第3章控制系统的时域分析

1、控制工程基础控制工程基础问题的引入：稳：稳：( 基本要求基本要求 ) 系统受脉冲扰动后能回到原来的平衡位置系统受脉冲扰动后能回到原来的平衡位置准准: ( 稳态要求稳态要求 ）稳态输出与理想输出间的误差）稳态输出与理想输出间的误差(稳态误差稳态误差)要小要小快快: ( 动态要求动态要求 ) 过渡（响应）过程要平稳过渡（响应）过程要平稳，迅速迅速控制系统的研究内容？如何分析这些性能，有何具体指标？经典控制理论中常用的工程方法有时域分析法根轨迹法频率特性法上 页下 页目 录第3章 控制系统的时域分析控制工程基础控制工程基础时域分析法特点：时域分析法特点：(1)物理概念清晰，直接在时间域中对系统进行分

2、析校正，直观，准确；(2)准确度较高，可以提供系统时间响应的全部信息；(3) 缺点：基于求解系统输出的解析解，比较烦琐，适合低阶系统（3阶以下）。时域法是最基本的分析方法，学习复域法、频域法的基础时域法是最基本的分析方法，学习复域法、频域法的基础 上 页下 页目 录时域分析法概念：时域分析法概念：研究系统在典型输入信号下，输出响应随时间变化规律从而确定控制系统性能的方法。控制工程基础控制工程基础第3章 控制系统的时域分析3.1 时间响应和系统性能指标3.2 一阶系统的时间响应3.3 二阶系统的时间响应 3.6 控制系统的误差分析与计算上 页 下 页目 录3.5 稳定性及其代数稳定判据 3.4

3、高阶系统的时间响应 （自学）自学） 控制工程基础控制工程基础3.1 时间响应及系统性能分析本节的难点：瞬态响应的特征指标本节重点：时间响应的相关概念典型的输入信号瞬态响应的特征指标上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础一、时间响应的概念任何一个稳定的控制系统，输出响应含有瞬态分量和稳态分量。瞬态分量由于输入和初始条件引起的，随时间的推移而趋向消失的响应部分，它提供了系统在过渡过程中的各项动态性能的信息。稳态分量是过渡过程结束后,系统达到平衡状态，其输出不再变化的响应部分，它反映了系统的稳态性能或误差。时间响应是指控制系统在典型信号的作用下，输出量随时间变化的函数关系。上 页下 页目 录控制

4、工程基础控制工程基础二、典型信号选择目的：目的：(1)为了方便系统的分析和设计，使各种控制系统有一个进行比较的基础，需要选择一些典型试验信号作为系统的输入，然后比较各种系统对这些输入信号的响应。(2)不管采用何种典型输入型号，对同一系统来说，其过渡过程所反应出的系统特性应是统一的。选择原则：选择原则：1.简单的时间函数，以便于分析处理；2.易于通过实验产生；3. 能使系统工作在最不利的情况下的输入信号作为典型实验信号。上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础典型的输入信号种类（时域）上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础三、瞬态响应指标延迟时间td:第一次达到稳定态的一半所需的时间上升时

5、间tr：第一次达到稳定态所需的时间（产生振荡时）或从稳定态的10%上升到稳态值的90%所需的时间（无振荡时）峰值时间tp：达到超调量的第一个峰值所需的时间。 超调量Mp：超出稳态值（为1）的最大偏离量Mp 调整时间ts：第一次达到并保持在允许误差范围（一般为稳态值的=5%或2%）内所需的时间 %100CCtCMpp上 页下 页目 录（点击按钮播放动画）控制工程基础控制工程基础3.2一阶系统的时间响应一、一阶系统的数学模型：一、一阶系统的数学模型：能用一阶微分方程描述的系统的称为一阶系统。典型形式是惯性环节 )(TtKrtcdttdc传递函数的一般形式为 1TsKsRsCsG时间常数增益，常为1

6、上 页下 页目 录R(s)C(s)C(s)+-C(s)E(s)R(s)Ts111Ts控制工程基础控制工程基础二、一阶系统单位阶跃响应二、一阶系统单位阶跃响应给系统以典型的单位阶跃输入信号，研究其输出变化情况 ttr1 ssR1 TsssTssC111111 TtesCLtc11上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础动态动态性能指标计算性能指标计算tTetc11)(tTeTtc11)(Tccc1)0(1)(0)0(95. 01)(Ttssetc05. 095. 01 TtseTTts305. 0ln C(t)10.632t斜率=1/TTO2T3T4T5T上 页下 页目 录控制工程基础控制工程

7、基础不同不同T的一阶系统阶跃响应的一阶系统阶跃响应 上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础三、单位斜坡响应三、单位斜坡响应 ttr21)(ssR11111)(222TsTsTssTssC TtTeTtsCLtc1T)1 ()()()()(TtTteTTeTtttctrte稳态速度误差：Tteetssv)(lim速度误差：上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础四、单位脉冲响应四、单位脉冲响应1)(sR11)(TssC TteTsCLtc11上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础dtd五、线性定常系统的重要特征五、线性定常系统的重要特征1.对输入信号积分的响应就等于系统对输入信号响应的

8、积分2.对输入信号导数的响应就等于系统对输入信号响应的导数dtd上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础3.3 二阶系统的时间响应本节的难点：相关特征指标的计算本节重点：二阶系统的单位阶跃响应相关特征指标的计算上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础研究的必要性研究的必要性 ！在控制工程实践中，二阶系统应用极为广泛，如我们熟悉的现象钟铃、弹簧、以及电路在受到冲击后的短暂振动，都是二阶系统动态性能的的外在表现。此外，许多高阶系统在一定的条件下可以近似为二阶系统来研究，因此，详细讨论和分析二阶系统的特征具有极为重要的实际意义。上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础一、二阶系统的数学模型定义

9、：用二阶微分方程描述的系统 txtycdttdybdttyda22 txtycdttdydttydnn21222上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础具体实例(m-k-f模型) tyxkdtdxfdtxdm22为什么会有这样的运动情况呢？上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础二、单位阶跃响应为什么以单位阶跃输入为例？ ttr1 ssR1 sRsGsCsssnnn12222对上式进行拉氏反变换即可求得单位阶跃响应。的根进行讨论需要对特征方程02:22nnss122, 1nns上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础，临界阻尼情况1) 1 (ns2, 1122, 1nns nnnnnss

10、ssssC11122 tesCLtcntn111无超调，无振荡。上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础，过阻尼情况1)2(为不相等的负实数根122, 1nns 22110212psApsAsApspsssCn求解过程略，详见拉氏反变换 21221121pepetctptpn上式表明，系统的单位阶跃响应由稳态分量和瞬态分量组成，其稳态分量为1，瞬态分量包含两个衰减指数项，随着t增加，指数项衰减，响应曲线单调上升。上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础，欠阻尼情况10) 3(22, 11nnjs122, 1nnsdnjs2, 121nd阻尼自然频率 dndnnjsjsssC222221dn

11、ndnnssssteLdtncosteLdtnsin ttetcddtnsin1cos12上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础 ttetcddtnsin1cos12 ttetcddtnsincos11122 tetcdtnsin112sincoscossinsin又因为：21sincos21tanarc系统的稳态响应为1，瞬态分量是一个随时间t的增大而衰减的正弦振荡过程。振荡的角频率为它取决于阻尼比和无阻尼自然频率。上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础，零阻尼情况0)4(0njs2, 1122, 1nns sssCnn1222 ttcncos1系统的瞬态响应为等幅振荡，振荡频率为无

12、阻尼自然振荡频率。上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础22dd2-1arctg 1 )tsin(1e-1c(t) ntn10)5(推导过程类似于欠阻尼状态，略上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础三、二阶系统的瞬态响应指标二阶系统的两个特征参量阻尼比和无阻尼自然频率决定了整个系统的瞬态响应。为了定量地评价二阶系统的控制质量，必须进一步分析和对系统单位阶跃响应的影响除了一些不允许产生振荡的控制系统外，通常允许控制系统有适度的振荡特性，以求能有较短的调整时间，因此系统一般工作在欠阻尼(0.4-0.8)状态下。以欠阻尼为例，推导瞬态响应各项特征指标的计算公式。上 页下 页目 录控制工程基础

13、控制工程基础1.上升时间tr 1arctg 1)1(1t 1tg: 1 )sin1(cos1)c(t , 1)( tt 2d22r22rr ndrdrdrdtrarctgtttetcrn得得由由此此得得即即时时当当响应曲线从零开始上升，第一次到达稳态值所需的时间，称为上升时间上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础2.峰值时间tp)sin1(cose-1c(t) 2-ttddtn由0)cos1tsin(-e )sin1t(cose- , 0dtdc(t) 2pdd-2pd-nnnpddtdtttttppp有由01sin2pntnpdet0sinpdt ntpd响应曲线C（t）从零开始到达第一

14、个峰值所需时间，称为峰值时间上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础3.最大超调量Mp100%e 1sin1cos sin1cos %100)sin1(cose 100% )c()c(-)c(t 2n1-p222-ppMttttMddddpdpdpdpdtp在响应过程中，输出量C（t）超出其稳态值的最大差量与稳态值之比称为超调量。上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础4.调整时间ts响应曲线到达并停留在稳态值的（或)误差范围内所需的最小时间称为调节时间（或过渡过程时间）。 11ln3t0.05, 11ln4t0.02, 11ln1t : 0| 1)1sin(1e-1 | t t)c(|

15、)c(-c(t)| 2s2s2ns22-snnndtarctgt取取解得根据 t0.9002.0 40.05 3snn时上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础结论1.欲使系统有满意的瞬态响应指标，必须综合考虑和选择合适的阻尼比 和无阻尼自然频率 n2.保持 不变而增大 ，对超调量无影响，却可以减小tp,ts，即可以提高系统的快速性n7 . 03.保持 不变而增大 ，超调量减小，增加相对稳定性，减弱振荡性能，在 ，随着阻尼比的增大，ts减小； 时，随着阻尼比的增大，tr,ts均变大，系统快速性变差。n7 . 04.最佳阻尼比 707. 0上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础:. , )

16、/(40.5, ,1.n解解性能指标性能指标试求系统的动态试求系统的动态信号时信号时入信号为单位阶跃入信号为单位阶跃当输当输秒秒弧度弧度其中其中二阶系统如图所示二阶系统如图所示例例 %3 .16%100%100 )(91. 0 t )(60. 0 t46. 35 . 0141 )(05. 16025 . 015 . 0212222p46. 31p46. 305. 11r22d5 . 05 . 011eeMarctgarctgnnn秒秒弧度)2(2nnss例题1上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础.K , 1%3 .16 c(t) , 2p之值及内反馈系数益试确定前置放大器的增秒和峰值时间

17、有超调量具阶跃响应要求该系统的单位如图所示已知某控制系统方框图例ptM)1(10 ssKs C(s)R(s) rad/s 3.63n 21p t 0.5 %3 .16%10021/p p )1 (:得又得由及计算出二阶系统参数和由已知解neMnptM例题2上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础 0.263 32. 1 102 101n2 222s2R(s)C(s) (3) 10)101(2s10KR(s)C(s) , (2) KKnnsnnKs解得解得与标准形式比较与标准形式比较并化成标准形式并化成标准形式求闭环传递函数求闭环传递函数)1(10 ssKs C(s)R(s)上 页下 页目 录

18、控制工程基础控制工程基础系统稳定性概念及其条件控制系统的稳定判据上 页下 页目 录3.5 稳定性及其代数稳定判据控制工程基础控制工程基础问题的引入控制系统实用的首要条件是系统必须稳定。控制系统稳定性分析是控制理论的重要组成部分，分析系统的稳定性，提出保证系统稳定的措施，是控制工程的基本任务之一。本节介绍稳定性的基本概念。上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础一、稳定性定义 定义：若线性系统在初始扰动(脉冲信号)的影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定，简称稳定；反之若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间推移而发散，则称其不稳定。稳定性的严密数学定义是由俄国的李

19、雅普诺夫首先建立的，对于临界稳定性是作为稳定来处理的，但实际工程上则认为是不稳定的。稳定不稳定临界稳定ttt上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础二、线性系统稳定的充要条件稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。设系统传递函数如下：注意：输入脉冲信号（相当于干扰信号作用）时，如系统的稳态值为0则系统稳定，否则稳态值为无穷大或振荡时则系统不稳定。拉氏反变换上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础0)(limtyt可见要满足：只有si(i=1,2,n)的实部应全部为负的。基本准则：基本准则：即特征方程的所有根必须全部具有负实部。或者说系统的传递函数的极点全部位于s复平面的左半部。如有

20、实部为零的根，则出现临界稳定状态（振荡），如有零根存在，则出现常数项，相当于系统偏离了平衡状态，所以工程上也认为系统不稳定。0011asasannnn上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础试判断系统 的稳定性。 254123ssssRsC解：解：0) 2() 1(254223sssss2, 132, 1ss所以，系统稳定？上述方法对于低阶系统或者容易求解方程特征根的情况比较适合，但直接求解往往比较复杂，能否找到一种不需求出根的具体数值而仅仅确定系统的所有根的分布情况呢？例题1上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础0asa.sasa011 -n1 -nnn是一种不需要求解系统的特征方程，

21、而是通过对特征方程的系数分析来判断系统根的分布情况。三、Routh-Hurwitz代数稳定判据劳斯（Routh）稳定判据的必要条件：第一步：ai0是稳定的必要条件：第二步：检验充分条件（Routh阵列）：Routh阵列的第一列各项符号皆相同上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础Routh阵列阵列0asa.sasa011 -n1 -nnn特征方程：176131541213211b b bnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa131512121311c cbbaabbbaabnnnn上 页下 页目 录7531642nnnnnnnnaaaaaaaa控制工程基础控制工程基础

22、别该特征方程正实部根试用Routh判据判 054s3s2ss 设有下列特征方程234的个数 5 s 0 6 s 5 1s0 4 2 s 5 3 1 s0152-41124-32 2 34符号改变一次符号改变一次解：各项系数ai0,列出劳斯阵列如下：符号改变两次，故有两个不稳定的实数根例题2上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础 : 023s-s . 3解正的特征根的个数。试应用判据判别实部为设系统的特征方程为例 2 s 0 s 2 0 s 3- 1 s 02-3-2 3 改变一次改变一次Routh判据的特殊情况a.某行第一个元素为零，其余均不为零。解决法：用一个正数 代替0，然后再令 ，求

23、极限判别第一列系数0故有两个正根上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础 : 04-4s-7s-3s-2s-s :23456解。试确定正实部根的个数已知系统特征方程为例 s 0 0 0 s 4- 3- 1 s 0 4- 3- 1 s 4- 7- 2- 1 s 3 456 06s-4sdsdF(s) 04-3s-F(s):324 s辅助方程 4- s 0 16.7- s 4- 1.5- s 0 6- 4 s 4- 3- 1 s 4- 3- 1 s 4- 7- 2- 1 s 0123456b.劳斯表某行全为零劳斯表某行全为零说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根，包括实根和共轭复根。上

24、页下 页目 录控制工程基础控制工程基础。另外二根为再由原特征方程得。得出产生全零行的根为求解辅助方程有一个实部为正的根。符号改变一次2321-: 0)1)(4)(1(s:,20)1)(4(43)( ,2222224jsssjsssssF上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础四、赫尔维茨（Hurwitz）判据赫尔维茨判据是根据特征方程的系数来判别系统稳定的另一种方法，它和罗斯算法的结果相同，但处理技巧不同，它是把特征方程的系数和稳定根的关系用行列式来表示，一个系统稳定的充分和必要条件是：1）各项系数全部为正。2）列赫尔维茨行列式：021231425310000000000000000000a

25、aaaaaaaaaaaannnnnnnnnnn011na02312nnnnaaaa0031425313nnnnnnnnaaaaaaaa0n主行列式及其主对角线上的各子行列式均大于零时，则方程无正根，系统稳定。这个判据对于六阶以上的系统，由于行列式计算麻烦，故少采用。上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础3.6 控制系统的误差分析与计算本节的难点：静态误差系数的计算和运用本节重点：准确性的相关分析误差的相关概念静态误差系数的计算上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础准确性，即系统的精度，是对控制系统的基本要求之一。系统的精度是用系统的误差来度量的。系统的误差可分为动态误差和稳态误差，动态

26、误差是指误差随时间变化的过程值，而稳态误差是指误差的终值。本节只讨论常用的稳态误差。问题的引出上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础定义：一、误差的概念 tctcter是指被控对象的实际输出信号 与希望输出信号 之差，即： tc tcrG(s)H(s)R(s)C(s)+-B(s)E(s)1/H(s)+-E(s)Cr(s) sCsRsHsE1 sRsHsCr1一般关系 sCsRsE 1sH tctrte由于实际系统中希望输出不便于测量，而且输入与输出往往是量纲不同而不便比较，所以常用偏差的定义来代替 上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础偏差：即输入信号与反馈信号之差 sHsCsRsBs

27、RsEG(s)H(s)R(s)C(s)+-B(s)E(s)1/H(s)+-E(s)Cr(s) tbtrte显然 sEsHsE对于单位反馈则两者相同。因此一般用系统的偏差信号E（s）来定义系统的误差，即 偏差误差上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础二、稳态误差误差：瞬态误差和稳态误差稳态误差： ssEteestss0limlim终值定理稳态误差包括给定稳态误差ess和扰动误差essd。前者表征了系统的精度，后者反映了系统的抗干扰能力，即系统的刚度。引起的因素：系统的结构、参数和输入量的形式等上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础三、给定稳态误差 给定输入信号作用下的稳态误差，表征了系统

28、的精度。 sRsHsGsE11G(s)H(s)R(s)C(s)+-B(s)E(s)1/H(s)+-E(s)Cr(s) sRsHsGsssEteesstss1limlimlim00 sHsCsRsE sGsEsC sHsGsEsR上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础四、扰动引起的稳态误差 在扰动信号(如负载的突变、电源的波动等)作用下产生的误差，表征了系统的抗干扰能力。对于线性系统，系统总的稳态误差等于输入信号和干扰信号分别作用时产生的稳态误差的代数和。 输入信号误差为（假设干扰为零） sHsGsGsRsER211 sHsGsGssRssEesRsssr21001limlim干扰信号误差为

29、（假设输入为零）求输出信号对扰动信号的传递函数 sGD sHsGsGsGsDsCsGDD2121根据误差定义： sDsHsGsGsHsGsHsCsEDD212210 sDsHsGsGsHssGssEesDsssd212001limlim sHsGsGsDsHsGsRsEsEsEDR2121ssdssrsseee上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础)1 ()1)(1 ()1 ()1)(K(1G(S)H(S)2121sTsTsTssssvnm设系统的开环传函为称为零型系统称为 I 型系统称为 II 型系统系统的型别以 来划分012目的：1可以根据已知的输入信号形式，迅速判断是否存在稳态误差及稳态误差的大小。2系统阶数m,n的大小与系统型别无关，且不影响稳态误差的数值。五、系统的类型 一般型及型系统很难稳定，所以在工程上一般不采用。上 页下 页目 录控制工程基础控制工程基础已知)()(11lim)(lime00sssRsGss