分析C =(s)+ “)(C

35、(s)+ (勾)=%): C(S) + (A) ： C(A) 设B为反对称张杲，则可找一个欠杲Q,使(W为置换张鼠)-ib = _eae$ej = B即 Bjj = -eijkbk , Bj. = -eJlkbk = elJkbk =_B由(2.6.4)式可知：任意欠吊#与置换张吊疋的点乘积为一个反対称张吊,求解张最方程(2.6.4)式，即一 b = B,可求出b = ?因为ee= 21将(2.6.4)式两边双点乘W,有一则-2b=e:Bf T是有b = 一丄w:2称与b互为对偶。设B利炉均为反对称张量,。和分别为它们的对偶矢量,则B - W = w 0 /-( ip)Z反对称张起与反对称张杲

36、点积是一个张翁，但不一定为反対称张翁。证：B W = tr(Br ) = -tr(B W) = -tr(w b)-(b w)I= wbf t = F Fq = b& = &)4. 相似张量定义：设仃二个张和矢aa.灯a = b , B-a - b(2.6.16)如果a =Q a, 为任意，Fl X =Q b，则称与/为相似张量。特性： 同於之间的关系：b = B a b = Qb则B a = b* = Q bBQa = QB a又由Jf为任意的，则有B Q = Q B 又C1 = Qr ,将上式两边右乘q7,有衣=Q B Q1(2.6.17) 张吊连同基起刚性转动设6 = 0 et且B、= B

37、；e： e*,(2.6.18)B = Btet e(2.6.19)又 B = QBQr则 B = QBQ1 = QBijei e= Bi.(Q ei)(Q ej)= Bire* 与(2.6.18)式比 较,有B；j = Bq(2.6.20)相似张届Z -存在新呈上的分彊等J ft-相似张吊在原族上的分駅。R9图2.6 3不同基上相似张蛍分厳相同欠駅正交变换Qa=a张駅正交变换 Q B QT = ByB = QB* Q29第2贯张就分析 相似张量的行列式值相同(2.6.21)(2.6.22)dets = detB证：det = det(0 B Q1 ) = det 0 det B det07 乂

38、 det Qr det C = (det Q)2 = 1,所以 det= det B 相似张员的迹相同tr(B) = tr(B)证明：= tr(Q B Qr) = tr(QT Q B) = tr(B)上两个特性证明了不变帚与坐标选择无关一次：tr(B) 二次：tr(B) tr(B2)t 三次det(B) 两相似张磺的双点枳相同B ：A =B ：A(2.6.23)证： B : A = tr(BT A*) = t)Q Br Qr Q A Q1 ) = tr(B A) = B A特别地:B =即:B；B；j = BgBjj定义：B 的范数=厲瓦=y/B .B(2.6.24)记为|引，则 曆| = |

39、网两相似张届的范数相等。5. 张量函数以张届为变吊的函数称为张量函数如：A = f S功为张最旳数；6j = 6&)或T t()本构关系为张駅函数；w = cr. =T.s应变能为张51函数。2 v v 2(1)标fit值的张量函数a) 表达法 Y = Y(B),设B为二阶张最例：Y = L B = L“Bu，此处Z为给定的二阶张员(相当诩数的系数)。b) 线性甫数Y(aB) = ciY(B)(2.6.25)c) 求导dY(B)d/ = dBn(2.6.26)遇 ，J根据缩并定理，c = C2（AB）则 ?_血为张駅分鼠。定义，6B厂的阶数等于变帚的阶数。（2）张杲值张龟函数a） Y = Y（B）（为II体化，设Y和B为二阶张址）例：Y = L:B, Z为给定的四阶张駅（相为J：p为数系数）(2.6.27)b）线性函数c）求导岭=LjjijBkiY(aB) = aY(B)(2.6.28)dy =dY(B)dB(2.6.29)同样根据缩并定