平面杆单元有限元分析

1、 杆单元L 杆长A 截面积E 弹性模量 )()()(xxxuu杆单元位移杆单元应变杆单元应力2.1.1 直接法导出单元特性直接法导出单元特性(方法一方法一) 杆单元伸长量：ijuu 应变位移关系：应力应变关系：dxduEL应 变：LEE应 力：kLEALEAAF杆内力：LEAk 则杆的轴向刚度： 轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因此杆单元的刚度矩阵为：比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：jijijiuuLEAuukkkkff11112.1.3 关于杆单元的讨论关于杆单元的讨论1）在单元局部坐标系下，每个节点一个未知位移分量和在单元局部坐标系下，每个节点一个未知位移分

2、量和 一个自由度，单元共有一个自由度，单元共有2个自由度个自由度。2）单元刚度矩阵元素的物理意义单元刚度矩阵元素的物理意义刚度方程中令： 则： 单元刚度矩阵的第单元刚度矩阵的第i i（i=1,2)i=1,2)列元素表示当维持单元列元素表示当维持单元的第的第i i个自由度位移为，其它自由度位移为时，施加个自由度位移为，其它自由度位移为时，施加在单元上的节点力分量。在单元上的节点力分量。 （也可以用此方法直接导出杆单元的刚度矩阵元素也可以用此方法直接导出杆单元的刚度矩阵元素）单元刚度矩阵对称、奇异、主对角元素恒正单元刚度矩阵对称、奇异、主对角元素恒正。01jiuu2111kkffjijijiuuk

3、kkkff22211211单元刚度方程2.1.4 举例举例例1 求图示段杆中的应力求图示段杆中的应力。解：解：结构分为个杆单元，单元之间在节点铰接。 个杆单元的刚度矩阵分别为个杆单元的刚度矩阵分别为： 参考前面弹簧系统的方法，装配杆系统的有限元方程（平衡方程）如下：321321110132022FFFuuuLEA引入边界位移约束和载荷：方程化为：31200110132022FPFuLEA上述方程组中删除第，个方程，得到：解得：即位移解为：0103321EAPLuuu单元1应力：APEAPLLELuuELEE3031211131200110132022FPFuLEA单元2应力：APEAPLLEL

4、uuELEE33023222例2：求杆两端的支反力已知：解：先检查杆右端与墙壁是否接触。计算右端的自由 伸长：所以，右端间隙将闭合，即节点3与刚性墙壁接触。 参照前面的讨论，可直接写出2单元系统平衡方程：载荷与边界条件：系统平衡方程为：分离出第2个方程：即：得到：节点位移列式： 根据求出的节点位移，用系统有限元方程中的根据求出的节点位移，用系统有限元方程中的第第1、3个方程可以求解支反力个方程可以求解支反力。由第1个方程可以得出：由第3个方程可以得出：2-D空间中杆单元空间中杆单元1-D空间杆单元 2- D空间杆单元 换变标坐基本思想原来1-D空间中的杆坐标系作为局部坐标系）（，iivuiiv

5、u ,)(, yx（1）向量的坐标变换 节点的位移分量和节点力分量在节点的位移分量和节点力分量在2-D局部坐标系局部坐标系x-y下描述。节点上下描述。节点上的位移和节点力向量在的位移和节点力向量在2-D局部坐标系与局部坐标系与2-D总体坐标系下的变换如下：总体坐标系下的变换如下： iidTd称为方向余弦称为方向余弦 向量的坐标变换矩阵为：lmmlTTTT1显然是正交阵是正交阵，即：单元节点位移向量的变换式如下：或Tdd T00TT其中：同样可以得到单元节点力的变换式为：Tff （2）刚度矩阵的坐标变换）刚度矩阵的坐标变换局部坐标系下杆单元的刚度方程为：把该方程扩充到2-D局部坐标系x-y下的4阶形式：yjxjyixijjiiffffvuvuLEA0000010100000101fdk写成矩阵符号形式：利用前面的向量坐标变换式，得：TfTdkTdd Tff fTdkTT则，总体坐标系中的单元刚度矩阵为：