拉格朗日中值定理洛必达法则

1、3.5 拉格朗日中值定理与洛必达法则一、案例引入二、讨论分析1、拉格朗日中值定理2、洛必达法则在两个高度相同的点间的一段连续曲线上，除端点外如果各点都有不垂直于x轴的切线，那么至少有一点处的切线水平的.xyabPOAB案例引入1、 定理定理3-6（拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）中值定理）中值定理）如果函数如果函数 f (x)满足下列条件：满足下列条件：（1）在闭区间）在闭区间a, b上连续上连续;（2）在开区间）在开区间(a, b)内可导，内可导，那么在那么在(a, b)内至少存在一点内至少存在一点，使得，使得:( )( )( ),f bf afba 一、拉格朗日（一、拉格朗日（Lag

2、range）中值定理）中值定理( )( )( )()f bf afba 或或讨论分析OxyABbaC由定理的条件可知由定理的条件可知,连接端点连接端点 A 和和 B 作弦作弦 AB , 则则( )( ).f bf aba 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理 的几何直观的几何直观曲线曲线( )yf x 在在,ba上是一条连续的曲线弧上是一条连续的曲线弧 ,AB曲线弧曲线弧 内部每一点处都有不垂直于内部每一点处都有不垂直于 x 轴的切线轴的切线.AB ( )ABfK 讨论分析 足拉格朗日中值定理的条件足拉格朗日中值定理的条件 解解所以函数在所以函数在0, 2上满上满上连续，上连续， 在开区间在

3、开区间(0, 2)内可导，内可导，函数函数 在在 上满足拉格朗日定理么？上满足拉格朗日定理么？例例1 1 22fxxx0, 2如果满足，求出使定理成立的如果满足，求出使定理成立的 的值。的值。 故在闭区间故在闭区间0, 2是初等函数，是初等函数， 22fxxx ( )22,fxx 又又(2)(0)( )20fff 令令(210, ) 解得解得( )( )L-( )f bf afb a 中中值值定定理理：22 即即8022,20 讨论分析0,ab 例例2 证明：对任意证明：对任意不等式不等式3( ),f xx 解解 设设,a b显然它在显然它在 上满足上满足即即 成立成立 23323()3aba

4、babba 3323) ( )babaab ，23323()3()ababab ba拉格朗日中值定理的条件，所以有拉格朗日中值定理的条件，所以有L-( )( )( ) ()f bf afba 中中值值定定理理：2223()3()3()ababab ba ，显然有显然有 3、拉格朗日中值定理应用、拉格朗日中值定理应用（1）证明不等式；）证明不等式； （2）证明等式）证明等式即即 讨论分析例例3. 证明不等式证明不等式证证: 设设( )ln(1),f tt朗日朗日中值定理条件中值定理条件,即即因为因为故故ln(1)(0).1xxxxx ( )(0)f xfln(1)ln1x1,01xx 1x 1x

5、x 10 xx ln(1)(0)1xxxxx ( )(0),0fxx 因此应有因此应有显然显然 f (t)在在0, x上满足拉格上满足拉格即即ln(1)x ,01xx 讨论分析212112()()( )() ()f xf xfxxxx 12,x x12xx 证证 设设为区间为区间I上任意两点（不妨设上任意两点（不妨设 ) ( )f x12,x x在在上满足拉格朗日中值定理的条件，上满足拉格朗日中值定理的条件，则则21()()0,f xf x 即即21()()f xf x ( )0,f 由于由于故故 f (x) 在区间在区间 I 上为一常数上为一常数即函数即函数f (x)在区间在区间 I 上任意

6、两点的函数值相等，上任意两点的函数值相等，则则()fx( )0,fx 推论推论1 若函数若函数上满足上满足在区间在区间If (x)在区间在区间 I上必为一常数上必为一常数所以所以显然，显然，讨论分析arcsinarccos, 1,1.2xxx 证证: 设设( )arcsinarccos,f xxx( )fx 由推论可知由推论可知( )arcsinarccosf xxxC (C为常数为常数) 令令 x = 0 , 得得(0)arcsin0arccos02f 又又( 1),2f 故所证等式在定义域故所证等式在定义域 上成立上成立. 1, 1211x 211x 0 小结小结: 欲证欲证xI 时时0(

7、 ),f xC 只需证在只需证在 I 上上( )0,fx 0,xI且且00()f xC使使，例例4. 证明等式证明等式在在(-1, 1)上有：上有：C 讨论分析( )( )()fxg xxI ，( )( )f xg xC 则则( C 常数常数 ) ( )f x( )g x推论推论2 若两个函数若两个函数与与的导数在区间的导数在区间 I 内内相等，相等，即即练习练习: :(,)x arctanarccot,2xx 讨论分析( )yf x 若函数若函数 满足满足:(1) 在区间在区间 a , b 上连续上连续(2) 在区间在区间 (a , b) 内可导内可导(3) f ( a ) = f ( b

8、)使使( )0.f xyoab( )yf x ,在在( a , b ) 内至少存在一点内至少存在一点4、补充补充：罗尔（罗尔（ Rolle ）定理）定理( )( )L-( )f bf afba 中中值值定定理理：应用说明：应用说明：（1）证明方程）证明方程 f (x)=0 根的唯一性。根的唯一性。（2）证明方程）证明方程 有根。有根。( )0fx 讨论分析例例5. 证明方程证明方程5510 xx (0)1,(1)3.ff 0()0,f x 有且仅有一个小于有且仅有一个小于1 的的正实根正实根 .证证: 1) 根的存在性根的存在性 .则则( )f x在在 0 , 1 连续连续 , 且且由零点定理

9、知存在由零点定理知存在0(0,1),x 使使5( )51,f xxx设设500510 xx 即即即方程即方程 有小于有小于 1 的正根的正根 0.x5510 xx讨论分析110(0,1),xxx4( )5(1)fxx 0,(0,1),x2) 根的唯一性根的唯一性 .假设另有假设另有1()0,f x 使使( )f x在在0110, (,)xxxx 或或满足罗尔定理条件满足罗尔定理条件 ,之间在10, xx至少存在一点至少存在一点,( )0.f 使使但但矛盾矛盾, 故假设不真故假设不真!讨论分析例例6 若方程若方程 有正根有正根320axbxcx0,x证明：证明：2320axbxc0(0,)x 方

10、程方程 在在 内必定有根。内必定有根。证明：令证明：令32( ),f xaxbxcx 2( )320fabc 0(0)()0.ff x00,x( )f x则则 在在 上上连续，连续，0(0,)x2( )32fxaxbxc 在在 存在，且存在，且()fx00,x所以所以 在在 满足罗尔定理的条件。满足罗尔定理的条件。0(0,)x, 根据罗尔定理可知，在根据罗尔定理可知，在 上至少存在一点上至少存在一点使使0( (0,)x 2320axbxc即即 是方程是方程 的根。的根。讨论分析二、洛必达法则二、洛必达法则当当 （或（或 ）时，如果两个函数）时，如果两个函数 0 xx x那么极限那么极限0()(

11、 )lim( )xxxf xg x( ),( )f xg x 都是无穷小或都是无穷大，都是无穷小或都是无穷大，可能存在、也可能不存在可能存在、也可能不存在通常称这种极限为未定式的极限，并分别简记通常称这种极限为未定式的极限，并分别简记为为 或或00. 讨论分析又满足条件：又满足条件：( )0,g x 00lim( )0, lim ( )0;xxxxf xg x （1）00( )( )limlim.( )( )xxxxf xfxg xg x 则则的左右近旁可导，且的左右近旁可导，且定理定理3-7 设设0 x在点在点( ),( )f xg x （2）存在（或为无穷大）存在（或为无穷大）0( )li

12、m( )xxfxg x 1、 型未定式型未定式00讨论分析 这种通过分子与分母这种通过分子与分母分别求导分别求导来确定未定式的来确定未定式的00,xxxxxxx 结论仍然成立结论仍然成立极限值的方法称作极限值的方法称作洛必达法则洛必达法则说明说明：如果把极限过程换成：如果把极限过程换成：讨论分析解解 这是这是型未定式型未定式00301limxxex 例例7 求求33001(1)limlim( )xxxxeexx 303lim1xxe 由洛必达法则，得由洛必达法则，得3.讨论分析解解 这是这是 型未定式，型未定式，0030sinlimxxxx 30sinlimxxxx 例例8 求求 由洛必达法则

13、，得由洛必达法则，得00002001cossin1limlim366xxxxxx 注意注意 ：如果应用洛必达法则后所得到的极限：如果应用洛必达法则后所得到的极限仍然是仍然是未定式未定式，且，且满足满足洛必达法则的洛必达法则的条件条件，则可，则可继续使用继续使用洛必达法则，洛必达法则，直至求出极限为止直至求出极限为止讨论分析极限是否为未定式极限是否为未定式特别注意的是，在每次使用洛必达法则前特别注意的是，在每次使用洛必达法则前, 都要都要验证验证讨论分析例例9 求求542154lim22xxxxxx542154lim22xxxxxx 00解解 这是这是 型未定式，型未定式， 由洛必达法则，得由洛

14、必达法则，得0403155lim422xxxx 0302120lim2122xxx 讨论分析练习：求练习：求02(1) lim;(2) lim.1cosxxmmnnxxaeexaxxa 讨论分析( ),( )f xg x 的左右近旁可导，且的左右近旁可导，且0 x定理定理3-8 设设在点在点( )0,g x 又满足条件：又满足条件：00(1) lim( ), lim( );xxxxf xg x 0()(2) lim()xxfxgx 存在（或为无穷大），存在（或为无穷大）， 00( )( )limlim.( )( )xxxxf xfxg xg x 则则2、 型未定式型未定式 ；讨论分析例例101

15、0 求求0lnsinlim.lnxxx 型未定式，型未定式，解解 这是这是 0lnsinlimlnxxx 0lim(cos )sinxxxx 由洛必达法则，得由洛必达法则，得0cossinlim1xxxx 00lim() lim cos1sinxxxxx讨论分析例例11 求求2lnlim.xxx 解解 这是这是型未定式，型未定式，2lnlimxxx由洛必达法则，得由洛必达法则，得2lnlim1xxx 2lnlimxxx=12 lim0 xx =讨论分析练习：练习： 求极限求极限2(1) lim;1xxx coslimcosxxxxx 讨论分析3、未定式的其它类型、未定式的其它类型：变形，转化为

16、变形，转化为所有这些类型的未定式都可通过适当所有这些类型的未定式都可通过适当或或00求解求解（2）和差形式的未定式，简记为和差形式的未定式，简记为00,0 ,1（3）幂指形式的幂指形式的未定式，简记为未定式，简记为0（1）乘积形式的未定式，简记为乘积形式的未定式，简记为讨论分析例例12 求求0limcot2xxx解解 这是这是0型未定式，将其变形为型未定式，将其变形为 00limcot2limtan2xxxxxx 00000( )limcot2limlimtan2(tan2 )xxxxxxxxx 00 这是这是 型未定式，型未定式， 由洛必达法则，得由洛必达法则，得201lim2sec 2xx

17、 1.2 讨论分析例例13 求求11lim.1lnxxxx 解解 这是这是型未定式，通分后可化为型未定式，通分后可化为111ln1limlim,1ln(1)lnxxxxxxxxxx 型未定式，利用洛必达法则，得型未定式，利用洛必达法则，得这是这是000101ln1(ln1)limlim(1)ln(1)lnxxxxxxxxxxxx 100(ln)lim1(ln1)xxxx 1lnlim1ln1xxxx 121lim11xxxx 原式原式1.2 讨论分析例例14 求求1lim (ln) .xxx 0解解 这是这是型未定式，将其改写成型未定式，将其改写成，11ln(ln )lim(ln )limxx

18、xxxxe ln(ln )limxxx 是是型未定式，型未定式，ln(ln )ln(ln )limlim( )xxxxxx 所以所以1lim(ln )xxx 01.e ln(ln)limxxxe由洛必达法则，得由洛必达法则，得1lim0.lnxxx 讨论分析注：注：洛必达法则对求未定式的极限并非始终有效，洛必达法则对求未定式的极限并非始终有效，220001111sin(sin)2 sincoslimlimlimsin(sin )cosxxxxxxxxxxxxx 01limcosxx而而 不存在不存在(也不是无穷大也不是无穷大)，所以，所以右端的右端的有些未定式利用洛必达法则求不出极限有些未定式

19、利用洛必达法则求不出极限 201sinlimsinxxxx是是 型的未定式，型的未定式，00如如 极限不存在极限不存在讨论分析2001sin1limlimsinsinsinxxxxxxxxx该极限是否就真的不存在呢？该极限是否就真的不存在呢？事实上：事实上：001limlimsinsinxxxxxx1 00. 讨论分析费马费马(1601 1665)法国数学家法国数学家, 他是一位律师他是一位律师, 数学数学只是他的业余爱好只是他的业余爱好. 他兴趣广泛他兴趣广泛, 博博览群书并善于思考览群书并善于思考, 在数学上有许多在数学上有许多重大贡献重大贡献. 他特别爱好数论他特别爱好数论, 他提出他提

20、出的费马大定理的费马大定理:,2无整数解方程时当nnnzyxn至今尚未得到普遍的证明至今尚未得到普遍的证明. 他还是微积分学的先驱他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的提炼出来的.讨论分析 罗尔是法国数学家，罗尔是法国数学家，16521652年年4 4月月2121日日生于昂贝尔特，生于昂贝尔特，17191719年年1111月月8 8日卒于巴黎。日卒于巴黎。罗尔在数学上的成就主要是在代数方面，罗尔在数学上的成就主要是在代数方面，专长于丢番图方程的研究。专长于丢番图方程的研究。 罗尔于罗尔于16911691年在题为年在题为任意次方程的任意次方程的一个解法的证明一个解法的证明的论文中指出了：在多项式方程的论文中指出了：