流体力学_08绕流运动

1、2022-6-13第八章第八章 绕流运动绕流运动 8-1 无旋流动无旋流动 8-2 平面无旋流动平面无旋流动 8-3 几种简单的平面无旋流动几种简单的平面无旋流动8-4 势流叠加势流叠加 8-6 绕流运动与附面层基本概念绕流运动与附面层基本概念 8-10 曲面附面层的分离现象与卡门涡街曲面附面层的分离现象与卡门涡街 2022-6-138-1 无旋流动无旋流动 如果流体流动时所有流体微团仅作平移和变形运动，没有旋如果流体流动时所有流体微团仅作平移和变形运动，没有旋转运动，即转运动，即 ，则称该流动为无旋流动（势流）。，则称该流动为无旋流动（势流）。 0zyx2022-6-13 因此，无旋运动无旋

2、流动的前提条件是：因此，无旋运动无旋流动的前提条件是：zuxuyuzuxuyuxzzyyx（81）dzudyudxuzyx 式（式（81）是）是 为某一势函数为某一势函数 的的全微分的充分必需条件，其中全微分的充分必需条件，其中 t 为参变量，必有为参变量，必有tzyx,又因又因dzzdyydxxddzudyudxudzyx说明无旋必有势说明无旋必有势故故zuyuxuzyx, （83）（82）2022-6-13xyzuu iu ju kijkxyzgrad圆柱坐标系圆柱坐标系zururuzr,1,（84）球坐标系球坐标系sin1,1,RuRuRuR（85）2022-6-13证证luululzl

3、zylyxlxdldzzdldyydldxxlcos,cos,cos,cos 流速势函数流速势函数 的性质：的性质： lul（88）l1、 对于任意方向对于任意方向 的方向导数等于该方向的分速的方向导数等于该方向的分速，即，即2022-6-13 流速势函数等于常数的曲面积为等势面。在其面上位于等势面上的线称为等势线。常数。zyx, 所以0sdudzudyudxudzzdyydxxdzyx式中sdu速度向量；等势面上微元弧向量。2、等势线与流线正交、等势线与流线正交 定义：定义：说明：速度u与ds正交。等势线既是过流断面线。 一族流线与等势线构成相互正交的流网。2022-6-133、流速势函数沿

4、流线、流速势函数沿流线 s 方向增大。方向增大。 dsdsuus从而得udsd由性质1得沿流线方向的速度为 沿流线方向速度 ，所以 ，即说明 值增大的方向与 s 方向相同。0u0, 0dds2022-6-134、流速势函数是调和函数、流速势函数是调和函数 yuxuyx, 代入不可压缩流体的连续方程中得代入不可压缩流体的连续方程中得0yyxxyuxuyx从而得从而得222220yx或者或者（8 9）（810) 上式说明流速势函数上式说明流速势函数 满足拉普拉斯满足拉普拉斯 方程式，在数方程式，在数学上称满足拉普拉斯方程式的函数为调和函数，所以流速势函数学上称满足拉普拉斯方程式的函数为调和函数，所

5、以流速势函数 是调和函数。是调和函数。Laplace平面势流中平面势流中2022-6-138-2 8-2 平面无旋流动平面无旋流动一、平面无旋流动的势函数一、平面无旋流动的势函数 在不可压缩流体平面流动中，旋转角速度只可能有在不可压缩流体平面流动中，旋转角速度只可能有z的分量，如果的分量，如果z为零，即：为零，即：则为平面无旋流动。平面无旋流动的速度势函数为：则为平面无旋流动。平面无旋流动的速度势函数为： 在流场中，某一方向在流场中，某一方向(取作取作z轴方向轴方向)流速为零，流速为零，u z0，而，而另两方向的流速另两方向的流速ux、uy与上述轴向坐标与上述轴向坐标z无关的流动，称为平无关的

6、流动，称为平面流动。面流动。2022-6-13 例如工业液槽的边侧吸气，沿长形液槽两边，设置狭缝吸风口。气流由吸风口a吸出，在液槽上方造成xy平面上的速度场。沿长度方向，即垂直于纸面方向，流速为零。而且沿此方向取任一xy平面，它的速度场完全一致，这就是平面流动的具体例子(图82)。2022-6-13并满足拉普拉斯方程：不可压缩流体平面流动的速度ux，uy可以用下式表示： 一切不可压缩流体的平面流动，无论是有旋流动或是无旋流动都存在流函数，但是，只有无旋流动才存在势函数。所以。对于平面流动问题，流函数具有更普遍的性质，它是研究平面流动的一个重要工具。下面我们具体讨论下流函数。直角坐标：极坐标：y

7、uxuyx2022-6-13二、平面无旋流动的流函数二、平面无旋流动的流函数yuxuyuxuyxyx0（811）即即 它是使它是使 成为某一函数成为某一函数 的全微分的充要的全微分的充要条件，则有条件，则有dyudxuxyyx,xuyudyydxxdyudxudyxxy,故故（812）对于不可压缩流体的平面流动，其连续方程式为对于不可压缩流体的平面流动，其连续方程式为2022-6-13 就称为不可压缩流体平面流动的流函数。就称为不可压缩流体平面流动的流函数。zyx,类似地可证，在极坐标中类似地可证，在极坐标中rurur,1（813） 因为流函数存在的条件是要求流动满足不可压缩流体的因为流函数存

8、在的条件是要求流动满足不可压缩流体的连续方程式，而连续方程式是任何流动都必须满足的，所以连续方程式，而连续方程式是任何流动都必须满足的，所以说任何平面流动中一定存在着一个流函数说任何平面流动中一定存在着一个流函数 。2022-6-13三、流函数的基本性质三、流函数的基本性质因为因为yxxyudyudxdyudxud0即即 为流线方程。为流线方程。 1、等流函数线为流线、等流函数线为流线2022-6-132、在平面无旋流动中、在平面无旋流动中流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。证：平面无旋流动需满足证：平面无旋流动需满足0)(21yuxuxyz则则yuxuxy

9、因为因为yuxuxy,代入上式，代入上式，得证。 02222yx平面无旋流动的流函数和流速势函数之间的关系式为：平面无旋流动的流函数和流速势函数之间的关系式为：2022-6-13 在数学分析中，这个关系式称为柯西在数学分析中，这个关系式称为柯西黎曼条件，满黎曼条件，满足这个条件的两个调和函数称共轭调和函数，已知其中一足这个条件的两个调和函数称共轭调和函数，已知其中一个函数就可以求出另一个函数。个函数就可以求出另一个函数。xyuyxuyx2022-6-13 证：考察通过任意一条曲线证：考察通过任意一条曲线AB（ z 方向为单位长度）的流量。方向为单位长度）的流量。（图（图82）对于通过微元矢量）

10、对于通过微元矢量 的流量的流量l dddxudyudldldxudldyudlynuxnudlnudludQyxyxyxn,cos,cos则通过则通过AB两点的任意连线两点的任意连线AB的流量的流量BABAABdQ（814）3、两条流线间通过的流量等于两条流线的流函数之差。、两条流线间通过的流量等于两条流线的流函数之差。xyoABdxdynuldu n1CAC2CB图图82流函数与流量的关系流函数与流量的关系2022-6-134、等流函数线（流线）与等势线正交、等流函数线（流线）与等势线正交0yxxyuuuuyyxx 说明流函数的梯度与速度势的梯度（即速度）正交，故分别说明流函数的梯度与速度势

11、的梯度（即速度）正交，故分别与它们垂直的等流函数线（即流线）与等势线正交。与它们垂直的等流函数线（即流线）与等势线正交。 这是因为这是因为5、流网中每一网格的相邻边长维持一定的比例。流网中每一网格的相邻边长维持一定的比例。 由于等流函数值线（即流线）和等势函数值线（简称等势线）由于等流函数值线（即流线）和等势函数值线（简称等势线）相互垂直，我们可以把流线和等势线绘入同一流场中，得出相应的相互垂直，我们可以把流线和等势线绘入同一流场中，得出相应的一系列等势线。这两簇曲线构成正交曲线网格，称之为流网。一系列等势线。这两簇曲线构成正交曲线网格，称之为流网。2022-6-13四、流场中流网的绘制四、流

12、场中流网的绘制 流场中的流网可以利用流线和等势线流场中的流网可以利用流线和等势线相互正交，形成曲线正方网格的特性，直接相互正交，形成曲线正方网格的特性，直接在流场中徒手绘出。具体绘法是用一张绘图在流场中徒手绘出。具体绘法是用一张绘图纸，先绘出流场。根据流动的大致方向，试纸，先绘出流场。根据流动的大致方向，试绘一系列流线以及垂直于流线的等势线，形绘一系列流线以及垂直于流线的等势线，形成正交网格。初绘之后，检查不符合流网的成正交网格。初绘之后，检查不符合流网的特性的地方，用橡皮擦去，重新修改，逐渐特性的地方，用橡皮擦去，重新修改，逐渐形成互相垂直的正方形网格。最后绘成基本形成互相垂直的正方形网格。

13、最后绘成基本上符合流网特性的两簇曲线图上符合流网特性的两簇曲线图8-5)。绘制。绘制时，抓住边界条件是重要的。一般说来，固时，抓住边界条件是重要的。一般说来，固体边界都是边界流线；过水断面或势能相等体边界都是边界流线；过水断面或势能相等的线，都是边界等势线。对于给定流场，绘的线，都是边界等势线。对于给定流场，绘出边界等势线和边界流线，就确定了流网的出边界等势线和边界流线，就确定了流网的范围。范围。2022-6-138-3 几种简单的平面无旋流动几种简单的平面无旋流动一、均匀直线流一、均匀直线流 babuauyx和, 设液体作平行直线等速流动，流场中各点速度的大小和方向均相同，即 均为定值。而流

14、函数为由于aybxadybdxdyxdxydyydxxdbyaxbdyadxdyydxxdbuyauxyx故,于是，速度势为又（817）（817）2022-6-13xoyC 图图 83 平平 行行 等等 速速 流流变为极坐标方程为：变为极坐标方程为：速度势与流函数在直角坐标上表示如下图：速度势与流函数在直角坐标上表示如下图：2022-6-13 流体从某一点径向流出称为源，如图流体从某一点径向流出称为源，如图84（a）所示。）所示。 流体从某一点径向流入称为汇，如图流体从某一点径向流入称为汇，如图84（b）所示。）所示。 设半径设半径 r 方向水层的厚度为方向水层的厚度为1，源（汇）的流量为，源

15、（汇）的流量为Q，则，则rQrQrr212常数由此由此xxyy（ a ）（ b ）图图 8 4 源源 与与 汇汇二、源流和汇流二、源流和汇流 定义：定义：2022-6-13 由于源汇只有径向流动，所以圆周方向的速度分量由于源汇只有径向流动，所以圆周方向的速度分量 。0在极坐标中，由式（在极坐标中，由式（87） rCCrQrrQrr21,ln201,2积分得积分得rQln2（818）据流函数得：据流函数得： 21,20,21DDQrrQrr 积分得积分得 式中式中 分别是关于分别是关于 的积分常数，根据上面两个的积分常数，根据上面两个应该相等，得应该相等，得 rCC21和r和rQrCCln2)(

16、, 0)(212022-6-13 式中式中 分别是关于分别是关于 的积分常数，由两个的积分常数，由两个 应该应该相等，得相等，得 21DrD和和r2Q（819）2)(, 0)(21QDrD故故 假定流出流量为正，则源流取假定流出流量为正，则源流取“ ”号，汇流取号，汇流取“-”号。号。源汇流的等势线为一组同心圆。源汇流的等势线为一组同心圆。2022-6-13 现在我们来研究流体的圆周运动，即只有圆周方向速度现在我们来研究流体的圆周运动，即只有圆周方向速度 ，而径向速度而径向速度 。如图。如图85所示，并且定义速度所示，并且定义速度 在圆周切线在圆周切线上的线积分为速度环量上的线积分为速度环量

17、（环流强度），即（环流强度），即0r三、环流三、环流rrrrrrdr21, 02220所以所以由式（由式（86）（820）积分得积分得rrrr2, 0122022-6-13 rDrrDln2ln2,21由此得由此得积分得积分得（821）等势线是一族射线。等势线是一族射线。oxy图图84（a）环流）环流 应当注意，环流是圆周流动，但却不是有旋流动。因为，应当注意，环流是圆周流动，但却不是有旋流动。因为，除了原点这个特殊的奇点之外，各流体质点均无旋转角速度。除了原点这个特殊的奇点之外，各流体质点均无旋转角速度。2022-6-13四、直角内的流动四、直角内的流动假设无旋流动的速度势为：假设无旋流动的

18、速度势为：则则流函数全微分为流函数全微分为2022-6-138-4 8-4 势流的叠加势流的叠加 由于势流的速度满足拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程又是线由于势流的速度满足拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程又是线性的，故几个势流的速度势叠加后仍满足拉普拉斯方程。性的，故几个势流的速度势叠加后仍满足拉普拉斯方程。 设有两个势流，其速度势分别为设有两个势流，其速度势分别为 ，则，则21和00222222212212yxyx（824） 此时，两个速度势之和将代表一个新的不可压缩流体平面势此时，两个速度势之和将代表一个新的不可压缩流体平面势流，其速度势流，其速度势21（825）2022-6-13因为因为0222

19、222212212221222122222yxyxyxyx（826）即速度势叠加结果，代表一新的复合流动，其速度分量即速度势叠加结果，代表一新的复合流动，其速度分量21212121yyyxxxuuyyyuuuxxxu（827）同理可证明，新的复合流动的流函数同理可证明，新的复合流动的流函数21 （828）2022-6-13 叠加两个或多个势流组成一新的复合势流，只需将各原叠加两个或多个势流组成一新的复合势流，只需将各原始势流的速度势或流函数简单地相加，其速度将是各原始势始势流的速度势或流函数简单地相加，其速度将是各原始势流速度的矢量和。流速度的矢量和。势流的叠加原理：势流的叠加原理：2022-

20、6-13一、均匀直线流中的源流一、均匀直线流中的源流将源流和水平匀速直线流相加，坐标原点选在源点，则流函数：将源流和水平匀速直线流相加，坐标原点选在源点，则流函数： 由此可以用极坐标画出流速场，如图由此可以用极坐标画出流速场，如图8-12。这是绕某特殊形状物体前部的流动。这是绕某特殊形状物体前部的流动。 在源点在源点0，流速极大。离开源点流速迅速，流速极大。离开源点流速迅速降低。离源点较远之处，流速几乎不受影响，保降低。离源点较远之处，流速几乎不受影响，保持匀速持匀速v0。但在离源点前其一距离。但在离源点前其一距离xs，必然存在着，必然存在着某一点某一点s，匀速流速和源流在该点所造成的速度，匀

21、速流速和源流在该点所造成的速度，大小相等，方向相反，使该点流速为零，这一点大小相等，方向相反，使该点流速为零，这一点称为驻点。它的位置称为驻点。它的位置xs可以根据势流叠加原理来确可以根据势流叠加原理来确定：定：2022-6-13二、匀速直线流中的等强源汇流二、匀速直线流中的等强源汇流 在匀速直线流中，沿在匀速直线流中，沿x轴叠加一对强度相等的源和汇，这样的叠加势流，轴叠加一对强度相等的源和汇，这样的叠加势流，可以用以描述下图所示的绕朗金椭圆的流动。可以用以描述下图所示的绕朗金椭圆的流动。l/2l/2p(x,y)yxb/2b/2aass12 匀速直线流中的等强源汇流的流函数为：匀速直线流中的等

22、强源汇流的流函数为：)(20axyarctgaxyarctgQyv 驻点在物体的前后，它流速为零的条件为：驻点在物体的前后，它流速为零的条件为：0)2(2)2(20valQalQ012vaQal得出：得出：2022-6-13 若将位于若将位于 点，强度为点，强度为Q的源与位于的源与位于B 点等强度点等强度的汇叠加（图的汇叠加（图85）令）令 分别为源与汇的速度分别为源与汇的速度势和流函数，则叠加后某点势和流函数，则叠加后某点 的速度势的速度势0 , aA 0 , a2121和，和yxP,222221ln4ln2ln2ln2axyaxyQrrQrQrQBABA（822）流函数流函数PBAQQ2)

23、(2（823）三、偶极流绕柱体的流动三、偶极流绕柱体的流动xoyaaBrAryxP,BA图图 85 源与汇源与汇 AB2022-6-13 源流和环流相加，使流体既作旋转运动，又作径向流动，称为源环流。源流和环流相加，使流体既作旋转运动，又作径向流动，称为源环流。这种流动的流函数：这种流动的流函数：四、源环流四、源环流零流线方程，零流线方程，0。得出：。得出： 表明流线是对数螺旋线簇，如图表明流线是对数螺旋线簇，如图8-16。这种。这种在半径为在半径为r1的内圆周到半径为的内圆周到半径为r2的外圆周的流动，的外圆周的流动，对工程上有重要意义。从内向外流速不断减少，对工程上有重要意义。从内向外流速

24、不断减少，则压强不断增大。径向流速和辐向流速为：则压强不断增大。径向流速和辐向流速为：2022-6-13 本章主要研究平板上的边界层，因为流线体绕流与平板绕流本章主要研究平板上的边界层，因为流线体绕流与平板绕流相接近。相接近。 粘性流体运动时的解析近似解至今在两种情况下才能获得，粘性流体运动时的解析近似解至今在两种情况下才能获得，一种是一种是 时，可忽略惯性力，使基本方程线性化，这就是所时，可忽略惯性力，使基本方程线性化，这就是所谓蠕流理论；另一种是谓蠕流理论；另一种是 时，求解物体绕流阻力的边界层理时，求解物体绕流阻力的边界层理论，它对流体的粘性仅局限于边界内考虑，而边界层之外的广大论，它对

25、流体的粘性仅局限于边界内考虑，而边界层之外的广大主流区，可当作理想流体的势流。主流区，可当作理想流体的势流。1Re 1Re 8-68-6 绕流运动与附面层基本概念绕流运动与附面层基本概念 2022-6-13 粘性流体与理想流体的根本区别：粘性流体与理想流体的根本区别：粘性流体具有粘滞性。粘性流体具有粘滞性。 当粘性流体在静止固定边界上流动时，流体在固定边界上的当粘性流体在静止固定边界上流动时，流体在固定边界上的速度为零，随与固体边界距离的增大，固体边界或粘性对流动的速度为零，随与固体边界距离的增大，固体边界或粘性对流动的影响逐渐减小，流速逐渐增大，最后接近来流流速影响逐渐减小，流速逐渐增大，最

26、后接近来流流速 。0U 当来流的雷诺数较高时，具有速度变化当来流的雷诺数较高时，具有速度变化 的范围只的范围只限于靠近固体边界的极薄的一层内，此薄层称为限于靠近固体边界的极薄的一层内，此薄层称为边界层边界层。dydu 流速由流速由 0 增加到增加到0.99 处流体的厚度称为处流体的厚度称为边界层的厚度边界层的厚度 。0U 定义：定义：边界层的基本概念边界层的基本概念2022-6-13 飞机和舰船的摩擦阻力确定； 溢流坝面理论流速系数值的确定； 陡槽中高速水流掺气点的确定； 水流阻力与水头损失的确定。 1、边界层的厚度 与物体的特征长度 相比是非常小的， ，即边界层极薄。l0,ll 因为随着平板

27、长度的增加，摩擦损失亦增加，流体内部的能量减少，流速亦减少，为了满足连续条件，边界层的厚度增大。 边界层理论在实际工程中的应用边界层理论在实际工程中的应用： 边界层的特点边界层的特点： 2、边界层的厚度在平板上沿流动方向增加。2022-6-13 3、边界层中也存在着层流区、过渡区和紊流区，过渡区和紊流区下面也存在一个层流底层 。如图818所示。00U0U0Uxyxcrx0层流边界层过渡区紊流边界层层流底层图 818 边 界 层 结 构2022-6-13 随着边界层厚度的增加，粘性对边界层内流体的约束作随着边界层厚度的增加，粘性对边界层内流体的约束作用减小，而惯性作用增大。当粘性作用控制不住水质

28、点的运用减小，而惯性作用增大。当粘性作用控制不住水质点的运动时，就和流体在圆管中流动一样，由层流转变成紊流，此动时，就和流体在圆管中流动一样，由层流转变成紊流，此现象称为边界层转捩，并且在过渡区和紊流区下面存在一层现象称为边界层转捩，并且在过渡区和紊流区下面存在一层流底层流底层 。0 假设主流中流速为假设主流中流速为 ，到平板前端的距离为，到平板前端的距离为 xk ，这时，这时的雷诺数为的雷诺数为0UvxUkx0Re （820）一般取转捩点的雷诺数为一般取转捩点的雷诺数为51055 . 3Rec（821）2022-6-13 4、边界层将粘性流体的流动范围分成性质完全不同的两边界层将粘性流体的流动范围分成性质完全不同的两