计算机控制系统(清华大学出版社)课件_状态设计法

1、6.1 离散系统状态空间描述的基本特性离散系统状态空间描述的基本特性6.2 状态反馈控制律的极点配置设计状态反馈控制律的极点配置设计6.3 状态观测器设计状态观测器设计6.4 调节器设计（控制律与观测器的组合）调节器设计（控制律与观测器的组合）6.5 控制系统最优二次型设计控制系统最优二次型设计16.1.1 可控性与可达性可控性与可达性可控性定义：可控性定义： 对式对式(6-1)所示系统，若可以找到控制序列所示系统，若可以找到控制序列u(k)，能在有，能在有限时间限时间NT内驱动系统从任意初始状态内驱动系统从任意初始状态x(0)到达任意期望状到达任意期望状态态x(N)=0，则称该系统是状态，则

2、称该系统是状态完全可控的完全可控的（简称是可控（简称是可控的）。的）。可达性定义：可达性定义：对式对式(6-1)所示系统，若可以找到控制序列所示系统，若可以找到控制序列u(k) ，能在有，能在有限时间限时间NT内驱动系统从任意初始状态内驱动系统从任意初始状态x(0)到达任意期望状到达任意期望状态态x(N)，则称该系统是状态，则称该系统是状态完全可达的完全可达的。2离散系统：离散系统： (6-1) 推导离散系统可控及可达应满足的条件推导离散系统可控及可达应满足的条件 1. 可达性条件可达性条件 利用迭代法利用迭代法3(1)( )( )x kFx kGu k12(0)(1)()(0)(1)NNNu

3、ux NFxFG FGGu N(6-3) 为使为使(0), (1), (1)uuu N 唯一存在，应满足下述充分必要条件：唯一存在，应满足下述充分必要条件：（1）x是是n维向量，所以维向量，所以(6-3)必须是必须是n维线性方程，故维线性方程，故N=n。（2）必须满足：）必须满足：1-2Rrankrank=NNWFG FGGn依式依式(6-3)可得允许控制可得允许控制 T-1R (0) (1)(1) ()(0)Nuuu nWx NF x推导离散系统可控及可达应满足的条件推导离散系统可控及可达应满足的条件 2. 可控性条件可控性条件412(0)(1)()(0)(1)NNNuux NFxFG FG

4、Gu N(6-3) 为使上述线性方为使上述线性方程组有解，必须程组有解，必须 若若F 是可逆的，则是可逆的，则12T(0) (0)(1)(1)NNNF xFG FGG uuu N 12T(0) (0)(1)(1) NxF G F GFG uuu N或或 12NCWF G F GFGrankCWnN=n可控阵可控阵 系统状态完系统状态完全可控的充全可控的充分必要条件分必要条件rankrankCRWWn可控性与可达性一致可控性与可达性一致 由于采样系统的状态转移阵由于采样系统的状态转移阵F=eAT可逆，可逆，故采样系统的可达性与可控性一致。故采样系统的可达性与可控性一致。 6.1.2 可观性可观性

5、可观性定义可观性定义：对式对式(6-1)所示系统，如果可以利用系统输出，在有限所示系统，如果可以利用系统输出，在有限的时间的时间NT内确定系统的初始状态内确定系统的初始状态x(0) ，则称该系统是，则称该系统是可观的。可观的。5 系统的可观性只与系统结构及输出信息的特性系统的可观性只与系统结构及输出信息的特性有关，与控制矩阵有关，与控制矩阵G无关，为此，以后可只研究系无关，为此，以后可只研究系统的自由运动统的自由运动(6-6) ：(6-6)离散系统：离散系统： (6-1) 6.1.2 可观性可观性可观性定义：可观性定义：对式对式(6-6)所示系统，如果可以利用系统输出，在有限的时间所示系统，如

6、果可以利用系统输出，在有限的时间NT内内确定系统的初始状态确定系统的初始状态x(0) ，则称该系统是可观的。，则称该系统是可观的。6(6-6)离散系统：离散系统： (0)(0)yCx(1)(1)(0)yCxCFx( )(0)ky kCF x(0)(1)(0)( )kyCyCFxy kCF已知已知 (0), (1), ( )yyy k，为使，为使x(0)有解，要求：有解，要求： (6-8) (1)式式(6-8)代数方程组一定是代数方程组一定是n维的。维的。1 TrankranknOWC CFCFn(2)令令k=n-1，则应有，则应有1 TnOWC CFCF其中可观阵其中可观阵 6.1.3 可控性

7、及可观性某些问题的说明可控性及可观性某些问题的说明1. 系统组成部份系统组成部份S1:可控可观部分可控可观部分S2:不可控及不可观部分不可控及不可观部分S3:可控不可观部分可控不可观部分S4:可观不可控部分。可观不可控部分。7系统脉冲传函只反映了系统中可控可观那部分状态系统脉冲传函只反映了系统中可控可观那部分状态S1的特性。的特性。 2.表示系统可控性及可观性的另一种方式表示系统可控性及可观性的另一种方式可以采用系统模态可控及可观的表示方式。可以采用系统模态可控及可观的表示方式。 3. 系统脉冲传递函数不能全面反映系统特性的原因系统脉冲传递函数不能全面反映系统特性的原因系统传递函数中发生了零点

8、和极点相对消的现象。系统传递函数中发生了零点和极点相对消的现象。 图图6-3 系统的分解系统的分解6.1.4 采样系统可控可观性与采样周期采样系统可控可观性与采样周期的关系的关系对于采样系统，不加证明给出下述结论：对于采样系统，不加证明给出下述结论：(1) 若原连续系统是可控及可观的，经过采样后，系统可控若原连续系统是可控及可观的，经过采样后，系统可控及可观的充分条件是：对连续系统任意及可观的充分条件是：对连续系统任意2个相异特征根个相异特征根pp、qq，下式应成立：，下式应成立：8(1)( )( )x kFx kGu k( )( )y kCx k采样对象：采样对象： 连续对象：连续对象： (

9、 )( )( ) x tAx tBu t( )( )y tCx t 若连续系统的特征根无复根时，则采样系统必定是可若连续系统的特征根无复根时，则采样系统必定是可控及可观的。控及可观的。(2) 若已知采样系统是可控及可观的，原连续系统一定也是若已知采样系统是可控及可观的，原连续系统一定也是可控及可观的。可控及可观的。2jjpqskkT1, 2,k 6.1 离散系统状态空间描述的基本特性离散系统状态空间描述的基本特性6.2 状态反馈控制律的极点配置设计状态反馈控制律的极点配置设计6.3 状态观测器设计状态观测器设计6.4 调节器设计（控制律与观测器的组合）调节器设计（控制律与观测器的组合）6.5

10、控制系统最优二次型设计控制系统最优二次型设计96.2.1 状态反馈控制状态反馈控制根据根据(6-14)有结论：有结论：(1) 闭环系统的特征方程由闭环系统的特征方程由F-GK决定，系统的阶次不改变。决定，系统的阶次不改变。通过选择状态反馈增益通过选择状态反馈增益K，可以改变系统的稳定性。，可以改变系统的稳定性。(2) 闭环系统的可控性由闭环系统的可控性由F-GK及及G决定。可以证明，如开环决定。可以证明，如开环系统可控，闭环系统也可控，反之亦然。系统可控，闭环系统也可控，反之亦然。 (3) 闭环系统的可观性由闭环系统的可观性由F-GK及及C-DK决定。如果开环系决定。如果开环系统是可控可观的，

11、加入状态反馈控制，由于统是可控可观的，加入状态反馈控制，由于K的不同选择，的不同选择，闭环系统可能失去可观性。闭环系统可能失去可观性。10(1)( )( )x kFx kGu k( )( )( )y kCx kDu k( )( )( )u kKx kLr k :rp:K mn:L mpLI(1)( )( )x kFGK x kGr k( )( )( )y kCDK x kDr k取线性反馈控制取线性反馈控制 令令，得闭环系统状态方程，得闭环系统状态方程 (6-14) (6-12) 图图6-7 状态反馈控制系统结构图状态反馈控制系统结构图根据根据(6-14)有结论：有结论：(4) 状态反馈时闭环

12、系统特征方程为状态反馈时闭环系统特征方程为 可见，状态反馈增益矩阵可见，状态反馈增益矩阵K决定了闭环系统的特征根。决定了闭环系统的特征根。可以证明，如果系统是完全可控的，通过选择可以证明，如果系统是完全可控的，通过选择K阵可以阵可以任意配置闭环系统的特征根。任意配置闭环系统的特征根。(5) 状态反馈与闭环系统零点的关系状态反馈与闭环系统零点的关系状态反馈不能改变或配置系统的零点。状态反馈不能改变或配置系统的零点。11( )detdet0CzzIFzIFGK6.2.2 单输入系统的极点配置单输入系统的极点配置 基本思想基本思想:由系统性能要求确定闭环系统期望极点位置，然后依由系统性能要求确定闭环

13、系统期望极点位置，然后依据期望极点位置确定反馈增益矩阵据期望极点位置确定反馈增益矩阵K。(本节主要讨论本节主要讨论单输入系统的极点配置方法单输入系统的极点配置方法) 1. 系数匹配法系数匹配法12(1)( )( )x kFGK x kGr k状态反馈闭环系统特征方程状态反馈闭环系统特征方程 det0zIFGK闭环系统期望特征根为闭环系统期望特征根为: 1,2,iizin闭环系统期望特征方程：闭环系统期望特征方程：12( )()()()0cna zzzz对应系数相等，得对应系数相等，得n个代数方程个代数方程可求得可求得n个未知系数个未知系数,1,2,iKin12nKKKK单输入系统的极点配置单输

14、入系统的极点配置2. Ackermann公式公式建立在可控标准型基础上的一种计算反馈阵建立在可控标准型基础上的一种计算反馈阵K的方法，的方法，对于高阶系统，便于用计算机求解对于高阶系统，便于用计算机求解.1311()nncna FFa Fa I11( )nncnazza za闭环系统期望特征方程：闭环系统期望特征方程：1100()CcKW a F12nnCWFG FGFG G其中其中3. 使用极点配置方法的注意问题使用极点配置方法的注意问题 (1) 系统完全可控是求解该问题的充分必要条件。若系统有系统完全可控是求解该问题的充分必要条件。若系统有不可控模态，利用状态反馈不能移动该模态所对应的极点

15、。不可控模态，利用状态反馈不能移动该模态所对应的极点。(2) 实际应用极点配置法时，首先应把闭环系统期望特性转实际应用极点配置法时，首先应把闭环系统期望特性转化为化为z平面上的极点位置。平面上的极点位置。(3) 理论上，反馈增益理论上，反馈增益 ，系统频带，系统频带 ，快速性，快速性 。 u(k) 执行元件饱和执行元件饱和 系统性能系统性能 。 实际要考虑到所求反馈增益物理实现的可能性实际要考虑到所求反馈增益物理实现的可能性。(4)系统阶次较低时，可以直接利用系数匹配法；系统阶次较系统阶次较低时，可以直接利用系数匹配法；系统阶次较高时，应依高时，应依Ackermann公式，利用计算机求解。公式

16、，利用计算机求解。146.2.3 多输入系统的极点配置多输入系统的极点配置对于对于n阶系统，最多需要配置阶系统，最多需要配置n个极点。个极点。单输入系统状态反馈增益单输入系统状态反馈增益K矩阵为矩阵为1n维，其中的维，其中的n个元个元素可以由素可以由n个闭环特征值要求唯一确定。个闭环特征值要求唯一确定。对于多输入系统，对于多输入系统，K阵是阵是mn维，如果只给出维，如果只给出n个特征值个特征值要求，要求，K阵中有阵中有m(n-1)个元素不能唯一确定，必须附加个元素不能唯一确定，必须附加其他条件，如使其他条件，如使K最小，得到最小增益阵；给出特征最小，得到最小增益阵；给出特征向量要求，使部分状态

17、量解耦等。向量要求，使部分状态量解耦等。事实上，对于多输入多输出系统，一般不再使用单纯的极事实上，对于多输入多输出系统，一般不再使用单纯的极点配置方法设计，而常用如特征结构配置、自适应控制、点配置方法设计，而常用如特征结构配置、自适应控制、最优控制等现代多变量控制方法设计。最优控制等现代多变量控制方法设计。156.1 离散系统状态空间描述的基本特性离散系统状态空间描述的基本特性6.2 状态反馈控制律的极点配置设计状态反馈控制律的极点配置设计6.3 状态观测器设计状态观测器设计6.4 调节器设计（控制律与观测器的组合）调节器设计（控制律与观测器的组合）6.5 控制系统最优二次型设计控制系统最优二

18、次型设计166.3.1 系统状态的开环估计系统状态的开环估计状态估计：状态估计：17图图6-10 开环估计器结构图开环估计器结构图估计误差：估计误差：估计误差状态方程：估计误差状态方程：(1)( )x kFx k xxx(1)( )( )x kFx kGu k(1) 如果原系统是不稳定的，那么观如果原系统是不稳定的，那么观测误差将随着时间的增加而发散；测误差将随着时间的增加而发散；(2) 如果如果F 阵的模态收敛很慢，观测阵的模态收敛很慢，观测值也不能很快收敛到的值，将影响观值也不能很快收敛到的值，将影响观测效果。测效果。(3) 开环估计只利用了原系统的输入开环估计只利用了原系统的输入信号，并

19、没有利用原系统可测量的输信号，并没有利用原系统可测量的输出信号。出信号。6.3.2 全阶状态观测器设计全阶状态观测器设计1. 预测观测器预测观测器18图图6-11 闭环状态估计器闭环状态估计器( )y k预估预估 (1)x k:L n r闭环观测器方程闭环观测器方程 (1)( )( )( )( )( )( )( )x kFx kGu kL y kCx kFLC x kGu kLy k估计误差状态方程：估计误差状态方程：(1) ( )x kFLC x k(6-35) 观测器设计的基本问题：观测器设计的基本问题： 要及时地求得状态的精确估计值，也就是要使观测误差能尽快地趋于零或要及时地求得状态的精

20、确估计值，也就是要使观测误差能尽快地趋于零或最小值。最小值。从式从式(6-35)可见，合理地确定增益可见，合理地确定增益L矩阵，可以使观测器子系统的极矩阵，可以使观测器子系统的极点位于给定的位置，加快观测误差的收敛速度。点位于给定的位置，加快观测误差的收敛速度。 观测误差产生的原因观测误差产生的原因 (1)构造观测器所用的模型参数与真实系统的参数不构造观测器所用的模型参数与真实系统的参数不可能完全一致。可能完全一致。(2)观测器与对象的初始状态很难一致。观测器与对象的初始状态很难一致。(3)外干扰外干扰有稳态误差有稳态误差状态观测器极点配置的目的，使状态观测器极点配置的目的，使 19(0)0

21、x，而设，而设一般一般(0)0 x( )0 x k 计算计算观测器增益观测器增益L方法一：系数匹配法方法一：系数匹配法20(0）ozT1()0 01OOLF W观测器期望特征多项式：观测器期望特征多项式：方法二方法二 Ackermann公式计算法公式计算法观测器特征方程观测器特征方程det0zIFLC(1) ( )x kFLC x k期望特征方程：期望特征方程：对应系数相等，得对应系数相等，得m个代数方程个代数方程可求得可求得m个未知系数个未知系数,1,2,iLim12mLLLL11()mmomaFFa Fa I11( )mmomazza za1 TnoWC CFCF其中：其中：系统可观阵系统

22、可观阵(6-36) 6.3.2 全阶状态观测器设计全阶状态观测器设计2. 现今值观测器现今值观测器21预估预估 (1)x k估计误差状态方程：估计误差状态方程：(6-41) 观测器极点的配置由观测器极点的配置由F CF的可观性决定。的可观性决定。 分析表明，若分析表明，若F C可观，则可观，则F CF必定也可观。必定也可观。 选择反馈增益选择反馈增益L亦可任意配置现今值观测器的极点。亦可任意配置现今值观测器的极点。(1)y k(1)( )( )x kFx kGu k观测误差观测误差(1)(1)y kCx k 预测值预测值 得修正值得修正值 (1)(1)(1)(1)x kx kL y kCx k

23、(1)( )( ) (1)( )( ) x kFx kGu kL y kC Fx kGu k:L n r( )( )(1)FLCF x kGLCG u kLy k(1) ()x kFLCF x K图图6-12 现今值观测器现今值观测器现今值观测器与预测观测器比较现今值观测器与预测观测器比较主要差别：主要差别：预测观测器利用陈旧的预测观测器利用陈旧的y(k)测量值产生观测值测量值产生观测值现今值观测器利用当前测量现今值观测器利用当前测量值值y(k+1)产生观测值，进行产生观测值，进行计算控制作用。计算控制作用。由于由于00，故现今值观测器是，故现今值观测器是不能准确实现的，但采用这种不能准确实现

24、的，但采用这种观测器，仍可使控制作用的计观测器，仍可使控制作用的计算减少时间延迟，比预测观测算减少时间延迟，比预测观测器更合理。器更合理。22图图6-13预测观测器与现今值观测器的区别预测观测器与现今值观测器的区别()FLC()FLCF ,C F,CF F( )y k(1)y k 预测估计器预测估计器现今观测器现今观测器转移矩阵转移矩阵可观性可观性 可观可观 可观可观利用的测量值利用的测量值计算时间计算时间 006.3.3 降维状态观测器降维状态观测器假设系统有假设系统有p个状态可测，有个状态可测，有q=n-p个状态需要观测个状态需要观测 2312( ) ( )( ) x kpx kx kqn

25、p维可测维可测维需观测维需观测系统状态方程系统状态方程 11112112212222(1)( )( )(1)( )x kFFx kGu kx kFFx kG12( )( )0( )x ky kIx k22222112(1)( )( )( )x kF x kF x kG u k可直接测得可直接测得 11111122(1)( )( )( )x kF x kG u kF x k动态方程动态方程 输出方程输出方程 可直接测得可直接测得 降维系统观测误差方程降维系统观测误差方程: 22222122(1)(1)(1)( )x kx kx kFLFx k其中观测器增益其中观测器增益L的求法可以采用系数匹配法

26、，也可以利用的求法可以采用系数匹配法，也可以利用Ackermann公式。公式。6.1 离散系统状态空间描述的基本特性离散系统状态空间描述的基本特性6.2 状态反馈控制律的极点配置设计状态反馈控制律的极点配置设计6.3 状态观测器设计状态观测器设计6.4 调节器设计（控制律与观测器的组合）调节器设计（控制律与观测器的组合）6.5 控制系统最优二次型设计控制系统最优二次型设计246.4.1 调节器设计分离原理调节器设计分离原理被控对象被控对象 25图图6-14观测器观测器与控制律的组合与控制律的组合(1)( )( )( )( )( )( ) x kFx kGu ky kCx ku kKx k( )

27、( )( ) x kx kx k(1) ( )x kFLC x k反馈状态反馈状态 预测观测误差预测观测误差的状态方程的状态方程 组合系统方程组合系统方程 (1)0( )(1)( )( )( )0( )x kFLCx kx kGK FGKx kx ky kCx k特征方程特征方程 0det0zIFLCGKzIFGKdet det( )( )0cOzIFLCzIFGKzz调节器设计分离原理调节器设计分离原理:分离原理：分离原理：控制规律与观测器可以分开单独设计，组合后各自的控制规律与观测器可以分开单独设计，组合后各自的极点不变。极点不变。260det0zIFLCGKzIFGKdet det( )

28、( )0cOzIFLCzIFGKzz组合系统的特征方程组合系统的特征方程 组合系统的阶次为组合系统的阶次为2n，它的特征方程分别由观测器及原闭环系统的，它的特征方程分别由观测器及原闭环系统的特征方程组成，反馈增益特征方程组成，反馈增益K只影响反馈控制系统的特征根，观测器反馈增只影响反馈控制系统的特征根，观测器反馈增益益L只影响观测器系统特征根。只影响观测器系统特征根。图图6-14观测器与控制律的组合观测器与控制律的组合6.4.2 调节器系统的控制器调节器系统的控制器 把观测器系统与控制规律组合起来，构成控制器把观测器系统与控制规律组合起来，构成控制器 27 控制器控制器 状态方程状态方程(1)

29、 ( )( )( )( ) x kFGKLC x kLy ku kKx k特征方程特征方程 对对SISO系统，控制器的输入为测量输出系统，控制器的输入为测量输出y(k)，输出为，输出为u(k) ( )( )( )zX zFGKLC X zLY z( )( ) U zKX z1( )( )( ) U zD zK zIFGKLCLY z图图6-14观测器与控制律的组合观测器与控制律的组合6.4.3 控制律及观测器极点选择控制律及观测器极点选择 控制律的极点由系统期望特性确定。控制律的极点由系统期望特性确定。观测器极点观测器极点通常选择观测器极点的最大时间常数为控制系统最小通常选择观测器极点的最大时

30、间常数为控制系统最小时间常数的时间常数的(1/21/4) ，由此确定观测器的反馈增益，由此确定观测器的反馈增益L。观测器极点时间常数越小，观测值可以更快地收敛到真实值，但观测器极点时间常数越小，观测值可以更快地收敛到真实值，但要求反馈增益要求反馈增益L越大。过大的增益越大。过大的增益L，将增大测量噪声，降低观测，将增大测量噪声，降低观测器平滑滤波的能力，增大了观测误差。器平滑滤波的能力，增大了观测误差。若观测器输出与对象输出十分接近，若观测器输出与对象输出十分接近，L的修正作用较小，则的修正作用较小，则L可以可以取得小些。取得小些。弱对象参数不准或对象上的干扰使观测值与真实值偏差较大，弱对象参

31、数不准或对象上的干扰使观测值与真实值偏差较大，L应应取得大些。取得大些。若测量值中噪声干扰严重，则若测量值中噪声干扰严重，则L应取得小些。应取得小些。实际系统设计实际系统设计L时，最好的方法是采用较真实的模型时，最好的方法是采用较真实的模型(包括作用于包括作用于对象上的干扰及测量噪声对象上的干扰及测量噪声)进行仿真研究进行仿真研究286.1 离散系统状态空间描述的基本特性离散系统状态空间描述的基本特性6.2 状态反馈控制律的极点配置设计状态反馈控制律的极点配置设计6.3 状态观测器设计状态观测器设计6.4 调节器设计（控制律与观测器的组合）调节器设计（控制律与观测器的组合）6.5 控制系统最优

32、二次型设计控制系统最优二次型设计296.5.1 概述概述 最优控制实质：将寻求一种最优控制策略，使某一性能指标最佳。最优控制实质：将寻求一种最优控制策略，使某一性能指标最佳。30最优控制问题常被称为最优控制问题常被称为“二次型最优控制问题。二次型最优控制问题。离散系统代价函数：离散系统代价函数： 通常的性能指标（代价函数）：通常的性能指标（代价函数）： 011()()( )( )( )( )22NTTTNNtJxtSx txt Qx tut Ru t dtt1011( )( )( )( )22NTTTNNkJx Sxxk Qx kuk Ru k为使代价函数有意义，应要求：为使代价函数有意义，应

33、要求：S、Q至少是对称半正定的，至少是对称半正定的，R是对称正定的。是对称正定的。有限时间最优代价函数有限时间最优代价函数无限时间最优代价函数无限时间最优代价函数Nt是有限的是有限的 Nt1( )( )( )( )02TTJxt Qx tut Ru t dt01( )( )( )( )2TTkJxk Qx kuk Ru k离散系统离散系统 连续系统连续系统 最优控制存在最优控制存在6.5.2 无限时间离散最优二次型无限时间离散最优二次型 311(1)(1)(1)(1)(1)TTM kP kP kG G P kGRG P k其中的其中的S、Q对称半正定的，对称半正定的，R对称正定对称正定最优控制

34、存在最优控制存在有限时间情况：有限时间情况：(1)( )( )x kFx kGu k(0)xC代价函数代价函数最优控制：最优控制：( )( ) ( )u kK k x k 1( )(1)(1)TTK kRG P kGG P kF( )(1)TP kF M kFQ( )P k为为Riccati阵，满足阵，满足其中，有其中，有无限时间离散最优二次型代价函数无限时间离散最优二次型代价函数 注意：注意：N趋于无穷大时，并不是所有有限时间最优调节器问趋于无穷大时，并不是所有有限时间最优调节器问题都有解。题都有解。1. 被控对象及代价函数应满足的条件：被控对象及代价函数应满足的条件： (1) 被控对象（被

35、控对象（F G）应是完全可控或可稳定的）应是完全可控或可稳定的稳态稳态解存在的必要条件解存在的必要条件。 (2) 控制加权阵控制加权阵R是正定的，状态加权阵是正定的，状态加权阵Q也是正定的也是正定的解存在的充分条件解存在的充分条件。3201( )( )( )( )2TTkJxk Qx kuk Ru k稳态最优调节器问题稳态最优调节器问题lim( )kP kP此时此时Riccati方程的解为：方程的解为：TPF MFQ1TTMPPG G PGRG P1TTTTPF PFF PG G PGRG PFQ最优控制为最优控制为( )( )u kKx k 常值反馈常值反馈增益阵增益阵 1TTKG PGRG

36、 PF即有即有或写成：或写成：2. 二次型最优稳态调节器的特性二次型最优稳态调节器的特性(1)上述所得到的设计结果不仅可以用于上述所得到的设计结果不仅可以用于SISO系统，也可以系统，也可以用于用于MIMO系统及时变系统。通过改变系统及时变系统。通过改变Q、R各元素相对比各元素相对比值可以很容易地改变系统响应，协调系统响应速度和控制值可以很容易地改变系统响应，协调系统响应速度和控制信号模值之间的关系。信号模值之间的关系。(2)若若Q、R是正定的，是正定的，P亦是正定的。若亦是正定的。若Q是半正定的，且是半正定的，且（F D）对完全可观，其中）对完全可观，其中D满足满足 则在这种条件下也可以证明

37、则在这种条件下也可以证明P是正定的。是正定的。(3)对于无限时间的最优控制，若对于无限时间的最优控制，若Q半正定，半正定，R正定，可以证正定，可以证明最优控制明最优控制 使闭环系统使闭环系统 渐近稳定，同时还具有一定的相渐近稳定，同时还具有一定的相位稳定裕度和增益稳定裕度。位稳定裕度和增益稳定裕度。(4)最优控制闭环极点轨迹：二次型最优调节器闭环极点与最优控制闭环极点轨迹：二次型最优调节器闭环极点与代价函数加权阵密切相关，加权变化时闭环极点随之变化，代价函数加权阵密切相关，加权变化时闭环极点随之变化，形成闭环极点轨迹。形成闭环极点轨迹。33TQD D1( )( )TTu kG PGRG PFx

38、 k (1)() ( )x kFGK x k6.5.3 采样系统最优二次型设计采样系统最优二次型设计1. 采样系统最优调节器问题采样系统最优调节器问题 34( )( )( )x tAx tBu t1( )( )( )kkku tu tu kttt 01( )( )( )( )2TTJxt Qx tut Ru t dtt采样系统特点：采样系统特点：对象连续对象连续积分代价函数积分代价函数J最小最小 不同于离散系统最优调节器问题不同于离散系统最优调节器问题寻求分段寻求分段常值控制常值控制不可采用连续系统最优调节器理论与结果不可采用连续系统最优调节器理论与结果思路：采样系统最优调节器问题思路：采样系

39、统最优调节器问题离散系统最优调节器问题离散系统最优调节器问题6.5.3 采样系统最优二次型设计采样系统最优二次型设计1. 采样系统最优调节器问题采样系统最优调节器问题 35(1)( )( )x kFx kGu k0exp()exp()TFATGAdB0(1)1( )( )2TTkkTJxQxu Ru dkT( )exp () ( )exp ()( )kkkTxAkTx kAtBu k dt采样区段内，系统采样区段内，系统状态应连续变化状态应连续变化 11( )exp()( )exp()( )0FAGABu k d其中：其中：1. 采样系统最优调节器问题采样系统最优调节器问题通过简化处理，得到通过简化处理，得到36101( ) ( ) ( )2( )( ) ( )( ) ( ) ( )2TTTkJxk Q T x kxk M T u kuk R T u k00( )( )( )exp()exp()FQFAQATTTTQ Tdd11000( )( )exp()exp()FQGAQTTTTM TdAdd0( )( )( )GQGRTTR Td11110000exp()exp()BAQABRTTTTdddd其中，各等价加权矩阵为：其中，各等价加权矩阵为： 该最优控制问题可通过该最优控制问题可通过MATLAB中的最优控制工具箱求解。中的最优控制工具