第三章多维随机变量及其分布

1、第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布第一节 二维随机变量第二节 边缘分布第三节 条件分布第四节 随机变量的独立性第五节 两个随机变量的函数的分布一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布多维随机变量及其分多维随机变量及其分布布 由于从二维推广到多维一般无实质性的由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量困难，我们重点讨论二维随机变量 .本章内容是第二章内容的推广本章内容是第二章内容的推广 到现在为止，我们只讨论了一维到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布及其分布. 但有但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要些随机现象用一个随机变量来描述还不够

2、，而需要用几个随机变量来描述用几个随机变量来描述. 在打靶时在打靶时,命中点的位置是由一对命中点的位置是由一对r.v(两个坐标两个坐标)来确定的来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三个坐标三个坐标-维度维度-经度经度-高度高度）来确定的等等）来确定的等等.第一节 二维随机变量定义.),(),(),(,维随机变量称为二维随机向量或二则即：上的两个随机变量是定义在样本空间设YXYYXXYX二维随机向量(X,Y)的性质不仅与X及Y的性质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系,因此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究. 为此为此,首先需要引入二维随机向量首先需

3、要引入二维随机向量(X,Y)的分的分布函数的概念布函数的概念.函数对于任意实数, yx( , ),F x yP Xx Yy或称为随机的分布函数称为二维随机变量,),(YX.的联合分布函数和变量YX二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 )()(xXPxFxX的分布函数的分布函数一维随机变一维随机变量量yx,的看成是平面上随机点若将二维随机变量),(),(YXYX落在以点就表示随机点则分布函数的坐标),(),(,YXyxF.),(矩形域内的概率为顶点的左下方的无限yx(x,y)yxo落入任一矩形点这时),(,YX1212( , ),Gx y xxxyyy,()的概率 即可由概率的加法性质求

4、得 如下图1212,P xXxyYy22122111(,)(,)(,)(,).F xyF x yF xyF x y分布函数具有以下的基本性质： ）（ 10( , )1F x y且, y对任意固定的(, )0Fy，对任意固定的x( ,)0F x (,)0F (,)1F 的不减函数或是）（yxyxF),(2(0, )( , ),( ,0)( , )F xyF x yF x yF x y）（3）对任意的（411221212( ,),(,),x yxyxxyy22122111(,)( ,)(,)( ,)0F xyF x yF xyF x y有二维离散型随机向量二维离散型随机向量只有有限对可能取的值如果

5、二维随机变量),(),(iiyxYX.),(,是二维离散型随机变量则称或可列无限对YX记, ,1 , 2,ijijP Xx Yypi j满足下列条件：其中ijp0ijp ）（ 1）（2111ijijp(, )X Y并称为二维离散型随机变量的分布律联合分布律.XY或称为随机变量 和 的联合分布律联合分布律下表表示：它们的联合分布律可用和离散型随机变量,YX它们的联合分布函数则由下面式子求出： ( , )iji jxx yyF x yp .121111ipppy.222122ipppy.21ixxx.21ijjjjpppy.yx例1 一箱子装有5件产品，其中2件正品，3件次品每次从中取1件产品检验

6、质量，不放回地抽取，连续两次如下：和定义随机变量YX10X，第一次取到次品，第一次取到正品10Y，第二次取到次品，第二次取到正品.),(的分布律试求YX解得：按概率的乘法公式计算及对：可能取的值只有),1 , 1 ()0 , 1 (),1 , 0(),0 , 0(4),(YX0,00 00P XYP XP YX210.1540,1P XY230.3541,0P XY320.3541,1P XY320.354：的分布律用表格表示为),(YX二维连续型随机向量二维连续型随机向量如果存在的分布函数是设二维随机变量),(),(YXFYX有使得对于任意的非负的函数yxyxf,),( , )( , )d

7、dyxF x yf u vu v (, )X Y则称是二维连续型随机变量XY或称为随机变量 和 的联合概率密度( , )(, )f x yX Y函数称为二维随机变量的概率密度具有以下性质：概率密度),(yxf( , )0f x y ）（ 1( , )d d1f x yx y ）（2）（3内的概率为）落在（上的区域是平面设GYXxoyG,(, )( , )d dGPX YGf x yx y）（4连续，则有在点若),(),(yxyxf2( , )F x yx y ( , )f x y例2由概率的性质 ( , )d d1f x yx y 1CA可得故有( , )f x y1, ( , )0 ,x y

8、GA其它以上式为概率密度，如果一个二维随机变量),(YX.),(上的均匀分布服从区域则称GYX( , )f x y, ( , )0 ,Cx yG其它设G是平面上的一个有界区域，其面积为A二维随机变量(x,y)只在G中取值，并且取G中的每一个点都是“等可能的”，即(x,y)的概率密度为两个常用的二维连续型分布两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布二维均匀分布 若二维随机变量若二维随机变量(X, Y)的密度函数为的密度函数为则称则称(X, Y)在区域在区域D上上(内内) 服从均匀分布。服从均匀分布。 其它，的面积,0),(1),(2RDyxDyxfDGSSGYXP,(易见，若（易见，若（X，

9、Y）在区域）在区域D上上(内内) 服从均匀分布服从均匀分布，对，对D内任意区域内任意区域G，有，有其中，其中， 1、 2为实数，为实数， 10、 20、| |1，则称，则称(X, Y) 服从参服从参数为数为 1, 2, 1, 2, 的的二维正态分布，可记为二维正态分布，可记为 ),(),(222121NYX2. 二维正态分布二维正态分布N( 1, 2, 1, 2, ) 若二维随机变量若二维随机变量(X, Y)的密度函数为的密度函数为,e121)y, x( f)y()y)(x(2)x()1(212212222212121212 3例具有概率密度设二维随机变量),(YX( , )f x y(2)2

10、e,0 ,00,x yxy其他1( , )2F x yP XY试求:( )分布函数( )解）（ 1( , )( , )d dyxF x yf x yx y (2)002ed d ,0,00,yxx yx y xy 其他.2(1 e)(1 e),0,0( , )0,xyxyF x y其他.即有）（2GxyXOY上方的区域记为平面的直线把位于于是( , )( , )d dGP XYPx yGf x yx y(2)022ed d3x yxy x 定义个随机变量上的是定义在样本空间设nXXXn,21则12(,)nXXXnn称为 维随机向量或 维随机变量个实数对于任意n12,nx xx函数,12( ,)

11、nF x xx1122,nnP Xx XxXx维随机变量称为n12(,)nXXX的分布函数或.,21的联合分布函数随机变量nXXX第二节 边缘分布(, ),X YXY对于二维随机变量随机变量 和 各自的(, )X YXY分布函数称为关于 和 的边缘分布函数( ),( )XYFx Fy记为概念概念( ),( )(, )XYFx FyX Y故边缘分布函数可由的分布函数所确定(, )( , )X YF x y若二维随机变量的分布函数已知，则定义定义YxXP，)(xXPxFX),(lim),(yxFxFy),(lim),()(yxFyFyFxY同理：离散型二维随机变量的边缘分布离散型二维随机变量的边缘

12、分布边缘分布律边缘分布律,),(),(ijjipyYxXPYX的联合分布率为设离散型随机变量,.,2, 11iPPxXPjijii，的边缘分布律为：XxxjijxxixxiXiiiPPxXPxFxF1)(),()(的边缘分布函数为：Xx-,.,2, 11jPPxXPiijjj，的边缘分布律为：YxxiijxxjxxjYjjjPPxXPyFyF1)(),()(的边缘分布函数为：Y同理：同理：边缘分布律自然也满足分布律的性质。边缘分布律自然也满足分布律的性质。例例1.已知已知(X,Y)的分布律为的分布律为xy10 11/10 3/100 3/10 3/10求求X、Y的边缘分布律。的边缘分布律。解：

13、解：xy10pi.11/10 3/1003/10 3/10 p.j 故关于故关于X和和Y的分布律分别为：的分布律分别为： X10Y10 P 2/53/5P2/53/52/53/52/53/52例把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设 .),(,2 , 1,的分布律及边缘分布律求个邮筒内信的数目分别表示投入第YXYX解)2 , 2(),1 , 2(),2 , 1 (),(. 2 , 1 , 0,取由题设，各自的取值为YXYX均不可能，因而相应的概率均为02110,039P XY2220,139P XY2110,239P XY2221,139P XY1,0, 2,0P XYP XY可由对称性

14、求得再由古典概率计算得 ：所有计算结果列表如下 ：(, )XYX Y和 的边缘分布律可由的分布律确定( X,Y )关于Y的边缘分布律( X,Y )关于X的边缘分布律919494910091294092921949192910210ijijppXY由边缘分布并不能唯一地确定联合分布由边缘分布并不能唯一地确定联合分布连续型二维随机变量的边缘分布连续型二维随机变量的边缘分布),(),(yxfYX的概率密度为对于连续型随机变量的边缘分布函数为：X,),()(YxXPxFxFXdydxyxfx ),(：的边缘概率密度函数为所以：XdyyxfxfX),()(：的边缘概率密度函数为同理：YdxyxfyfY)

15、,()( )(, )XfxX YX称为关于 的边缘概率分布( )(, )YfxX YY称为关于 的边缘概率分布3例在区域设二维随机变量),(YX, 10| ),(2xyxxyxG( )( )XYfxfy上服从均匀分布，求边缘概率密度，解(, )X Y不难得到的概率密度他，, 0, 10, 6),(2其xyxxyxf则226d6(),01,( )( , )d0,.xxXyxxxfxf x yy其他6d6(),01( )( , )d0,.yyYxyyyfyf x yx其他(, ),X YG虽然的联合分布是在 上服从均匀分布但是它们的边缘分布却不是均匀分布。关键词离散型边缘分布律连续型边缘概率密度函

16、数第三节 条件分布)()()|(BPABPBAP推广到随机变量推广到随机变量 设有两个设有两个r.v. X, Y ， 在给定在给定Y取某个或某些值的取某个或某些值的条件下，求条件下，求X的概率分布的概率分布.这个分布就是条件分布这个分布就是条件分布.在第一章中，我们介绍了条件概率的概念在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 .在事件在事件B发生的条件下事件发生的条件下事件A发生的条件概率发生的条件概率 例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以一个学生，分别以X和和Y 表示其体重和身高表示其体重和身高 . 则则X和和Y都是随机变量，它们都

17、有一定的概率分布都是随机变量，它们都有一定的概率分布.体重体重X身高身高Y体重体重X的分布的分布身高身高Y的分布的分布 现在若限制现在若限制1.7Y1.8(米米), 在这个条件下去求在这个条件下去求X的的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米和米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布学生中求其体重的分布. 容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样会很不一样. 例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著例如，在条件分布中体重取大值

18、的概率会显著增加增加 .条件分布的概念布函数为：是一个随机变量，其分设XxxXPxFX,)(称发生的条件下在事件,AxAxXPAxF,|)|(的条件分布函数发生的条件下在事件XA,离散型随机变量的条件分布其分布律为：是二维离散型随机变量设,),(YX,1,2,.iji jP Xx Yypi j的边缘分布律分别为：和关于关于YXYX),(1,1,2,iii jjP Xxppi1,1,2,.jji jiP Yyppj设0jp由条件概率公式可得,|,1,2,i jijijjjpP Xx YyP Xx YyiP Yyp的条件分布律条件下随机变量上式称为在XyYj若同样,地0ip|iiP YyXx,ij

19、iP Xx YyP Xxijipp1,2,j 的条件分布律条件下随机变量上式称为在XxXj不难验证以上两式均满足分布律的基本性质1例把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设的条件分布律。条件下随机变量求在个邮筒内信的数目分别表示投入第XYYX0,2 , 1,解的条件分布律为的条件下在XY00|0P XY0,00P XYP Y1949141|0P XY2949122|0P XY1,00P XYP Y2,00P XYP Y194914解解:例例2 Y X 0 1 pi. 07/157/307/10 17/301/153/10 p.j7/103/1013210/715/700,00|0XPXYP

20、XYP 在X=0的条件下00, 10|1XPXYPXYP(2)X=1 (2)X=1 条件下条件下9710/330/711,01|0XPXYPXYP9210/315/111, 11|1XPXYPXYP3110/ 730/ 7连续型随机变量的条件密度函数.)()(),(),(的边缘概率密度和分别是关于和的概率密度为设YXyfxfyxfYXYX的条件概率密度为时故XyY |( | )X Yfx y( , )( )Yf x yfy|( | )Y Xfy x( , )( )Xf x yfx的条件概率密度为时同理：YxX,dxyxfyxf),(),(dyyxfyxf),(),(的分布函数：的条件下，在条件

21、XyY 有了条件概率密度函数，我们就可以定义条件分布函数xYXYXdxyxfyYxXPyxF)|(|)|(|xYdxyfyxf)(),(的分布函数：的条件下，同样：在条件YxX yXXYdyxfyxfF)(),(|2例具有概率密度和设随机变量YX2211( , )0,xyf x y，其他|( | )X Yfx y求解( )Yfy( , )df x y x22 1| 10,yy，其他对符合| | 1x有的一切x221,1,( , )()2 1( )0,X YYxyf x yfx yyfy其他.两事件两事件A,B独立的定义是：若独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件则称事件A,B独立

22、独立 .两随机变量的独立性如何定义？第四节 随机变量的独立性定义分别是二维随机变量及设)(),(),(yFxFyxFYX有所有若对函数的分布函数及边缘分布yxYX,),( yYPxXPyYxXP ,即)()(),(yFxFyxFYX.是相互独立的和则称随机变量YX分别是连续型随机变量设)(),(),(,),(yfxfyxfYXYX独立条件等价于的相互和则密度的概率密度和边缘概率为YXYX,),()()(),(yfxfyxfYX( , ),( ),( )XYf x yfxfy在的一切公共连续点上成立相互独立的条件等价于和是离散型随机变量设YXYX,),(),(的),(iiyxYX取值的所有可能对

23、于 iiiiyyPxxPyyxxP,即., 2 , 1, 2 , 1,.jipppjiij是否独立？与问：其他的联合概率密度为：设随机变量例YXyxxyyxfYX010 , 104),(),(1.24),()(10 xxydydyyxfxfX解：.24),()(10yxydxdxyxfyfY相互独立所以YXyfxfyxfYX,)()(),(2例的分布律如下表所示设二维离散型随机变量),(YX?,相互独立和取何值时，当YX解的边缘分布律分别为YX,则有相互独立和若,YX 1111,212()939P XYP XP Y.91,92解得均成立对所有此时iijiijyxppp,.相互独立和即YX 11

24、11,313()18318P XYP XP Y313121ipX1819121321kpY2例一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时设他们两人到达的时间是相互独立的，求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟（1/12小时）的概率 解达办公室的时间，则分别是负责人和秘书到和设YX其他，, 0,128,41)(xxfX其他，, 097,21)(yyfY的概率密度为由独立性得),(YX1,812, 79,( , )( )( )80,.XYxyf x yfx fy其他依题意求概率121YXP画出区域：121 yx以及长方形97;128yx它们的公共部分是BC

25、CBG 四边形记为：小时。故所求的概率为超过不两人到达的时间相差才内取值于仅当12/1,),(GYX121YXPGGdxdyyxf的面积）(81),(GABCABC 的面积的面积的面积6112112112132122）（）（481121YXP于是即负责人和他的秘书到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为 1/48维随机变量的情况推广到随机变量的独立性可以n设), 2 , 1()(),(21nixFxxxFiXni维随机变量分别是n),(21nXXX的分布函数和边缘分布函数)()()(),(212121nXXXnxFxFxFxxxFn是相互独立的。则称nXXX,21相互独立的充要条件是故连续型随

26、机变量nXXX,21)()()(),(212121nXXXnxfxfxfxxxfn相互独立的充要条件是离散型随机变量nXXX,21 nnnnxXPxXPxXPxXxXxXP22112211,12,nx xx若对任意实数有 在第二章中，我们讨论了一维随机在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨变量函数的分布，现在我们进一步讨论论: 我们先讨论我们先讨论两个随机变量两个随机变量的函数的分布问题，然后的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形将其推广到多个随机变量的情形. 当随机变量当随机变量X1, X2, ,Xn的联合分布已知时的联合分布已知时，如何求出它们的函数，如

27、何求出它们的函数 Yi=gi(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m的联合分布的联合分布?第五节第五节 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布的分布（一）YXZ主要讨论如下具体函数主要讨论如下具体函数的分布（二）XYZ 的分布及（三）),min(),max(YXNYXM的分布（一）YXZ的分布律为设二维随机变量),(YXijjipyYxXP, 2 , 1i, 2 , 1jYXZ若jikyxz则由上式及概率的加法公式，有 ijjikyYxXPzZP,iikixzYxXP,jjjkkyYyzXPzZP,或者的分布离散型：YXZ1例的分布律为设二维随机变量),(YX的分布律试求YXZ解

28、,1012X YZ由可能取的值知 的可能值为:， ， ， ，且有1 . 01, 01YXPZP5 . 03 . 02 . 01, 10, 00YXPYXPZP2 . 01 . 01 . 00, 11, 01YXPYXPZP2 . 01, 12YXPZP的分布律为Z),(),(,yxfYX的概率密度为若对于连续型随机变量的分布函数为则YXZ( )( , )d dZx y zFzP Zzf x yx y 左下方的半平面积分区域是位于直线zyxYXZ连续型：( )( , )d dzyZFzf x yxy令yux( , )d(, )dz yzf x yxf uy yu于是( )(, )d dzZFzf

29、 uy yu y (, )d dzf uy yy u 求导上式两边对z( )(, )dZfzf zy yy的对称性由YX,( )(, )dZfzf zx xx有卷积公式相互独立时和当,YX( )()( )dZXYfzfzy fyy( )( )()dZXYfzfx fzxx或者2例其概率密度为正态分布都服从变量是两个相互独立的随机和设),1 , 0(,NYX221( )e2xXfxx221( )e2yYfyy的概率密度求YXZ 解由卷积公式( )( )()dZXYfzfx fzxx22()221eed2xz xx22()421eed2zzxx2zxt令2224411( )eede22 zztZfzt则分布服从即)2 , 0(NZ3例其概率密度分别为相互独立设随机变量,YX其他, 010, 1)(xxfX其他, 00,)(yeyfyY的概率密度求随机变量YXZ1解法利用公式xxzfxfzfYXZd)()()(仅当的定义知由,yxffzxxxzx10010即0,不为上述积分的被积函数才时由上图知)(zfZ1,ded)()(100)(zxxxzfxfzxzYZ0其他即)(zfZ,ded)()(00)(zzxzYZxxxzfxf10 z,e1z10 z,e ) 1e (z1z0其他：解法2的概率密度