工程力学—第七章杆件的应力与强度计算

1、课件制作：李炎课件制作：李炎第七章第七章 杆件的应力与强度计算杆件的应力与强度计算力学性能力学性能: 材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方 面的特征。需由实验测定。常温静载试验常温静载试验 进行拉伸实验，首先需要将被试验的材料按国家标准制进行拉伸实验，首先需要将被试验的材料按国家标准制成成标准试样标准试样(standard specimen); ;然后将试样安装在试验机上，然后将试样安装在试验机上，使试样承受轴向拉伸载荷。通过缓慢的加载过程，试验机自使试样承受轴向拉伸载荷。通过缓慢的加载过程，试验机自动记录下试样所受的载荷和变形，得到应力与应变的关系曲动记录下试样所受的载荷和变形，得到应力与

2、应变的关系曲线，称为线，称为应力应力-应变曲线应变曲线(stress-strain curve)。 长试件 短试件圆截面：矩形截面： 为了得到应力为了得到应力-应变曲线，需要将给定的材料做成应变曲线，需要将给定的材料做成标准试样（标准试样（specimen）,在材料试验机上，进行拉伸或在材料试验机上，进行拉伸或压缩实验（压缩实验（tensile test, compression test）。）。 试验时，试样通过卡具或夹具安装在试验机上。试验试验时，试样通过卡具或夹具安装在试验机上。试验机通过上下夹头的相对移动将轴向载荷加在试样上。机通过上下夹头的相对移动将轴向载荷加在试样上。 常温静载拉伸

3、试验常温静载拉伸试验第七章第七章 杆件的应力与强度计算杆件的应力与强度计算变形传感器变形传感器o e p s b上屈服极限下屈服极限弹弹性性阶阶段段 屈屈服服阶阶段段强强化化阶阶段段颈颈缩缩阶阶段段第七章第七章 杆件的应力与强度计算杆件的应力与强度计算、弹性阶段弹性阶段: :oAoA为直线段；为直线段；AA为微弯曲线段为微弯曲线段。E比例极限；比例极限；弹性极限。弹性极限。pe、屈服阶段屈服阶段: :BC。屈服极限屈服极限屈服段内最低的应力值。屈服段内最低的应力值。s低碳钢轴向拉伸时的力学性质低碳钢轴向拉伸时的力学性质 ( (四个阶段四个阶段) )屈服现象：屈服现象：应力应变曲线上的锯齿线应力

4、应变曲线上的锯齿线试件表面的滑移线试件表面的滑移线材料暂时失去抵抗变形的能力材料暂时失去抵抗变形的能力、强化阶段：强化阶段：CDb b 强度极限强度极限（拉伸过程中最高的应力值）（拉伸过程中最高的应力值）、局部变形阶段局部变形阶段（颈缩阶段）：（颈缩阶段）：DEDE。在此阶段内试件的某一横截面发生在此阶段内试件的某一横截面发生明显的变形，至到试件断裂。明显的变形，至到试件断裂。缩颈缩颈断裂断裂1100%lll1100%AAA第七章第七章 杆件的应力与强度计算杆件的应力与强度计算卸载定律及冷作硬化卸载定律及冷作硬化 p塑性应变塑性应变 e弹性极限弹性极限 e 弹性应变弹性应变预加塑性变形预加塑性

5、变形, 可使可使 e 或或 p 提高提高卸载定律卸载定律： 当拉伸超过屈服阶段后，当拉伸超过屈服阶段后，如果逐渐卸载，在卸载过程如果逐渐卸载，在卸载过程中，应力中，应力应变将按直线应变将按直线规律变化。规律变化。冷作硬化：冷作硬化：在常温下将钢材拉伸超过屈服阶段，卸载后短在常温下将钢材拉伸超过屈服阶段，卸载后短期内又继续加载，材料的比例极限提高而塑性变形降低的期内又继续加载，材料的比例极限提高而塑性变形降低的现象。现象。o o 残余变形残余变形 0.2 对于没有明显屈服阶段的韧对于没有明显屈服阶段的韧性材料，工程上规定性材料，工程上规定产生产生0.20.2塑性应变时的应力值为其屈服应塑性应变时

6、的应力值为其屈服应力力，称为材料的名义屈服极限，称为材料的名义屈服极限(offset yield stress)，用，用0.20.2表示。表示。1、其他塑性材料：、其他塑性材料：第七章第七章 杆件的应力与强度计算杆件的应力与强度计算o 1、脆性材料：、脆性材料： 变形小，无屈服和颈缩阶段，延伸率很小变形小，无屈服和颈缩阶段，延伸率很小强度极限：强度极限： 拉断时的最大应力 b割线弹性模量：割线弹性模量： 强度极限70-80%的位置画割线b第七章第七章 杆件的应力与强度计算杆件的应力与强度计算低碳钢低碳钢铸铁铸铁第七章第七章 杆件的应力与强度计算杆件的应力与强度计算试件：短柱试件：短柱l=(1.

7、03.0)d(1)(1)弹性阶段与拉伸时相同，弹性阶段与拉伸时相同，杨氏模量、比例极限相同；杨氏模量、比例极限相同；(2)(2)屈服阶段，拉伸和压缩屈服阶段，拉伸和压缩时的屈服极限相同时的屈服极限相同, ,即即ss(3)(3)屈服阶段后，试样越压屈服阶段后，试样越压越扁，无颈缩现象，测不越扁，无颈缩现象，测不出强度极限出强度极限 。b几种材料压缩时的力学性能几种材料压缩时的力学性能铸铁铸铁压缩的应力-应变曲线脆性材料脆性材料bb压缩：压缩： ，适于做抗压构件，破坏时破裂面适于做抗压构件，破坏时破裂面与轴线成与轴线成4545- 55- 55bb)0 .50 .4(衡量材料力学性能的主要指标：衡量

8、材料力学性能的主要指标：强度指标强度指标刚度指标刚度指标塑性指标塑性指标弹性模量弹性模量 E比例极限（弹性极限）比例极限（弹性极限） 屈服极限屈服极限 强度极限强度极限 延伸率延伸率 断面伸缩率断面伸缩率 第七章第七章 杆件的应力与强度计算杆件的应力与强度计算轴向拉压杆轴向拉压杆 应力和强度计算应力和强度计算一、横截面上的应力一、横截面上的应力 求应力，先要找到应力在横截面上的分布情况。求应力，先要找到应力在横截面上的分布情况。应力是内力的集应力是内力的集度度，而内力与变形有关，所以可以由观察杆件变形来确定应力在截面，而内力与变形有关，所以可以由观察杆件变形来确定应力在截面上的分布规律。上的分

9、布规律。平面假设：平面假设： 变形前为平面的横截变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，面，变形后仍保持为平面，且垂直于杆轴线。且垂直于杆轴线。 设想杆件由无数根平行于轴线的纵向设想杆件由无数根平行于轴线的纵向纤维组成，在轴向拉伸（或压缩）时，所纤维组成，在轴向拉伸（或压缩）时，所有纤维有相同的伸长（或压缩）量。有纤维有相同的伸长（或压缩）量。观察到如下现象：观察到如下现象：1 1）横向线缩短，但仍保持为直线，横向线缩短，但仍保持为直线，且仍互相平行并垂直于杆轴线。且仍互相平行并垂直于杆轴线。2 2）纵向线仍保持与杆轴线平行。纵向线仍保持与杆轴线平行。 平面假设平面假设各纤维伸长相同各纤维伸

10、长相同各点内力相等各点内力相等应力在横截面应力在横截面上均匀分布上均匀分布AdAdAdFFAAANN作用在杆横截面上的内力为：作用在杆横截面上的内力为：正应力的计算公式为：正应力的计算公式为： AFN正应力的正负号与轴力正应力的正负号与轴力FN相同，拉为正，压为负相同，拉为正，压为负。式中：式中：FN -轴力；轴力；A-杆件的横截面面积杆件的横截面面积PPk pkPkkPkk p AP 则则，则则 cos/AA，而PF AFp AP cosAP cos cosp 2cos sinp cossin 22sin)cos( 212 F拉应力为正拉应力为正绕研究对象体内绕研究对象体内任一点有顺时针任一

11、点有顺时针转动趋势为正，转动趋势为正，反之为负反之为负Pkk 2sin2)2cos1 (20When1 、达达到到最最大大 maxo45When2 、达达到到最最大大 2 maxo90When3 、0 。即纵截面上无任何应力o90When41、)90(2sin2012sin2在两个互相垂直的界面上，切应力必成对在两个互相垂直的界面上，切应力必成对出现，数值相等，方向为共同指向或背离两垂直面的交线。出现，数值相等，方向为共同指向或背离两垂直面的交线。 拉压杆横截面的应力并不完全是均匀分布的，当横截面拉压杆横截面的应力并不完全是均匀分布的，当横截面上有孔或槽时，在截面尺寸突变处的应力要比其它处的应

12、力上有孔或槽时，在截面尺寸突变处的应力要比其它处的应力大得多，这种现象称为大得多，这种现象称为。理论应力集中因素理论应力集中因素mtKmax第七章第七章 杆件的应力与强度计算杆件的应力与强度计算0.2/sb un1n maxub 表示构件表示构件安全储备的一个系数安全储备的一个系数等直杆：变截面杆：maxmaxNFAmaxmaxminNFA第七章第七章 杆件的应力与强度计算杆件的应力与强度计算 max100%5% max maxNFA NFA查型钢表查型钢表脆性材料：脆性材料：抗压能力抗压能力 抗拉能力抗拉能力maxmaxttcc第七章第七章 杆件的应力与强度计算杆件的应力与强度计算例例 图所

13、示为一民用建筑砖柱图所示为一民用建筑砖柱，上段截面尺寸为上段截面尺寸为240 240mm ，承受荷载承受荷载FP150kN；下段下段370 370mm，承受荷载承受荷载FP2100kN。试求各段轴力和应力试求各段轴力和应力。解：解：1) 1) 求轴力求轴力kNFFPN5011kNFFFppN1502122) 2) 求应力求应力MPaAFN87. 024024010503111MPaAFN1 . 13703701015032221 1、实验：、实验：关于切应力的若干重要性质关于切应力的若干重要性质一、一、薄壁圆筒横截面上的应力薄壁圆筒横截面上的应力 薄壁圆筒轴的扭转薄壁圆筒轴的扭转0101rt

14、, r0：为平均半径平均半径）(壁厚壁厚2 2、变形规律：、变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。结论：结论：, 0000横截面上横截面上可认为切应力沿壁厚均匀分布可认为切应力沿壁厚均匀分布, , 且方向垂直于其半径方向。且方向垂直于其半径方向。根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；,Dt Dt3 3、切应力的计算公式：、切应力的计算公式：2.2020200trtdrrdAT

15、AtrT202d薄壁圆筒横截面上的切应力计算式薄壁圆筒横截面上的切应力计算式二、关于切应力的若干重要性质二、关于切应力的若干重要性质1 1、剪切虎克定律、剪切虎克定律l为扭转角为扭转角lr即lr做薄壁圆筒的扭转试验可得TtrT202lr剪切虎克定律剪切虎克定律,pG)1 (2EG在弹性范围内切应力在弹性范围内切应力与切应变成正比关系。与切应变成正比关系。从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体单元体单元体zyddzxddMe Me xyzabOcddxdydz0yF0zM自动满足自动满足0 xFyzxxzydddddd存在存在得得2 2、切应力互等定

16、理切应力互等定理切应力互等定理切应力互等定理 单元体在其两对互相单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为而无正应力的状态称为纯纯剪切应力状态剪切应力状态。dabcxyzabOcddxdydz 在相互垂直的两个面上，切在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小应力总是成对出现，并且大小相相等，等，方向同时指向或同时背离两方向同时指向或同时背离两个面的交线。个面的交线。一、圆轴扭转时横截面上的应力一、圆轴扭转时横截面上的应力一）、几何关系一）、几何关系：由实验找出变形规律由实验找出变形规律应变的变化规律应变的变化规律1 1、实验：、实验：观察变形规

17、律：观察变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。了一个不同的角度。纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。扭转平面假设扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小、大小 以及间距不变，半径仍为直线。以及间距不变，半径仍为直线。定性分析横截面上的应力定性分析横截面上的应力00（1）00（2）因为同一圆周上剪应变相同，所以同因为同一圆周上剪应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向一圆周上切应力

18、大小相等，并且方向垂直于其半径方向。垂直于其半径方向。剪应变的变化规律剪应变的变化规律：dxRddxDDtgtgxdddxdd取楔形体取楔形体O1O2ABCD 为为研究对象研究对象微段扭转微段扭转变形变形 d Ddxd二）物理关系二）物理关系：由应变的变化规律由应变的变化规律应力的分布规律应力的分布规律PmaxG GdxdG方向垂直于半径。方向垂直于半径。d / / dx扭转角变化率扭转角变化率弹性范围内弹性范围内三）静力关系：三）静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系由横截面上的扭矩与应力的关系应力的计算公式应力的计算公式ATAdAIApd2令xGI Tpdd 代入物理关系式代入物理关系式

19、得：得：xGdd pIT圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。pGITx dd AxGAddd2扭转变形计算式扭转变形计算式横截面上横截面上 PPPWTITITmaxmaxmax抗扭截面模量抗扭截面模量，整个圆轴上整个圆轴上等直杆：等直杆：PWTmaxmax三、公式的使用条件：三、公式的使用条件：1 1、等直的圆轴，、等直的圆轴， 2 2、弹性范围内工作。、弹性范围内工作。I Ip p截面的极惯性矩截面的极惯性矩，单位：，单位：二、圆轴中二、圆轴中max的确定的确定44, mmm.,33mmm单位单位：maxpPIW PW四、圆截面的极惯性矩四、圆截面

20、的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数和抗扭截面系数WpAAId2p162/3ppddIW)d2(202d324dd2dA2/04)4(2d实心圆截面：实心圆截面：Odd223pd2DdI4344pp116162/DDdDDIW空心圆截面：空心圆截面：d2dA4432dD 44132DDdDdOd注意：对于空心圆截面注意：对于空心圆截面33p16dDW44p32dDIDdOd1 1、强度条件、强度条件：2 2、强度条件应用、强度条件应用：1 1）校核强度）校核强度: : .)1 (16,16433空心空心实心实心DDWP扭转变形扭转变形 扭转强度和刚度计算扭转强度和刚度计算PWTmaxmax PWm

21、axT2 2）设计截面尺寸）设计截面尺寸: :3 3）确定外荷载）确定外荷载: :maxTPWm一、一、 扭转强度计算扭转强度计算max maxpmax WT pmaxmaxWT 等截面圆轴等截面圆轴: :变截面圆轴变截面圆轴: :例例 已知 T=1.5 kN . m， = 50 MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与 = 0.9 的空心圆轴。解：解：1. 确定确定实心圆轴直径实心圆轴直径 316DT 316 TD mm 54 D取取：m 5350.0Pa)10(50)mN101.5(16363 max 163maxDT 2. 确定空心圆轴内、外径确定空心圆轴内、外径 )1(1643DT mm

22、3 .76)1 (1634TDmm7 .68Dd mm 68 mm 76 dD，取：取：3. 重量比较重量比较%5 .394)(4222ddD空心轴远比实心轴轻空心轴远比实心轴轻43p116DW例例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的许用切应力 = 80MPa ，试校核该轴的强度。解解： 1、求内力，作出轴的扭矩图、求内力，作出轴的扭矩图2214T图（kNm）MA MBMC ACBBC段段MPa3 .71mm10016mmN1014362p2max, 2WTAB段段1

23、p1max, 1WT2 2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度MPa8 .64mm12016mmN102236MPa80即该轴满足强度条件。即该轴满足强度条件。2214T图（kNm）纯（横力）弯曲时纯（横力）弯曲时梁的正应力与强度条梁的正应力与强度条件件. .纯弯曲纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（剪力的弯曲（横截面上只有正应横截面上只有正应力而无剪应力的弯曲）力而无剪应力的弯曲）。剪力剪力“Fs”切应力切应力“”；弯矩弯矩“M”正应力正应力“”2.2.横力弯曲（剪切弯曲）横力弯曲（剪切弯曲）aaFBAFMxFsxFaF

24、F 梁的横截面上既有弯矩又有梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（剪力的弯曲（横截面上既有正横截面上既有正应力又有剪应力的弯曲）应力又有剪应力的弯曲）。一、纯弯曲和横力弯曲的概念一、纯弯曲和横力弯曲的概念梁横截面的正应力和正应力强度条件梁横截面的正应力和正应力强度条件二二 、纯弯曲梁横截面上的正应力公式、纯弯曲梁横截面上的正应力公式（一）变形几何关系：（一）变形几何关系：由纯弯曲的变形规律纵向线应变的变化规律。1 1、观察实验：、观察实验：abcdabcdMM2 2、变形规律：、变形规律：、横向线、横向线：仍为直线，：仍为直线，只是相对转动了一个角度只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。且仍与

25、纵向线正交。、纵向线、纵向线：由直线变为：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸缩短，靠近下部的纤维伸长。长。3 3、假设：、假设：（1 1）弯曲平面假设：）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴某轴转转动了一个角度。动了一个角度。凹入凹入一侧纤维一侧纤维缩短缩短突出突出一侧纤维一侧纤维伸长伸长 根据变形的连续性可根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸侧的纵向线缩短

26、区到其凸出一侧的纵向线伸长区，出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度中间必有一层纵向无长度改变的过渡层改变的过渡层-称称为为中性层中性层 。中性层与横截面中性层与横截面的交线的交线中性轴中性轴（2 2）纵向纤维假设：）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。之间无挤压。 梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。Aabcdyxd A4 4、线应变的变化规律：、线应变的变化规律：(1) ydxy

27、 oo1在弹性范围内，在弹性范围内，ABABBA111111OOOOBAdddy)(yE（二）物理关系：（二）物理关系：由纵向线应变的变化由纵向线应变的变化规律规律正应力的分布规律。正应力的分布规律。(2) . EyEabcdy- -任意纤维到中性层的距离任意纤维到中性层的距离 - -中性层的曲率半径中性层的曲率半径 EyE应力的分布图：应力的分布图：MZymaxmax中性轴的位置？中性轴的位置？中中性性层层的的曲曲率率 1为梁弯曲变形后的曲率为梁弯曲变形后的曲率1yxMZANdAF) 1 (00zzAASSEydAEdAyE（中性轴（中性轴Z轴为形心轴）轴为形心轴）AyzdAM) 2(00y

28、zyzAAIIEyzdAEzdAyE（y轴为对称轴，自然满足轴为对称轴，自然满足）yzAAzdAyM) 3(MIEdAyEydAyEzAA2弯曲变形计算的基本公式弯曲变形计算的基本公式Z1EIM（三）、静力方面：（三）、静力方面： 由横截面上的弯矩和正应力由横截面上的弯矩和正应力的关系的关系正应力的计算公式。正应力的计算公式。zIMy弯曲正应力计算公式。弯曲正应力计算公式。 弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。 当当M 0时，下拉上压；时，下拉上压； 当当M 5 （细长梁细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立

29、。力弯曲近似成立。弯曲正应力公式弯曲正应力公式ZIMy可推广应用于横力弯曲和小曲率梁可推广应用于横力弯曲和小曲率梁1m2mBA截面关于中性轴对称截面关于中性轴对称zctWMmaxmaxmax截面关于中性轴不对称截面关于中性轴不对称( (最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内) )ZmaxmaxmaxIyM横力弯曲梁上的最大正应力横力弯曲梁上的最大正应力BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.C 截面上K点正应力2.C 截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，C 截面的曲率半径 FSx90kN90k

30、NmkN605 . 0160190CM1. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832. 51218. 012. 012bhIMPa7 .61Pa107 .6110832. 510)302180(10606533ZKCKIyM（压应力）（压应力）解：解：xm67.5kN8/2ql M2. C 截面上截面上K点正应力点正应力例例BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN3. C 截面最大正应力截面最大正应力C 截面弯矩mkN60CM45Zm10832. 5IMPa55.92Pa1055.9210832. 510218010606

31、533ZmaxmaxIyMCCxm67.5kN8/2ql MBAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN4. 全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩mkN5 .67maxM45m10832. 5zIMPa17.104Pa1017.10410832. 5102180105 .676533ZmaxmaxmaxIyMxm67.5kN8/2ql MBAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN5. C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩mkN60CM45Zm10832. 5Im4 .19410601083

32、2. 510200359CZCMEIEIM1xm67.5kN8/2ql M例：例：求图示悬臂梁的最大、压应力。已知：,/6,1mkNqml10槽钢槽钢q解：解：1）画弯矩图）画弯矩图kNmqlM35 . 0|2max2）查型钢表：）查型钢表：cmycmIcmbz52. 1,6 .25,8 . 414cmy28. 352. 18 . 423）求应力）求应力：1maxyIMzt6106 .2552. 13000MPa1782maxyIMzc6106 .2528. 33000MPa384MPaMPact384,178maxmaxbz1yy2ycmaxtmaxbz1yy2yM四、梁的正应力强度条件四、

33、梁的正应力强度条件材料的许用弯曲正应力材料的许用弯曲正应力 max zWMmax中性轴为横截面对称轴的等直梁中性轴为横截面对称轴的等直梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁tmaxtcmaxcOzyytmaxycmaxttmaxmaxtmaxzIyMccmaxmaxcmaxzIyMctcmaxtmaxyy为充分发挥材料的强度，最合理的设计为为充分发挥材料的强度，最合理的设计为弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件 max zWMmaxmax 1 1、强度校核、强度校核 2 2、设计截面尺寸、设计截面尺寸 3 3、确定外荷载、确定外荷载 max； max

34、 MWz ; max zWM tmaxmaxmax zttIyMcmaxmaxmax zccIyM例例 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知,kN5.62,m16.0,m267.0,1302Fbammd材料的许用应力材料的许用应力.MPa60mm1601dFaFb（3 3）B B截面，截面，C C截面需校核截面需校核（4 4）强度校核）强度校核（1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图解：解：B B截面截面：MPa5 .41Pa105 .4116. 0322675 .62326331maxdFaWMzBBMPa4 .46Pa10

35、4 .4613. 0321605 .62326332maxdFbWMzCCC C截面截面：（5 5）结论）结论: :轮轴安全轮轴安全解：1)求约束反力求约束反力.5 .10,5 . 2kNFkNFBYAY)(5 . 2下下拉拉、上上压压kNmMC （上上拉拉、下下压压）kNmMB4 例、例、T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的 t=30 M Pa， c=60 M Pa.其截面形心位于其截面形心位于C点，点，y1=52mm， y2=88mm，I z =763cm4 ，试校核此梁的强度。，试校核此梁的强度。y 2y 1C Cz1m1m1mABCD2.5kNm-4k

36、N m2 2）画弯矩图）画弯矩图AyFByFxkNF91kNF423 3）求应力）求应力B截面截面（上拉下压）（上拉下压）MC截面截面（下拉上压）（下拉上压）zCCtIyM2maxC截面截面（下拉上压）（下拉上压）:y 2y 1C Cz1m1m1mABCDF 2 =4kNF 1 =9kN tt2 .28maxcc2 .46maxMPa2 .281076310885 . 246zCCIyMc1maxMPa04.174 ) 4 ) 强度校核强度校核A1A2A3A42.5kNm-4k N mxMB截面截面（上拉下压）（上拉下压）:,2 .271076310524461maxMPaIyMzBBtMPa

37、IyMzBBc2 .461076310884462max最大拉、压应力不在同一截面上最大拉、压应力不在同一截面上46.2MPa27.2MPa28.2MPa17.04MPaA1A2y 2y 1C CzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa结论结论对对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面一个截面：对对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面两个截面：maxMmaxmax; MMx 2.5kNm-4k N mM梁的正应力计算公式梁的正应力计算公式 ZIMy 式中式中 M截面的弯矩截面的弯矩； Iz截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯

38、性矩； y欲求应力的点到中性轴的距离欲求应力的点到中性轴的距离。 正应力与正应力与M和和y成正比，成正比，与与 Iz成反比。成反比。正应力沿截面高度呈直线分布，如图所示正应力沿截面高度呈直线分布，如图所示，距中性轴愈远就愈大，在中性轴上正应，距中性轴愈远就愈大，在中性轴上正应力等于零。力等于零。1)1)对于梁的对于梁的某一横截面某一横截面来说，最大正应力发生在来说，最大正应力发生在距中性轴最距中性轴最远远的地方，其值为：的地方，其值为： ZIMymaxmax 2)2)对于对于等截面梁等截面梁，最大正应力发生在，最大正应力发生在弯矩最大的截面弯矩最大的截面上，其上，其值为：值为： zZWMIyM

39、maxmaxmaxmax Wz抗弯截面系数，抗弯截面系数， maxyIWZzWz与梁的截面形状有关，与梁的截面形状有关，Wz愈大愈大，梁中的正应力愈小。梁中的正应力愈小。 矩形截面：矩形截面： 62maxbhyIWZZ 圆形截面：圆形截面： 323maxDyIWZ 强度条件强度条件 ZWMmaxmax 1 1）当梁材料的抗拉和抗压的能力相同时，其正应力强度条件：当梁材料的抗拉和抗压的能力相同时，其正应力强度条件： 2 2）当梁材料的抗拉抗压能力不同时，应分别对拉应力和压应当梁材料的抗拉抗压能力不同时，应分别对拉应力和压应力建立强度条件：力建立强度条件： LzLLIyMmaxmaxYzYYIyM

40、maxmax根据强度条件根据强度条件，可解决下列工程中常见的，可解决下列工程中常见的三类问题：三类问题： 已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度；已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度； 已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸；已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸； 已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷。已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷。zybh梁横截面的切应力和切应力强度条件梁横截面的切应力和切应力强度条件一、一、 矩形截面梁横截面上的切应力矩形截面梁横截面上的切应力1 1、假设：、假设： 横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。横截面上各点的切应

41、力方向与剪力的方向相同。 切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力大小相等）。点切应力大小相等）。2 2、公式推导、公式推导xd x图图ayFs0)(11dxbFFFNNxzzAzANIMSydAIMdAFzzNISdMMF)(1zzszzbISFbISdxdM1A Zyy由剪应力互等定理可知由剪应力互等定理可知bISFzzssFMhdMM ssdFF dx注意：注意：Fs为横截面的剪力；为横截面的剪力；Iz 为整个横截为整个横截面对面对 z 轴的惯性矩；轴的惯性矩；b为所求点对应位置为所求点对应位置截面的宽度；截面的宽度； 为所求点对应

42、位置以外为所求点对应位置以外的面积对的面积对Z轴的静矩。轴的静矩。*zS5 . 123maxAFs)4(222yhIFzs矩3 3、矩形截面剪应力的分布：、矩形截面剪应力的分布：)4(2)2(2222yhbyhbyhAyScz bISFzzs zyhbBsF)2(*yhbA*cymaxsF11 沿截面高度按二次抛物线规律变化；沿截面高度按二次抛物线规律变化；(2) 同一横截面上的最大切应力同一横截面上的最大切应力 max在中性轴处在中性轴处( y=0 )；(3)上下边缘处上下边缘处（y=h/2)，切应力为零切应力为零。二、非矩形截面梁二、非矩形截面梁圆截面梁圆截面梁切应力的分布特征：切应力的分

43、布特征： 边缘各点切应力的方向与圆周相切；边缘各点切应力的方向与圆周相切；切切应力分布与应力分布与 y 轴对称；与轴对称；与 y轴相交各点处轴相交各点处的切应力其方向与的切应力其方向与y轴一致。轴一致。)(*SybISFzzy关于其切应力分布的假设：关于其切应力分布的假设：1 1、离中性轴为任意距离、离中性轴为任意距离y的水平直线段上各的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点点处的切应力汇交于一点 ；2 2、这些切应力沿、这些切应力沿 y方向的分量方向的分量 y 沿宽度相沿宽度相等。等。zyOmaxkkOd最大切应力最大切应力 max 在中性轴处在中性轴处dISFzz*SmaxAFdF34434S2SddddF643242142SzyOmaxkkOdyzOC2d /3三、薄壁环形截面梁三、薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特征：征：(1) (1) d h 时，时， max max四、梁的切应力强度条件四、梁的切应力强度条件 一般一般 maxmax发生在发生在FSmax所在截面的中性轴处。不计挤压，所在截面的中性轴处。不计挤压，则则 maxmax所在点处于所在点处于纯剪切应力纯剪切应力状态状态。梁的切应力强度条件为梁的切应力强度条件为 max bISFzz*maxmaxS材料在横力弯曲时的许用切应力材料在横力弯曲时的