数字信号处理第3章 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法)

1、第第3 3章章 无限长单位脉冲无限长单位脉冲响应（响应（IIR）滤波器设计滤波器设计 3.1 根据模拟滤波器设计根据模拟滤波器设计IIR滤波器滤波器3.2 常用模拟低通滤波器特性常用模拟低通滤波器特性3.3 从模拟滤波器低通原型到各种数字从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换滤波器的频率变换3.4 从低通数字滤波器到各种数字滤波从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换器的频率变换3.5 IIR数字滤波器的最优化设计方法数字滤波器的最优化设计方法概述概述: 许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理测等都

2、要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。的重要基础。 数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。计算机软件。 数字滤波器数字滤波器线性时不变系统。线性时不变系统。iiaibicid确定系数确定系数 、 或零极点或零极点 、 ，以使滤波器，以使滤波器满足给定的性能要求满足给定的

3、性能要求第三章、四章讨论第三章、四章讨论 3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包括括 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频率采样型以及快速卷积（率采样型以及快速卷积（FFT）型等）型等; 选择合适的字长和有效数字的处理方法等选择合适的字长和有效数字的处理方法等(第五第五章章)。 数字滤波器的设计步骤：数字滤波器的设计步骤：1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。）按照实际需要确定滤波器的性能要求。2）用一个因果稳定系统的）用一个因果稳定系统的 H(z) 或或 h(n) 去逼近这个去逼近这个性能要求

4、，即求性能要求，即求 h(n) 的表达式。的表达式。数字滤波器性能指标（以低通为例）数字滤波器性能指标（以低通为例）11-12c0r通带过渡带阻带)(Hiwe图3.1 低通数字滤波器的幅频特性1)(H-11jwce时当11minmax1lg2011lg20lg20jjeHeH2)(H0jwre时当22maxlg201lg201lg20jeHAt通带波动通带波动最小阻带衰耗最小阻带衰耗之间：过渡带与：阻带边界频率：通带边界频率rcrcNiNiiiinybinxany01)()()(数字滤波器的数学描述：数字滤波器的数学描述：1)差分方程差分方程NMzdzcAzbzaZHNiiMiiNiiiMii

5、i一般111110)1 ()1 (1)(2)系统函数系统函数分类分类: 递归系统递归系统 IIR 非递归系统非递归系统 FIR 高通高通 低通低通 带通带通 带阻带阻设计方法：设计方法： 1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成 满足预定指标的数字滤波器。满足预定指标的数字滤波器。 由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟 模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设计起模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设计起来来 方便、准确、可将这些理论推广到数字域，作方便、准确、可将这些理论推广到数字域，作为为 设计数字滤波器的工具。设

6、计数字滤波器的工具。2）最优化设计方法）最优化设计方法分两步：分两步： a) 确定一种最优准则，如最小均方误差准则确定一种最优准则，如最小均方误差准则，即使设计出的实际频率响应的幅度特性，即使设计出的实际频率响应的幅度特性 （与所要求的理想频率响应（与所要求的理想频率响应 的均方误的均方误差最小，差最小，| )(|jeH| )(|jdeHmin)()(21MijdjiieHeHiaibiaib此外还有其他多种误差最小准则，此外还有其他多种误差最小准则， b) 在此最佳准则下，求滤波的系数在此最佳准则下，求滤波的系数 和和 通过不断地迭代运算，改变通过不断地迭代运算，改变 、 ，直到，直到 满足

7、要求为止。满足要求为止。 以上两种设计方法中，以上两种设计方法中，着重讲第一种，着重讲第一种，因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务与模拟滤波器相同，如作低通、高通、带通与模拟滤波器相同，如作低通、高通、带通及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是“模仿模仿”模拟滤波器。在模拟滤波器。在IIR滤波器设计中，滤波器设计中，采用这种设计方法目前最普遍。由于计算机采用这种设计方法目前最普遍。由于计算机技术的发展，最优化设计方法的使用也逐渐技术的发展，最优化设计方法的使用也逐渐增多。增多。 3.1 3.1 根据模拟滤波器设计根据模拟

8、滤波器设计IIRIIR滤波器滤波器从从已知的模拟滤波器传递函数已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波设计数字滤波器传递函数器传递函数H(z)，这归根到底是一个由这归根到底是一个由S平面到平面到Z平平面的变换，这种映射变换应遵循两个基本原则：面的变换，这种映射变换应遵循两个基本原则：1）H（z）的）的频响频响要能模仿要能模仿Ha(s)的频响，的频响， S平面的虚轴平面的虚轴 Z平面的单位圆平面的单位圆 上。上。 2）Ha(s) 的的因果稳定性因果稳定性映射成映射成 H（z）后）后保持不变保持不变 S平面的左半平面平面的左半平面 ReS0 Z平面的单位平面的单位 圆以内圆以内|Z|1。je

9、3.1.1 脉冲响应不变法脉冲响应不变法脉冲响应不变法是脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发从滤波器的脉冲响应出发，模拟滤波器的冲激响应模拟滤波器的冲激响应h ha a(t)(t) 数字滤波器的数字滤波器的单位脉冲响应序列单位脉冲响应序列h(n)h(n)即即 h(n)=ha(nT), T为采样周期。为采样周期。 如以如以 Ha(s) 及及 H（z）分别表示分别表示 ha(t) 的拉氏变换及的拉氏变换及 h(n) 的的 Z 变换，即变换，即 模拟：模拟：H Ha a(s)=Lh(s)=Lha a(t) , (t) , 数字：数字：H(z)=Zh(n)H(z)=Zh(n) 采样计算计算 H(Z)

10、 :脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达系统函数，模拟脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达系统函数，模拟滤波器的系统函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶滤波器的系统函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数数 NM，则可表达为部分分式形式；，则可表达为部分分式形式； 其拉氏反变换为：其拉氏反变换为： 单位阶跃单位阶跃 对对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列 NiiiassAsH1)(NitsiatutueAthi1)(),()(NiNinTsinTsianueAnueAnThnhii11)()()()()(再对h(n)取Z变换，得到数

11、字滤波器的传递函数： 第二个求和为等比级数之和，要收敛的话， 必有 所以有01011)()(nNinnTsNiinnTsizeAzeAzHiikTskTszezeii111)(1, 0)(1kkTszeiNiTsizeAzHi111)(NiTsizeAzHi111)(NiiiassAsH1)(结论：结论：所以由模拟滤波器：可得到数字滤波器：此时，数字滤波器的单位脉冲响应序列此时，数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)h(n)为为模拟滤波器的冲激响应模拟滤波器的冲激响应h ha a(t)(t)的采样。的采样。 理想采样理想采样 的拉氏变换的拉氏变换 与采样序列与采样序列 的的 Z 变换变换 之间存

12、在的之间存在的 S 平面与平面与 Z 平面的平面的 映射关系。映射关系。根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系maamTjsHTsH21)()(tha)(sHa)(tha)(tha)(sHa)(sHa)(nh)(zH 理想采样理想采样 的拉氏变换的拉氏变换 与模拟信号与模拟信号 的拉氏变换的拉氏变换 之间的关系。之间的关系。 nnsTnststnenThdtenTtthdtenTtthsH)()()( )()()(aaaannsTenh)(nnznhzH)()(sTez s平面与z平面的映射关系 以上表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器

13、变换以上表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，映射关系：为数字滤波器时，映射关系： 首先对首先对H Ha a(s)(s)作周期延拓，然后再经过作周期延拓，然后再经过 的映射关系映射到的映射关系映射到 Z Z 平面上。平面上。Tsez 映射关系映射关系 ： sTez jsrezj,令TjTTjjeeere则TerT,则稳定性分析：稳定性分析： 如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点 Si 都都在在S左半平左半平 面，即面，即 0 , 数字滤波器是否稳定？数字滤波器是否稳定？分析： 变换后H(z)的极点为 所以极点都在单位圆以内，因此数字滤波器保数字

14、滤波器保持稳定。持稳定。Tsiiez 1|TTsieezijsrezj,令TreeeezjwTjTsT,则jsrezj,令TreeeezjwTjTsT,则频响：频响： S平面的虚轴 是否是否 ？ Z平面的单位圆 上 分析：分析： S平平 面的虚轴，即面的虚轴，即 =0 , 映射到Z平面成立 jejwsTeez S平面上每一条宽为平面上每一条宽为 的横带部分，都将的横带部分，都将重叠地映射到重叠地映射到Z平面的整个平面上。平面的整个平面上。 T2jsrezj,令TerT,则,平面对应平面ZTTS结论：结论： 每一横带的左半部分映射到每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以平面单位圆以内，每一横带的

15、右半部分映射到内，每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以平面单位圆以外，虚轴映射到单位圆上，虚轴上每一段外，虚轴映射到单位圆上，虚轴上每一段 ,都对应于绕单位圆一周。都对应于绕单位圆一周。T2j0TT3T3T)Im( zj)Re( z0S 平面Z 平面: 混迭：混迭： 数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓：频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓：TmjjHTeHamj21 mezmTjsHTsHzHST21)(aa 正如第一章的采样定律中所讨论的，如果正如第一章的采样定律中所讨论的，如果模拟滤波器的频响带限于折叠

16、频率模拟滤波器的频响带限于折叠频率S/2 以内，以内，即即 20)(sajH 这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响（存在于折叠频率拟滤波器的频响（存在于折叠频率S/2以内）以内）结论：结论： 由于混叠效应，脉冲响应不变法只适用于带限由于混叠效应，脉冲响应不变法只适用于带限的模拟滤波器，即的模拟滤波器，即低通和带通滤波器低通和带通滤波器，而高通和，而高通和带阻滤波器不宜使用脉冲响应不变法。带阻滤波器不宜使用脉冲响应不变法。 但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，因此不可避免地存在频谱

17、的交叠，是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。到良好的效果。 )(jeH)(TjHa00脉冲响应不变法中的频响混淆例例1 将一个具有如下系统函数将一个具有如下系统函数 的模拟滤波器数字化。的模拟滤波器数字化。 解：解： 3111

18、) 3)(1(2)(sssssHTTezezzH3111111)(243131)(1)(zeeezeezTTTTT3111) 3)(1(2)(sssssHTTezezzH3111111)(243131)(1)(zeeezeezTTTTT tueethtta3 nTtathnhnTueenTnT3 nuenuenTnT3模拟滤波器的频率响应为模拟滤波器的频率响应为:4)3(2) 3)(1(2)()(2jjjsHjHjsa数字滤波器的频率响应为数字滤波器的频率响应为: 显然显然 与采样间隔与采样间隔T有关有关,如图如图b,T越小越小,衰减越大衰减越大,混叠越小混叠越小,当当 fs=24Hz ,混叠

19、可忽略不计混叠可忽略不计,为什为什么混迭呢么混迭呢? 2433)(1)()()(jTjTTjTTezjeeeeeeeezHeHj)(jeH小结小结 1) )脉冲响应不变法的一个重要特点是脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性频率坐标的变换是线性的的，与与是线性关系。是线性关系。 因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通过变因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通过变换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。 例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲

20、响应不变法得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。 2)在某些场合，要求数字滤波器在时域上能在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波模仿模拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响应不变法。应不变法。 TjHeHaj/)()( 3)如果如果Ha(s)是稳定的，即其极点在是稳定的，即其极点在S左半平面，映射后得到左半平面，映射后得到的的H(Z)也是稳定的。也是稳定的。 4)4)脉冲响应不变法的脉冲响应不变法的最大缺点最大缺点：有频谱周期延拓效应有频谱周期延拓效应，因，因此此只能用于带限

21、的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通，而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波器器, ,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于 的频带，再用脉的频带，再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响波器阶数，只有在一定要满足频

22、率线性关系或保持网络瞬态响应时才采用应时才采用。 2s3.1.2 双线性变换法双线性变换法 脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从这是从S平面到平面到Z平面的标准变换平面的标准变换zesT的多值对应关系的多值对应关系导致的导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步：为了克服这一缺点，设想变换分为两步： 第一步：将整个第一步：将整个S平面压缩到平面压缩到S1平面的一条横带里；平面的一条横带里； 第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平平 面上去。面上去。 由此建立由此建立S平面与平面与Z平

23、面一一对应的单值关系，消除多平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。值性，也就消除了混淆现象。s平面平面s1平面平面z平面平面双线性变换法的映射关系双线性变换法的映射关系第一步：将整个第一步：将整个S平面压缩到平面压缩到S1平面的一平面的一条横带里条横带里 S平面的平面的j轴轴 S1平面平面j1轴上的轴上的-/T到到/T 一段上，一段上， 压缩到)2tan(1Tc可通过以下的正切变换实现：可通过以下的正切变换实现： 经过这样的频率变换，经过这样的频率变换， 当当由由 时时, 1由由-/T经过变化到经过变化到/T ，即，即S平面的整个平面的整个j轴被压缩轴被压缩到到S1平面的平面

24、的2/T 一段一段。0通常取通常取C=2/T,TsTseecTscs1111)2(th1zzTsTsez1再将再将 S1 平面通过标准变换关系映射到平面通过标准变换关系映射到Z平面，即令平面，即令将这一关系解析扩展至整个将这一关系解析扩展至整个S平面，则得到平面，则得到S平面到平面到S1平面的映射关系：平面的映射关系：第二步：将整个第二步：将整个S平面压缩到平面压缩到S1平面的一条横带里平面的一条横带里)2tan(2TzzTs考虑考虑z = ej, jjTjTeeTsjj)2tan(22cos)2/sin(2112最后得最后得S平面与平面与Z平面的单值映射关系：平面的单值映射关系： 双线性换法

25、的主要优点是双线性换法的主要优点是S平面与平面与Z平面一一单值对应，平面一一单值对应，S平面的虚轴平面的虚轴(整个整个j)对应于对应于Z平面平面 单位圆的一周，单位圆的一周，S平面的平面的=0处对应于处对应于Z平面的平面的=0处，对应即数字滤波器的频率响应处，对应即数字滤波器的频率响应终终 止于折叠频率处，所以双线性变换不存在混迭效应止于折叠频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。zzTssTsTz2121 现在我们看看，这一变换是否符合我们一开始提现在我们看看，这一变换是否符合我们一开始提出的由模拟滤波器设计数字滤波器时，从出的由模拟滤波器设计数字滤波器时，从 S平面到平面到Z平面映射变换的基

26、本要求：平面映射变换的基本要求： 2222221221|,221221 TTTTzTjTTjTz1| ,0z时1| ,0z时1| ,0z时 即即s s左半平面映射在单位圆内，左半平面映射在单位圆内，s s右半平面映射在单位圆外，右半平面映射在单位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是稳定的。如图器也是稳定的。如图 图图 双线性变换的频率非线性关系双线性变换的频率非线性关系 小结小结 1) 与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主要优点：与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主要优点：S平平 面与面与Z平面是单值的一一对应

27、关系（靠频率的严重非线性关系平面是单值的一一对应关系（靠频率的严重非线性关系得到的），即整个得到的），即整个j轴单值的对应于单位圆一周，关系式为：轴单值的对应于单位圆一周，关系式为： 可见，可见，和和为非线性关系，如图为非线性关系，如图2。22tgT 图图 双线性变换的频率非线性关系双线性变换的频率非线性关系 由图中看到，在零频率附近，由图中看到，在零频率附近，接近于线性关系，接近于线性关系，进进一步增加时，一步增加时，增长变得缓慢，增长变得缓慢， (终止于折叠终止于折叠频率处频率处)，所以双线性变换不会出现由于高频部，所以双线性变换不会出现由于高频部 分超过折叠频率分超过折叠频率而混淆到低频

28、部分去的现象。而混淆到低频部分去的现象。,时 2)双线性变换缺点双线性变换缺点： 与与成非线性关系，导致：成非线性关系，导致： a. 数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅幅频响应有畸变频响应有畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变应与频率的对应关系上发生畸变)。 例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是直例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是直线关系，但通过双线性变换后，就不可能得到数线关系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器字微分器bkjHeHbkjHj2tan)()()(2tanb. 线性

29、相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非线性相位。数字滤波器为非线性相位。c.要求模拟滤波器的幅频响应必须是要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的分段恒定的，故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。阻等选频滤波器。 虽然双线性变换有这样的缺点，但它虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具。这是因为大多数滤波器都具有设计工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、高通、带分段常数的频响特性，如低

30、通、高通、带通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为近一个衰减为的常数特性，这种特性的的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。常数的特性。 例如，一个考尔型的模拟滤波器例如，一个考尔型的模拟滤波器Ha(s)Ha(s)，双线性变换后，得到的双线性变换后，得到的H(z)H(z)在通带与阻带内都在通带与阻带内都仍保持与原模拟滤波器相同的等起伏特性，只

31、仍保持与原模拟滤波器相同的等起伏特性，只是通带截止频率、过渡带的边缘频率，以及起是通带截止频率、过渡带的边缘频率，以及起伏的峰点、谷点频率等临界频率点发生了非线伏的峰点、谷点频率等临界频率点发生了非线性变化，即畸变。这种频率点的畸变可以通过性变化，即畸变。这种频率点的畸变可以通过预畸来加以校正。预畸来加以校正。预畸变：预畸变： 即将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，然后即将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，然后通过双线性变换后正好映射到所需要的频率上。通过双线性变换后正好映射到所需要的频率上。 利用关系式：利用关系式： 将所要设计的数字滤波器临界频率点将所要设计的数字滤波器临界频率点 ，变换成

32、对应，变换成对应的模拟域频率的模拟域频率 ，利用此，利用此 设计模拟滤波器，再通过设计模拟滤波器，再通过双线性变换，即可得到所需的数字滤波器，其临界频双线性变换，即可得到所需的数字滤波器，其临界频率正是率正是 。如图所示。如图所示。22iitgTiiii双线性变换时频率的预畸双线性变换时频率的预畸 )计算计算H(z) 双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。由于单。由于s与与z之间的简单代数关系，所以从模拟传递之间的简单代数关系，所以从模拟传递函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数。函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数。 置换过

33、程置换过程: 频响：频响：11112112)()(11zzTHsHzHazzTsa22)()(22tgTjHjHeHatgTaj 这些都比脉冲响应不变法的部分分式分这些都比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷得多，一般，当着眼于滤波器的解便捷得多，一般，当着眼于滤波器的时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变法时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好，而其他情况下，对于较好，而其他情况下，对于IIRIIR的设计，的设计，大多采用双线性变换。大多采用双线性变换。0)()(dtethjHtjaa0sincos)()(dttjtthjHaa)()(jHjHaa 模拟滤波器的设计就是根据一组设计规范模拟滤波器的设计

34、就是根据一组设计规范设计模设计模拟系统函数拟系统函数Ha(s)，使其逼近某个理想滤波器特性。，使其逼近某个理想滤波器特性。 因果系统中因果系统中式中式中ha(t)为系统的冲激响应，是实函数。为系统的冲激响应，是实函数。 不难看出不难看出3.2 常用模拟低通滤波器特性常用模拟低通滤波器特性定义振幅平方函数定义振幅平方函数 式中式中 Ha(s)模拟滤波器模拟滤波器 系统函数系统函数 Ha(j)滤波器的频率响应滤波器的频率响应 |Ha(j)|滤波器的幅频响应滤波器的幅频响应又又 S=j，2=-S2 A(2)=A(-S2)|S=j) 1 ()()()()()()()()()(222jsaaaaaaas

35、HsHjHjHAjHjHjHA问题：由已知的问题：由已知的A(-S2)Ha(S)？方法：方法：（1）对于给定的对于给定的A(-S2)，先在，先在S复平面上标出复平面上标出A(-S2) 的极点和零点的极点和零点，由，由(1)式知，式知，A(-S2)的极点和零点的极点和零点总是总是“成对出现成对出现”，且对称于，且对称于S平面的实轴和虚平面的实轴和虚轴，选用轴，选用A(-S2)的对称极、零点的任一半作为的对称极、零点的任一半作为Ha(s)的极、零点，则可得到的极、零点，则可得到Ha(s)。（2）为了保证）为了保证Ha(s)的稳定性，的稳定性，应选用应选用A(-S2)在在S左左半平面的极点作为半平面

36、的极点作为Ha(s)的极点的极点，零点可选用任一，零点可选用任一半。半。例例2 设已知设已知 ，求对应的，求对应的42212A sHa解：解：42221222ssAsAs sHsHaa sjIm sReO2221j21j21j21j 21212jsjsssH1222sss特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，特点：具有通带内最大平坦的振幅特性， 且随且随f ，幅频特性，幅频特性 单调单调 。NcajjjHA22211)()()(2AN为滤波器阶数为滤波器阶数其幅度平方函数（低通）：其幅度平方函数（低通）：三种模拟低通滤波器的设计：三种模拟低通滤波器的设计：3.2.1 巴特沃思巴特沃思(Butte

37、rworth)滤波器滤波器 (巴特沃兹逼近巴特沃兹逼近) 巴特沃思滤波器巴特沃思滤波器 振幅平方函数振幅平方函数图中，图中，N增加，通带和阻带的增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带越陡。近似性越好，过渡带越陡。n/c1时时, (/c)2N 1时时, (/c)2N 1, 增加增加A(2)快速减小。快速减小。n=c, ， , ,幅度衰减幅度衰减 ， 为为3dB衰减点衰减点。 21jH21)(2ANcajjjHA22211)()(幅度平方函数（低通）：幅度平方函数（低通）：2振幅振幅平方函数的极点：平方函数的极点：NcaajSSHSH2)(11)()()() 1(21cNPjSNkeeeScNkjc

38、jNkjP21)()(221222112 令分母为零，得令分母为零，得Butterworth滤波器滤波器 的振幅平方函数有的振幅平方函数有2N个极点，它们均匀对称地分布在个极点，它们均匀对称地分布在|S|=c的圆的圆周上。周上。三阶三阶A(-S2)的极点分布的极点分布 N=3时，时，考虑到系统的稳定性，知考虑到系统的稳定性，知AF的系统函数是由的系统函数是由S平面左半部分的极点（平面左半部分的极点（SP1，SP2，SP3）组成的，它们分别）组成的，它们分别为：为：3232321,jcpcpjcpeSSeS)()()(3213pppcaSSSSSSsH1221)(23SSSsHa1)/(2)/(

39、2)/(1)(23cccassssH系统函数为：系统函数为：1c令令 ，得归一化的三阶，得归一化的三阶BF：如果要还原的话，则有如果要还原的话，则有补充：确定除数补充：确定除数N及及c c1. 确定确定N(已知通带边频已知通带边频1、通带波动、通带波动、阻带边频阻带边频r、阻带最小衰耗、阻带最小衰耗At)NcjH21211lg101lg10NcrrjHAt221lg101lg10NcjHA221lg101lg101 . 021101NcAtNcr1 . 021011101 . 021Nc1101 . 02AtNcr1101101 . 01 . 021AtNr110110lglg21 . 01

40、. 01AtrN11 . 01 . 0lg110110lg21rAtN2. 确定确定c1101 . 021Nc1101 . 02AtNcrNc211 . 01110NAtrc211 . 0110若已知衰减为若已知衰减为3dB的频率点，此频率点即为的频率点，此频率点即为c3.2.2 切比雪夫（切比雪夫（chebyshev）滤波器）滤波器 (切比雪夫多项切比雪夫多项式逼近式逼近) 特点：误差值在规定的频段上等幅变化特点：误差值在规定的频段上等幅变化。 巴特沃兹巴特沃兹滤波器滤波器在通带内幅度特性是单调下降的在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止，如果阶次一定，则在靠近截止频率频率

41、 处，幅度下处，幅度下降很多，或者说，为了使通常内的衰减足够小，需要降很多，或者说，为了使通常内的衰减足够小，需要的阶次（的阶次（N）很高，为了克服这一缺点，采用切比雪）很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式逼近所希望的夫多项式逼近所希望的 。 切比雪夫切比雪夫滤波器滤波器的的 在通带范围内是等幅在通带范围内是等幅起伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹起伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹滤滤波器波器要小。可根据需要对通带内允许的衰减量（波动要小。可根据需要对通带内允许的衰减量（波动范围）提出要求，如要求波动范围小于范围）提出要求，如要求波动范围小于1db。 c2)( jH2)

42、( jH振幅平方函数为振幅平方函数为)(11)()(2222cNaVjHAc1)coshcosh(1)coscos()(11xxNxxNxVN)(, 11)(,1xVxxxVxNN时有效通带截止频率有效通带截止频率与通带波纹有关的参量，与通带波纹有关的参量， 大大 ，波纹大。，波纹大。 0 1 VN（x）N阶切比雪夫多项式，定义为阶切比雪夫多项式，定义为 如图如图1,通带内通带内 变化范围变化范围1 c，随，随/c ， 0 (迅速趋于零迅速趋于零)当当 =0时，时， N为偶数，为偶数， ，min ， N为奇数，为奇数， ， max，)2(cos11)0arccos(cos11)(22220NN

43、jHa22011)(jHa1)(02jHa1)2(cos2N0)2(cos2N2111c2a)( jH2a)( jH 切比雪夫滤波器的振幅平方特性切比雪夫滤波器的振幅平方特性 2min111lg20)(1lg20jHa)1lg(1021101 . 02)(dB221)(,AjHar时 给定通带波纹值分贝数给定通带波纹值分贝数 后，可求后，可求 。有关参数的确定有关参数的确定: a、通带截止频率、通带截止频率c ，预先给定，预先给定 b、通带波动为、通带波动为 c、阶数N由阻带的边界条件确定。（ 、A事先给定） 222111AVcrNr221)(,AjHar时crNarAarNxNarxVx/c

44、osh/1cosh)coshcosh()(,12得时22maxlg101lg10AjHAtaAtA1 . 0210crAtararNcosh110110cosh1 . 01 . 0 3、椭圆滤波器（考尔滤波器） 特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的，对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。 其振幅平方函数为RN（，L）雅可比椭圆函数L表示波纹性质的参量),(11)()(2222LRjHANa N=5， 的特性曲线 可见，在归一化通带内（-11）， 在（0，1）间振荡，而超过L后， 在 间振荡。这一特点使滤波器同时在通带和阻

45、带具有任意衰减量。 ),(25LR2L),(25LR),(25LR 下图为典型的椭园滤波器振幅平方函数 椭圆滤波器的振幅平方函数 图中和A的定义 同切比雪夫滤波器rr当c、r、和A确定后，阶次N的确定方法为：)1()()1()(1/212121kKkKkKkKNAkkrc确定参量确定参数2/1222/1210)1 ()1 ()(tktdtkK式中 为第一类完全椭圆积分 上面讨论了三种最常用的模拟低通滤波器的特性和设计方法，设计时按照指标要求，合理选用。 一般，相同指标下，椭圆滤波器阶次最低，切比雪夫次之，巴特沃兹最高，参数的灵敏度则恰恰相反。 以上讨论了由A（2 ）Ha (s),下面讨论由Ha

46、(s)H(Z)的变换设计法。3.3 从模拟滤波器低通原型到各种从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换（原型变换）数字滤波器的频率变换（原型变换）模拟原型模拟低通、高通带通、带阻数字低通、高通带通、带阻原型变换映射变换原型变换3.3.1 低通变换低通变换 通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤：通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤：1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率 k。2）由变换关系将）由变换关系将k映射到模拟域，得出模拟滤波映射到模拟域，得出模拟滤波 器的临界频率值器的临界频率值k。3）根据）根据k设计模拟滤波器的设计模拟滤波器的Ha

47、(s)4） 把把Ha(s) 变换成变换成H(z)（数字滤波器系统函数）（数字滤波器系统函数）3212211)(ssssHa解：解：例例3 设采样周期设采样周期 ，用脉冲响应不变，用脉冲响应不变法设计一个三阶巴特沃兹低通滤波器法设计一个三阶巴特沃兹低通滤波器,其其3dB边界频边界频率率 。)4(250khzfsTskHzfc1Tfcc2610250100025 . 02000Tcc数字滤波器的边界频率为：数字滤波器的边界频率为：模拟滤波器的边界频率为：模拟滤波器的边界频率为：归一化模拟滤波器的系统函数为：归一化模拟滤波器的系统函数为：(1)脉冲响应不变法脉冲响应不变法32)/()/( 2)/(

48、211)(cccassssH得模拟滤波器的系统函数为：得模拟滤波器的系统函数为：2313231366jsejsescjccjccc得数字滤波器的系统函数为：得数字滤波器的系统函数为： 1231612316113131zeezeezezHjjcjjccccc 1231612316113131zeeTzeeTzeTzHjjcjjccccc12316123161131311zeezeezeTjjcjjccccc21212123cos21623cos26cos2311zezezezeTcccccccc21112079. 01905. 015541. 05708. 12079. 015708. 11zz

49、zzT 可见，可见，H(z)与采样周期与采样周期T有关，有关，T越小，越小， H(z)的相对增益越大。为此，实际应用脉冲的相对增益越大。为此，实际应用脉冲 响应不变法时稍作一点修改，即响应不变法时稍作一点修改，即求出求出H(z)后后 再乘以因子再乘以因子T,使使H(z)只与只与 有关，即只与有关，即只与 fc和和fs的相对值的相对值 有关，而与采样频率有关，而与采样频率fs无直无直 接关系。接关系。 例如，例如， 与与 的数字滤波器具有相同的传递函数，这一结的数字滤波器具有相同的传递函数，这一结 论适合于所有的数字滤波器设计。论适合于所有的数字滤波器设计。 最后得：最后得：scff /2111

50、2079. 01905. 015541. 0571. 12079. 01571. 1)(zzzzZHCKHzfKHzfcs10,40KHzfKHzfcs1,43212211)(ssssHa解：解：例例4 设采样周期设采样周期 ，用双线性变换法，用双线性变换法设计一个三阶巴特沃兹低通滤波器设计一个三阶巴特沃兹低通滤波器,其其3dB边界频边界频率率 。)4(250khzfsTskHzfc1Tfcc2610250100025 . 0TTcc22tan2数字滤波器的边界频率为：数字滤波器的边界频率为：模拟滤波器的边界频率为：模拟滤波器的边界频率为：归一化模拟滤波器的系统函数为：归一化模拟滤波器的系统函

51、数为：(2)双线性变换法双线性变换法32)2/()2/( 2)2/( 211)(TsTsTssHa得模拟滤波器的系统函数为：得模拟滤波器的系统函数为：得数字滤波器的系统函数为：得数字滤波器的系统函数为： 11112zzTsasHzH311211111111211211zzzzzz2313121zz 图1 三阶Butterworth 数字滤波器的频响脉冲响应不变法双线性变换法fs/2我们也可以用我们也可以用MATLAB完成设计，在完成设计，在MATLAB中相关中相关的语句有的语句有butter（巴特沃兹滤波器）、（巴特沃兹滤波器）、impinvar（脉冲响（脉冲响应不变法）、应不变法）、bili

52、near（双线性变换），具体的程序如下：（双线性变换），具体的程序如下：B,A=butter(3,2*pi*1000,s);%巴特沃斯巴特沃斯3阶阶AF num1,den1=impinvar(B,A,4000);%Impulse invariance h1,w=freqz(num1,den1); B,A=butter(3,2/0.00025,s); num2,den2=bilinear(B,A,4000);%双线性变换法双线性变换法 h2,w=freqz(num2,den2); f=w/pi*2000; plot(f,abs(h1),-.,f,abs(h2),-); grid; xlabel(

53、频率频率/Hz ) ylabel(幅值幅值)020040060080010001200140016001800200000.10.20.30.40.50.60.70.80.91频 率 / Hz幅值频率/Hz三阶巴特沃兹滤波器的频率响应幅度/dBB,A=butter(N,Wn)设计一个设计一个N阶低通巴特沃斯数字滤波器阶低通巴特沃斯数字滤波器(双线性变换法双线性变换法)，Wn截止频率，截止频率，0Wn HP 。b. 高通变换高通变换jjjeee1,00LP-HP变换把变换把在上述在上述LP-LP 变换中，将变换中，将 Z代以代以Z , 得得 LP - HP变换关系：变换关系：1111111zzz

54、zu 原型低通的截止频率原型低通的截止频率 对应于高通的边界频对应于高通的边界频率率 ，欲将，欲将 变换到变换到 ：cccccccjjjeee12cos2coscccc:确定ccccjjjeee1ccLP Hp变换00 LP - HP变换变换例例8 低通数字滤波器的通带边界频率低通数字滤波器的通带边界频率 的的切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器求边界频率求边界频率 的数字高通滤波器。的数字高通滤波器。2 . 0c6 . 0c)8482. 04996. 11)(6493. 05548. 11 ()1 (001836. 0)(2121411uuuuuuHp38197. 02/ )2 . 06 . 0co

55、s(2/ )2 . 06 . 0cos(11138197. 0138197. 0zzu)7647. 0556. 01)(4019. 00416. 11 ()1 (02426. 0)()(11114138197. 0138197. 01111zzzzzuHzHzzup3.4.3 数字低通数字低通-数字带通数字带通0000000 2,0N即全通函数的阶数为时， 所以全通函数取负号。，时, 1)1 (,0g带通的中心频率应对应于低通原型的通带中心，带通的中心频率应对应于低通原型的通带中心，即即11zGu1*1*111zzzz由以上分析得变换关系：由以上分析得变换关系：1)(1122211211zrz

56、rrzrzzgu1122212jjjjjererreree或：或：LP-BP变换变换102cc00LP-BP频率关系频率关系 3.4.4 数字低通数字低通-数字带阻数字带阻0000002N 0故，又又 g(1)=1, 所以，全通函数取正号。所以，全通函数取正号。带阻的中心频率带阻的中心频率由以上分析得变换关系：由以上分析得变换关系： 或或 1)(1122211211zrzrrzrzzgu1122212jjjjjererrereeLP-BS变换变换201cc)(jeH00LP-BS频率变换关系频率变换关系3.5 IIR数字滤波器的最优化设计方法数字滤波器的最优化设计方法3.5.1 帕德（帕德（P

57、ade）逼近法）逼近法Hd(n)是一个理想滤波器的单位脉冲响应。是一个理想滤波器的单位脉冲响应。用一个因果滤波器逼近该理想滤波器，其单位脉冲用一个因果滤波器逼近该理想滤波器，其单位脉冲响应为响应为h(n)，则系统函数为：，则系统函数为：0101)()(nNiiiMiiinzbzaznhzH求得求得H(z)的的N+M+1个待定的系数，使得个待定的系数，使得h(n)=hd(n),n=0,1,N+M。首先将首先将 写成以下形式写成以下形式)(/ )()(zBzAzH)()()(zAzHzB在时域，等式左边相当于一个卷积在时域，等式左边相当于一个卷积)()()()()(*)(1nainhibnhnhn

58、bNiNM1,Mn , 0M0,1,n ),()()()(1nainhibnhNidd令令h(n)=hd(n),n=0,N+M，就可以得到，就可以得到N+M-1个线性方程，求解个线性方程，求解N+M-1个未知数个未知数分两步求解方程，第一步是由最后分两步求解方程，第一步是由最后N个方程求个方程求系数系数b(i)，可以写成如下的矩阵形式：，可以写成如下的矩阵形式：)() 2() 1()() 2 () 1 ()() 2() 1() 2()() 1() 1() 1()(NMhMhMhMbbbMhNMhNMhNMhMhMhNMhMhMhdddddddddddd第二步由前第二步由前M+1个方程求系数个方

59、程求系数a(i)M0,1,n , )()()()(1Niddinhibnhna虽然帕德逼近法可以使虽然帕德逼近法可以使h(n)在在n0,1, ,M+N 范围内很好地逼近范围内很好地逼近hd(n)，但在，但在nM+N时，对时，对h(n)没有约束，没有约束，h(n)不能很好地逼近不能很好地逼近hd(n)。3.5.2 普罗尼（普罗尼（Prony）算法）算法用最小二乘法设计滤波器，问题就在于求使用最小二乘法设计滤波器，问题就在于求使最小的系数最小的系数a(i)和和b(i).由于由于 是系数是系数a(i)和和b(i)的非线性函数，一的非线性函数，一般来说求解这个最小化问题非常困难。般来说求解这个最小化问

60、题非常困难。Undnhnh02)()(Prony法用如下两步过程求一个近似的最小法用如下两步过程求一个近似的最小二乘解：二乘解：第一步是求系数第一步是求系数b(i) ，使下式最小：，使下式最小：其中其中使使 最小的系数最小的系数b(i)可以通过令可以通过令 对对b(i)的偏的偏导等于零求得，即导等于零求得，即12)(MnneNiddinhibnhne1)()()()(0)(ib求未知系数求未知系数b(i)，也就是求解以下线性方程组：，也就是求解以下线性方程组：其中其中一旦确定了一旦确定了b(i)，就可以用帕德法来求系数，就可以用帕德法来求系数a(i)。)0 ,()0 , 2()0 , 1 ()