无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法

1、第四章第四章 无限长单位脉冲响应无限长单位脉冲响应（IIRIIR）滤波器滤波器的的设计设计方法方法 c c有用无用 c1000)(jeX)(jeH)(jeY4.1 4.1 滤波器的基本原理滤波器的基本原理 DFDF是一种具有是一种具有频率选择性频率选择性的离散线性系统。的离散线性系统。 数字滤波器的功能（本质）是将一组数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序输入的数字序列列通过一定的运算后转变为另一组通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列输出的数字序列。 数字滤波器的设计是确定其数字滤波器的设计是确定其系统函数系统函数并实现的过程并实现的过程。MiNiiiinybinxany01)()

2、()(NMzdzcAzbzaZHNiiMiiNiiiMiii一般111110)1 ()1 (1)(4.1.1滤波器的分类滤波器的种类很多，分类方法也不同。滤波器的种类很多，分类方法也不同。1.1.从功能上分：低、带、高、带阻。从功能上分：低、带、高、带阻。2.2.从实现方法上分：从实现方法上分： FIRFIR、IIRIIR连续系统与离散系统的各种连续系统与离散系统的各种幅频响应幅频响应的对比的对比00000000s/2s/2s/2ss/2sss(b)(a)| )(|jH| )(|jH| )(|jH| )(|jH2s)(jeH)(jeH)(jeH)(jeH0|H(ej)|ss/22swc|H(e

3、jw)|X(ejw)|wwc有用无用|Y(ejw)|wwc数字滤波器的理想幅频特性数字滤波器的理想幅频特性LPDFHPDFBPDFBSDF2)(jweH.23.)(jweH2.)(jweH.2)(jweHi 3 3）数字滤波器的实现。包括选择运算结构）数字滤波器的实现。包括选择运算结构, , 选择运选择运算和存储的字长等算和存储的字长等( (第六章第六章) )。 数字滤波器的设计步骤数字滤波器的设计步骤P141P141：1 1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。（滤除、）按照实际需要确定滤波器的性能要求。（滤除、保留哪些频率成分，保留部分允许多大失真等）保留哪些频率成分，保留部分允许多大失真等

4、）2 2）用一个因果稳定系统的）用一个因果稳定系统的 H(z) H(z) 或或 h(n) h(n) 去逼近这去逼近这个性能要求，即求个性能要求，即求 h(n) h(n) 的表达式。的表达式。( (第四五章第四五章) )4.1.2 可实现滤波器的特性可实现滤波器的特性 (低通为例）低通为例）)(jeH)(sjeHp1) 通带边界频率通带边界频率 p 2) 阻带边界频率阻带边界频率s3) 通带波动通带波动A Ap p4) 4) 最小阻带衰减最小阻带衰减 A As ss)(pjeH)()(lg20)()(lg20dBeHAsdBeHApspjj001020()120lg20lg()20lg()1()

5、()120lg20lg()20lg()()1jjwpjwpjjwsjwsjH eApH edBH eH eAsH edBH eH e式中均假定：（ ）wswp21-11ApAsw|H(ejw)|高通滤波器的性能指标高通滤波器的性能指标fswsfpwp1ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)|通带截止频率：通带截止频率：fp(wp)通带衰减：通带衰减：Ap阻带截止频率阻带截止频率：fp(ws) 阻带衰减：阻带衰减：As带通滤波器的性能指标带通滤波器的性能指标fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)|通带截止频率：上限截止通带截止频率：上限截止频率频率fp2(wp2)，

6、下限截止频下限截止频率率fp1(wp1)。通带衰减：通带衰减：Ap阻带截止频率阻带截止频率：上限截止上限截止频率频率fs2(ws2)，下限截止频下限截止频率率fs1(ws1)。阻带衰减：阻带衰减：Asfp2wp2fs2ws2带阻滤波器的性能指标带阻滤波器的性能指标fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)|通带截止频率：上限截止通带截止频率：上限截止频率频率fp2(wp2)，下限截止频下限截止频率率fp1(wp1)。通带衰减：通带衰减：Ap阻带截止频率阻带截止频率：上限截止上限截止频率频率fs2(ws2)，下限截止频下限截止频率率fs1(ws1)。阻带衰减：阻带衰减：A

7、sfp2wp2fs2ws22 2）最优化设计方法最优化设计方法 首先确定一种最优准则，使设计出的实际频率首先确定一种最优准则，使设计出的实际频率响应的幅度特性响应的幅度特性 与所要求的理想频率响与所要求的理想频率响应应 在该准则下误差最小。在该准则下误差最小。| )(|jeH| )(|jdeHIIRIIR滤波器设计方法滤波器设计方法P143P143： 1 1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。足预定指标的数字滤波器。 00|H(ej)|ss/2| )(|jH2s由模拟滤波器设计数字滤波器步骤由模拟滤波器设计数字滤波器步骤

8、1、数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器指标 2、由模拟滤波器指标设计模拟滤波器(4.2) 3、映射实现：从模拟滤波器再转换为数字滤波器(4.3)4.2 模拟模拟滤波器设计方法（低通）滤波器设计方法（低通） 模拟滤波器的设计就是根据一组设计规范设计模拟系统函数Ha(s)，使其逼近某个理想滤波器特性。0()( )jtaaHjh t edt 0()( ) cossinaaHjh ttjt dt ()()aaHjHj 因果系统中因果系统中,如果系统的冲激响应ha(t) 是实函数不难看出不难看出)()(jHjHaa)()()()()()()()(22sHsHsHjHjHjHjHjHaaaaaaaa2)

9、( jHa若若sp是是Ha(s)的极点，则的极点，则-sp是是Ha(-s)的极点的极点若若so是是Ha(s)的零点，则的零点，则-so是是Ha(-s)的零点的零点思考：如果已知振幅平方函数思考：如果已知振幅平方函数 如何求系统函数如何求系统函数 ？)(sHa定义振幅平方函数问题：由问题：由A(2) 求求Ha(S) 先把先把2换成换成-S2即即A(2)变为变为A(-S2) = |Ha(S)|2= Ha(S) Ha(-S) 为了保证为了保证HaHa( (s s) )的稳定性的稳定性, ,再把再把A A(-(-S S2 2) )在在S S左半平面的极点左半平面的极点作为作为HaHa( (s s) )

10、的极点，零点可选用任一半。的极点，零点可选用任一半。22)()(jHAa(4.5)NcajjjHA22211)()(N N为滤波器阶数， c c ：边界频率边界频率或3dB3dB截止频率截止频率其幅度平方函数：其幅度平方函数：三种模拟低通滤波器的设计（三种模拟低通滤波器的设计（4.2.1，4.2.2，4.2.3）：）：4.2.1 4.2.1 巴特沃思巴特沃思 (Butterworth(Butterworth）滤波器）滤波器/1lg10)(lg10)(lg20/1lg10)(lg10)(lg202222NcssssNcppppjHjHAjHjHA图图4.4 4.4 巴特沃思滤波器幅度平方函数巴特

11、沃思滤波器幅度平方函数理想低通特性理想低通特性 N增加，增加，通带和通带和阻带的阻带的近似性近似性越好，越好，过渡带过渡带越陡越陡3dB衰减点衰减点特点：具有通带内最大平坦的特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随振幅特性，且随ff，幅频特，幅频特性单调性单调。 NcajjjHA22211)()(振幅平方函数的极点：振幅平方函数的极点： 令分母为零，得令分母为零，得 可见，可见，ButterworthButterworth滤波器滤波器 的振幅平方函数有的振幅平方函数有2N2N个极点，它们均匀对称地分布在个极点，它们均匀对称地分布在|S|=|S|=c c的圆周上。的圆周上。 21()()1()a

12、aNcHSHSSj12(1)()NPcSjNcajjjHA22211)()(图图4.5 4.5 三阶三阶A(-SA(-S2 2) )的极点分布的极点分布例：为例：为N=3N=3阶振幅平方函数的极点分布，如图阶振幅平方函数的极点分布，如图3254323jcpcpjcpesses)()()(5433pppcasssssssH 令 ，得归一化的三阶BF： 如果要还原的话，则有)()()(5433pppcasssssssHcss/1221)(23ssssHa1)/(2)/(2)/(1)(23cccassssH3254323jcpcpjcpeSSeS3254323/1/jcpcpjcpeSSeS低阶巴特

13、沃思滤波器H(s) (归一化) 11)(1ssHN)(2sHN1221)(323ssssHN1212ss21()()1()aaNcHSHSSjNcajjjH2211)()(11)()(2222cNaVjHAc有效通带截止频率有效通带截止频率与通带波动有关的参量，与通带波动有关的参量， 大大 ，波纹大。，波纹大。 0 1 VN（x）N阶切比雪夫多项式阶切比雪夫多项式P111特点：通带等波动振幅特性4.2.2切比雪夫（chebyshev）滤波器22011)(jHa1)(02jHa图图4.6 切比雪夫滤波器的幅度平方函数切比雪夫滤波器的幅度平方函数迅速趋于迅速趋于0N越大，越陡越大，越陡1101.0

14、2)(dB有关参数的确定有关参数的确定: a、通带截止频率、通带截止频率c ，预先给定，预先给定 b、给定通带波纹、给定通带波纹 ，可求，可求c、阶数、阶数N由阻带的边界条件确定。由阻带的边界条件确定。（ 、A事先给定） r)/cosh(/1cosh(2crarAarN)(11)()(2222cNaVjHA图图4.8 4.8 椭圆滤波器幅度平方函数椭圆滤波器幅度平方函数),(11)()(2222LRjHANa特点：特点：幅值响应在通带和幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的阻带内都是等波纹的4.2.3椭圆滤波器椭圆滤波器 椭圆滤波器（考尔滤波器）对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其

15、它滤波器更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。其振幅平方函数为其振幅平方函数为RN（，L）雅可比椭圆函数雅可比椭圆函数L表示波纹性质的参量表示波纹性质的参量),(11)()(2222LRjHANa 一般，相同指标下，椭圆滤波器阶次最低，切比雪夫次之，巴特沃兹最高，参数的灵敏度则恰恰相反。 参数灵敏度：巴特沃思最佳（最不灵敏），切比雪夫次之，椭圆最差（最灵敏）。 4.2 要点要点 会从已知的会从已知的A（2 ）or 求对应的求对应的Ha (s) 知道哪三种常用模拟滤波器，每种模拟滤波器的知道哪三种常用模拟滤波器，每种模拟滤波器的幅值响应的特点，并对三种滤波器的阶次和参数幅值响应的特点，

16、并对三种滤波器的阶次和参数灵敏度进行比较灵敏度进行比较 已知已知N和和c ，会求低通巴特沃思滤波器的，会求低通巴特沃思滤波器的Ha (s)，并进一步用脉冲响应不变法或双线性变换法求对并进一步用脉冲响应不变法或双线性变换法求对应的应的H(z) （next lesson）2)(jHa4.3 根据模拟滤波器设计根据模拟滤波器设计IIR滤波器滤波器 从已知的模拟滤波器传递函数从已知的模拟滤波器传递函数H Ha a(s)(s) 设计数字滤波器传递函数设计数字滤波器传递函数H H（z z），）， 这归根到底是一个由这归根到底是一个由S S平面到平面到Z Z平面平面的变换，的变换， 这种映射变换应遵循这种映

17、射变换应遵循两个基本原则两个基本原则 ：1 1）H(z)H(z)的频响要能模仿的频响要能模仿H Ha a(s)(s)的频响，即的频响，即S S平面的虚轴应映平面的虚轴应映射到射到Z Z平面的单位圆平面的单位圆 上。上。 2 2）H Ha a(s) (s) 的因果稳定性映射成的因果稳定性映射成 H H（z z）后保持不变，即）后保持不变，即S S平面的左半平面平面的左半平面 ReSReS0 0 应映射到应映射到Z Z平面的单位圆以内平面的单位圆以内|Z|1|Z|1。je0Sz- j0- jSz4.3.1脉冲响应不变法内容提要脉冲响应不变法内容提要1、基本思想、基本思想2、由、由Ha(s)求求H(

18、z)的公式的公式3、s平面到平面到z平面的映射关系平面的映射关系4、模拟滤波器对应的、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应与数字滤波器对应的关系的关系5、H(j)与与H(ej)的关系的关系6、适用性、适用性脉冲响应不变法内容提要脉冲响应不变法内容提要1、基本思想、基本思想2、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式3、s平面到平面到z平面的映射关系平面的映射关系4、模拟滤波器对应的、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应与数字滤波器对应的关系的关系5、H(j)与与H(ej)的关系的关系6、适用性、适用性4.3.14.3.1脉冲响应不变法脉冲响应不变法 脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器

19、的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应ha(t)的采样值，即 h(n)=ha(nT), T为采样周期。 脉冲响应不变法内容提要脉冲响应不变法内容提要1、基本思想、基本思想2、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式3、s平面到平面到z平面的映射关系平面的映射关系4、模拟滤波器对应的、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应与数字滤波器对应的关系的关系5、H(j)与与H(ej)的关系的关系6、适用性、适用性如何由如何由Ha(s) Ha(s) 计算计算 H(Z) :H(Z) :模拟滤波器的系统函数可表达为部分分式形式；模拟滤波器的系统函数可表达为部分分式形式； 其拉氏反变换为：其拉氏反变换

20、为： 对对h ha a(t)(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列 NiiissAsHa1)(NitsiatueAthi1)()(NinTsianueAnThnhi1)()()(NiTsizeAzHi111)(NiiissAsHa1)(NiTsizeTAzHi111)(修正：注意：注意：P167倒数第倒数第6行行 （本节不考虑修正（本节不考虑修正T）脉冲响应不变法内容提要脉冲响应不变法内容提要1、基本思想、基本思想2、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式3、s平面到平面到z平面的映射关系平面的映射关系4、模拟滤波器对应的、模拟滤波器对应的与数字滤波器

21、对应与数字滤波器对应的关系的关系5、H(j)与与H(ej)的关系的关系6、适用性、适用性msaajmjHTjH1)(maamTjsHTsH21)()(tha0t)( jHa0FTmmss0)( jHaT1)(that nnsTnststnenThdtenTtthdtenTtthsH)()()( )()()(aaaannsTenh)(nnznhzH)()(sTez s平面与z平面的映射关系 理想采样序列的拉氏变换:nnTtth)()(a)(tha序列的z变换：)(that虚轴=0s=j单位圆r=1左半平面（0)单位圆内r0)单位圆外r1sTez jrezjsTerTj0TT3T3T)Im( zj

22、)Re( z0S 平面Z 平面:思考：单位圆思考：单位圆 是由虚轴的哪部分映射而来的？是由虚轴的哪部分映射而来的？sTez TerT12 S S平面上每一条宽为平面上每一条宽为 的横带部分，的横带部分， 都将重叠地映射到都将重叠地映射到Z Z平面的整个平面上。平面的整个平面上。 每一横带的左半部分映射到每一横带的左半部分映射到Z Z平面单位圆以内，平面单位圆以内， 每一横带的右半部分映射到每一横带的右半部分映射到Z Z平面单位圆以外，平面单位圆以外， 虚轴映射到单位圆上，虚轴上每一段都对应于绕单位圆一周。虚轴映射到单位圆上，虚轴上每一段都对应于绕单位圆一周。T2j0TT3T3T)Im( zj)

23、Re( z0脉冲响应不变法内容提要脉冲响应不变法内容提要1、基本思想、基本思想2、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式3、s平面到平面到z平面的映射关系平面的映射关系4、模拟滤波器对应的、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应与数字滤波器对应的关系的关系5、H(j)与与H(ej)的关系的关系6、适用性、适用性sTez jrezjsTerT脉冲响应不变法内容提要脉冲响应不变法内容提要1、基本思想、基本思想2、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式3、s平面到平面到z平面的映射关系平面的映射关系4、模拟滤波器对应的、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应与数字滤波器对应的关系的关系5、H(j)与与H(e

24、j)的关系的关系6、适用性、适用性H(j)与与H(ej)的关系的关系 从第二章从第二章2.2“采样采样”的角度分析的角度分析 从从s平面到平面到z平面的映射关系的角度分析平面的映射关系的角度分析)(tha0t)( jHa0)(nhss00tTjeHT1FTFTmmss0)( jHaT1)(that“采样采样”的角度分析的角度分析H(j)与与H(ej)的关系的关系FT解释解释“修正修正”)( jHa0ss0jeHT1mmsjmjHTam1TmjHTeHamj21ss0)( jHaT1)( jHaj0TT3T3T)( jHa00T1mmTs2TTT3T3)( jHa)(jeH0T133S平面到平面

25、到z平面映射平面映射的角度分析的角度分析H(j)与与H(ej)的关系的关系)( jHa00T1mmTs2TTT3T3)( jHa数字滤波器的频响并不是数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓。响的周期延拓。只有：只有：)(jeH0T133TjHsa20)(这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响。: NiiissAsHa1)(P158 例例 : 将一个具有如下系统函数将一个具有如下系统函数 的模拟滤波器数字化。的模拟滤波器数字化。 解：解：3111) 3)(1(2)(sssssH1311111)(ze

26、zezHTT243131)(1)(zeeezeezTTTTTNiTsizeAzHi111)(4)3(2)3)(1(2)()(2jjjsHjHajs2433)(1)()()(jTjTTjTTezjeeeeeeeezHeHj图图4.11 不同采样频率下的幅频响应与模拟幅频响应的比较不同采样频率下的幅频响应与模拟幅频响应的比较脉冲响应不变法内容提要脉冲响应不变法内容提要1、基本思想、基本思想2、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式3、s平面到平面到z平面的映射关系平面的映射关系4、模拟滤波器对应的、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应与数字滤波器对应的关系的关系5、H(j)与与H(ej)的关系的关系

27、6、适用性、适用性高通和带阻高通和带阻滤波器滤波器, 不宜不宜采用脉冲响应不变法。采用脉冲响应不变法。小结：脉冲响应不变法小结：脉冲响应不变法1、基本思想、基本思想2、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式3、s平面到平面到z平面的映射关系平面的映射关系4、模拟滤波器对应的、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应与数字滤波器对应的关系的关系5、H(j)与与H(ej)的关系的关系6、适用性、适用性4.3.2双线性变换法内容提要双线性变换法内容提要1、基本思想、基本思想2、模拟滤波器对应的、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应与数字滤波器对应的关系的关系3、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式4、 s

28、平面到平面到z平面的映射关系平面的映射关系5、H(j)与与H(ej)的关系的关系6、适用性、适用性7、预畸变、预畸变双线性变换法内容提要双线性变换法内容提要1、基本思想、基本思想2、模拟滤波器对应的、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应与数字滤波器对应的关系的关系3、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式4、 s平面到平面到z平面的映射关系平面的映射关系5、H(j)与与H(ej)的关系的关系6、适用性、适用性7、预畸变、预畸变 脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从是从S S平面到平面到Z Z平面的平面的标准变换标准变换z ze es

29、TsT的多值对应关系导的多值对应关系导致的致的，为了克服这一缺点，设想变换分为两步为了克服这一缺点，设想变换分为两步 s平面平面s1平面平面z平面平面图图4.12 双线性变换法的映射关系双线性变换法的映射关系S1平面平面Z平面平面S平面平面1s Tze 双线性变换法内容提要双线性变换法内容提要1、基本思想、基本思想2、模拟滤波器对应的、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应与数字滤波器对应的关系的关系3、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式4、 s平面到平面到z平面的映射关系平面的映射关系5、H(j)与与H(ej)的关系的关系6、适用性、适用性7、预畸变、预畸变0j1j 0T/T/S1平面平面R

30、ezImzj0Z平面平面S平面平面1s Tze 一一对应一一对应)2(tan)2(tan1cTcTerT11?思考：如何把思考：如何把s平面的平面的j压缩到压缩到s1平面的平面的j1双线性变换法内容提要双线性变换法内容提要1、基本思想、基本思想2、模拟滤波器对应的、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应与数字滤波器对应的关系的关系3、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式4、 s平面到平面到z平面的映射关系平面的映射关系5、H(j)与与H(ej)的关系的关系6、适用性、适用性7、预畸变、预畸变)2cos()2sin()2(tan111TTcTc22221111TjTjTjTjeeeecjs平面s1

31、平面z平面通常取C=2/T,zzTsTsez1再将 S1 平面通过标准变换关系映射到Z平面，即令TsTsTsTsTsTseecTsceeeecs11111111)2tanh(1222222221111TjTjTjTjeeeecj计算H(Z) 置换过程: 11112112)()(11zzTHsHzHazzTsa2132651)(2ssssssHa2121111126047. 05573. 110375. 00040. 00415. 0112)()(11zzzzzzTHsHzHazzTsa例如： T0.1 s, S平面与Z平面的单值映射关系 ： zzTssTsTz)/()/(2(/2)tgT 考虑

32、考虑z = ej, 2 12sin(/2)1cos22tg()2jjejsTeTjjT zs变变换换的映射关系满足要求了吗？的映射关系满足要求了吗？ zzTssj 2222122,122122|122TTjzTTjTTzTT |1;z 0 时时0,| 1z sTsTz)/()/(双线性变换法内容提要双线性变换法内容提要1、基本思想、基本思想2、模拟滤波器对应的、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应与数字滤波器对应的关系的关系3、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式4、 s平面到平面到z平面的映射关系平面的映射关系5、H(j)与与H(ej)的关系的关系6、适用性、适用性7、预畸变、预畸变 22

33、tgT和和为非线性关系为非线性关系零频率附近，接近于线性关系图图4.13双线性变换的频率关系双线性变换的频率关系P160双线性变换法的双线性变换法的优点优点: S平平 面与面与Z平面是单值的一一对应关系平面是单值的一一对应关系与与成成非线性非线性关系关系双线性变换法的双线性变换法的缺点缺点: 不会产生混叠现象；不会产生混叠现象； 与与成非线性关系，导致：成非线性关系，导致： a. 数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变系上发生

34、畸变)。 例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是直线关系，但通例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是直线关系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器过双线性变换后，就不可能得到数字微分器。b. 线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非线性相位为非线性相位。 双线性变换法内容提要双线性变换法内容提要1、基本思想、基本思想2、模拟滤波器对应的、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应与数字滤波器对应的关系的关系3、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式4、 s平面到平面到z平面的映射关系平面的映射关系5、H(j)与与H(ej)的关系的关

35、系6、适用性、适用性7、预畸变、预畸变 大多数滤波器都具有大多数滤波器都具有分段常数分段常数的频响特的频响特性性，如，如低通、高通、带通和带阻低通、高通、带通和带阻等，通过等，通过双线性变换后，双线性变换后，其幅频特性仍保持分段常其幅频特性仍保持分段常数的特性数的特性。 各个分段的临界频率点发生了非线性变化，即畸变。这种频率点的畸变可以通过预畸来加以校正。 双线性变换法内容提要双线性变换法内容提要1、基本思想、基本思想2、模拟滤波器对应的、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应与数字滤波器对应的关系的关系3、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式4、 s平面到平面到z平面的映射关系平面的映射关系5

36、、H(j)与与H(ej)的关系的关系6、适用性、适用性7、预畸变、预畸变图图4.14 双线性变换时频率的预畸双线性变换时频率的预畸预畸变：22iitgT将模拟滤波器的临界将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，频率事先加以畸变，然后通过双线性变换然后通过双线性变换正好映射到所需要的正好映射到所需要的频率上。频率上。预畸变 ：预畸的实现方法：siiiffT22tg2iiT（1）按照给定参数求出相应的数字频率（2）将数字频率代入非线性关系式： 得到 AF 的频率参数。注意：预畸不能在整个频率段消除非线性畸变，只能消除注意：预畸不能在整个频率段消除非线性畸变，只能消除 滤波器在特征频率点的畸变滤波器在特

37、征频率点的畸变小结：双线性变换法小结：双线性变换法1、基本思想、基本思想2、模拟滤波器对应的、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应与数字滤波器对应的关系的关系3、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式4、 s平面到平面到z平面的映射关系平面的映射关系5、H(j)与与H(ej)的关系的关系6、适用性、适用性7、预畸变、预畸变4.3要点要点 低通、高通、带通和带阻低通、高通、带通和带阻DF的幅频特性的幅频特性 滤波器的技术指标滤波器的技术指标 由由AF设计设计IIR DF的步骤的步骤 S平面到平面到z平面变换的两条基本要求及两种基平面变换的两条基本要求及两种基本方法本方法 脉冲响应不变法六点脉冲响应

38、不变法六点 双线性变换法七点双线性变换法七点4.4 4.4 从模拟滤波器低通原型到各种从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换（原型变换（原型变换）模拟归一化低通原型模拟低通、高通、带通、带阻数字低通、高通、带通、带阻模拟模拟- -模拟模拟频带变换频带变换数字化数字化双线性变换法或双线性变换法或脉冲响应不变法脉冲响应不变法模拟模拟数字频带变换数字频带变换 4.4.1 低通变换数字参数数字参数-模拟参数模拟参数-Ha(s)-数字数字H(z)例题：例题： 设采样周期设采样周期 , ,设计一个三阶巴特设计一个三阶巴特沃思沃思LPLP滤波器滤波器, ,其其3dB3dB截止频率

39、截止频率fc=1kHzfc=1kHz。分别用脉冲响应不变。分别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。法和双线性变换法求解。（P167例4.8,P168例4.9） 解：a. 脉冲响应不变法 322211)(ssssHa32)/()/( 2)/( 211)(cccassssHcs /)4(250kHzfsTs以以 代替其归一化频率，得：代替其归一化频率，得：1) 3)2)5 . 02TfcccccfT22/ )31 (3/2/ )31 (3/)(6/6/jcsecjcseccscsHajj6/2113/;,jccecAsA2/)31 (,3/;2/)31 (36/32jsecAjscjcNiTsiz

40、eAzHi111)(4)32)/()/(2)/(211)(cccassssH31)(iiissAsHa3111)(iTsizeAzHi3233221jcjccesess并将 代入，得： 12/ )31(6/12/ )31(6/11)3/(1)3/(1/)(zeeTzeeTzeTzHjjcjjcCccc5 . 02Tfcc21112079.01905.015541.0571.12079.01571.11)(zzzzTzHTcc/21112079. 01905. 015541. 0571. 12079. 01571. 1)(zzzzzH修正后 b. 双线性变换法（P168例） （一）首先确定数字域

41、临界频率 5 . 02TfccTtgTcc222cs/32)/()/(2)/(211)(cccassssHTc/2（二）根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器临界频率(三 )以 代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数 并将 代入上式。 （四）将双线性变换关系代入，求H(Z)。311211111121111211211)()(11zzzzzzsHZHzzTsa 231112312111121131311131313111113131311212113131312111312122122211111141111111211111211211zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz

42、zzzzzz020040060080010001200140016001800200000.10.20.30.40.50.60.70.80.91频 率 / H z幅值频率频率/Hz图图 三阶巴特沃思滤波器的频率响应三阶巴特沃思滤波器的频率响应脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法222100011图图4.22 高通变换高通变换 )(jeH)( jHa模拟低通数字高通4.4.2 高通变换高通变换将低通设计变换式中的将低通设计变换式中的S S代之以代之以1/S1/S，就可得到数字高通滤波器，就可得到数字高通滤波器. 11112zzT

43、sjjctgTeeeeTeeTsezjjjjjjj222112,2222时22ctgT222)(jeH100011)( jHa0022ctgT模拟低通数字高通例： 用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思HP滤波滤波器，其通带截止频率器，其通带截止频率 fc=1kHz，采样频率，采样频率 fs=4kHz。解：解：1）首先确定）首先确定数字高通数字高通通带边界频率通带边界频率2）根据频率的非线性关系，确定）根据频率的非线性关系，确定预畸预畸的的模拟模拟低低通通滤波器通带边界频率（计算不取负号）滤波器通带边界频率（计算不取负号）3）以）以 s/c 代入归一化的三阶巴特沃

44、思代入归一化的三阶巴特沃思模拟低通模拟低通滤波器传递函数，得滤波器传递函数，得2/2ccsff22242ccTTTctgctg 231( )1 2/2/acccH ssss （）（）（）11121231111113112322 ( )( )111112211111336262TzszaH zHszzzzzzzzzzzz4）将双线性变换关系式代入，求）将双线性变换关系式代入，求数字高通数字高通的的H(z) 111111 /2 11cTzzsszz ，0)(jeH2100001122)( jHa0124.4.3带通变换带通变换 幅频响应具有偶对称性幅频响应具有偶对称性000映射映射映射0映射图图4

45、.24 带通变换带通变换 0jezjS1z11cos2)1(122zzzzzezezsojjoo 即将即将S的原点映射到的原点映射到 ，而将，而将 点映射到点映射到 ，满足这一要求的双线性变换为：，满足这一要求的双线性变换为：000映射映射映射0映射00jezjs1jjeezjjs映射10jjeezjjs映射1jjeezjjs映射10jjeezjjs映射 当当 时时 因此因此 （带通变换关系（带通变换关系 ）jjojjjojjeeeeeeescos211cos222jsjso又,sincoscossincoscosojze11cos2) 1(122zzzzzezezsojjoo02)(jeH1

46、00001122)( jHasincoscoso111coscossino 121201212cossin2cossinsincos2222coscossino |1| =| 2|1 = csincoscoso又又1同时也就是模拟低通滤波器的截止频率同时也就是模拟低通滤波器的截止频率c若已知归一化模拟若已知归一化模拟LP滤波器滤波器Ha(s)则则 模拟模拟LP滤波器为滤波器为数字带通滤波器为数字带通滤波器为11coscossinoc( )( /)aacHsHs2022cos11( )( )azzszHzHs4.4.4 带阻变换带阻变换2201sin2 cos1coscosozszz，110si

47、ncoscosc 12 ,oc 求由阻带边界频率带通的频率关系倒置就得到带阻变换为带通的频率关系倒置就得到带阻变换为12012sincossinsin0)(jeH2100001122)( jHa带阻变换带阻变换 为便于区分变换前后两个不同的为便于区分变换前后两个不同的z平面，将变换平面，将变换前的前的z平面定义为平面定义为u平面，从平面，从u到到z的映射关系为：的映射关系为：DF DF ( )( )pH zH z 变 换低通原型 各种不同 11()uG z4.5 从低通数字滤波器到各种数字从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换滤波器的频率变换（z平面变换法）平面变换法）于是，于是，DF的原

48、型变换可表示为：的原型变换可表示为：11()( )( )puG zH zH u函数函数G(z-1)要保证：要保证：1）u的单位圆内部必须对应于的单位圆内部必须对应于z的单位圆内部的单位圆内部2） u的单位圆映射到的单位圆映射到z的单位圆的单位圆11()( )( )puG zH zHu( )jjjjeG eG ee 若以若以 ej和和ej分别表示分别表示u平面和平面和z平面的单位圆平面的单位圆必有必有 ， 即函数在单位圆上的幅度必须即函数在单位圆上的幅度必须恒为恒为1，为，为全通函数全通函数1jG e11()uG z零点零点1/i* 是其极点是其极点i的共轭倒数的共轭倒数极点极点i可为实数，也可

49、为共轭复数，但必须在单位圆以可为实数，也可为共轭复数，但必须在单位圆以内，即内，即 |i|变化时，全通函数的相位变化时，全通函数的相位()的的变化量为变化量为N（ 变化量为变化量为N） ，可由此得到各类变换，可由此得到各类变换的的N1*111()1NiiizG zz ( )jjjjeG eG ee 11()uG z 图图 LP-LP变换变换c004.5.1 数字低通数字低通数字低通数字低通都是低通函都是低通函数，只是截数，只是截止频率互不止频率互不相同相同当当= 0 时，相应的时，相应的= 0 图图 LP-LP变换变换c00N=1，1*111()1NiiizG zz 11111()1zuG z

50、z其中， 为实数且jjjjeeeGe1)(11111)(zzzGu？= 0 时，相应的时，相应的= 0 = 0，相应的相应的= 0 1jjjeee221sin21cosarctg11111()1zuG zz其中， 为实数且c图图4.27 LP-LP频率变换特性频率变换特性 cc LP原型截止频率原型截止频率c 变换后截止频率变换后截止频率 = 0时时, =呈线性呈线性关系，其余为非线关系，其余为非线性性 0时时, cc，带，带宽变窄宽变窄 c，带，带宽变宽宽变宽 221sin21cosarctgc图图 LP-LP变换变换c0011111()1zuG zz其中， 为实数且确定确定 1cccjjjeeesin2sin2 cccccc将将代入式代入式即可得即可得LP-LP变换后的变换后的LP DF系统函数为系统函数为sin2sin2 cccc1111()1zuG zz11()( )( )puG zH zHu 基