概率空间(公理化定义)

1、1.4概率空间一、概率的公理化定义一、概率的公理化定义二、概率性质二、概率性质三、事件概率计算三、事件概率计算通过规定通过规定概率应具备的基本性质概率应具备的基本性质来来定义概率定义概率. 1933年，前苏联数学家柯尔莫年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的哥洛夫给出了概率的公理化定义公理化定义. 在学习几何和代数时，知道公理是数学体系的基础在学习几何和代数时，知道公理是数学体系的基础. 数数学上的学上的“公理公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步内容以此为基础，推演出所讨论对象的进一步内容.一、概率的公理化定义一、

2、概率的公理化定义柯氏公理体系是现代概率论的基石柯氏公理体系是现代概率论的基石. 定义定义( (概率概率) )：设：设(,F) ，对，对 定义在定义在F上的实值集函数上的实值集函数P(A), 若满足若满足F A1) 非负性：对非负性：对 ; 10F, APA2) 规范性规范性: :P() = 1; ;3) 可列可加性可列可加性, ,对对 ,1,2,FjiAAiAjii 有有 11iiiiAPAP 则称则称P是是(,(,F) )上的上的概率概率( (测度测度),),P(A)是事件是事件A的概率的概率. . 三元体三元体(,F, P)称为称为概率空间概率空间. 0)()1( P证明证明), 2 ,

3、1( nAn.,1jiAAAjinn 且且则则 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 nnAPP1)( 1)(nnAP 1)(nP0)( P. 0)( P二、概率性质二、概率性质概率的有限可加性概率的有限可加性证明证明,21 nnAA令令., 2 , 1, jijiAAji由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP 1)(kkAP0)(1 nkkAP).()()(21nAPAPAP 则则有有, ,是是两两两两互互不不相相容容的的事事件件若若( (2 2) )nAAA,21).()()()(2121nnAPAPAPAAAP ).()()(),()(,)3(APB

4、PABPBPAPB,ABA 则则且且为两个事件,为两个事件,设设证明证明BA,BA 因为因为).(ABAB 所以所以,)( AAB又又. )()()(ABPAPBP 得得, 0)( ABP又又因因).()(BPAP 故故).()()(APBPABP 于是于是).(1)(APAPAA 则则的对立事件,的对立事件,是是设设(4)(4), 1)(, SPAASAA因为因为).(1)(APAP 证明证明)()(1AAPSP 所以所以. )()(APAP ).()()()(,)()5(ABPBPAPBAPBA有对于任意两事件加法公式一般AB),(ABBABA,)( ABBA且且).()()(ABBPAP

5、BAP 故故又由性质又由性质3 得得因此得因此得AB),()()(ABPBPABBP ).()()()(ABPBPAPBAP 由图可得由图可得证明证明推广推广 三个事件和的情况三个事件和的情况)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 个事件和的情况一般加法公式个事件和的情况一般加法公式)(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP 右端共有 项.12 n推论推论：概率具有次可加性：概率具有次可加性 .11 niiniiAPAP（6 6）概率的连续性：）

6、概率的连续性：).(lim)(:,);(lim)(:,121121mmmmmmmmAPAPAAAAAPAPAAAA则若则若两两互不相容。两两互不相容。证：证：231211AAAAAAAmm ,123121mmmAAAAAAAA 而而,112211mmmAABAABAB令：11)(mmmmBPAPAP1)(mmBPmkkmBP1limmkkmBP1)(lim).(limmmAP解解),()()1(BPABP 由图示得由图示得.21)()( BPABP故故)()()()2(APBPABP 由图示得由图示得.613121 .81)()3(;)2(;)1(.)(,2131, ABPBABAABPBA互

7、互斥斥与与的的值值三三种种情情况况下下求求在在下下列列和和的的概概率率分分别别为为设设事事件件BASSAB例例1三、事件概率计算三、事件概率计算,ABABA由图示得),()()()(ABPBPAPBAP 又又),()()(ABPAPABAP)()()()3(ABPBPABP.838121 , ABA且且SABAB.81)()3(.)(,2131,ABPABPBA的值三种情况下求在下列和的概率分别为设事件例例1例例2 将一颗骰子抛掷将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次次，问至少出一次“6”点的概率是多少？点的概率是多少？令令 事件事件A=至少出一次至少出一次“6”点点A发生发生出出1次次“6”点点

8、出出2次次“6”点点出出3次次“6”点点 出出4次次“6”点点直接计算直接计算A的概率较麻烦的概率较麻烦, 我们先来计算我们先来计算A的的对立事件对立事件A=4次抛掷中都未出次抛掷中都未出“6”点点的概率的概率.技巧篇：技巧篇：1. 1.利用性质计算概率利用性质计算概率 主要举例说明如何利用主要举例说明如何利用逆事件的概率公逆事件的概率公式式和和概率加法公式概率加法公式计算随机事件的概率计算随机事件的概率)(1)(APAP于是于是 =0.5181296625 因此因此 = =0.482)(AP6666由于将一颗骰子抛掷由于将一颗骰子抛掷4次次,共有共有 =1296种等可能结果种等可能结果,55

9、55A而导致事件而导致事件 =4次抛掷中都未出次抛掷中都未出“6”点点的结果数有的结果数有 =625种种 两事件互斥时的加法公式两事件互斥时的加法公式 两事件的一般加法公式两事件的一般加法公式 )()()(BPAPBAP)()()()(ABPBPAPBAPABAABB技巧篇：技巧篇：2. 2.概率加法公式应用举例概率加法公式应用举例 推广推广: 三个事件和的概率为三个事件和的概率为 P P( (A AB BC C)=)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC) - P(AC) + P(ABC) n个事件和的概率为个事件和的概率为 njijiniiniiAAPAPAP111)()()

10、(nkjikjiAAAP1)()() 1(211nnAAAP例例3. 甲、乙两人先后从甲、乙两人先后从52张牌中各抽取张牌中各抽取13张张,求以求以下两情况下甲或乙拿到下两情况下甲或乙拿到4张张A的概率的概率. 1) 甲抽后不放回，乙再抽甲抽后不放回，乙再抽; 2) 甲抽后将牌放回，乙再抽甲抽后将牌放回，乙再抽. . 解：设解：设A=甲拿到甲拿到4张张A， B=乙拿到乙拿到4张张A1)1)A、B互不相容互不相容计算计算P(A)和和P(B)时用古典概型时用古典概型1339135293513481352948CCCCCC13529482CC求求P(A B)P(A B)=P(A)+P(B)2) A、

11、B不是互不不是互不相容相容P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB)1352135294894813529482CCCCCC注意区分事件是否相容！注意区分事件是否相容！设设Ai =第第i封信装入第封信装入第i个信封个信封 i =1,2,3 A=没有一封信装对信封没有一封信装对信封 某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的信封中，（一个信封里只有一封信）问没有一信封中，（一个信封里只有一封信）问没有一封信装对信封的概率？封信装对信封的概率？直接计算直接计算P(A)不易，我们先来计算不易，我们先来计算)(AP综合题目例综合题目例4配配对对 问问题题 =至少

12、有一封信装对信封至少有一封信装对信封则则A321AAAA)()(321AAAPAP)()()()()()()(321323121321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP31! 3! 2)()()(321APAPAP其中61! 31)()()(323121AAPAAPAAP61! 31)(321AAAP代入计算代入计算 的公式中的公式中)(AP应用加法公式应用加法公式321AAAA)()(321AAAPAP!313133233231211! 31! 31! 21)(1)(APAP于是于是!1) 1(! 31! 21)!1) 1(! 31! 211 (11nnnn推广到推广到n封信封信,用类似

13、的方法可得用类似的方法可得:把把n 封信随机地装入封信随机地装入n个写好地个写好地址的信封中址的信封中, 没有一封信配对的没有一封信配对的概率为概率为:实际中的各种配对问题实际中的各种配对问题学生和学习证配对学生和学习证配对;人和自己的帽子配对人和自己的帽子配对;两副扑克牌配对两副扑克牌配对;球箱号码配对球箱号码配对附附 录录1介绍介绍柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫2介绍介绍范剑青范剑青 柯尔莫哥洛夫 ( A. H. 1903-1987 ) 1939年任苏联科学院院士.先后当选美,法,意,荷,英,德 等国的外籍院士 及皇家学会会员. 为 20 世纪最有影响的俄国数学家.俄国数学家 柯尔莫哥洛夫为开创

14、现代数学的一系列重要分支作出重大贡献. 他建立了在测度论基础上的概率论公理系统, 奠定了近代概率论的基础. 他又是随机过程论的奠基人之一,其主要工作包括: 20年代 关于强大数定律、重对数律的基本工作; 1933年在概率论的基本概念一文中提出的概率论公理体系(希尔伯特第6问题) 30年代建立的马尔可夫过程的两个基本方程; 用希尔伯特空间的几何理论建立弱平稳序列的线性理论; 40年代完成独立和的弱极限理论,经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等; 在动力系统中开创了关于哈密顿系统的微扰理论与K系统遍历理论; 50年代中期开创了研究函数特征的信息论方法, 他的工作及随后阿诺尔德的工作解决并深化了希尔伯特第

15、13问题用较少变量的函数表示较多变量的函数 ;60年代后又创立了信息算法理论; 1980年由于它在调和分析, 概率论,遍历理论 及 动力系统方面 出色的工作获沃尔夫奖; 他十分重视数学教育,在他的指引下,大批数学家在不同的领域内取得重大成就.其中包括.M.盖尔范德,B.阿诺尔德, .西奈依等人. 他还非常重视基础教育, 亲自领导了中学 数学教科书的编写工作.统计学界的领袖范剑青 范剑青，美国普林斯顿大学统计与金融工程终身教授，The Annals of Statistics 杂志主编。福建莆田人，1982年毕业于复旦大学数学系，随后考入中国科学院应用数学所攻读硕士。1986年进入美国加州柏克萊

16、大学攻读博士学位，师从国际著名的统计学家 Bickel 教授和Donoho教授， 范教授多年来担任范教授多年来担任The Annals of Statistics，Journal of American Statistical Association， Probability Theory and Related Fields等顶尖刊物的副主编，并于等顶尖刊物的副主编，并于2004年任年任 The Annals of Statistics 的主编，成为该杂志创刊的主编，成为该杂志创刊70多年多年来唯一的亚裔主编。来唯一的亚裔主编。他还当选为他还当选为美国统计学会院士美国统计学会院士（Fello

17、w）、国际数理研究院院士和国际统计研究院院士。）、国际数理研究院院士和国际统计研究院院士。由于范教授的杰出成就，香港中文大学聘请他为统计学讲座由于范教授的杰出成就，香港中文大学聘请他为统计学讲座教授、统计系系主任（教授、统计系系主任（2000-2003）。）。 文章引用次数位列世界数学家排名榜的第文章引用次数位列世界数学家排名榜的第6名，也是名，也是十杰十杰内内唯一的亚裔学者唯一的亚裔学者。该项排名是由科学资料学会（。该项排名是由科学资料学会（ISI）根据）根据最近十年的资料整理得出，刊于最近十年的资料整理得出，刊于科学之窗科学之窗2002第三期。第三期。而后，他每年都在世界数学家文章引用次数排名榜的十杰内。而后，他每年都在世界数学家文章引用次数排名榜的十杰内。 范剑青 用统计方法主攻四个方向：用统计方法主攻四个方向：金融学、生金融学、生物信息、机器学习和生物统计物信息、机器学习和生物统计。 由于范剑青教授对统计学重要而广泛的由于范剑青教授对统计学重要而广泛的贡献，而荣获贡献，而荣获2000年度的年度的COPSS奖，奖，人们将其比同数学中的人们将其比同数学中的费尔兹（费尔兹（Fields）奖，也奖，也统计学界公认的最高