空间解几和二元函数偏导数全微分及

1、1第六章 多元函数微积分第一节 空间解析几何简介2一.建立空间直角坐标系3x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住z轴，轴，当右手的四个手指当右手的四个手指从正向从正向x轴以轴以2 角角度转向正向度转向正向y轴轴时，大拇指的指向时，大拇指的指向就是就是z轴的正向轴的正向.空间点的直角坐标4xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限5空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(O),

2、(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C6设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 二、空间两点间的距离7,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距

3、离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M80 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程三、平面的一般方程9平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：, 0)1( D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( A , 0, 0DD平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0 DCzByAx10例例

4、: :求求过过y轴及点轴及点)2, 3, 6( 的平面方程的平面方程. 03,3zxxz30zzyxz表示斜的平面表示坐标面表示平行于坐标面的水平面11例例 4 4 设设平平面面与与zyx,三三轴轴分分别别交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.设平面为设平面为, 0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解12,aDA ,bDB ,cDC 将将代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程

5、x轴轴上上截截距距y轴上截距轴上截距z轴轴上上截截距距),0,0(),0,0(),0,0,(cba过13四、空间曲线与方程14 0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.xozy1S2SC空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：1、空间曲线的一般方程15例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面

6、，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交线为椭圆交线为椭圆.16例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.1718 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z后得：后得：0),( yxH曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：2、空间曲线在坐标面上的投影19

7、如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面20类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲线投影曲线,yoz面上的面上的投影曲线投影曲线,xoz 00),(zyxH空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线xoy21补充补充: : 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影. .空间立体空间立体曲面曲面22面面上上的的投投影影为为在在则则交交线线xoyC . 0, 122zyx一个圆一个圆,面面上上的的投投影影为为所所

8、求求立立体体在在xoy. 122 yx23五、二次曲面和一般曲面24水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述关关系系：（1 1） 曲曲面面S上上任任一一点点的的坐坐标标都都满满足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的图图形形曲面的实例：曲面的实例

9、：1、曲面方程的概念25以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面.例例 1 1 建建立立球球心心在在点点),(0000zyxM、半半径径为为R的的球球面面方方程程.解解设设),(zyxM是是球球面面上上任任一一点点，RMM |0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx 26 2511222zyx表示球心在)0 , 1, 1 ( 球半径为 5的球面方程请你写出球心在)2, 2 , 1 (球半径为 的球面方程55221222zyx 04442222zyxzyx27例

10、例 2 2 求与原点求与原点O及及)4 , 3 , 2(0M的距离之比为的距离之比为2:1的的点的全体所组成的曲面方程点的全体所组成的曲面方程.解解设设),(zyxM是是曲曲面面上上任任一一点点，,21|0 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所求方程为282、旋转曲面29将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程旋转曲面的方程（1）双曲线）双曲线12222 czax分别绕分别绕x轴和轴和z轴；轴；绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czyax1222

11、22 czayx旋转双曲面旋转双曲面30绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面31定义定义3、柱面、柱面平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL32从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxF，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于z轴轴的的柱

12、柱面面，其其准准线线为为xoy面面上上曲曲线线C.（其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 / 轴轴x12222 byax双曲柱面双曲柱面 / 轴轴zpzx22 抛物柱面抛物柱面 / 轴轴y33柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面空间上表示面，而不是线34第二节 多元函数的基本概念 在很多实际问题中，往往牵涉到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于几个变量的情形，这就提出了多元函数微分和积分的问题，本章将在一元微分的基础上，讨论二元及二元以上的多元函数的微分。35 设设),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一个个

13、点点， 是是某某一一正正数数，与与点点),(000yxP距距离离小小于于 的的点点),(yxP的的全全体体，称称为为点点0P的的 邻邻域域，记记为为),(0 PU，（1）邻域）邻域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx一、多元函数的概念 36（2）区域）区域.)(的的内内点点为为则则称称，的的某某一一邻邻域域一一个个点点如如果果存存在在点点是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设EPEPUPPE .EE 的的内内点点属属于于EP .为为开开集集则则称称的的点点都都是是内内点点，如如果果点点集集EE41),(221 yxyxE例如，例如

14、，即为开集即为开集37的的边边界界点点为为），则则称称可可以以不不属属于于，也也本本身身可可以以属属于于的的点点（点点也也有有不不属属于于的的点点，于于的的任任一一个个邻邻域域内内既既有有属属如如果果点点EPEEPEEPEP 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 EE是连通的是连通的开集开集，则称，则称且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设DDDD 38连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界

15、界一一起起称称为为闭闭区区域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo390| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，则称为无界点集则称为无界点集为有界点集，否为有界点集，否成立，则称成立，则称对一切对一切即即，不超过不超过间的距离间的距离与某一定点与某一定点，使一切点，使一切点如果存在正数如果存在正数对于点集对于点集EEPKAPKAPAEPKE 41| ),(22 yxyx40（3）聚点）聚点 设设 E 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 P 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限

16、多多个个点点属属于于点点集集 E，则则称称 P 为为 E 的的聚聚点点. 内点一定是聚点；内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点41 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合42 设设D是是平平面面上上的的一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点DyxP ),(，变变量量z按按照照一一定

17、定的的法法则则总总有有确确定定的的值值和和它它对对应应，则则称称z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数，记记为为),(yxfz （或或记记为为)(Pfz ）. .（5）二元函数的定义）二元函数的定义当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 多多元元函函数数中中同同样样有有定定义义域域、值值域域、自自变变量量、因因变变量量等等概概念念.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数43例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222y

18、xyxyxD 44一元函数的定义域-是区间二元函数的定义域-是区域，问题比较复杂。45（6） 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 设设函函数数),(yxfz 的的定定义义域域为为D，对对于于任任意意取取定定的的DyxP ),(，对对应应的的函函数数值值为为),(yxfz ，这这样样，以以x为为横横坐坐标标、y为为纵纵坐坐标标、z为为竖竖坐坐标标在在空空间间就就确确定定一一点点),(zyxM，当当x取取遍遍D上上一一切切点点时时，得得一一个个空空间间点点集集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，这这个个点点集集称称为为二二元元函函数数的的图图形形.（如下页图）（如下页图）46二

19、元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.47224yxzyxz23z上半球面表示斜的平面水平面 22yxz圆锥面xyz 表示马鞍面48224yxz的定义域4042222yxyx二元函数的函数值224),(yxyxfz2114) 1 , 1 (24)0 , 0(ff表示圆域49),(000yxfz 函数值例：已知yxyxfzsin),(求：)2, 1 (f解：12sin21sin)2, 1 (f与一元函数类似，有定义域和函数值但是有关于极限和连续就很复杂，在此只是简单了解50例：已知xyxyxfz2),(求：解：),(xyyxfz xxyxyxxyyxxyyxfz22),(2例：

20、已知22),(yxxyxyyxf求：),(yxfyxyyxfxyvyxuvuvvufxyyxxyyxxyxyyxf2),(,2),(2)(),(22222解：51二、二元函数的极限(, )P xy(, )P xy设函数f(x,y)在点 的某邻域内有定义， 是该邻域内不同于 的任意一点,如果 以任何方式无限的接近 , f(x,y)趋近一个确定的常数A,称A是函数的极限.000(,)P xy0P0P52如果对于任意给定的正数，总存在，使得对于适合不等式的一切点的一切点P(x,y)D,都有都有|f(x,y)-A|531( , ) (3,0)lim (1)yx yxy22( , )(0,0)1 cos

21、limx yxyx y13( , )(3,0)lim(1)xxyx yxye2222( , )(0,0)12lim2x yx yx y5422220022)0 , 0(),(1limlimkkxkxxkxyxxykxyxyx极限不存在55三、二元函数的连续0lim)2).,(),(lim) 1)0 , 0(),(00),(),(00zyxfyxfyxyxyx56闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函

22、数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理57对于导数，我们会重点介绍58第三节 偏导数一 偏导数的定义及其计算法1.函数增量),(),(),(),(,),(),(0000000000yxfyyxfzyyxfyxxfzxyxyxyxfzyx的偏增量关于的偏增量关于),(),(,),(),(000000yxfyyxxfzyxyxyxyxfz的全增量关于)()(),()(),(),(0000000

23、000 xzyyzyxfyyxyyxfyyxxfzyx，596061yyxfyyxfyzyxfxyxfyxxfxzyxfyyyyxxxx),(),(limlim),(),(),(limlim),(0000000000000000),(3),(),3(lim0000000yxfxyxfyxxfxx62yfyfyzfxfxfxzfyyyyxxxx)0 , 0()0 , 0(limlim)0 , 0()0 , 0()0 ,0(limlim)0 , 0(00000)(lim0)0(0lim)0 , 0(lim00)0(lim)0 , 0(20420042042yyyyfxxxxfyxzyyyxxx不存

24、在例63 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf不连续但是有两个偏导数一元函数一元函数:可导一定连续可导一定连续;二元函数二元函数:可导与连续是无关条件可导与连续是无关条件.6465偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 66求偏导数的法则：求偏导数的法则：对于某个变量求导数，只要将其它的量当对于某个变量求导数，只要将其

25、它的量当作常数。类似一元函数，利用作常数。类似一元函数，利用1414个导数公个导数公式以及四则运算法则及复合求导法则进行式以及四则运算法则及复合求导法则进行求导。求导。67222211)(arctansec)(tan1)1(sin)(cos1)(ln21)(2)(yyyyyyyyyyyyyy68例例 1 1 求求 223yxyxz 在在点点)2 , 1(处处的的偏偏导导数数解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 69221),2)xyxzzzyzxy求例2 求下列函数的偏导数复合函数对于一个变量求导时候,将其他的变量看作常数2211:,xyxz

26、zxyyy 解2222221:22xyxzxxyxyyzxy解70证证xxzyzyxzxzxzyyyxyln,1zxxxxxxyxyxyzxxzyxyyyyy22lnln1ln11原结论成立原结论成立71解解xz yz 练习求练习求xyxzcos) 12xyxxxyyzxyyxyxyxxzsinsin0sin2sin) 1(2yxztan)2解：yxyxyxyxyzyxyyyxxz222222sec)(secsec11sec72解解xz yz 求求xyxzsin)3xyxyxyyxyxxyxzcossincossinxyxxxyxyzcoscos273()sin(cos )()sinxyxyx

27、yzyexexxzxexy4)sinxyzex7414443431334343zxxyxyzyxyxy5)ln(43 )zxy75解解xz yz 求求xyzarctan)62222221)(111)(11arctanyxxxxyyzyxyyxyxzxyz76yxzarctan)722222222221111 ( )1()1 ( )zyyxxyyxyyxyzxxxyyyxy 77例如例如,函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依依定定义义知知在在)0 , 0(处处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存

28、在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，偏导数存在而且偏导数存在而且偏导数偏导数 是连续是连续 二元函数二元函数连续连续.二二. 偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系78偏导数存在而且偏导数存在而且偏导数偏导数 是连续是连续 二元函数二元函数连续连续.79三、偏导数的几何意义80偏导数的几何意义偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图81 偏导数偏导数),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲线在点所截得的曲线

29、在点0M处的切线处的切线xTM0对对x轴的轴的斜率斜率. 偏导数偏导数),(00yxfy就是曲面被平面就是曲面被平面0 xx 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0M处的切线处的切线yTM0对对y轴的轴的斜率斜率.82),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. .四、高阶偏导数83),(yxfz ),(yxfzxx),(yxfzyy),(yxfz

30、xxxx),(yxfzxyxy),(yxfzyyyy),(yxfzyxyx84解解xyyxxyyyxxyxzyyxzyyxyyxzxyxyxxzxyzxxyyxxyxyxzyyyxzxyxyyxz19619619231822926923323313222222332232332232385例例 7 7 设设byeuaxcos ，求求二二阶阶偏偏导导数数. 解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 86解解xyzyxzyzxz222222,练习求练习求xy

31、xzcos) 12xyyxyxyxxzsin2sin) 1(2xyxxxyyzsinsin0 xyxyxyxyyxxyzxyyyxyyzxyxxcossincossin1 0cos2cos22xyxyxyxyxyxyzxyxzyxyycossincossin1 cos287yxzarctan)2;11)(11222222xyyyxyyyyxxz解2222222222222222222222022()()1()22()()()xxxyy xxyzyxyxyxy yyxyxyzyxyxyx yxzxz222,求88xyzyxzyzxz222222,xyez2) 322222222222;(2 )2

32、2 22(12)2;(2 )xyxyxyxxxxyxyxyxyxyxyyyyxyyxzezyezyezey xeexyzxezx ezz 解:89五.偏导数在经济上的应用联合成本函数分析 需求函数的边际分析局部弹性n(1).需求的自身价格弹性n(2).需求的交叉价格弹性n(3)需求的收入弹性90第五节、多元复合函数及隐函数的求导法则)sin(yxezxyxyu yxv 二元的复合函数中间变量将复合函数拆成简单函数vezusin一、多元复合函数一、多元复合函数91例例 1 1 设设vezusin ，而而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解法解法1 直接代入得到直接代入得到)sin(y

33、xezxy)cos()sin()sin()sin()cos()sin()sin()sin()(yxeyxxeyxeyxezyxeyxyeyxeyxezxyxyyxyyxyyxyxyxxyxxyx解：利用乘法法则92定理6.4如果函数 ,在点处有偏导数,函数有连续偏导数,那么复合函数 在点也有对x和y的偏导数( , ),( , )ux y vx y( , )x y( , ), )zf u vu v在对应点（( ( , ),( , )zfx yx y( , )x y xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 93uvxzy定理定理6.4:(链式法则链式法则)如图示如图示 xz uzx

34、u vz,xv yz uzyu vz.yv 94zwvuyx95例例 1 1 设设vezusin ，而而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解解96例例 2 2 设设tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全导导数数dtdz.解解97解解ztvutt通过变量关系图可以看出这是个一元函数zdtdz代入中间变量求导数98tteztsincos tttettetettetettezdtdzttttttcos)sin(coscos)sin(cos)(sin)(coscos)()sincos(解解:99解解 直接代入得到直接代入得到)3ln(2yxyxzyxyxyxxyxyxyx

35、xyxyxyxyxzyxyxyxxyyxyxyxxyyxyxyxyxzyyyxxx33)3ln(331)3ln()3ln()3ln(3)3ln(231)3ln(2)3ln()3ln()(2222222222解：利用乘法法则100以上是具体的复合函数以上是具体的复合函数下面我们介绍抽象函数如何求偏导数？下面我们介绍抽象函数如何求偏导数？101抽象函数求偏导数抽象函数求偏导数解解32,37),(yxvyxuvufzzuvxyxy)2,1(个变量第变量第fz 102222122212313213233332727),37(fyxfyxffyzfxyfxyffxzyxyxfz 222132221323

36、133213233033cos27cos27)sin,37(fyxffyxffyzf xfxyfxfxyffxzxyxyxfz 103解解212121212121111xyffxyffzwxzffxzffywyzffyzffxw这是个三元的函数104证证:1052222212122222121222122122212222121212121)()()()()(sin)(cos)(sin)(cossincossincoscossin1sincos)(1)(;cossincos)sin(sincossincos)sin,cos(yzxzfffffffffffrfrrffzrrzyzfxzffrfr

37、rfrfzffffrzrrfz证证:106二、隐函数求导因变量在方程中出现两次以上因变量在方程中出现两次以上. .有一元的隐函数有一元的隐函数, ,也有二元隐函数也有二元隐函数xyyxarctanln22 04222 zzyx一元的隐函数一元的隐函数二元的隐函数二元的隐函数1070),(. 1 yxF一个方程的情形隐函数的求导公式隐函数的求导公式108xyFFdyxFdxFy 0),(yxF109解法1 两边求导解法2 利用偏导数做xyyxxyyxFFdxdyyxyFyxFyxyxyxFyxyx262622620; 026),(22222由隐函数求导公式设110解解 令令则则 22222222

38、2222222222222211221arctan)ln(21arctanln),(yxxyFyFyxyxyxyyxxxyyxxyxxxyxyyxxFxFxyyxxyyxyxFyx2222xyxyFdyxyxyyxdxFxyxy 111二元隐函数1120),(. 2 zyxF1130),(zyxFxzFzxF yzFzyF 计算3个偏导数,xyzF F F114解解令令则则,4),(222zzyxzyxF 2 ,xFx24,zFz,2xzFzxxFz yzxz,2yFy 代公式2242yzFzyyyFzz 115解解令令222( , , )352610221010661010 xyzxxzyy

39、zF x y zxyzxyzFxyzFyxzFzxyFxyzxyzzFzxyxyzFyxzyxzzFzxyxyz 则代公式yzxz,116第四节、全微分117),(),(yxfyxxf ( , )xfx yx),(),(yxfyyxf ( , )yfx yy 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏微微分分 二元函数二元函数对对x和对和对y的的偏增量偏增量由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得1、全微分的定义118全增量的概念全增量的概念119 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示

40、为)( oyBxAz ，其中，其中BA,不依赖于不依赖于yx ,而仅与而仅与yx,有关，有关，22)()(yx ，则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，可微分，yBxA 称为函数称为函数),(yxfz 在点在点),(yx的的全微分全微分，记为，记为dz，即，即 dz= =yBxA . .全微分的定义全微分的定义120 函函数数若若在在某某区区域域 D 内内各各点点处处处处可可微微分分，则则称称这这函函数数在在 D 内内可可微微分分.事实上事实上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函数数),(y

41、xfz 在在点点),(yx处处连连续续.121dyyzdxxzdz2、可微的条件122证证如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的某个邻域的某个邻域)( oyBxAz 总成立总成立,当当0 y时时，上上式式仍仍成成立立，此此时时| x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 123一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyx

42、xyyxf124)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考虑虑点点),(yxP 沿沿着着直直线线xy 趋趋近近于于)0 , 0(，则则 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,0 当当 时，时，(0,0)(0,0)( ),xyzfxfyo 函函数数在在点点)0 , 0(处处不不可可微微.125说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在微分存在证证),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf 126),(

43、),(yyxfyyxxf 1(,)xfxx yyx)10(1 在在第第一一个个方方括括号号内内，应应用用拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理1( , )xfx yxx （依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）且当且当0, 0 yx时，时，01 .其其中中1 为为yx ,的的函函数数,1271( , )xfx yxx 2( , )yfx yyy z 2121 yx, 00 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处可可微微.同理同理),(),(yxfyyxf 2( , ),yfx yyy 当当0 y时时，02 ,128习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz 全微分的定义可

44、推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况129例例 1 1 计计算算函函数数xyez 在在点点)1 , 2(处处的的全全微微分分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222)1 , 2(dyedxedz所求全微分所求全微分.dyxedxyedzxyxy130例例 2 2 求

45、求函函数数)2cos(yxyz ，当当4 x， y，4 dx， dy时时的的全全微微分分.解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 dyyxyyxdxyxydyyzdxxzdz)2sin(2)2cos()2sin(131例例 3 3 计计算算函函数数yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 这是三元的函数132关系133多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、

46、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导134全微分在近似计算中的应用135全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用( , )( , )( , ),( , ),xyzf x yP x yfx yfx yxy当二元函数在点的两个偏导数连续，且都较小时，有近似等式( , )( , ).xyzdzfx yxfx yy 也可写成也可写成(,)( , )( , )( , ).xyf xx yyf x yfx yxfx yy 136解解.),(yxyxf 设函数设函数.02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f1( , ),yxf

47、x yyx( , )ln ,yyfx yxx(1,2)2,xf (1,2)0,yf 由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 137第六节、多元函数的极值和最值138实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶卖每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁

48、可问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？xyyx4570 yx7680 每天的收益为每天的收益为 ),(yxf)7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求最大收益即为求二元函数的最大值求最大收益即为求二元函数的最大值.1、问题的提出1392、多元函数的极值和最值140二元函数极值的定义141 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内的某邻域内有定义，对于该邻域内异于有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf ，则称函数，则称函数在在),(00yx有 极 大 值

49、； 若 满 足 不 等 式有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，则称函数在，则称函数在),(00yx有极有极小值；小值；1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义极极大大值值、极极小小值值统统称称为为极极值值. .使使函函数数取取得得极极值值的的点点称称为为极极值值点点. .142(1)(2)(3)例例1 1处处有有极极小小值值在在函函数数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 143多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件不不妨妨设设),(yx

50、fz 在在点点),(00yx处处有有极极大大值值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都有都有 ),(yxf),(00yxf,证证144故故当当0yy ，0 xx 时时，有有 ),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必必有有 0),(00 yxfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.推推广广 如如果果三三元元函函数数),(zyxfu 在在点点),(000zyxP具具有有偏偏导导数数，则则它它在在),(000zyxP有有极极值值的的必必要要条条件件为为 0),(000 zyx

51、fx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.145例如例如, 点点)0 , 0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，但但不不是是极极值值点点. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：146147148yxyxz221422149例例 4 4 求由方程求由方程yxzyx22222 0104 z确定的函数确定的函数),(yxfz 的极值的极值将将方方程程两两边边分分别别对对yx,求求偏偏导导

52、 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件知知,驻驻点点为为)1, 1( P,将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数,解解隐函数求极值150,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 故故 )2(0)2(122 zzACB,函函数数在在P有有极极值值.将将)1, 1( P代入原方程代入原方程,有有6, 221 zz,当当21 z时时，041 A,所所以以2)1, 1( fz为为极极小小值值；当当62 z时时，041 A,所所以以6)1, 1( fz为为极极大大值值. 151求求函函数数),(yxfz 极极值值的

53、的一一般般步步骤骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出实实数数解解，得得驻驻点点.第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 A、B、C. 第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.152xyyxyxfz3),() 1 (3322442)2(yxyxyxz153212, 2, 212) 1, 1)(1 , 1)(0 , 0(00:2)2(222244 yzzxzzzSolutionyxyxyxzyyxyxxyx处不取极值所以有当时而当有时当处在)0 , 0(0

54、, 0,0; 02,. 0)0 , 0(,)0 , 0(244zxxxzyxzyxf) 1 , 1 () 1, 1(在 处取极小值在 处取极小值154求最值的一般方法求最值的一般方法： 将函数在将函数在D D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值大者即为最大值，最小者即为最小值. . 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值155例例 5 5 求求二二元元函函数数)4(),(2yxyxyxfz