第4章最小二乘法

1、211)(xxf101000111001110( )( ) ( )()()()()( )()()()()iiiiiiiiiiiiLxf x l xxxxxxxxxl xxxxxxxxx解：画出的图形如图所示。4.4 分段插值法 给定 (x-5,5)。取等距节点xi=-5+i(i=0,1,10), 试建立插值多项式L10(x), 并作图形, 观察L10(x)对f(x)的逼近效果。 分段三次埃尔米特插值为了避免Runge现象的发生, 很自然地会想到把区间-5, 5等分为10个小区间, 在每一个小区间内应用低次插值。但由于每个小区间只有两个端点（插值节点）, 按照已知的方法, 得到的将是一个分段线性

2、插值函数。 已知xi,f(xi),f(xi)(i=0,1,n),求分段三次插值函数H(x)满足 H(xi)=f(xi),H(xi)=f(xi)i=0,1,n为了得到插值函数,考虑任意子区间xi,xi+1,i(0,1,n-1), 采用Lagrange插值函数结构, 在第i个子区间上H(x)=f(xi)h1(x)+f(xi+1)h2(x)+f(xi)h3(x)+f(xi+1)h4(x) 这样，就把H(x)的构造问题转化为四个插值基函数hk(x)(k=1,2,3,4)的构造问题。 4.5 三次样条插值三次样条插值 “样条”一词本来是指在飞机或轮船设计过程中为了描绘出光滑的外形曲线所用的一种工具，即一

3、个具有弹性的细长木条。事实上，在作了某些近似简化后，样条的数学模型并不复杂，它只是分段的三次多项式曲线：在相邻两块压铁之间是三次多项式曲线；在压铁处，左右两段曲线的切线和曲率是连续的。 定义 给定a,b的分划：a=x0 x1xn=b, 如果函数s(x)在区间a,b上满足以下条件： （1）在每一个子区间（xi,xi+1）(i=0,1,n-1) 上s(x)是三次多项式； （2） s(x)在区间a,b上具有二阶连续导数； （3）s(xi)=yi(i=0,1,n),s(x0)=y0,s(xn)=yn。称s(x)为三次样条函数。 曲线拟合法曲线拟合法 设一组观测数据为 xx0 x1 x2 x3 xnyy

4、0 y1 y2 y3 yn 其中xixj(ij),我们要根据这一系列数据找出函数关系y=f(x)。 若用插值函数(x)代替函数关系f(x),要求满足插值原则 (xi)=f(xi), i=0,1,2,n 由于观测点和观测数据本身就有误差,就会使函数保留这些误差,而影响逼近函数的精度。 在实际问题中,往往并不要求近似函数(x)所表示的曲线通过这些观测点,而只要求由已知数据(xi,yi) (i=0,1,n)找出x,y之间的依赖关系,使得近似函数(x)能充分地反映函数y=f(x)的大致面目,也即与f(x)有最好的拟合(或逼近)。这就是曲线拟合问题。 例如,已知数据 x0 1 2 3 4 5y1 1.6

5、 2.1 2.4 3.2 3.4我们可以用近似函数011( )12xaa xx 图 4.4 因为曲线拟合问题并不要求满足插值原则 (xi)=yi, i=0,1,2,n 故在节点x0,x1,x2,xn上(x)与f(x)有误差 ri=(xi)-yi, i=0,1,2,n 称ri为用(x)拟合f(x)的偏差。 我们仅对(x)为多项式情形进行讨论。 当由实验提供了大量数据时,不能要求拟合函数 在数据点 处的偏差, (i=1,2,m) 严格为零,但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋势 ,需对偏差有所要求.通常要求偏差平方和 最小,此即称为最小二乘原理),(yxiiyxiii)( mimiiyxii

6、1212)(|)(x 最小二乘法的求法yxxxxyxxaxyxaayyaaaaaaiimijjikimijkjminkmiijiijikkmiijinkikkjmiiinnnfxxxy)(,)()(,:)()()()()(:min)(),.,()(.)()(:* 11101101210110002 :020,n)mm若引入记号得可得求偏导数并令其为零对函数组数据且共有设近似方程为 就是所求的拟合函数存在唯一解线性无关时当可知可得矩阵则有 niiinnnnnnnnnjkjkxnixxxfffnjfaaaaa0i101010101110101000n0k10 ,10:a)(),.,()(),.()

7、,(,.,.,.,.,.,.,),.,(,最小二乘法的几种特例)(),.,1 , 0(.n)mm(,.)(:,. 11021122210 xnimxxayxyxyaaaxxxxxxxxxaxaaaiiniiiinninininiiiniinn即可求得拟合函数由此可得到相应的系数组数据且共有的相应法方程组则以同样原理即拟合函数式拟合函数常为代数多项见情况作为曲线拟合的一种常即可解得即对于拟合函数拟合这就是用途最广的线性时特别的当bayxybaxxxxbayiiiiiim0000200,.,1n. 2例 题 下面举个例子以说明用最小二乘法解题的步骤。例例 电流通过 2电阻，用伏安法侧得的电压电流如

8、表 I(A)1246810 V(V)1.83.78.212.0 15.8 20.2用最小二乘法处理数据。解解 1.确定 V=(I)的形式。 将数据点描绘在坐标上 （如下图） ，可以看出这些点在一条直线的附近，故用线形拟合数据，即 2.建立方程组。IaaV10 例 设有一组数据表 x1345678910y2781011111098试用二次多项式来拟合这组数据。解 首先算出 999999922341111111,iiiiiiiiiiiiiiiixyx yxx yxx 的值分别为53,76,489,381,3547,3017,25317,然后得到正则方程组 90+531+3812=76 530+38

9、11+30172=489 3810+30171+253172=3547 解得 0=-1.4597,1=3.6053,2=-0.2676 因此所求的二次多项式 P2(x)=-1.4597+3.6053x=0.2676x2 给出的数据和二次多项式表示的曲线见图4.5。 图 4.5 最后必须指出,在实际问题中,近似函数(x)的选取只能凭经验得到。例 (1)加速度与时间的关系是线性关系,可选取 (x)=0+1x (2) 炮弹在空中的高度与时间的关系近似于抛物线,可选取 (x)=0+1x+2x2此外,当(x)不是多项式时,如 (1)幂函数 (x)=axb(2)指数函数 (x)=aebx(3)对数函数 (x)=a+blnx 例 求一个经验函数 (x)=aebx (a,b为常数) 使它能和下面给出的数据相拟合。 x12345678y15.320.527.436.649.165.687.8117.6解 对经验公式两边取对数得 ln(x)=lna+bx 令 A=lna,B=b u=ln(x) 则 u=A+