反常积分敛散性的判别

1、中南财经政法大学数学分析数学分析2 无穷积分的性质及收敛判别一、无穷积分的性质 本节讨论无穷积分的性质, 并用这些性质得到无穷积分的收敛判别法.二、非负函数无穷积分的收敛判别法三、一般函数无穷积分的收敛判别法 ( )daf xx收敛的充要条件是收敛的充要条件是: :0,Ga 1221( )d( )d( )d.uuuaauf xxf xxf xx 一、无穷积分的性质12,u uG当当时时证证( )( )d , ,),( )duaaF uf xx uaf xx设设则则lim( ) .uF u收收敛敛的的充充要要条条件件是是存存在在极极限限由由函函数数极限的柯西准则极限的柯西准则, ,此等价于此等价

2、于(无穷积分收敛的柯西准则无穷积分收敛的柯西准则) )无穷无穷积分积分 定理定理11.111.112120,()(),Gau uGF uF u1221( )d( )d( )d.uuuauaf xxf xxf xx 性质性质11212( )d( )d,aafxxfxxkk 若若与与都都收收敛敛为任意常数为任意常数, ,则则 1122( )( ) dak fxk fxx即即根据反常积分定义根据反常积分定义, ,容易导出以下性质容易导出以下性质1 和性质和性质2. . ,也也收收敛敛 且且1122( )( ) dak fxk fxx( )d( )d(),abf xxf xxba 与与( )d( )d

3、( )d .baabf xxf xxf xx 同同时时收收敛敛或或同同时时发发散散，且且性质性质2 , fa u若若在在任任何何有有限限区区间间上上可可积积, ,则则1122( )d( )d .aakfxxkfxx h(x) 在任意在任意 a, u上可积上可积, 且且( )d( )daaf xxg xx和和( )d.ah xx都都收收敛敛, ,则则收收敛敛证证 因为因为( )d( )daaf xxg xx和和收敛收敛, ,由柯西准则的必要性由柯西准则的必要性,120,GauuG 例例1 1),),()()( axxgxhxf, f (x), g (x),若若1221( )d,( )d,uuuu

4、f xxg xx222111( )d( )d( )d,uuuuuug xxh xxg xx 再由柯西准则的充分性再由柯西准则的充分性,( )d.ah xx证证得得收收敛敛即即21( )d.uuh xx ( )( )( ),f xh xg x又又因因为为所所以以 ,),( )d.uauaf xxM二、非负函数无穷积分的收敛判别法lim( ).uF u条条件件是是存存在在12( )0,f xuu由由于于当当时时，2121( )d( )d( )d0,uuuaauf xxf xxf xx定理定理11.2( (非负函数无穷积分的判别法非负函数无穷积分的判别法) ) 设定义在设定义在 上的非负函数上的非负

5、函数 f 在任何在任何 ,)a , ,a u 上上可可积积 则则( )daf xx收敛的充要条件是收敛的充要条件是: :0,M使使证证( )( )d ,uaF uf xx( )daf xx则则收收敛敛的的充充要要设设 ,),( )d.uauaf xxM有有( )( ), ,),f xg xxG非负函数非负函数 f , g 在任何有限区在任何有限区间间 a, u 上可积上可积, , 且且定理定理11.3 (比较判别法比较判别法) ) 设定义在设定义在 上的两个上的两个 ,)a 增增函数的收敛判别准则函数的收敛判别准则, lim( )uF u存存在在的的充充要要条条从而从而 F (u) 是单调递增

6、的是单调递增的( ,).ua由单调递由单调递( ) ,)F ua 件件是是在在上上有有界界, ,0,M即即使使存在存在 满足满足,Ga证证 ( )dag xx若若收收敛敛, ,0, ,),Mua则则( )d.uag xxM( )d( )d.uuaaf xxg xxM因因此此由非负函数无穷积分的判别法由非负函数无穷积分的判别法,( )daf xx收收敛敛. .( )d,( )daaf xxg xx 当当发发散散时时亦亦发发散散. .( )d,( )daag xxf xx 则则当当收收敛敛时时亦亦收收敛敛; ;第二个结论是第一个结论的逆否命题第二个结论是第一个结论的逆否命题, ,因此也成立因此也成

7、立. . 516d1xx收收敛敛. .例例2 判别判别516d1xx 的收敛性的收敛性.22( )d( )daafxxgxx明明: :若若和和收收敛敛, ,则则( ) ( )d.af x g xx收收敛敛解解6 51dxx由由于于收收敛敛, ,因因此此6 56511.1xx显然显然设设 f (x), g(x) 是是 上的非负连续函数上的非负连续函数. 证证 ,)a 例例3 3 2222( )( )11d( )d( )d222aaafxgxxfxxgxx( ) ( )d.af x g xx收收敛敛, ,因因此此收收敛敛推论推论1 1 设非负函数设非负函数 f 和和 g 在任何在任何 a,u 上可

8、积上可积, 且且( )lim.( )xf xcg x) i (0( )d( )daacf xxg xx若若， 则则与与收收敛敛性性相相同同; ;证证22( )( )( ) ( ),2fxgxf x g x而而由于由于 (ii)0,( )d( )daacg xxf xx若若则则由由收收敛敛可可得得收收敛敛; ;(iii),( )d( )daacg xxf xx 若若则则由由发发散散可可得得发发散散. .证证 ( )(i)lim0,( )xf xcGaxGg x由由故故存存在在使使有有( ),( )2f xccg x即即 3( )( )( ).22ccg xf xg x( )d,( )d2aacf

9、 xxg xx若若收收敛敛 则则可可得得收收敛敛, ,从从而而( )d( )d,aag xxg xx收收敛敛. .反反之之, ,若若收收敛敛 可可得得3( )d( )d.2aacg xxf xx收收敛敛, ,从从而而收收敛敛( )(ii)lim0,( )xf xGaxGg x由由存存在在使使有有( )( ), ,),( )daf xg xxGg xx即即因因此此由由收收敛敛( )d.af xx可可推推得得收收敛敛( )1,( )f xg x( )(iii)lim,( )xf xGaxGg x由存在使有由存在使有 ( )( ), ,),( )daf xg xxGg xx即即因因此此由由发发散散(

10、 )d.af xx可可推推得得发发散散1(i)( )(1),( )dpaf xpf xxx若若则则收收敛敛; ;推论推论2 设设 f 是定义在是定义在 上的非负函数上的非负函数, 在任何在任何 ,)a , a u有有限限区区间间上上可可积积. .( )1,( )f xg x) i (1, 0,( )dapf xx 当当时时收收敛敛; ;)ii(1, 0,( )d.apf xx 当当时时发发散散lim( ),pxx f x 若若则则限区间限区间 a, u 上可积上可积.推论推论3设设 f 是定义在是定义在 上的非负函数上的非负函数,在任何有在任何有 ,)a 1(ii)( )(1),( )d.pa

11、f xpf xxx若若则则发发散散说明说明: : 推论推论3 3是推论是推论2 2的极限形式，读者应不难写的极限形式，读者应不难写出出它的证明它的证明. .例例4 讨论讨论1lndkpxxx的收敛性的收敛性 ( k 0 ).解解 (i),1时时p12lnlimpkpxxxx12lnlim0.pkxxx 1lnd.kpxxx因因此此由由推推论论3 3知知道道收收敛敛)ii(1ln1, limlimln.kpkpxxxpxxxx 时时1lnd.kpxxx因因此此同同理理知知道道发发散散若无穷积分若无穷积分( ) d,( )daaf xxf xx收收敛敛 则则称称以下定理可用来判别一般函数无穷积分的

12、收敛性以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性. 三、一般函数无穷积分的判别法何何有限区间有限区间 a, u上可积上可积,( ) d, af xx且且收收敛敛 则则( )daf xx 亦必收敛,并且亦必收敛,并且( )d( ) d .aaf xxf xx定理定理11.411.4 ( (绝对收敛的无穷积分必收敛绝对收敛的无穷积分必收敛) )若若 f 在任在任绝绝对对收收敛敛. .210,GauuG 当当时时21( ) d,uuf xx 因此因此2211( )d( ) d.uuuuf xxf xx 再由柯西准则的充分性再由柯西准则的充分性, ( )daf xx推推知知收收敛敛. .( )dlim

13、( )d( ) d .uaaauf xxf xxf xx又对任意又对任意 ( )d( ) d ,uuaaf xxf xx于于是是,ua证证( ) d,af xx收收敛敛由柯西准则的必要性由柯西准则的必要性, 对对因因1sind()xxx ax因因此此绝绝对对收收敛敛. .收敛的无穷积分收敛的无穷积分( )daf xx不一定是绝对收敛的不一定是绝对收敛的.( )d|( )|d,aaf xxf xx若若收收敛敛而而发发散散 则则称称( )daf xx条条件件收收敛敛. .例例51sind(0)()xxax ax的收敛性的收敛性.判别判别解解sin1,()xx axx x而而3 211dxx收收敛敛

14、, ,由于由于瑕积分的性质与收敛判别, 与无穷积3 瑕积分的性质与收敛判别内容大都是罗列出一些基本结论, 并举 分的性质与收敛判别相类似. 因此本节 例加以应用, 而不再进行重复论证.定理定理11.7 （瑕积分收敛的柯西准则）（瑕积分收敛的柯西准则）2121( )d( )d( )d.bbuuuuf xxf xxf xx ( )d ()baf xxa瑕瑕积积分分瑕瑕点点为为收收敛敛的的充充要要条条件件是是证证( )( )d ,( , ),( )dbbuaF uf xx ua bf xx设设则则lim( ).uaF u收收敛敛的的充充要要条条件件是是存存在在 由由函函数数收收敛敛的的1212,(

15、,)()(),u ua aF uF u，120,0,( ,)u ua a任任给给存存在在当当时时，柯西准则，此等价于柯西准则，此等价于0,0,2121( )d( )d( )d.bbuuuuf xxf xxf xx 即即性质性质11212,ffxa kk设设函函数数与与的的瑕瑕点点同同为为1122( )( )d,bak fxk fxx也也收收敛敛 且且12,( )d( )d,bbaafxxfxx为为任任意意常常数数 若若和和都都收收敛敛 则则1122( )( )dbak fxk fxx1122( )d( )d .bbaakf xxkf xx性质性质2 ,( , ),fxaca b设设函函数数的的

16、瑕瑕点点若若则则( )d( )d,bcaaf xxf xx与与同同时时收收敛敛或或同同时时发发散散 且且( )d( )d( )d .bcbaacf xxf xxf xx性质性质3,( , fxa fa b设设函函数数的的瑕瑕点点为为在在的的任任一一,(),( ) d,bau buaf xx闭闭区区间间上上可可积积 则则收收敛敛时时( )d,( )d( ) d .bbbaaaf xxf xxf xx也也收收敛敛 且且定理定理11.8 (非负函数瑕积分的判别法非负函数瑕积分的判别法)( , ( ),a bf x若若定定义义在在上上的的非非负负函函数数在在任任意意闭闭区区间间 , (),( )dba

17、u buaf xx上上可可积积 则则收收敛敛的的充充要要条条件件( , ,( )d.buMua bf xxM是是: :存存在在，对对任任意意定理定理11.9 (比较法则比较法则)( , ,a bfg设设定定义义在在上上的的两两个个非非负负函函数数与与瑕瑕点点同同, , ( , xau ba b为为在在任任何何上上都都可可积积, ,且且满满足足( )( ),( , .f xg xxa b( )d,( )d;bbaag xxf xx则则当当收收敛敛时时必必定定收收敛敛( )d,( )d.bbaaf xxg xx发发散散时时必必定定发发散散 , ()fgu baub若若非非负负函函数数和和在在任任何

18、何推论推论1 则则且且上上可可积积,lim,cxgxfax (i) 0( )d( )d;bbaacf xxg xx 时时，与与收收敛敛性性相相同同(ii)0( )d( )d;bbaacg xxf xx时时，收收敛敛可可推推得得收收敛敛(iii)( )d( )d.bbaacf xxg xx 时时，发发散散可可推推得得发发散散 , ( , u ba b在在任任何何上上可可积积. .则则有有1(i)( ),01,( )d()bpaf xpf xxxa当当时时收收敛敛; ;1(ii)( ),1,( )d.()bpaf xpf xxxa当当时时发发散散推论推论2( , ,fa ba设设非非负负函函数数定

19、定义义在在上上为为瑕瑕点点 且且推论推论3( , ,fa ba设设非非负负函函数数定定义义于于为为瑕瑕点点 且且在在任任 , ( , lim()( ),pxau ba bxaf x 何何上上可可积积. .若若则则(i)01,0( )dbapf xx 当当时时，收收敛敛; ;(ii)1,0( )d.bapf xx 当当时时，发发散散 sin tan arcsin arctanxxxxx利用利用可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性. ln(1) e1 (0),xxx例例12313sind.1lnxxxx判判别别瑕瑕积积分分的的收收敛敛性性1,x 解解 瑕瑕点点为为1

20、 321 333sin1sin.ln(1)(1)ln(11)1xxxxxxxx由于由于21 33sinsin10(1),(1)3xxxx而而1 31 34 3111,(1)ln(11)(1)(1)(1)xxxxx224 33311dsind.(1)1lnxxxxxx因因此此由由发发散散知知发发散散例例210lnd.xxx判判别别瑕瑕积积分分的的收收敛敛性性解解0ln0(0,1).xxx是是瑕瑕点点, ,由由于于3/ 41 400lnlimlimln0,xxxxxxx 1100lnln3dd.xxxxxx因因此此由由推推论论 知知收收即即, ,收收敛敛敛敛10( )d1axaxx 的的收收敛敛性

21、性. .11101( )dd11aaxxaxxxx (i)( ).10,1;I aaa先讨论当即时它是定积分先讨论当即时它是定积分讨论反常积分讨论反常积分例例3( )a 把把反反常常积积分分写写成成解解( )( ).I aJ a110lim1,1aaxxxx10.ax当时它是瑕积分,瑕点为由于当时它是瑕积分,瑕点为由于11.9011,pa因因此此由由定定理理的的推推论论 3,3,当当即即, ( )I a时时发发散散. .(ii)( ),J a再再讨讨论论它它是是无无穷穷积积分分. .由由于于0,( )11,0aI apaa时时 瑕瑕积积分分收收敛敛; ;当当即即12limlim1,11aaxx

22、xxxxx11.3321,1paa因因此此由由定定理理的的推推论论 , ,当当即即aa 00 a 1a 1I (a)发散发散收敛收敛定积分定积分J (a)收敛收敛收敛收敛发散发散 (a)发散发散收敛收敛发散发散1, ( ),:J a 时时发发散散. .综综上上所所述述 总总结结如如下下1, ( );21,1J apaa 且且时时收收敛敛 而而当当即即且且( )01.aa 所所以以, ,只只有有当当时时才才是是收收敛敛的的*一般函数的无穷积分的狄利克雷一般函数的无穷积分的狄利克雷判判定理定理11.5( (狄利克雷判别法）狄利克雷判别法）( )( )duaF uf xx若若0( ) ( )d.af

23、 x g xx单单调调趋趋于于 ，则则收收敛敛 ,)( ) ,)ag xax 在在上上有有界界，在在上上当当时时lim( )0,xg x ,),( )d.0,uauaf xxM 设设由由于于证证,( ).4Ga xGg xM 存存在在时时故故别法和阿贝尔判别法判别其收敛性别法和阿贝尔判别法判别其收敛性. .,g因因为为单单调调函函数数 由由积积分分第第二二中中值值定定理理 对对任任意意的的221112( ) ( )d()( )d()( )d ,uuuuf x g xxg uf xxg uf xx 22.44MMMM 22()( )d( )duaag uf xxf xx 11()( )d( )d

24、uaag uf xxf xx 2112()( )d()( )duug uf xxg uf xx 21( ) ( )duuf x g xx2112,uuGu u 使得使得于于是是因此因此, 由柯西准则，由柯西准则，( ) ( )d.af x g xx收收敛敛 ,)( ) ( )d.aaf x g xx在在上上单单调调有有界界，则则收收敛敛证证 证法证法1( ), ,),g xM xa设设由由于于( )d,af xx收收敛敛210,GauuG 则则当当21( )d.4uuf xxM 定理定理11.6 (阿贝尔判别法阿贝尔判别法)( )d, ( )afxxg x若若收收敛敛由由 g 的单调性的单调性

25、, ,用积分第二中值定理，对于任意的用积分第二中值定理，对于任意的 2112,uuGu u 使得使得 21duuf x g xx2112()( )d()( )d .uug uf xxg uf xx 21( ) ( )duuf x g xx2112()( )d()( )duug uf xxg uf xx .442MMMM由柯西准则由柯西准则,( ) ( )d.af x g xx收收敛敛证法证法2( ) ,),g xaA因因在在上上单单调调有有界界 故故存存在在使使lim( ).xg xA11( )( ),( ) ,)0.g xg xAg xa令令则则在在上上单单调调趋趋于于因因此此( )d,( )( )duaaf xxF uf xx又又因因收收敛敛 故故在在 ,),a 上上有有界界由狄利克雷判别法由狄利克雷判别法1( )( )daf x g xx( ) ( )daf x g xx1( )( )d( )d.aaf x g xxAf xx收收敛敛例例611sincosdd (0)ppxxxx pxx讨讨论论与