二级倒立摆系统设计

1、收稿日期:2005-06-25第23卷第11期计算机仿真2006年11月文章编号:1006-9348(200611-0340-07二级倒立摆系统设计于晓洲,周凤岐,周军(西北工业大学,陕西西安710072摘要:自行设计了二级倒立摆硬件系统,完成了机械部分与电路部分的总体设计、加工、组装和调试。自行设计并制作了倒立摆系统控制盒,利用控制盒实现了对角度、位移等状态变量信息的滤波、处理与控制指令的输出。利用Lagrange 方法建立了二级倒立摆系统的完整数学模型,同时利用滑动模态变结构控制算法设计了相应的控制率,基于V isualStudi o6.0环境编写了控制算法,成功的实现了对于二级倒立摆系统

2、的稳定控制。关键词:二级倒立摆;变结构控制;稳定控制中图分类号:TP13文献标识码:BD esi gn of D ouble I nverted PendulumY U Xiao -zhou,ZHOU Feng -qi,ZHOU Jun(North western Polytechnical University,Xi an Shanxi 710072,China ABSTRACT:The hard ware of double inverted pendulu m is designed,the mechanis m and electr ocircuit part are de 2sign

3、ed,machined,manufactured and debugged .The contr ol box of the double inverted pendulu m is designed,the variables of the angles and dis p lace ment are filtered and p r ocessed,and the contr ol instructi ons are generated inside the contr ol box .Modeling the double inverted pendulu m with Lagrange

4、 functi on,and a sliding mode variable structure contr oller is designed,the contr ol la w based on the V isual Stuidi o6.0envir on ment is p r ogra mmed t o successfully sta 2bilize the double inverted pendulu m.KE YWO RD S:Double inverted pendulu m;Variable structure contr ol;Stability contr ol1引言

5、倒立摆系统是一个非线性程度严重的高阶不稳定系统,也是一个典型的多变量系统。作为一种经典的实验装置,它抽象于工程应用之中,并涵盖了实际应用的诸多因素,且实用于多种控制理论。二级倒立摆实质上是一个严重不稳定的系统,理论上可以用经典控制理论和线性系统理论等来设计控制律,但这些理论方法在应用中受到很大的限制。经典控制理论对高阶问题的解决总是不理想;而线性系统理论对模型准确度的要求又非常高,这就使得解决非线性问题严重的系统时结果不理想。变结构控制作为一种近年来得到广泛使用的控制方法,具有很好的鲁棒性,是一种能较好地解决非线性问题的有效方法。在进行二级倒立摆控制规律设计时,采用了可以较好地解决高阶非线性问

6、题的变结构方法。利用控制对象的状态变量,以李雅普诺夫稳定理论为基础,来构成系统的稳定控制规律。本文基于变结构控制算法,利用倒立摆实验系统实现了稳定控制。2二级倒立摆硬件系统2.1系统基本组成如图1所示,二级倒立摆实验系统包括三部分组成,包括倒立摆实验本体, 倒立摆系统控制盒以及控制计算机组成。图1二级倒立摆系统工作原理图0432.2倒立摆本体倒立摆实验本体主要由机械部分和电路部分组成:机械部分包括的主要部件有:底座,框架,滑轨,齿型传动皮带,小车,摆杆以及一些连接轴等。倒立摆系统框架为铝制框架,底部设计有可调的钢底座,用它可以调节底座与水平方向的夹角。滑轨采用了独特的圆柱形双滑轨,它不仅可以防

7、止小车在垂直方向上的震颤,而且可以阻止小车绕滑轨旋转。齿型带套在两个齿形带轮上。小车固连于齿型皮带上。用齿形带轮和齿形皮带的优点是使小车不会产生相对与带轮的滑动。当电机转动时,电机带动齿型带运动,使与之固连的小车也做同样的运动,从而可以控制摆杆来回摆动,达到稳定控制的目的。摆杆为铝制,并且做过镂空处理,使其较为轻巧,减小运动部分的重量。摆杆与小车之间以轴固连。摆杆顶端装有一个矩形小环。连接于框架上的水平细铁丝穿过这个小环,使得摆杆在不稳定时可以斜靠在框架上端的细铁丝上,而不致于在不稳定控制时摆杆撞到框架上。倒立摆系统电路部分采用的执行元件是70LYX54直流永磁力矩电机。该力矩电机是一种低转速

8、大力矩的电动机。它能够在低速运行时产生足够大的转矩,特别适合于位置伺服系统和低速伺服系统。同时该力矩电机的转轴通过减速齿轮和测速电机相连,可直接测得与电机相连的齿型带所带动的小车的运动速度。倒立摆还包括两种测量电位器:一种是绕线滑动变阻器,另一种是导电塑料电位器。导电塑料电位器用于测量摆杆的角度信号,其精度非常高。而绕线滑动变阻器用于测量小车的位移信号,变阻器固连在电机轴上,同电机转子一起运动,由这两种电位器测得的位移和角度信号,以及由测速电机获得的速度信号都送往控制计算机。2.3控制计算机传感器将角度信息,位置信息,速度信息通过采集卡反馈给计算机,由计算机对信号作处理,通过预定的算法程序得出

9、控制信号,再通过采集卡的输出口将信号送往倒立摆系统控制盒,在控制盒中进行数字信号处理,进而控制电机的正转和反转,从而达到控制倒立摆的目的。2.4倒立摆系统控制盒倒立摆系统控制盒主要由信号级处理电路以及功率级处理电路组成。信号级处理电路将控制计算机送出的指令信号转换为脉冲调宽(P WM信号,P WM信号经过光电耦合送往功率级处理电路,经过放大等处理后驱动电机转动,完成对倒立摆系统的闭环控制。以脉冲宽度调制的方式驱动电机的优点是可以使电机始终保持在最大电压工作状态下,提高电机的运行效率,同时可以有效地减少小车与滑轨之间的摩擦作用。功率板的数字功率放大器采用互补对称式的晶体管直流放大器电路。3二级倒

10、立摆系统建模3.1建立系统基本假设采用分析力学中的Lagrange方程来建立倒立摆系统的图2摆角之间的关系数学模型。其基本假设为:1上摆/下摆摆体视为刚体。2施加在小车上的驱动力与加在功率放大器上的输入电压成正比,并且无延时的施加在小车上。3皮带轮与传送带之间无滑动,传送带无伸长现象。4平衡点附近进行必要的线性化处理,如图2摆角之间的关系,各摆杆的角度分别为1、2,在小角度的情况下有: r=1=2=1=2=0;这样,就有sin11,cos11;sin22,cos21;3.2利用Lagrange方程建立系统模型同时受到保护力和耗散力作用的倒立摆系统的Lagrange方程应为:dd t(5T5 q

11、 i-5T5q i+5V5q i+5D5 q1=F q i(1其中,qi为广义坐标,在文中小车的位移为r;Fq为作用在系统上的广义力,当qi=r时,F q=G0U,U为控制量,G0为增益常数,当qi=1=2时,F q=0;T、V和D是系统的动能、势能和耗散能,分别为:T=ni=0T i,V=ni=0V i,D=ni=0D i(2n为倒立摆的级数,T i为小车和各级倒立摆的动能,V i为小车和各级倒立摆的势能,Di为小车和各级倒立摆的耗散能,分别为:T0=12M0 r2(3T1=12J121+12M1×dd t(r+l1sin12+dd t(l1cos12 =12J121+12M1&#

12、215;(r+l1cos112+(l1sin112(4T2=12J222+12M2×dd t(r+L sin1+l2sin22+dd t(L cos1+l2cos22 =12J222+12M2×(r+L cos11+l2cos222+(L sin11+l2sin222;(5根据式(1.2,可得143V 0=0,V 1=M 1g l 1cos 1,V 2=M 2g (L cos 1+l 2cos 2,D 0=12F 0 r 2,D 1=12F 121,D 2=12F 2(2-12(6(M 0+M 1+M 2¨r +(M 1l 1+M 2L cos 1¨1+

13、M 2l 2cos 2¨2-(M 1l 1+M 2L sin 111-M 2l 2sin 222+F 0r =G 0U (7(J 1+M 1l 21+M 2L 2¨1+(M 1l 1+M 2L ×cos 1¨r +M 2L l 2cos (2-1¨2+(F 1+F 21+-M 2L l 2sin (2-12-F 22=(M 1l 1+M 2L g sin 1(8(J 2+M 2l 22¨2+M 2L l 2cos (2-1¨1+M 2l 2cos 2¨r +M 2L l 2sin (2-11-F 21+F 22=M

14、 2g l 2sin 2(9式中,M 0、M 1、M 2为小车、下摆、上摆的质量;L 为下摆的摆长;l 1、l 2为下摆、上摆重心到对应转动轴心的距离;J 1、J 2为下摆、上摆的转动惯量;F 0、F 1、F 2、F 3为小车与导轨之间,下摆、上摆与对应转轴之间的摩擦系数;g 为重力加速度。将式(7、(8、(9写成矩阵形式(10:M (1,2¨r¨1¨2+N (1,2,1,2 r12=G (U,1,2G (U,1,2=G 0U(M 1l 1+M 2L g sin 1M 2g l 2sin 2(10忽略状态方程中二阶及以上的高次项,则有:M (0,0=M 0+M 1

15、+M 2M 1l 1+M 2L M 2l 2M 1l 1+M 2LJ 1+M 1l 21+M 2L2M 2L l 2M 2l 2M 2L l 2J 2+M 2l 22N (1,2=00(M 1l 1+M 2L g 1000M 2g l 22(11F (0,0,0,0=F 0000F 1+F 2-F 20-F 2F 2(12实际系统中,测量上摆角度信号的电位器是装在下摆顶端的轴承上,所以实际上摆电位器测得的上摆角的信号是1-2,如图2所示。为了与实际采集系统相符合,也为了使计算方便,做如下变换:X =TYXT=r ,1,2-1, r ,1,2-1(13其中T =-11(14代入式(1.7中,有H

16、T -1X =J T -1X +KF(15对式(15进行线性变换,则有(HT -1-1HT -1X =(HT -1-1J T -1X +(HT -1-1KF令(HT -1-1J T -1=A,(HT -1-1K =B ,则X =AX +BU (16有输出方程Y =CX(17其中C =1(184变结构控制规律的设计4.1变结构控制器设计基于极点配置技术的滑动模态域变结构控制器设计方法,设计二级倒立摆系统的控制器。由于二级倒立摆系统是单变量高阶系统,所以m =1,选择矩阵T 使得AB 化为可控标准型:TA T-1=010 (00100001-a 0-a 1-a n -2-a n -1TB =000

17、.1T对于闭环系统的理想极点位置,选取p =-8+j -1+j -1-j -8-j -10,然后求出相应的K,则G =K 1T 。按等速趋近律,取S =-sgn s,>0,则求得控制:u =-(GB -1GA x +sgn s (19变结构控制的二级倒立摆平衡系统仿真如图3所示。图4,图5,图6分别为小车的位移曲线,下摆角度曲线,上摆角度曲线。为了使变结构控制简单实用,采用控制律u =u max S <0u =-u max S >04.2控制系统的消颤243 图3 二级倒立摆平衡系统仿真图图4 小车的位移曲线 图5下摆角度曲线图6上摆角度曲线控制的开关特性,会引起系统的颤振。

18、严重的颤振会影响系统的稳定特性。若设计滑动模态域S =GX 0其中G =G 0G 1G 2G 3G 4G 5选择控制量u =SS +×u max是一个小的正数,则可以有效地解决颤振问题。举例说明。假设u max =5。若取控制律为u =u max S <0u =-u max S >0(20则在滑动模态域从负值变化到正值时u 从正的最大值变化到负的最大值。这时电机以最大转速从正转切向相反方向。而电机的反应延迟,势必会导致整个系统处于严重的颤振状态。在整个实验中,这种情况会经常出现。这不仅对整个系统的稳定性能造成负面的影响,对设备也会有不小的破坏。若采用u =SS +

19、5;u max ,若取=2。假设S 从负值变到正值。则u 从4变化到-4。电机可以以较小的速度切换方向。这样所造成的颤振会减弱很多。当然的选取,与实际控制中的各种因素有关。应该综合考虑,选择一个合适的值。因为太小,消颤效果不明显;过大,会影响控制效果,甚至会使系统失稳。在本实验中,取u max =5,=1。发现结果比较理想。另外在实验中发现,G 2必须在大于G 1的情况下,才能使上摆无相对于下摆的运动。此时,才有可能使二级倒立摆稳定于平衡位置。当然,G 2的无限大会造成其它各个变量的作用不再明显,这会影响到整个系统的稳定性。滑动模态域中与三个速度信号有关的量,是测速反馈,相当于三个阻尼系数。阻

20、尼过大,使系统动态性能变差,而太小,又会使振荡加剧。5抗干扰设计二级倒立摆系统抗干扰设计对于系统能否稳定控制至关重要,因此系统从软件数字滤波以及硬件两个方面实现信号的抗干扰。5.1输入信号的数字滤波由于系统在运行过程中不可避免的会引入噪声,因此有必要采用一定的方法对于噪声进行滤波。倒立摆硬件控制系统具有较高的采样率,在保证系统能够精确的对这些状态值进行获取的前提下采用了以下几种方法进行输入信号的数字滤波。快速干扰的滤波:对于作用时间较短的快速干扰,由于在采样过程中快速干扰的幅值一般比较大,因此利用程序剔除了其中的最大值以及最小值。利用多次采样值取平均,在实际的设计中采用了4次采样平均的方法,即

21、:e (k =N -1j =0je (j ,0<j 1且N -1j =0j=1(21在式子中e (k 为系统的第k 次输入,j 为系统的权值。采用这两种方法的原因是:在保证较好的数字滤波效果的前提下,一方面这两种方法在编程时较为容易实现,另一方面程序执行时不会花费过多的处理器时间。5.2硬件抗干扰设计适当减缓P WM 功率转换电路中开关的开通速率,并限制集电级电流幅度或选用反向恢复时间短、复合电荷少的开关续流二极管,能有效地减小尖峰电流,抑制干扰源。343元器件的合理布局是解决控制系统电磁兼容性的有效途径。对于P WM功率转换电路,应注意元器件的对称性,并使对称元器件的分布参数尽可能一致

22、。印制板上的元器件应按照原理图顺序成直线排列,并力求元器件安排紧凑、密集,以缩短引线。尽量缩短大电流回路的连线长度,同时加大大电流回路的连线的宽度,以避免电流过大,烧毁连线;尽量缩短导电回路,并使电流环路所夹的面积最小。敷设大面积铜板,尽量减少连线的阻抗。对于信号级的电路,减少信号线与反馈线的连线长度,同时,尽量避免线路的平行敷设。将功率级与信号级进行分离,在实际的电路中,通过光电隔离器进行电气上的隔离。6结束语由于存在不可避免的建模误差,以及其他干扰因素的影响,与单纯进行二级倒立摆系统计算机数字仿真控制相比,对于真实的倒立摆系统进行控制难度要大得多。本文针对二级倒立摆控制系统设计了硬件装置,

23、并利用硬件装置进行了控制实验。最终利用滑动模态变结构控制算法成功的实现了对二级倒立摆系统的稳定控制。参考文献:1L I N Yue-s ong,Q I A N J i-xin,XUE An-ke,WANG Jun-学出版社,1998.3高为炳.变结构控制理论基础M.中国科学技术出版社,1990.4阙志宏.线性系统理论M.西北工业大学出版社,1995.5陈桂明,等.应用MAT LAB建模与仿真M.科学出版社,2001.6李宜达.控制系统设计与仿真M.清华大学出版社,2004-8.7张志涌等,精通MAT LAB6.5版M.北京航空航天大学出版社,2003.8胡寿松.自动控制原理M.国防工业出版社,

24、北京,1994.9周凤岐,强文鑫,阙志宏.现代控制理论及其应用M.成都电子科技大学出版社,1994.10冯晓君,等.智能控制理论在倒立摆控制系统中的应用J.北方工业大学学报,2003(9:59-63.11田丽.变结构控制系统的基本理论、应用与发展现状与展望J.电气传动自动化,1996(11:29- 33.作者简介于晓洲(1979-,男(汉族,陕西省西安市人,西北工业大学在职博士生,主要研究方向:先进控制理论与应用;周凤岐(1936-,男(汉族,江苏省常州市人,西安市西北工业大学,教授,博士生导师,主要研究方向:飞行器导航、制导与控制;周军(1966-,男(汉族,江苏省常州市人,西安市西北工业大学航天学院院长,教授,博士生导师,主要研究方向:飞行器导航、制导与控制。(上接第307页视觉的函数处理问题使其变得很简单,很方便,具有很强的实用价值,对缩短程序开发周期等有着