自动控制试题九非线性

1、第九章非线性控制系统一、填空选择题（每题2分）1 .非线性系统的稳定性与下列（D ）因素有关。A.系统结构和参数 B.初始条件C.输入信号大小 D. A、B、C、2 .非线性系统 自持振荡是与-有关。A.系统结构和参数B.初始条件C.输入信号大小 D. A、B、C、3 .非线性系统自持振荡中的振幅和频率是由-系统本身的特性-决定的，4 .相平面法适用于-一、二-阶非线性系统，描述函数法适用于 一任意-阶非线性系统。5 .系统中有二个非线性元件串联，其描述函数分别为 Ni、N2,则合成的描述函数必是（D）A . N1/N2 B. Ni*N2 C. N1+N2D.需重新分析计算6 .系统的-1/N

2、和G （jw）如图，在 A和B处产生了自持振荡，分析其稳定性，A点是-不稳定-的，B点是-稳定-的7 .非线性系统的相轨迹在相平面的上半部，其走向是从一左-向一右-方向运动，而在相平面的下半部则从 一右-向-左-运动。8 .相轨迹的对称性是指其曲线可能对称于, ,或-坐标原点；正交性是指与-x轴正交。9 .已知非线性系统的微分方程是：x 3x 2x 0,则奇点位置是 。 .10 .已知非线性系统的微分方程是：x 3x 2x 0,则奇点性质是 。11 .极限环把相平面分为内外二部分，相轨迹-不能-（填能或不能）从环内穿越极限环进入环外，-不能（填能或不能）从环外穿越极限环进入环内。12 .已知非

3、线性系统的微分方程是：x 3x 2x 0 ,则奇点性质是（A ）。A、稳定节点B、稳定焦点C、鞍点D、中心点1 . D2 . A3 .系统本身的特性4 . 一、二，任意5 . D6 .不稳定，稳定7 .左，右，右，左 .8 . X, x , 坐标原点，x9 .坐标原点10 .稳定节点11 .不能12 . A二、综合计算题a1. （12分）二阶阻尼系统:,试用等倾斜线法绘制系统相轨迹。得到等倾斜线方程:3在相平面上作出这些等倾线，并在这些等倾线上作出对应相轨迹的斜率即得到相轨迹。的短线段，光滑连接短线段9a2. （12分）已知法作出其相轨迹然后确定相轨迹上的点 A2,以该点坐标为新起点，计算新的

4、圆弧AA3的圆心和半径：A (,-0,2 )：,依此可作出相轨迹。有时的中间位为提高作图精度，置作为新起点，然后按本法画出相轨迹。9,求系统奇点,b1. （12分）非线性系统：作相轨迹图并分析系统运动的性质.解：（1）求奇点。由：求得相轨迹的奇点分别为：（0, 0）和（一2, 0）。2（2）在奇点（0, 0）处泰勒级数展开：二个根为+j1039,故此奇点为稳定焦点。2(3)分析在奇点处泰勒级数展开，令由二个根为,因此奇 点 为 鞍 点当初始条件为（一，）时，系统的相轨迹如 图。 4初始条件不同，相轨迹或趋于原点，或趋于无穷远，系统分别为稳定或不稳定，即系统的稳定性与其初始条件有关。2b2. (

5、12分有一非线性控制系统如 图所示，令讨论下面情况下的相轨迹：当输入信号为阶跃信号,系统的初始状态为零;解：首先根据控制系统框图，设法得到各分区的线性方程。由 得至IJ:代入方程，有:2式中为饱和非线性的输出。根据饱和非线性的输入输出特性，可将相平面分为：正饱和、负饱和以及线性区域，如图1。2当输入信号，则各区域上的线性方程:3当输入信为阶跃信号统的初始状态为零；在正、负饱和区域根轨迹是相线根轨迹，而在线性区,由于参数均大于0,奇点可能是稳定焦点或稳定节点，位于相平面的原点，系统的初始状态略画出其相轨迹如 图2。5图2输入为阶跃信号的相轨迹b3.(12分)具有饱和非线性的控制系统如图所示，已知

6、饱和非线性特性的 描述函数为N(X)2k Sarcsin XS 2 1()X(XS)试求。(1) K=15时系统的自由运动状态。若有自持振荡产生，求其频率 和振幅(其中振幅只要求列出表达式即可)。(2)欲使系统稳定地工作， 不出现自振荡，K的临界稳定值是多少。题1非线性系统的结构图解 :饱 和非性 性描 函 已中线特的述数知其k=2,起点 X=1 时，1/N(x)=。当 X一时，1/N(X)=,因此 系统线性部分的频率特性为：_k1/N(X)曲线位于这段负实轴上。题1系统的G(j)和1/N(X)曲线G(j )k 0.3s(0.1s 1)(0.25 1)2 j(1 0.02 2)s j20.00

7、04 4 0.05 2 1令ImG(j)=0即12=0,得G(j)曲线与负实轴交点的频率 为：7.07rad /s0.022代ReG(j),可求得G(j)曲线与负实轴的交点为：0.3kReG(j )4-0.00040.0517.070.3k4.52 将K=15代入上式，得 ReG(j)= 1。图中绘出了K=15时的G(j)曲线与1/N(A)曲线,两曲线交于(1, j0)点。显然，交点对应的是下一个稳定的自振荡，根据交点处的幅值相等，即:求得与交点对应的振幅 X=o因此当K=15 频率为X=, =s。(2)欲使系统稳定地工作，不出现自振荡, 判据知，应使 G(j)曲线不包围1/N(A)曲线, 故

8、K的临界稳定值为：时系统的自由运动状态为自振荡状态，其振幅和3，由于G(s)极点均在左半s平面，故根据奈氏即3K 0.5 0.4 75 kmax7.50.3b4. (12)非线性系统如图所示。1、把系统的结构图变换成典型结构，即单位反馈形式。2、试用描述函数法分析周期运动的稳定性，并确定自振荡的振幅和频率。已知非线性特性是滞环继电特性：M=1 , h=,题2非线性系统的结构图解：由图可知，系统 的结构图不是描述 函数应用时的典型 结构，因此首先变换 成典型结构。由于在 用描述函数分析稳 定性和自振荡时，不 考虑r的作用，故设r(t)=0。再根据结构图中信号间的相互关系，故图变换成下图a,b的典

9、型结构。3(a)(b)题2解结构图变换由结构图知，非线性特性是滞环继电特性：M=1 , h=，故画出1/N(X)曲线与 G(j)曲线如图所示，1/N(A)曲线是一条虚部为也/4“=的直线。2,显然两曲线的交点处决定了 一个稳定的自振荡。题2系统的G(j)和1/N(X)曲线令1mG(j )-0.157，试探法解下列方程：(1)(1+2)=1得=4 (rad/s)2将=4 代入 RG(j):100.588122令 ReG(j) = Re1/N(A)= X2 0.224得X=故自振荡的振幅 X=,频率=4rad/s。3b5. (12分)一非线性系统中含滞环非线性，其线性环节的频率特性如图。试分析此非

10、线性系统的运动规律。题3图线性部分极坐标解：题3图线性与非线性相交(1)写出此非线性特性的描述函数为:对应的负倒描述函数为：写成实部和虚部形式：3随着A从1的增大，负倒描述函数的实部的值从0变化到负无穷，其虚部不变。因此可将画在平面上，如上图(2) 分析交点处振荡的性质。从图中可看出个交点设它们对应的频率：,对应的幅值分别为：。根据对自持振荡的讨论及其 负 倒 描 述 函 数 的 走 向， 可 知是稳定的自持振荡，是不稳定的振荡。当初始幅时，产生频率为的自持振荡；当初始幅值时，产生频率为的自持振荡。比较处的自持振荡发现，处振幅大，频率低；处振幅小，频率高。9c.(14分)已知非线性系统如图所示

11、，图中非线性环节的描述函数为X 6N(X) (X 0)试求：X 2(1)该非线性系统稳定、不稳定以及产生自持振荡时，线性部分的 K值范围。(2)判断自持振荡的稳定性，并计算稳定自持振荡的频率和振幅解：(1)此非线性环节描述函数的负倒特性为:起点X=0时，1/N(x)= 1/3。当X一时，1/N(X)= 1 ,因此1/N(X)曲线位于1/31这段负实 轴上。系统线性部分的频率特性为：G(j )ks(s 1)2 s jk 2j(12)(2 1)22令ImG(j)=0即12=0,得G(j)曲线与负实轴交点的频率为:21rad / s代ReG(j),可求得G(j)曲线与负实轴的交点为：ReG(j )仔

12、1:2(a)当-k/22时，G(j)包围1/N(x),非线性系统不稳定；(b)当-1三-k/2三-1/3 , 即2/3三k三2时，G(j)与1/N(x)相交，非线性 系统会产生周期运动(自持振荡)；(c)当-k/2-1/3,即k2/3 时，G(j)不包围1/N(x),非线性系统稳定；4，(2)当2/3三k三2时，G(j)与1/N(x)相交，非线性系统会产生周期运动(自 持振荡)，且曲线由不稳定区域进入稳定区域，所以其振荡是稳定的。此时 1rad / s,根据交点处的幅值相等，即：所以自持振荡的频率是1rad/s,振幅X42 kc1.(16分)一个具有非线性元件串联的非线性控制系统如图，试用描述

13、函数法确定当K=Tt时系统产生自持振荡的频率和幅值，并研究产生自持振荡时的临界增益Ko解：首先对非线性串联环节的等效特性进行分析。当 | e|1,e1=2, u =k( e1-1)=1当 e0时，有r(t)=R , r r 0。代入上式，得阶跃输入下系统的误 差方程：Te e Ke 02由此绘制相轨迹曲线，奇点为(0, 0)。设系统的初始状态为c(0)=0, c(0)=0,则误差的初始条件为e(0)=R, e(0)=0。若参数T、K使系统具有一对负实部的共轲复数极点(欠阻尼) ， 则其相轨迹如下图(a)所示。若具有两个负实数极点(过阻尼)，则其相轨迹如下图(b),分析相平面图即可了解系统响应的

14、性质。例如稳态误差为零，当 R=1时，超调量如图所示等。3(a)欠阻尼(b)过阻尼图阶跃输入时的相平面图2.斜坡响应设输入信号为r(t)=vt, t 0 时，r v 0, r 0,代入系统 的误差方程，得斜坡输入下的 误差方程为 它可以写成作变量置换e=ev/K则误差e的方程Tee Ke 03v/K即可得出。由此系统在初始状态c(0)=0, c(0)=0下斜坡响应的相平面图。 的起点为(0, v)。显然由相平面图可知系统稳态误差是(a)欠阻尼(b)过阻尼图 斜坡输入时的相平面图与阶跃输入的误差方程相同。所以，只须把阶跃输入时的相平面图右移可知此时相轨迹的奇点为(v/K, 0)。下图(a)、(b

15、)分别对于欠阻尼和过阻尼情况，给出了由于e(0)= r (0) c(0)=v,故相轨迹 v/K。2应当特别指出，由于在非线 性系统中，其非线性特性往 往可以分段加以线性化， 而 在每一个分段中，系统都可 以用线性微分方程描述，因 此线性系统在相平面分析 是非线性系统相平面分析 的基础。c3. (12分)继电控制系统如下图所示，试利用相平面法分析系统的单位阶跃响应。解 由结构图知，系统的微分方程为：(a)结构图(b)非线性特性题6图 继电控制系统因为e r c ,所以上式又可写成Te e Ky Tr r2根据已知的非线性特性，当e0时，有：M, e e1y 0,仅 eeoM , ee0当e 0时

16、，有：M , e e0y 0, e0 eeiM, ee1因为 r(t)=1(t),当 t0 时，r r 0 ,有Te e Ky 0对于 e0 , eei 和 ee0 时，111其相平面图渐近线为 eKM o1对于 e0 , ee0 和 e0 , e0 , eee0 和 eee1时,则有Te e 0或：de11de T在相平面上，则相应为斜率为1/T的平行的直线。将以上各区域的相平面图拼接后，可得系统的以e e为坐标轴的总的相平面图。令T=1、K=4、00=、.=和“=,则该继电控制系统在单位阶跃输入下的相轨迹曲线如下图所示。由于假定系统在开始时处于静止状态，所以相轨迹的起点为e(0)=1 ,

17、e (0)=0 o3图系统的相轨迹曲线由图可见，在稳态时，存在一个极限环。因此系统的输出将持续振荡。自振荡的振荡与e0和ei值有关，ei和（ei e0）越大（即死区越大、滞环越宽），振幅也越大。此外，K、T和M的增大，也将使系统的振荡加剧，因为交界线的换接点Pi、p2、P3与横轴的距离也增大了。1c4. （12分）采用非线性校正的控制系统如图所示，试利用相平面法分析，在原来的线性系统的基础上，采用非线性校正，可以显着改善系统的动态响应品质。（a）非线性校正的控制系统结构图（b）非线性特性题7图 采用非线性校正的控制系统解由图（b）知，非线性特性为因此，相平面被分为二个区域，开关线分别为e=eo

18、和e=e。系统方程为22，ee。时获得快速性，在线性区n中应选择TC C KY e r c在线性区I内，eeo,系统误差方程为： Te e Ke Tr r其中，增益K和k应这样选择：一方面，为了在K1/（4T）o另一方面，为较大的K值，使系统阻尼较小，对应于稳定焦点，具体地应先选了防止超调量过大，在 eeo时，在线性区I中应适当选择k使系统处于临界阻尼，对应于稳定节点，具体地应选 k使k0时，有r r 0,可得n区内系统的误差方程为：此时的相平面图如下图1 （a）所示，平衡点位于（0, 0）是稳定焦点。在I区内系统的误差方程为：Te e Kke 0 ,相平面图如下图 1 （b）所示，平衡点位于（0, 0）,是稳定 节点。3把图1 （a）、（b）的相轨迹分别画到相平面图的各区域中，就得到系统状态的运动轨迹, 如图2所示。当阶跃输入的幅度较小时，相轨迹曲线是图中A A1 0 ,（a） II 区（b） I 区 题7图1 I区和II区的相轨迹阶跃响应是单调的， 没有超调，且响应速度较快，题7图2单位阶跃输入时的相轨迹曲线若阶跃幅度较大，则相应的运动轨迹是B0BiB2B30o显然响应是振荡性的，但超调量和振荡次数比线性增益(图中虚线所示)的情况减小很多。3由此例可以看出，在线性系统中，增益的选择要兼顾调节时间和超调量等性能指标。当增益K值较大时，快速性好，但超调量大。若 K取