材料力学-第五章梁弯曲时的位移(含能量法教学)

1、 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 (Displacements of Bending Beam) 廖东斌廖东斌 编制编制 1345191106113451911061 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移1.1.工程实践中的弯曲变形问题工程实践中的弯曲变形问题 在工程中，对某些受弯构件，要求变形不能在工程中，对某些受弯构件，要求变形不能过大，即要求构件有过大，即要求构件有足够的刚度足够的刚度，以保证正常，以保证正常工作。工作。 在另外一些情况下，却要求构件具有较大在另外一些情况下，却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。的弹性变形，以满足特定的工作需要。变形过大的

2、变形过大的不利影响不利影响（工程实例）（工程实例） 摇臂钻床的摇臂等变形过大，就会影响摇臂钻床的摇臂等变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。零件的加工精度，甚至会出现废品。 桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大, ,则会使小车则会使小车行走困难，出现爬坡现象。行走困难，出现爬坡现象。 传动轴的支座处转角过大，轴承发生磨损。传动轴的支座处转角过大，轴承发生磨损。P2P2P变形的变形的有利方面有利方面（工程实例）（工程实例）挠度挠度w：横截面形心处的铅垂位移。横截面形心处的铅垂位移。转角转角 ：横截面绕中性轴转过的角度。横截面绕中性轴转过的角度。梁对称弯曲时用什么梁对称弯曲

3、时用什么参数参数表示轴线的表示轴线的变形变形?wzEIxMx)()(1?w挠度挠度w：横截面形心处的铅垂位移。横截面形心处的铅垂位移。转角转角 ：横截面绕中性轴转过的角度。横截面绕中性轴转过的角度。挠曲线挠曲线(deflection curve) 变形后的轴线。变形后的轴线。工程实例工程实例控制截面的挠度、控制截面的挠度、控制桥墩的水平位移控制桥墩的水平位移工程中测量挠度的方法、仪器工程中测量挠度的方法、仪器精密水准仪、全站仪、精密水准仪、全站仪、GPSGPS、机电百分表、光、机电百分表、光电方法等电方法等w挠曲线方程：挠曲线方程：转角方程：转角方程：)(xfw )(tanxfw 2321/)

4、(ww 曲线曲线 w = f (x) 的曲率为的曲率为梁纯弯曲时曲率由几何关系得梁纯弯曲时曲率由几何关系得zEIxMx)()(1wwwx 23211/)()(zEIxMx)()(1)(xMwEIz 问题的关键：问题的关键：考虑上式中的取考虑上式中的取正正还是取还是取负？负？考虑小变形条件：考虑小变形条件：MwEI M 0 xy0 wMMMMM 00 wxy问题的关键：问题的关键：考虑上式中的取考虑上式中的取正正还是取还是取负？负？思考思考: :与小挠度微分方程与小挠度微分方程 相对应的相对应的坐标系为？坐标系为？ （ ）)(xMwEIz xxxyyy(a)(b)(c) 教材中采用教材中采用（a

5、)图图坐标系坐标系)(xMwEI Cxd )x(MwEIDCxxdxd )x(MEIw2. 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形式中式中积分常数积分常数C、D由由边界条件边界条件确定确定弯矩方程不分段时弯矩方程不分段时弯矩方程分弯矩方程分n段段时，积分常数个数为时，积分常数个数为2n由边界条件确定的方程需要由边界条件确定的方程需要2n个个方法的局限性：方法的局限性：外力复杂或多跨静定梁时计算量过大外力复杂或多跨静定梁时计算量过大光滑连续条件：光滑连续条件：FCccccww边界条件边界条件约束条件约束条件:两端铰处挠度为零。两端铰处挠度为零。边界条件边界条件边界条件边界条件xylq例例1.已知梁的抗

6、弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简。试求图示简支梁在均布载荷支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定曲线方程，并确定max和和wmax。解：解：222)(xqxqlxM 222xqxqlwEI CxqxqlwEI 3264DCxxqxqlEIw 432412由边界条件：由边界条件：000 wlxwx时时，时时，得：得：0,243 DqlCxqlxyAB最大转角和最大挠度：最大转角和最大挠度：xqlxyABAB)2(24332lxlxEIqxw EIqlwwlx384542max （）（ ）转角为正时，表示其转向和由转角为正时，表示其转向和由x轴轴转向转向

7、y y轴的时针相轴的时针相同；挠度为同；挠度为正正时时，表示其方向和表示其方向和y y轴正向相同。轴正向相同。)46(24332lxlxEIqw EIqlBA243max xylPAB例例2.2.已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁。试求图示悬臂梁在集中力在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定并确定maxmax和和wmax。解解：)()(xlPxM lPxPwEI CxlPxPwEI22DCxxlPxPEIw2326由边界条件：由边界条件：000w,wx时时，得：得：0 DCxylPABx梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠

8、曲线方程分别为：)2(2lxEIxP )3(62lxEIxPw 最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：EIPlB22max EIPlwwB33max xylPABxBEIPlB22 EIPlwB33 另解另解：PxxM )(xPwEI CxPwEI 22DCxxPEIw 36边界条件：边界条件：0, 0 wwlx，时EIPlC22 xyPABxEIPlD33 )(xMwEI 梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：EIlPEIxP2222 EIlPEIxlPEIxPw326323 最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：EIPlB22max E

9、IPlwwB33max BxyPABxxyl2FABCl2例例3已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁。试求图示简支梁在集中力在集中力F作用下的转角方程、挠曲线方程，作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定并确定max和和 wmax。解：解：xFxMAC2)( ：段xFwEI2 CxFwEI 24DCxxFEIw 312由边界条件由边界条件：00 wx，时得得：0 D由对称条件：由对称条件：02 wlx时，时，得得：162FlC xyl2FABCl2x思考：思考：0 c ?AC段段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：)4(1622lxEIF )34(4

10、822lxEIxFw 最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：EIPlBA162max EIPlwwlx4832max xyl2FABCl2x四四. .用叠加法计算梁的变形用叠加法计算梁的变形 在材料服从胡克定律、且变形很小的前提在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下下, ,载荷与它所引起的变形成线性关系。载荷与它所引起的变形成线性关系。 若计算几个载荷共同作用下在某截面上若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各载荷单独作引起的变形，则可分别计算各载荷单独作用下的变形，然后叠加。用下的变形，然后叠加。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引当梁上同时作用几个载荷

11、时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。起的变形是各自独立的，互不影响。 如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如C截面挠度，则可截面挠度，则可直接查表直接查表：各载荷单独作用：各载荷单独作用下的挠度，然后叠加（下的挠度，然后叠加（代数和代数和）。）。 如果如果不能直接查表不能直接查表，则要采用分段刚化等方，则要采用分段刚化等方法化成可查表形式。法化成可查表形式。逐段刚化法：逐段刚化法：变形后：变形后：ABAB BC BCC C点的位移为：点的位移为：wc c2LwwwwBBcBcBACw 、例例4.4.用叠加法求用叠加法求解：解：EIl q3845

12、4EIlP483EIlm162CwAEIl q243EIlP162EIlm3BEIl q243EIlP162EIlm3（ ）（ ）（ ）解：解：BPaEI 22maEI20mPa4例例6.求外伸梁求外伸梁C处的位移。处的位移。LaCABP解：解：ABCP刚化EI=PCfc1BC引起的位移引起的位移c1EIpafc331EIpac221刚化刚化AB刚化刚化BC， AB部分引起的位移部分引起的位移CABP刚化EI=fc2B2PPaB2aEIPaLafBc322EIpaLB3221cccfff21ccc 例例7. 求图示变截面梁求图示变截面梁B、C截面的挠度截面的挠度 。解：解：)EI(aPa)EI

13、(PawB222323 EIPa1253EIaPa)EI(PaB2222 顺顺时时针针EIPa432EIPaEIPaawwBBC23333 思考思考:梁横截面为边长为梁横截面为边长为a的正方形，弹性模量为的正方形，弹性模量为E1；拉杆横截面为直径为；拉杆横截面为直径为d的圆，弹性模量为的圆，弹性模量为E2。求求:拉杆的伸长及拉杆的伸长及AB梁中点的挠度。梁中点的挠度。 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能弹性应变能，简，简称称应变能应变能 ( (又称又称变形能变形能) )。 WV 物体在外力作

14、用下发生变形，物体的变形物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即移上所做的功，即1 1、轴向拉伸和压缩、轴向拉伸和压缩PPllWV lP 21EAlFEAlPN2222lNEAxFV2d2 一般地一般地2 2、扭转、扭转WV mm m21ppIGlTIGlmm2212lpIGxTV2d2 一般地一般地3 3、弯曲、弯曲WV lIExMV2d212m12mmlEIm lEIM lEI2222一般地一般地纯弯曲：纯弯曲：11WVlsGAxFkV2d2 VdVG22 dAdsIAkAzz2)(dxGAFkls22

15、dISFzzs 横力弯曲时剪力影响：横力弯曲时剪力影响： 一般地一般地lIExM2d2llplNIExMIGxTAEdxFV2d2d2222 对横力弯曲的梁，截面上弯矩和剪力，当高对横力弯曲的梁，截面上弯矩和剪力，当高跨比较大（长梁）时，跨比较大（长梁）时，剪切变形能影响较小，可剪切变形能影响较小，可忽略不计忽略不计，对短梁应考虑剪切变形的影响。，对短梁应考虑剪切变形的影响。长梁应变能：长梁应变能：lIExMV2d2 组合变形应变能：组合变形应变能：iFiiFV lIExMV2d2 iiFV dxMMEIMili.dxFMEIMili.0q0AMAMx321)(0 xxxlqMxMAlxqMA

16、3061dxMxMEIxMlAA0)()( lxqMxMA3061)(1)(AMxMdxlxqEIdxlxqMEIllA030300611)61(1EIlq2430( )EIlqwA30401x2x11Fx)x(M Fa)x(M 20)(1xFNF)x(FN 2 11011101dxF)x(FEA)x(FdxF)x(MEI)x(MNaNaCy 22022202dxF)x(FEA)x(FdxF)x(MEI)x(MNaNa 102021021dxEAFdxEIFadxEIFxaaaCy EAFaEIFl 343EIFlCx23 例例10.求中点求中点C的位移。的位移。ABCF11IE 21IE2l

17、2l考虑如何用考虑如何用叠加法叠加法有一定难度，用有一定难度，用能量法能量法解解很很容易容易。2)(FxxM 2, 0lx dxFxMIExMlCy )()(201111320112964IEFldxIEFxl ABCF11IE 21IE2l2lx)()()()(11xMFxMFxMFxMnnii lIExxMV2)d(2 dxFxMEIxMili)(.)(liidxEIxMxM)()(莫尔积分莫尔积分)(xMi只在只在i处处加相应单位力加相应单位力后的弯矩方程后的弯矩方程)(xM的弯矩方程的弯矩方程liNNlPiliidxEAxFxFdxGIxTxTdxEIxMxM)()()()()()(n

18、jjjNNjiEAlFF1jNF只在只在i处处加相应单位力加相应单位力后的弯矩方程后的弯矩方程例例11.11.已知悬臂梁长为已知悬臂梁长为l, ,弯曲刚度为弯曲刚度为EI , , 受力受力大小为大小为F , ,计算自由端计算自由端B处挠度和转角。处挠度和转角。FABlFABx1ABxFxxM)()(xM)(xMxxM)(lBdxEIxMxMw0)()(ldxEIFx02EIFl33FABx)(xM1ABx)(xMFxxM)(1)(xMlBdxEIxMxM0)()( EIFldxEIFxl220( )1x2x11Fx)x(M Fa)x(M 20)(1xFNF)x(FN 21x2x11x)x(M

19、01 )x(FNa)x(M 212 )x(FN lNNllcydxEAxFxFdxEIxMxMdxEIxMxM022202220111)()()()()()(11)(FxxM FaxM )(20)(1 xFNFxFN )(211)(xxM 0)(1 xFNaxM )(21)(2 xFN llldxEAFdxEIFadxEIFx020220121EAFaEIFl 343 在应用莫尔积分求在应用莫尔积分求梁梁位移时，需计算下列位移时，需计算下列形式的积分：形式的积分：liidxEIxMxM)()( 对于等直杆，对于等直杆，EI=const=const，可以提到积分号，可以提到积分号外，故只需计算积

20、分外，故只需计算积分lidxxMxM)()(直杆直杆 图必定是直线或折线。图必定是直线或折线。 tg)( xxMi)(xMi)(xMi)(xMCMlidxxMxM)()(ldxxxM)(tan ldxxxM)(MCx MCMCliMxdxxMxM tan)()(liidxEIxMxM)()(EIMMCi CMM M图图分段面积分段面积C图图形心形心MM图图中对应于中对应于C下纵坐标下纵坐标EAlFFEIMjjNNjMCi 在在平面刚架平面刚架, ,组合结构组合结构时，用下列形式计算时，用下列形式计算注意注意: : 分段必须为分段必须为直线段直线段M在取面积的图中找形心在取面积的图中找形心, ,

21、另图找对应的纵坐标另图找对应的纵坐标 M分段为直线段时分段为直线段时, ,也可以也可以EIMMCi 找纵坐标的图必须为找纵坐标的图必须为直线段直线段 顶点顶点顶点顶点23lh13lh二次抛物线二次抛物线参考用图参考用图 例例13.13.已知悬臂梁长为已知悬臂梁长为l, ,弯曲刚度为弯曲刚度为EI , , 受分受分布力集度为布力集度为q , ,计算自由端计算自由端B处转角。处转角。qAlB1AMEIMwCMB M22ql82qlEIql63 EIlql12312 M1qAlB1AM22ql82qlMl43lEIMwWCMB CEIllql432312 EIql84 例例14.求中点求中点C的位移

22、。的位移。ABCF11IE 21IE2l2l前面前面例例10用用卡氏第二定理卡氏第二定理解过，现用图乘法解过，现用图乘法解。解。2)(FxxM 2, 0lx dxFxMIExMlCy )()(201111320112964IEFldxIEFxl ABCF11IE 21IE2l2lxM4/ l1162421IEllPlw 11396IEPl M4/Pl（用单位力法求解）用单位力法求解）MNF EAFaEIFaEAaFEIaFaaFaCy 3413221322maxmaxlwlw许可挠跨比和许可转角，它们决定于构件正常许可挠跨比和许可转角，它们决定于构件正常工作时的要求。工作时的要求。五、梁的刚度

23、计算五、梁的刚度计算刚度条件：刚度条件：500483lwEIPlwmax250048lEIP kN.117PmaxmaxMWzPlWz460MPa 711.kN 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度EI；减小跨度或增加支承；减小跨度或增加支承；改变加载方式和支座位置。改变加载方式和支座位置。选择题练习选择题练习

24、 、 、 、 、分析：分析： yE RrErRrEyE maxmax 、 、 、 、分析：分析：zEIxMx)()(1 3 3、与小挠度微分方程与小挠度微分方程 相对应的坐相对应的坐标系为标系为 （ ） ？)(xMwEIz xy(a)xy(b)xy(c) (d) xy 、 分析：分析：y坐标向下为右边负号坐标向下为右边负号CABaqaaaD 、 、 、 、 、 、分析：分析：FAB 、 、 、 、分析：分析：EIFlwB33 FAB 、 、 、 、分析：分析：EIFlwB33 llFABCllFABCFEIFlB2 EIFlB232 0 B EIFlB353 4Pam 0 B EIPlB322

25、 EIPlB232 EIPlB2 、 、 、 、分析：分析：EIqlw84 、 、 、 、分析：分析： 分析：分析：113max148IEFlw 223max248IEFlw 112max116IEFl 222max216IEFl 2211IEIE cbxaxy 2 13.13.已知悬臂梁长为已知悬臂梁长为l, ,弯曲刚度为弯曲刚度为EI , , 受力大受力大小为小为F , ,用图乘法计算自由端用图乘法计算自由端B处挠度和转角。处挠度和转角。FABl1ABlPllMMEIPlEIlPlwB3332221 ()FABl1ABlPl1MMEIPlEIPlB212221 FABl14.14.已知悬臂梁长弯曲刚度为已知悬臂梁长弯曲刚度为EI , , 受力如图受力如图 , ,用图乘法计算自由端用图乘法计算自由端B处挠度和转角。处挠度和转角。FABFllFABFllAB1llFlMMl2EIFlEIlFllFlwB611332221232 FABFllEIFllEIFlEIFlEIlFwB611233)2(3233 叠加法叠加法ABFllFABll15.15.已知悬臂梁长弯曲刚度为已知悬臂梁长弯曲刚度为EI , , 受力如图受力如图 , ,用卡氏用卡氏第二定理计算自由端第二定理计算自由端B处挠度时，有（处挠度时，有（ ）。）。FABFllA.A.弯矩方程不分段。弯矩方