插值法的程序实现

1、插值法的程序实现一实验目的1. 熟悉Mat lab编程；2. 学习插值方法及程序设计算法二实验题目分别用拉格朗日插值、牛顿插值、口然样条函数对1910、1965、2002的人口进行估算。三实验原理与理论基础1拉格朗日插值算法设计利用己知条件得到 xi, yi, i二0, 1, 2,-由 Lk(x) = (x-x0)*-*(x-x (k-1)* (x-x (k+1)(x-xn)/ (xk-xO)*(xkx (kl) * (xkx (k+1) (xkxn)得出 Li(x);由Y=yl* LI (x)+“+yn*Ln(x)得出Y关J： x的表达式。带值计算即可。2.牛顿插值算法设计利用己知条件得到x

2、i, yi, i二0, 1, 2,利用差商公式fxO, -xk = (fxO, ,x(k-2),xk-fx0,x(kT)/(xk-x(kT)各阶差商。 利用牛顿插值公式f (x)=f (xO)-f xO, xl*(x-xO)+-f ZxO, xl, xn*(x-x0)*- (xx(nl). 带值计算即可。3.自然样条函数算法设计利用己知条件得到xi, yi, i二0, 1, 2,-利用公式求出h(i) u(i)k(i);di;利用 h(i) u(i) k(i);di 解出向量 H; 将相关变量带入自然样条表达式中即可。带值计算即可。四实验内容(一)问题重述：下面给出美国从1920年到1970年

3、的人口表：1920 1930 1940 1950 19601970 年份 105711 123203 131669 150697 179323 203212 人口(千人)1 用表中数据 构造一个5次拉格朗日插值多项式，并用此估计1910, 1965和2002年的人口。在1910 年的实际人口约为91772000，请判断插值计算得到的1965年和2002年的人口数据准确性是多少？2用牛顿插值估计：(1) 1965年的人口数：(2) 2002年的人口数。3用自然样条函数估计在1910, 1965和2002年的人口数。请比较以上三种方法所 求值的效果。那一种方法最优？(二)实验代码：1.用mat l

4、ab编写的拉格朗日插值M文件如下：function Im, y=cz5(x)yl=1057U;y2=123203;y3=131669;y4=150697;y5=179323;y6二203212; xl二1920; x2=1930; x3=1940; x4=1950; x5=1960; x6二1970;al=(x_x2)*(x-x3)*(x-x4)*(xx5)*(xx6)/(xlx2)*(xl-x3)*(xlx4)*(xl- x5)*(xl-x6);a2=(x-xl)*(x-x3)*(x-x4)*(x-x5)*(xx6)/(x2-xl)* (x2-x3)* (x2-x4)* (x2- x5)*(

5、x2-x6);a3=(x-xl)*(x-x2)*(x-x4)*(x-x5)* (x-x6)/(x3-xl)*(x3-x2)*(x3-x4)*(x3- x5)*(x3-x6);a4=(x-xl)*(x-x2)*(x-x3)*(xx5)*(xx6)/(x4-xl)*(x4-x2)*(x4-x3)* (x4- x5)*(x4-x6);a5=(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)*(x-xl)* (x-x6)/(x5-xl)*(x5-x3)*(x5-x2)*(x5- x4)*(x5-x6);a6=(x-x2)*(x-x3)*(xx4)*(xx5)* (x-xl)/(x6-xl)*(x6-x2)*(x

6、6x3)* (x6- x4) * (x6x5);'实际值大约为：y=yl*al+y2*a2+y3*a3+y4*a4+y5*a5+y6*a6; if x=1910m二91772;估计值大约为：elsem= (91772-31872) /31872*y+y:'估计值大约为：' End用 c+编写程序如下：#include include include include double H(double x, double a, double pJ /求得插值基函数if(fabs(a*pil)<0. 000001)continue;h*=(x-pi)；利用累乘求得插值基函

7、数的分子部分f*=(a-讥i);利用累乘求得插值基函数的分母部分return h/f; double L(double x, double pl6, double q6)/求得拉格朗日插值多项式代入x取 值时的函数值double L二0;for(int i=0;i<6;i+)if(fabs(xpi)<0. 000001)return pi；L+二qi*H(x, pi, p) ;/利用累加实现 L=L (yi*FI (xxj)/(xixj)return L; void N(double q6, double f6115) double Lagrange(double x, doubl

8、e pL6,double q6) void mainO int i;double x6, y6, 1=1. 0, h=l. 0; double f65;cout<for( i=l;i<6;i+) for(int j=l；j<6;j+)for(int k=O;k<=j;k+) ; fi0二qi;for(i=0;i<6;i+)cin»xi;cout< cin»yil;cout<cout<cout<i)yl=105711 123203 131669 150697 179323 2032121940 1950 1960 1970

9、;for i=2:6fxO二19201930y2(i) = (yl (1)-yl (i)/ (xO(1) -xO (i):endfor i=3:6y3(i) = (y2 (2)-y2(i)/ (xO(2)-xO (i);endfor i=4:6y4 (i) = (y3 (3)-y3(i)/ (xO(3)-xO (i);endfor i=5:6y5(i) = (y4(4)-y4(i)/(xO(4)-xO(i);end2.用mat lab编写的牛顿插值M文件如下:function y=niuden5 (x)y6 (6) = (y5 (5) -y5 (6) / (xO (5) -xO (6);y=y

10、l (1) +y2 (2) * (x-xO (1) +y3 (3) * (x-xO (1) * (x-xO (2) +y4 (4) * (x-xO (1) * (x- xO(2) *(x-xO(3)+y5(5)*(x-xO(1)*(x-xO(2)*(x-xO(3)*(x-xO (4)+y6 (6)* (x- xO(l)*(x-xO(2)*(x-xO(3)*(x-xO(4)* (x-xO (5);3. 用matlab编写的口然样条函数M文件如下： function =yangtiaochazhi (x)yl=105711 123203 131669 150697 179323 203212;xO

11、二1920 1930 1940 19501960 1970; for i=l:5h(i)=xO(i+l)-xO(i); endu(i)=h(i)/(h(i)+h(i+l) ; end u(5)=0; k二0; for i=2：5k(i)=h(i)/(h(i-l)+h(i) ; endd(l)=0;d(6)=0; for i=2:3y21(i) = (yl(1)-y1 (i)/(xO(1)-xO (i); end for i=3:4y22(i)u(yl (2) y 1 (i)、(xo(2) 1X0(i)：end for i4 5y23(iu(yl(3)lyl(i)、(xo(3)lxo(i)： e

12、nd for iH5oy24 (i) H (yl (4) y 1 (i)、(xo (4) 1X0 (i) ： endd(lNpd(6npd (2) H (y21 (2) y21 (3)、(xo (2) Jo (3) ： d (3) H (y22 (3) y22 (4) _ 00 (3) xo (4)- d(4)H(y23(4) y23(5)一(xo(4) Jo(5)： d(5)H(y24(5) y24(6)一(xo(5) xo(6)-ah2 k(l) 0 0 0 02(1) 2 k(2) 0 0 00u(2) 2 k(3) 0 000 u(3) 2 k(4) 00 0 0 u(4)2 k(5)

13、o0 0 0 u(5) 2= BHd(l:d(2)K(3)K(4)；d(5?rd(6)T s.AllAxxm echo if xH1930yuM (1*( (xo (2) IX) * (xo (2) IX) * (xo (2) X)、(6*h (1) +M (2)*( (xxo (1) )*x xO(1)*(xxo(1)一(6*h(1) + (yl (1)i(M(1)*h(1)*h(1)、6)*(xo(2)IX) /h(1) + (yl (2) 1 <M(2)*h(l*h(l)、6*(xlxo(l)、h(l)elseif x 介 1940y=M (2) *( (xo (3) X) *(xo (3)IX)沃(xo (3) X) 一 (6*h (2) +M (3) *( (xxo (2) * (X xo (2)*xxo (2) )、(6*h (2) + (y 1 (2) (M (2)兴 h (2)幕 h (2)、6) * (xo (3) X)、h (2) + (yl (3) I CM (3) *h (2rh (2) )、6*(xlxo (2) )、h (2)elseif x 介 19