专题02 将军饮马求最小值1-对称（解析版）

1、中考数学压轴题-二次函数第2节 将军饮马求最值1-对称 内容导航方法点拨一、两条线段和的最小值。基本图形解析：（一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： A、A 是关于直线m的对称点。 2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直

2、线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧： 解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，PAPBAB，而PAPB=AB此时最大，因此点P为所求的点。（2）点A、B在直线m异侧： 解析：过B作关于直线m的对称点B,连接AB交点直线m于P,此时PB=PB，PA-PB最大值为AB 例题演练 题组1：两定点一动点问题例1已知，如图1，抛物线yx22x3与x轴交于点A，在抛物线第一象限的图象上存在一点B，x轴上存在一点C，使

3、ACB90°，ACBC，抛物线的顶点为D（1）求直线AB的解析式；（2）如图2，若点E是AB上一动点（点A、B除外），连接CE，OE，当EC+OE的值最小时，求BDE的面积；【解答】解：（1）由题意A（1，0），B（3，0），C（0，3）设C（m，0），则B（m，m+1），把点B坐标代入抛物线的解析式得到：m+1m22m3，解得m4或1（舍弃），C（4，0），B（4，5），设直线AB的解析式为ykx+b，则有，直线AB的解析式为yx+1（2）如图1中，如图作点C关于直线AB的对称点C，连接OC交直线AB于E，连接EC、EO，此时EO+EC的值最小C（4，0），CC关于直线AB对称，C

4、（1，5），直线OC的解析式为y5x，由，解得，E（，），D（1，4），SBDE9×（4+）×3×9×（1+）（4+）×（4+）（5）12.5练1.1如图，已知抛物线yx2+3x8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C（1）求直线BC的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；【解答】解：（1）对于抛物线yx2+3x8，令y0，得到x2+3x80，解得x8或2，B（8，0），A（2，0），令x0，得到y8，A（2，

5、0），B（8，0），C（0，8），设直线BC的解析式为ykx+b，则有，解得，直线BC的解析式为yx8（2）如图1中，作FNy轴交BC于N设F（m，m2+3m8），则N（m，m8）SFBCSFNB+SFNCFN×84FN4（m8）（m2+3m8）2m216m2（m+4）2+32，当m4时，FBC的面积有最大值，此时F（4，12），抛物线的对称轴x3，点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时BFP的周长最小，设直线AF的解析式为yax+b，则有，解得，直线AF的解析式为y2x4，P（3，10），点F的坐标和点P的坐标分别是F（4，12），P（3，10） 题组2：两动点一定

6、点问题例2如图，抛物线yx2+bx+c与直线ymx+n相交于点A（1，8）和点B（5，4）（1）求抛物线和直线AB的解析式（2）如图1，直线AB上方的抛物线上有一点P，过点P作PQ垂直于AB所在直线，垂足为Q，在x轴正半轴和y轴正半轴上分别有两个动点M和N，连接PN，NM，MB，BP当线段PQ的长度最大时，求四边形PNMB周长的最小值【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c与直线ymx+n相交于点A（1，8）和点B（5，4），解得，抛物线解析式为yx2+5x+4，直线y解析式为x+9（2）如图1中，设直线AB与x轴交于点F，与y轴交于点E，则E（0，9），F（9，0），连接PE、PF、PO当P

7、Q最大时，PEF的面积最大，设P（m，m2+5m+4）SPEFSPOE+SPOFSEOF×9×m+×9×（m2+5m+4）×9×9（m3）2+18，0，m3时，PEF的面积最大值为18，此时P（3，10），作点P关于y轴的对称点P，B关于x轴的对称点B，连接PB，与y轴交于点N，与x轴交于点M，此时四边形PNMB的周长最小理由：四边形PNMB周长PN+MN+MB+PBPN+MN+MB+PBPB+PB，PB是定长，两点之间线段最短，此时四边形PNMB周长最小P（3，10），B（5，4），PB2，PB2，四边形PNMB周长的最小值为2+2

8、练2.1如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+x+3，分别交x轴于A、B两点，交y轴交于C点，顶点为D（1）如图1，连接AD，R是抛物线对称轴上的一点，当ARAD时，求点R的坐标；（2）在（1）的条件下在直线AR上方，对称轴左侧的抛物线上找一点P，过P作PQx轴，交直线AR于点Q，点M是线段PQ的中点，过点M作MNAR交抛物线对称轴于点N，当平行四边形MNRQ周长最大时，在抛物线对称轴上找一点E，y轴上找一点F，使得PE+EF+FA最小，并求此时点E、F的坐标【解答】解：（1）对于抛物线yx2+x+3，令y0，得x2+x+30，解得x2或6，B（2，0），A（6，0），yx2+x+3（x2）

9、2+4，抛物线顶点D坐标为（2，4），对称轴x2，设直线AD的解析式为ykx+b则有，解得，直线AD的解析式为yx+6，ARAD，直线AR的解析式为yx2，点R坐标（2，）（2）如图1中，设P（m，m2+m+3），则Q（m，m2），M（m，m2+m+），由（1）可知tanDAB，DAB60°，DAQ90°，BAQ30°，平行四边形MNRQ周长2（m2+m+m+2）+2（2m）÷cos30°m2m+，m时，平行四边形MNRQ周长最大，此时P（，），如图2中，点P关于对称轴的对称点为M，点M关于y轴的对称点为N，连接AN交y轴于F，连接FM交对称轴

10、于E，此时PE+EF+AF最小理由：PE+EF+AFEM+FE+AFFM+AFFN+AFAN，根据两点之间线段最短，可知此时PE+EF+AF最小M（，），N（，），直线AN的解析式为yx+，点F坐标（0，），直线FM的解析式为yx+，点E坐标（2，） 题组3：线段之差的最大值问题例3如图，二次函数yx2+2x+1的图象与一次函数yx+1的图象交于A，B两点，点C是二次函数图象的顶点，P是x轴下方线段AB上一点，过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为E，平行线交直线BC于F（1）当PEF面积最大时，在x轴上找一点H，使|BHPH|的值最大，求点H的坐标和|BHPH|的最大值；【解答】解：（1）设

11、点P（m，m+1），则点E（m，0），联立两个函数表达式得，解得，即点A、B的坐标分别为（0，1）、（6，5），由抛物线的表达式知，点C（2，3），由B、C的坐标得，直线BC的表达式为y2x+7，当y2x+7m+1时，x，故点F（，m+1），PEF面积×PEPF×（m1）（m）（m1）（m6），0，故PEF面积有最大值，此时m（1+6），故点P（，），当P、B、H三点共线时，|BHPH|的值最大，即点H为直线AB与x轴的交点，故点H（1，0），则|BHPH|的最大值BHPHBP；练3.1已知抛物线：yx2x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D点为抛物线的顶点，E为抛

12、物线上一点，点E的横坐标为5（1）如图1，连接AD、OD、AE、OE，求四边形AEOD的面积（2）如图2，连接AE，以AB，AE为边作AEFB，将抛物线w与AEFB一起先向右平移6个单位长度，再向上平移m个单位长度，得到抛物线w和AEFB，在向上平移的过程中AEFB与AEFB重叠部分的面积为S，当S取得最大值时，EF与BF交于点Q，在直线AB上有两动点P，H，且PH2（P在H的右边），当|PQHC|取得最大值时，求点P的坐标【解答】解：（1）令x2x+40，解得：x14，x22，A（4，0），B（2，0）当x1时，y，即D（1，），当x5时，y，即E（5，）S四边形AEODSAOE+SAODA

13、D（yDyE）×4×（）16；（2）如图1，延长FE交x轴于点H，由平移可知：F（1，），FHx轴，FEm，FH，BH1，FHBFEQ，即，EQ，由平移可知，重叠部分四边形为平行四边形，S重叠四边形EQHE（）m2+m，当m时，平行四边形的面积有最大值，此时yQ当y时，即Q是线段FB的中，xQ，即Q（，）如图2，作点Q 关于直线AB的对称点Q，将线段CH向右平移两个单位使点H与点P重合，点C的对应点为C，延长QC交直线AB于点N，当P在N点时，|PQHC|取得最大值则，则Q（，），C（2，4），yQC，当y时，解得x，所以当P（，）时，|PQHC|取得最大值；练3.2如图1

14、，二次函数y的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C，直线l是它的对称轴（1）求直线l与直线AC交点的坐标；（2）如图2，在直线AC上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，与直线AC交于点E，过点P作直线AC的垂线，垂足为点F，当PEF的周长最大时，在对称轴l上找点M，使得|BMPM|的值最大，求出|BMPM|的最大值，并求出对应的点M的坐标；【解答】解：（1）在y中，令y0，则0，解得：x14，x21A（4，0），B（1，0）令x0，得y，C（0，）设直线AC解析式为ykx+b，则，解得直线AC解析式为yx+，直线l解析式为x，将x代入yx+中，得y&

15、#215;（）+，直线l与直线AC交点的坐标为（，）；（2）PDOA，PFACEDAPFE90°；PEFAEDEADEPFOC，OA4tanEPFtanEAD；EPF30°sinEPF，cosEPF，EGPE，PFPE，PEF的周长PE+PF+EFPE当PE取得最大值时，PEF的周长最大；设点P（t，t2t+），则点E（t，t+），点P在点E的上方，PEt2t+（t+）t2t（t+2）2+，当t2时，PE取得最大值，此时PEF的周长取得最大值；P（2，2），E（2，）；B（1，0）与A（4，0）关于直线l对称，连接AM，AP，AMBM|BMPM|的值最大，即|AMPM|的值

16、最大，当P、M、A三点共线时，|AMPM|AP最大，AP4|BMPM|的最大值4；设直线AP解析式为ykx+b，将A（4，0），P（2，2）代入得解得：直线AP解析式为yx+4，令x，得y，M（，）；练3.3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+x+3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D（1）求直线BC的解析式；（2）点E（m，0），F（m+2，0）为x轴上两点，其中2m4，EE，FF分别垂直于x轴，交抛物线于点E，F，交BC于点M，N，当ME+NF的值最大时，在y轴上找一点R，使|RFRE|的值最大，请求出R点的坐标及|RFRE|的最大值；【解答】解：（1）令y0，则x2+x+30，解方程得：x6或x2，A（2，0），B（6，0）