自动控制原理(A)第二章

1、1 自动控制理论自动控制理论 电气信息学院电气信息学院 任课教师任课教师: 高秀梅高秀梅 22-1 系统的微分方程系统的微分方程2-2 系统的传递函数系统的传递函数2-3 动态结构图动态结构图2-4 信号流图与梅逊（信号流图与梅逊（Mason）公式）公式 2-5 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数 第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型3一、什么是数学模型？一、什么是数学模型？二、为什么要建立数学模型？二、为什么要建立数学模型？三、建立数学模型的方法？三、建立数学模型的方法？四、数学模型的形式有哪些？四、数学模型的形式有哪些？4 将描述系统工作状态的各物理量随时间

2、变化的规律用数学表达式或图形表示出来，这种描述各物理量之间关系的数学表达式或图形称为系统的数学模型。一、什么是数学模型？5二、为什么要建立数学模型？ 自动控制系统的组成可以是自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，电气的，机械的，液压的，气动的气动的等等，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同等等，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，就摆脱了的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的共同的内在的共同的内在的运动规律。运动规律。 如果描述系统的数学模型是如果描述

3、系统的数学模型是线性的微分方程线性的微分方程，则该系，则该系统为线性系统，若方程中的系数是常数，则称其为线性定统为线性系统，若方程中的系数是常数，则称其为线性定常系统。本章主要讨论的是常系统。本章主要讨论的是线性定常系统线性定常系统。 严格地讲，严格地讲，实际物理系统都是非线性系统，只是非线实际物理系统都是非线性系统，只是非线性的程度有所不同。但是许多系统在一定条件下可以近似性的程度有所不同。但是许多系统在一定条件下可以近似地视作线性系统，即非线性模型的线性化。地视作线性系统，即非线性模型的线性化。6三、建立数学模型的方法？ 建立数学模型有两种基本方法：建立数学模型有两种基本方法： 1）解析法

4、：）解析法：通过理论推导得出，这种方法是根据各环节所遵循的物理规律（力学、运动学、热学、电磁学等）来编写，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是用来描述系统模型的基本定律。 2）实验法：）实验法：根据实验数据来建立数学模型的，根据实验数据来建立数学模型的，即人为地在系统上加上某种测试信号，用实验所即人为地在系统上加上某种测试信号，用实验所得的输入和输出数据来辨识系统的结构，阶次和得的输入和输出数据来辨识系统的结构，阶次和参数，这种方法也称为系统辨识。参数，这种方法也称为系统辨识。7四、数学模型的形式有哪些 在经典理论中在经典理论中，常用的数学模型是微（差），常用的数学模型是微（差）

5、分方程，传递函数，结构图，信号流图等；分方程，传递函数，结构图，信号流图等； 在现代控制理论中在现代控制理论中，采用的是状态空间表达，采用的是状态空间表达式。式。 结构图，信号流图结构图，信号流图是数学模型的是数学模型的图形表达形式图形表达形式。82-1 系统的微分方程一、系统微分方程的建立步骤：一、系统微分方程的建立步骤： 1.全面了解系统，确定系统的输入量、输出量。全面了解系统，确定系统的输入量、输出量。 2.从系统输入端开始，列写各部分的微分方程。从系统输入端开始，列写各部分的微分方程。 3.将各部分的微分方程联立起来消去中间变量，将各部分的微分方程联立起来消去中间变量，得到一个仅含有输

6、入量、输出量的微分方程。即得到一个仅含有输入量、输出量的微分方程。即系统的微分方程。系统的微分方程。 4.将系统微分方程整理成标准形式。将系统微分方程整理成标准形式。9所谓标准形式包含三方面的内容：所谓标准形式包含三方面的内容：将与输入量有关的将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有关的各项放在方程的各项放在方程的右边，与输出量有关的各项放在方程的左边；左边；各导数项按降幂排列；各导数项按降幂排列；将方程的系数通过元将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有一定物理意义的系数。件或系统的参数化成具有一定物理意义的系数。2-1 系统的微分方程10例11、系统输入量ui ，输出量uo；2、列微

7、分方程组：3、消去中间变量并写成标准形式： tdduCiuuRitddiLoioiooouutdudRCtdudLC22-1 系统的微分方程11例2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力示，当外力F(tF(t) )作用于系统时，系统将产生运动。试作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力写出外力F(tF(t) )与质量块的位移与质量块的位移y(ty(t) )之间的微分方程。之间的微分方程。1、系统输入量： F(tF(t) ) 输出量： y(ty(t) )2 2、列写方程组：kF(t)mfy(t)2-1 系统的微分方程123、消去中间变量并写成

8、标准形式：)(1)()()(22tFktydttdykfdttydkm有令kKmkfkmT1,2,)()()(2)(222tKFtydttdyTdttydT2-1 系统的微分方程13例3 求下图的微分方程2-1 系统的微分方程14二、线性微分方程式的求解二、线性微分方程式的求解 工程实践中常采用工程实践中常采用拉氏变换法拉氏变换法求解线求解线性常微分方程。性常微分方程。拉氏变换法求解微分方程的基本思路：拉氏变换法求解微分方程的基本思路：线性微分方程线性微分方程时域时域t拉氏变换拉氏变换代数方程代数方程复数域复数域s代数方程的解代数方程的解求求解解拉氏反变换拉氏反变换微分方程的解微分方程的解2-

9、1 系统的微分方程15拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换及其应用: 一、拉氏变换（Laplace）的概念 二、拉氏反变换 三、拉氏（反）变换（Laplace）的应用 预备知识预备知识16一、拉氏变换（Laplace）的概念 Laplace变换是一种函数变换。拉氏变换定义式： （s是一复数） 应满足： . 当 时， ； . 当 时， 分段连续； . 当 时， 上升较 慢。 和 之间具有一一对应的关系具有一一对应的关系。 0)()()(dtetftfLsFst)(tf0t0)(tf0t)(tft)(tfste)(tf)(sF预备知识预备知识17 称为 的像函数； 称为 的原函数原函数。例：求e-at

10、的像函数。)(sF)(tf)(tf)(sFsesdteeeLsFtssttt11)(0)(0预备知识预备知识18Laplace变换的主要运算定理1) . 叠加定理叠加定理 两个函数之和的拉氏变换等于两个函数的拉氏变换式之和。即若则或写成)()()(21tftftf)()()()(2121tfLtfLtftfL)()()(21sFsFsF预备知识预备知识192) . 比例定理：比例定理： 若 则 1）和）和2）为拉氏变换的线性特性。）为拉氏变换的线性特性。3). 微分定理：微分定理： 若 则 )()(),()(111sFtfLtKftf011)()()(sKFdtetKftfLst0)0()()

11、()(fssFdtedttdfdttdfLatnkkknnnnnnnnnfssFsfsffsfssFsdttfdL1)1()1()0()2()0(21)()0()( )0()0()()(预备知识预备知识20 一般情况下：初始条件=0时 4). 积分定理：积分定理： 初始条件=0时 )()()(sFsdttfdLnnnsdttfssFdttfLt 0)()()(nssFdttfL)()( 预备知识预备知识215).延迟定理：延迟定理： 若 则 该定理说明如果时域函数 平移，则相当于复域中的像函数乘以 。)()(sFtfL)()(sFetfLs)(tfse预备知识预备知识226).初值定理：初值定

12、理：7).终值定理终值定理 ： )(lim)(lim0ssFtfst)(lim)(lim0ssFtfst预备知识预备知识23二、拉氏反变换 拉氏变换与拉氏反变换是一一对应的。拉氏变换与拉氏反变换是一一对应的。 例：例：dsesFjtfjcjcst)(21)(tesLsFLtf21121)()(21)(ssF)()(1sFLtf预备知识预备知识24 三、拉氏（反）变换（Laplace）的应用 例：求典型一阶系统的单位阶跃响应。 解： 利用分部分式法，)()()(trtcdttdcT)()()(sRsCsTsCsTssC111)(TsssC/111)(Ttetc/1)(预备知识预备知识25 微分方

13、程和传递函数之间的转换关系： )(tr)(tc)(sR)(sC微分方程传递函数LL-1LL常用函数的拉氏变换表见书常用函数的拉氏变换表见书P242。L-1L-1262-2 系统的传递函数（Transfer function）一、传递函数：一、传递函数： 是系统的另一种数学模型，也是最常用的数学模型。传递函数的定义：在零初始条件下在零初始条件下，输出量的拉氏变换式 与输入量的拉氏变换式 之比。即)()()(sRsCsG)(sC)(sR零初始条件：指c(t)和r(t)及其各阶导数在t=0时的值均为0。27传递函数的一般表达式：微分方程为：微分方程为：传递函数为：传递函数为：2-2 系统的传递函数2

14、8在零初始条件下，求书中例2.1的RLC网络的传递函数对微分方程两边进行拉氏变换（用到拉氏变换的微分定理）按照传递函数的定义整理方程2-2 系统的传递函数29二、传递函数的求法二、传递函数的求法1、定义法、定义法： 系统的微分方程 传递函数 求传递函数的通用方法2、复阻抗法、复阻抗法: 输出与输入的等效复阻抗比输出与输入的等效复阻抗比 在纯RLC电路环节中用复阻抗法求传递函数比较简单。L2-2 系统的传递函数30利用复阻抗法求书中例2.1的传递函数输出：等效复阻抗为电容C的复阻抗输入：等效复阻抗为电感L、电阻R和电容C串联的复阻抗传递函数2-2 系统的传递函数31求下图的传递函数（用两种方法求

15、）2-2 系统的传递函数32uru0C1i2R1i1iR2C2dtuudCiuuRirr)()(1012011idtCiRuiii220211)(1)()()()()()()()()()(1)(22021012011sIscsIRsUsIsIsIsUsUscsIsUsURsIrr L2-2 系统的传递函数33消去中间变量可得消去中间变量可得1)(1)()(21221122211221122211sCRCRCRsCRCRsCRCRsCRCRsG传递函数为)( 1)()( 1)(221122211021221122211sUsCRCRsCRCRsUsCRCRCRsCRCRr2-2 系统的传递函数3

16、4三、传递函数的性质：三、传递函数的性质： 1.传递函数是由微分方程变换而来的，它和微分方传递函数是由微分方程变换而来的，它和微分方程之间存在着一一对应的关系；程之间存在着一一对应的关系； 2.传递函数只与系统本身内部结构、参数等有关，传递函数只与系统本身内部结构、参数等有关，而与输入量、扰动量等外部因素无关，代表了系统而与输入量、扰动量等外部因素无关，代表了系统的固有特性；的固有特性； 3.传递函数是一种运算函数，是复变量传递函数是一种运算函数，是复变量s的有理真分的有理真分式函数，其分子多项式的次数式函数，其分子多项式的次数m低于或等于分母多低于或等于分母多项式的次数项式的次数n，即，即m

17、n，且系数均为实数，且系数均为实数。同时定同时定义分母阶次为义分母阶次为n的传函为的传函为n阶传函，相应的系统为阶传函，相应的系统为n阶系统；阶系统； 4.传递函数的分母是特征方程。特征方程的根反映传递函数的分母是特征方程。特征方程的根反映了系统动态过程的性质；了系统动态过程的性质；2-2 系统的传递函数35 5.传递函数的定义只适用于线性定常系统；传递函数的定义只适用于线性定常系统； 6.传递函数只能表示单输入单输出（传递函数只能表示单输入单输出（SISO）系）系统；统； 7.传递函数表达系统输出量对于系统输入量的响传递函数表达系统输出量对于系统输入量的响应关系，因此，在进行拉氏变换时，所有

18、初始状应关系，因此，在进行拉氏变换时，所有初始状态均为零；态均为零； 8.传递函数的拉氏反变换是脉冲响应函数。脉冲传递函数的拉氏反变换是脉冲响应函数。脉冲响应函数是指系统输出对单位脉冲输入的响应，响应函数是指系统输出对单位脉冲输入的响应，即即: 当当 r ( t ) =(t) 时时，R(s) = 1 C(s) = G(s) R(s) c (t) = L-1 C(s) 2-2 系统的传递函数36四、传递函数的描述形式四、传递函数的描述形式1、零、极点表达形式： （ 也称为“首1型”）-zi：传函零点 -pj：传函极点Kg：传函的传递系数，也称为根轨迹增益根轨迹增益2-2 系统的传递函数372、时

19、间常数表达形式、时间常数表达形式： （ 也称为也称为“尾尾1型型”） ：分子各因子的时间常数 ：分母各因子的时间常数 K ：传函的放大系数，也称为开环增益开环增益2-2 系统的传递函数38两种表示形式中各参数之间的关系两种表示形式中各参数之间的关系njjjmiiipspzszKg11) 1() 1(iiz1jjpT1njjmiipzKgK112-2 系统的传递函数393、传递函数具有共轭复数零、极点和零值、传递函数具有共轭复数零、极点和零值极点时，传函的表示形式极点时，传函的表示形式212221221111)2()2()()()(nllllmkkkknjjmiivsssspszssKgsG或或

20、212221221111)12()12()1()1()(nllllmkkkknjjmiivsTsTsssTssKsG其中，其中，m1+2m2=m，v+n1+2n2=n2-2 系统的传递函数40五、典型环节的传递函数五、典型环节的传递函数KsRsCsG)()()( 比例环节的输出量能够既不失真又不延迟地反映输入量比例环节的输出量能够既不失真又不延迟地反映输入量的变化。的变化。比例环节的传递函数为比例环节的传递函数为)()(tKrtc比例环节又称放大环节。其数学方程为比例环节又称放大环节。其数学方程为 式中式中c( ( t ) )为输出量，为输出量，r( ( t ) )为输入量，为输入量，K 为放

21、大系数为放大系数（或增益）。（或增益）。1. 1. 比例环节比例环节2-2 系统的传递函数41实现比例环节的电路实现比例环节的电路运算放大器运算放大器1011KRRuururR0R1u1R02-2 系统的传递函数422. 2. 惯性环节惯性环节惯性环节又称非周期环节，其输入、输出间的微分方程为惯性环节又称非周期环节，其输入、输出间的微分方程为: :1)()()()()()(TsKsRsCsGtKrtcdttdcT式中式中 T 为时间常数，为时间常数，K 为比例系数。为比例系数。 惯性环节的输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时惯性环节的输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上延迟，时间常数愈

22、大惯性愈大，延迟时间也愈长，时间间上延迟，时间常数愈大惯性愈大，延迟时间也愈长，时间常数常数 T T 表征了该环节的惯性。表征了该环节的惯性。 在单位阶跃输入时惯性在单位阶跃输入时惯性环节的输出量是按指数函数变化环节的输出量是按指数函数变化的。当的。当t= 3t= 3T T 4 4T T 时，输出才能接近其稳态值。时，输出才能接近其稳态值。传递函数为传递函数为2-2 系统的传递函数43运算放大器运算放大器)1(11.1/101011011CsRRRRRCsCsRRCsRuururR0R1u1CR0实现实现惯性惯性环节的电路环节的电路2-2 系统的传递函数443.3.积分环节积分环节积分环节的微

23、分方程是积分环节的微分方程是dttrTdttrtctKrdttdc)(1)()()()(其单位阶跃响应为：其单位阶跃响应为： c( (t )= )= K tTssKsRsCsG1)()()(传递函数为传递函数为积分环节的输出量是与其输入量的积分环节的输出量是与其输入量的积分成比例的。积分成比例的。当输入为单位阶跃输入时，即当输入为单位阶跃输入时，即 r (t) = 1 (t=0)，R(s) = 1/s式中式中 K =1/=1/T，称为积分环节的放大系数，称为积分环节的放大系数，T 称为积分时间常数。称为积分时间常数。2-2 系统的传递函数45实现实现积分积分环节的电路环节的电路运算放大器运算放

24、大器CsRRCsuur001112-2 系统的传递函数464. 4. 微分环节微分环节(1)(1)理想微分环节理想微分环节: :理想微分环节理想微分环节的微分方程为的微分方程为: :dttdrtc)()(ssRsCsG)()()(式中式中 为微分时间常数。为微分时间常数。当输入为单位阶跃输入时，即当输入为单位阶跃输入时，即 r(t) = 1 (t=0)，R(s) = 1/s)()(ttcsssC1.)(传递函数为传递函数为理想微分环节的单位阶跃响应为理想微分环节的单位阶跃响应为这是一个强度为这是一个强度为 的理想脉冲。的理想脉冲。在实际物理系统中得在实际物理系统中得不到这种理想微分环节。不到这

25、种理想微分环节。2-2 系统的传递函数47(2)(2)一阶一阶微分环节的传递函数为微分环节的传递函数为1)(ssG(3)(3)二阶二阶微分环节的传递函数为微分环节的传递函数为12)(22sssG2-2 系统的传递函数485. 5. 振荡环节振荡环节振荡环节的微分方程是振荡环节的微分方程是)()()(2)(222tKrtcdttdcTdttcdT12)()()(22TssTKsRsCsG式中式中 T T - -时间常数，时间常数， -阻尼比，对振荡环节有阻尼比，对振荡环节有 01。当输入为单位阶跃函数时，可用拉氏反变换求得环节的输出当输入为单位阶跃函数时，可用拉氏反变换求得环节的输出响应，如右图

26、所示。响应，如右图所示。( (详细部分第三章详细部分第三章) )传递函数为：传递函数为：2-2 系统的传递函数496.6.纯滞后环节（延迟环节）纯滞后环节（延迟环节）纯滞后环节的数学表达式为纯滞后环节的数学表达式为sesRsCsG)()()(式中式中 为纯滞后时间。当输入信号为下图为纯滞后时间。当输入信号为下图(a)(a)所示的所示的单位阶跃函数时，其响应曲线如单位阶跃函数时，其响应曲线如下图下图(b)(b)所示。所示。(a)(b)()(trtc传递函数为：传递函数为：2-2 系统的传递函数50滞后系统是线性系统。当滞后滞后系统是线性系统。当滞后时间时间 时，可近似为惯性环节。时，可近似为惯性

27、环节。滞后系统的滞后时间滞后系统的滞后时间 越大，系统越大，系统稳定性越差。稳定性越差。1ssnsseennss11.!1.! 2111122典型环节的传递函数是最基本、最简单的一些形式，典型环节的传递函数是最基本、最简单的一些形式，系统的传递函数是由这些典型环节按一定方式组合系统的传递函数是由这些典型环节按一定方式组合而成的。而成的。举例见黑板。举例见黑板。2-2 系统的传递函数51 结构图又称（方）结构图又称（方）框图框图，是描述系统各组，是描述系统各组成元部件之间信号传递关系的数学图形，它表成元部件之间信号传递关系的数学图形，它表示系统中各变量所进行的数学运算与输入、输示系统中各变量所进

28、行的数学运算与输入、输出之间的因果关系。采用方框图，不仅能方便出之间的因果关系。采用方框图，不仅能方便地求取复杂系统的传递函数，而且能形象直观地求取复杂系统的传递函数，而且能形象直观地表明信号在系统或元件中的传递过程。地表明信号在系统或元件中的传递过程。2-3 动态结构图（框图）52一、框图的组成一、框图的组成 由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，包含四个基本单元：线组成，包含四个基本单元： 1、信号线：带箭头的直线，箭头表示信号的传递、信号线：带箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，且信号只能单向传输。在直线旁标记信号的时间方向，且信

29、号只能单向传输。在直线旁标记信号的时间函数或像函数。函数或像函数。 2、方框：表示对信号进行的数学变换，方框中写、方框：表示对信号进行的数学变换，方框中写入环节或系统的传递函数。入环节或系统的传递函数。2-3 动态结构图（框图）53 3、分支点（引出点、分支点（引出点）：）：表示信号引出或测量的位表示信号引出或测量的位置，在同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。置，在同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。 4、相加点（比较点）：、相加点（比较点）： 表示对两个或以上信号进行加表示对两个或以上信号进行加 减运算，减运算，“+”表示信号相加，表示信号相加， “-”表示信号相减，表示信号

30、相减，“+”可省略可省略 不写，但不写，但“-”必须标明。必须标明。2-3 动态结构图（框图）54 典型自动控制系统框图相加点分支点55 二、框图的画法：二、框图的画法： 绘制系统框图时，首先分别列写系统各环节的传递绘制系统框图时，首先分别列写系统各环节的传递函数，并将它们用方框表示，然后按照信号的传递函数，并将它们用方框表示，然后按照信号的传递方向用信号线依次将各方框连接起来，便得到系统方向用信号线依次将各方框连接起来，便得到系统的框图。的框图。具体步骤如下：具体步骤如下： 1）列出系统各部分的微分方程。）列出系统各部分的微分方程。 2）在零初始条件下，对各微分方程进行拉氏变换，）在零初始条

31、件下，对各微分方程进行拉氏变换，并将变换式写成标准形式。并将变换式写成标准形式。 3）利用方框图的四个基本单元，分别画出各元部）利用方框图的四个基本单元，分别画出各元部件的方框图。件的方框图。 4）系统的输入量置于左端，输出量置于右端，并）系统的输入量置于左端，输出量置于右端，并按系统中各变量的传递顺序，依次将各元件框图中按系统中各变量的传递顺序，依次将各元件框图中相同的量连接起来，即可得系统的框图。相同的量连接起来，即可得系统的框图。 2-3 动态结构图（框图）56 例例 绘制如图所示系统的动态结构图绘制如图所示系统的动态结构图2222121111111)(1icdtduuiRuiicdtd

32、uuiRucccccr)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111sICssUsUsIRsUsIsICssUsUsIRsUcccccr2-3 动态结构图（框图）57)(1)()()(1)()()(1)()()(1)(221222111111sIsCsUsUsURsIsIsIsCsUsUsURsIcccccr1/R11/c1s1/R21/c2sUr(s)I1(s)I2(s)Uc1(s)I2(s)Uc(s)将上述方程整理将上述方程整理按照信号传递顺序，依次将各元部件的方框图连接起来按照信号传递顺序，依次将各元部件的方框图连接起来2-3 动态结构图（框图）58 三、框图的

33、等效变换和化简三、框图的等效变换和化简遵循的原则：遵循的原则：转换前后保持信号的“等效性”。分两类：分两类：1、环节的合并（串联、并联、反馈） 2、信号的分支点或相加点的移动一般化简步骤一般化简步骤： a、先将能合并的环节合并 b、适当移动分支点或相加点，使其能 再进行环节的合并2-3 动态结构图（框图）591、环节的合并前一环节的输出量是后一环节的输入量的连接称为环节的串联。如下图所示：)()()()()()(32114sGsGsGsRsRsGniisGsG1)()(（1 1） 串联方式串联方式串联后总的传递函数为n个环节串联2-3 动态结构图（框图）60（2 2） 并联方式并联方式 输入量

34、相同，输出量相加或相减的连接称为并联。输入量相同，输出量相加或相减的连接称为并联。如下图所示：如下图所示：niisGsG1)()(并联后总的传递函数为并联后总的传递函数为n个环节并联2-3 动态结构图（框图）61（3 3） 反馈方式反馈方式 将系统或环节的输出反馈到输入端与输入信号进行比将系统或环节的输出反馈到输入端与输入信号进行比较，就构成了反馈连接。较，就构成了反馈连接。)()()()()()()()()()()()()()()()()()(sCsHsGsRsGsCsHsRsGsEsGsCsBsRsEsCsHsB)()()()(1)(sRsGsHsGsC)()(1)()(sHsGsGsGB

35、开环传递函数前向通道传递函数12-3 动态结构图（框图）62)()(1)()(sHsGsGsGB正反馈的情况正反馈的情况2-3 动态结构图（框图）63G1G2( )R s( )C sG1 G2( )R s( )C s总总 结结( )R s( )C sG1G2 G1 G2( )R s( )C sH1GGHG( )R s( )C s( )R s( )C s2-3 动态结构图（框图）641).1). 分支点（分支点（引出点引出点）的移动规则）的移动规则 根据分支点移动前后所得的分支信号保持不变根据分支点移动前后所得的分支信号保持不变的等效原则，可将分支点顺着信号流向或逆着信号流的等效原则，可将分支点

36、顺着信号流向或逆着信号流向移动。向移动。(1)(1)前移前移2、信号的分支点或相加点的移动 必须保证移动前后输入量和输出量保持不变。必须保证移动前后输入量和输出量保持不变。2-3 动态结构图（框图）65（2 2）后移）后移2-3 动态结构图（框图）66(3)(3)互换互换X(s)X(s)2-3 动态结构图（框图）672).2).相加点相加点( (比较点比较点) )的移动规则的移动规则(1)(1)前移前移2-3 动态结构图（框图）68(2)(2)后移后移2-3 动态结构图（框图）69(3(3）互换）互换C(s)X1(s)X2(s)R(s)C(s)X1(s)X2(s)R(s)C(s)X1(s)X2

37、(s)R(s)或或2-3 动态结构图（框图）703). 分支点和相加点一般不能互换。分支点和相加点一般不能互换。( (特别注意特别注意) )C1(s)R2(s)C2(s)R1 (s)C1(s)R2(s)C2(s)R1 (s)2-3 动态结构图（框图）71分支点和相加点的移动规则总结分支点和相加点的移动规则总结分支点：分支点：前前移，移，“乘乘”越过的传函；越过的传函； 后后移，移，“除除”越过的传函；越过的传函；相加点：相加点：前前移，移，“除除”越过的传函；越过的传函； 后后移，移，“乘乘”越过的传函。越过的传函。2-3 动态结构图（框图）72补充：负号在支路上的移动2-3 动态结构图（框图

38、）73例例1 1 简化下图所示多回路系统，并求系统的简化下图所示多回路系统，并求系统的传递函数传递函数C(s)/R(s)C(s)/R(s)。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)R(s)C(s)分析分析 这是一个没有交叉现象的多环系统，内回路称为局部反这是一个没有交叉现象的多环系统，内回路称为局部反馈回路，外回路称为主反馈回路。简化时不需要将分支点和相馈回路，外回路称为主反馈回路。简化时不需要将分支点和相加点作前后移动。可按简单串、并联和反馈连接的简化规则，加点作前后移动。可按简单串、并联和反馈连接的简化规则，从内部开始，由内向外逐步简化。从内部开始，由内向外逐步简化。2

39、-3 动态结构图（框图）74G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)+G5(s)G6(s)R(s)C(s)(a)()()()()()()()(1)()()()()(63215432321sGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsRsC(c)()()()(1)()()(5432321sGsGsGsGsGsGsGG6(s)R(s)C(s)(b)G1(s)()()()(1)()(543232sGsGsGsGsGsGG6(s)R(s)C(s)75 -解解. . 方框图变换方框图变换, , 原方框图可变换为原方框图可变换为分支点后除76分支点前乘并联加串联分支点后除加并联77123423421212

40、34()( )( )1 ()()G G GGC sR sG GG HG G HG GG相加点前除782-4 信号流图与梅逊（Mason）公式一、信号流图一、信号流图1、基本概念：、基本概念：一种用图线表示线性代数方程组的方法，一种用图线表示线性代数方程组的方法，由由节点节点和和支路支路组成的一种信号传递网络。组成的一种信号传递网络。 节点：节点：表示方程式中的变量，以小圆圈表示；表示方程式中的变量，以小圆圈表示； 支路支路：连接两个节点的定向线段，用支路增益表示方：连接两个节点的定向线段，用支路增益表示方 程式中两个变量的因果关系，因此支路相当于乘法器。程式中两个变量的因果关系，因此支路相当于

41、乘法器。 例例 x2=ax1 x1 x2a792x3x4x5xabcdef1x输入节点（或源点）：输入节点（或源点）：只有输出支路的节点，如只有输出支路的节点，如x1 1、x5 5输出节点（或阱点或汇点）：输出节点（或阱点或汇点）：只有输入支路的节点，如只有输入支路的节点，如x4混合节点：混合节点： 既有输出支路，又有输入支路的节点，如：既有输出支路，又有输入支路的节点，如：x2、x3传传 输：输：两个节点之间的增益叫传输。如：两个节点之间的增益叫传输。如：x1x2之间的增之间的增 益为益为a，则传输也为，则传输也为a。前向通路：前向通路：信号由输入节点到输出节点传递时，每个节点只通信号由输入

42、节点到输出节点传递时，每个节点只通 过一次的通路称为前向通路。过一次的通路称为前向通路。 如：如： x1x2x3x4 2、常用术语、常用术语2-4 信号流图与梅逊（Mason）公式80前向通路总增益：前向通路总增益：前向通路上各支路增益的乘积，前向通路上各支路增益的乘积， 如：如：x1x2x3x4总增益总增益abc。回回 路路( (回环回环) )：通路的起点就是通路的终点，并且与其它节点通路的起点就是通路的终点，并且与其它节点相交不多于一次的闭合通路叫回路。相交不多于一次的闭合通路叫回路。回路增益：回路增益：回路中，所有支路增益的乘积。图中有两个回回路中，所有支路增益的乘积。图中有两个回 路，

43、路，一个是一个是x2x3x2，其回路增益为，其回路增益为be， 另一个另一个 回路是回路是x2x2，又叫自回路，其增益为，又叫自回路，其增益为d。不接触回路：不接触回路：指相互间没有公共节点的回路。图中无。指相互间没有公共节点的回路。图中无。2x3x4x5xabcdef1x2-4 信号流图与梅逊（Mason）公式813、信号流图的绘制、信号流图的绘制根据系统微分方程得到：把微分方程经拉氏变换根据系统微分方程得到：把微分方程经拉氏变换为为s的代数方程，对系统中每个变量指定一个节点，的代数方程，对系统中每个变量指定一个节点，按变量的因果关系从左至右顺序排列，根据代数按变量的因果关系从左至右顺序排列

44、，根据代数方程用标明增益的支路将节点连接起来即可。方程用标明增益的支路将节点连接起来即可。 例例 某系统微分方程拉氏变换后的方程组为：某系统微分方程拉氏变换后的方程组为： x2=ax1+bx3+gx5 x3=cx2 x4=dx1+ex3+fx4 x5=hx4x1x5x2x3x4abgcehdf2-4 信号流图与梅逊（Mason）公式82 由框图得到由框图得到 框图与信号流图的对应关系：框图与信号流图的对应关系： 框图框图 信号流图信号流图 输入量输入量 输入节点（源点）输入节点（源点） 输出量输出量 输出节点（汇点）输出节点（汇点） 相加点、分支点相加点、分支点 和其他中间变量和其他中间变量

45、混合节点混合节点 方框方框 支路支路 方框中的传递函数方框中的传递函数 支路增益支路增益 （负反馈用负支路增益）（负反馈用负支路增益） 2-4 信号流图与梅逊（Mason）公式83例例1 184例2注意：相加点前有分支点，要设置两个节点注意：相加点前有分支点，要设置两个节点2-4 信号流图与梅逊（Mason）公式85 二、梅逊公式1( )1( )( )nkkkC sG sPR s 输入与输出两个节点间的总传输（或叫总增益），输入与输出两个节点间的总传输（或叫总增益），可用下面的梅逊公式来求取：可用下面的梅逊公式来求取：1abcdefabcdefLL LL L L 式中式中 n ： 前向通路总条

46、数前向通路总条数 Pk： 第第k条前向通路的传递函数条前向通路的传递函数 ： 特征式特征式 k： 在在中除去与第中除去与第k条前向通路相接触的各回路的传递函条前向通路相接触的各回路的传递函数（即将其置数（即将其置0），称为第），称为第k条前向通路特征式的余因子条前向通路特征式的余因子 La：所有回路的传递函数之和：所有回路的传递函数之和 LbLc：两两互不接触回路的传递函数乘积之和：两两互不接触回路的传递函数乘积之和 LdLeLf：三个互不接触回路的传递函数乘积之和：三个互不接触回路的传递函数乘积之和 86解题步骤：一一、先分析系统有几个前向通道几个回路，先分析系统有几个前向通道几个回路，分别

47、写出它们的传递函数；分别写出它们的传递函数；二、看系统是否有互不接触的回路，是否存二、看系统是否有互不接触的回路，是否存在前向通道和回路互不接触，从而确定特在前向通道和回路互不接触，从而确定特征式和余因子式；征式和余因子式；三、利用梅逊公式计算系统的传递函数三、利用梅逊公式计算系统的传递函数2-4 信号流图与梅逊（Mason）公式87例例3 3 利用梅逊公式，求：利用梅逊公式，求：C C（s s）/R/R（s s） 解解：画出该系统的信号画出该系统的信号 流程图流程图88该系统有三个前向通道，四个独立的回路该系统有三个前向通道，四个独立的回路 P1= G1G2G3G4G5 L1 = -G4H1

48、 P2= G1G6G4G5 L2 = -G2G7H2 P3= G1G2G7 L3 = -G6G4G5H2L4 = -G2G3G4G5H2互不接触的回路有一个：互不接触的回路有一个：L1和和 L2 =1-（L1 + L2 + L3 + L4）+ L1 L2前向通道前向通道和回路和回路不接触不接触 3=1-L1 2-4 信号流图与梅逊（Mason）公式89因此，系统的闭环系统传递函数因此，系统的闭环系统传递函数C(s) / R(s)为为 2-4 信号流图与梅逊（Mason）公式90 2-4 信号流图与梅逊（Mason）公式91解解: : 本题信号流图为本题信号流图为 2-4 信号流图与梅逊（Mas

49、on）公式9211234PGG G G1233LG G H 21232LGG G H 312341LGG G G H4344LG G H 112342331232344123411nkkkPCPRGG G GG G HGG G HG G HGG G G H12341 ()LLLL 11 93131LG H 2232LG G H 3343LG G H 112345PGG G G G26PG11 1231LLL 2 112212345631232343( )1PPsGG G G GGG HG G HG G H 例例594121LG H 2232LG G H 3121LGG H 1123PGG G24PG11 1231LLL 2 例例6 6951122123421232121( )1PPsGG GGG HG G HG