第4章平面问题的等数参单元√有限元

1、第3章 平面问题的等参单元l坐标变换与等参元概念坐标变换与等参元概念l四边形（四边形（4节点）等参单元节点）等参单元l八节点四边形等参单元八节点四边形等参单元l等参元的收敛性等参元的收敛性3.1 坐标变换与等参元概念坐标变换与等参元概念 上一章中， Serendipity矩形单元插值函数的建立，使插值函数构造规则化。矩形单元比三角形单元有更高的精度，但它不适应不规则形状。而任意直线四边形单元可以适应不规则形状。但问题是，如果有一边的边界方程为 ，代入位移插值函数cbxy232143214321)()(xxcbxxcbxxxyyxu显然，在边界上位移不再是线性分布，因而不能由节点位移惟一确定，即

2、：即使相邻两单元节点位移相同，也不能保证边界位移连续。这就限制了四边形单元的应用范围。因此，为了实际应用，寻找适当方式，将规则单元转化为曲线单元，是非常必要的。普遍采用的方法是等参变换，即单元几何形状和单元内的位移函数采用相同的数目的结点参数和插值函数进行变换。采用等参变换后，关键问题是将整体坐标系里的单元刚度、荷载等单元特性变换为局部坐标系中计算。3.1 坐标变换与等参元概念坐标变换与等参元概念 如图所示的两套坐标系，一套是 Oxy ，用于实际单元，称为子单元；一套是 ，它是标准后化的正方形单元，称为母单元。从母单元项子单元变换，实际上就是建立两个坐标系之间的变换关系，即O),(),( Af

3、yxAfyx下面介绍如何建立两种单元之间的一一对应关系。事实上，这是图形变换的映射方法。或写成最方便的方法是将整体坐标用插值形式表示，即(2) ),(, ),(11piiiqiiiNvvNuu其中，Ni称为插值函数（形函数)。通过这一变换，对母单元上每一点( )可以在实际单元中找到一对应点(x，y)，这样就在两个单元间建立了一一对应关系。 (1) ),(,),(11iiiiiiyNyxNx,在实际单元中建立位移函数的插值形式因为坐标变换和位移变换都用同样个数的相应的节点值做参数，并且具有完全相同的形函数作为变换系数，所以称这种单元为等参数单元，简称等参元。3.2 四边形（4节点）等参单元 用上

4、述方法，将（x,y）平面内的任意四边形单元变换为（ ）平面上以原点为形心，边长为2的正方形单元，图1(b)所示。,) 1 , 1(),1 , 1 (),1, 1 (),1, 1(,母单元的节点 ijrs 与实单元的节点 ijrs 对应。在母单元上取局部坐标系 ，四个节点 ijrs 坐标分别为用两组曲线等分实单元的四个边界，在实单元上绘出一个非正交网格，通过坐标变换，将这个非正交网格与母单元上的等距正交网格对应，母单元上的A点与实单元上的A点对应。1 形函数与坐标变换 在母单元上，取位移函数为按照上一章求插值函数的方法，得 (3) 87654321yvu)(3 ijrsiimmlljjiiijr

5、siimmlljjiivNvNvNvNvNvuNuNuNuNuNu),()1)(1 (41),(mljiNiii其中：将(3)式写成矩阵形式这里， 是单元的节点位移向量emljieININININNvudTmmlljjiievuvuvuvu(4) ijrsiiijrsiiyNyxNxyxvu,),(,srjiiyxvuiiiie将坐标也取为(3)的形式在(3,4)式中， ，以及 是实单元中的位移和坐标2 几何矩阵 几何方程为(5) 0000exyyxNxyyxfxyyxyuxvyvxuyNxNii/,/yyNxxNNyyNxxNNiiiiii(6) yNxNJNNiiii为了求出上式的 ，根据

6、复合函数求导法则得 即：其中(7) ssrrjjiisrjisrjiijrsiiijrsiiijrsiiijrsiiyxyxyxyxNNNNNNNNyNxNyNxNyxyxJ(8) )( )1 ()1 (4111i,j,r,siJNNJyNxNiiiiiiii，从而应变可写为其中应变矩阵为)(6 eBxNyNxNyNxNyNxNyNyNyNyNyNxNxNxNxNNxyyxBssrrjjiisrjisrji00000000003 单元刚度矩阵 如前所述，单元刚度矩阵为将x y 坐标系中的微面积dA变换到 上后，映射关系由微分几何可知（殷家驹，计算力学教程，西安交通大学出版社；俞铭华等，有限元法

7、与面向对象编程，科学出版社)(10) d eTeABDBhK),( d dd d ddjyixbcjyixabdd dd d d d ddJjixyyxjyixjyixbcabA其中22 ,yxabyyxxJ)(10 dd1111 JBDBhKTe这个式子中包含雅可比矩阵的逆矩阵，使上式的解析积分相当困难，因此，通常用数值积分法进行积分。（见沈永欢：实用数学手册，科学出版社；王勖成：有限单元法，清华大学出版社）变换到母单元上的单元刚度矩阵为单元的等效荷载单元的等效荷载l体积力的等效荷载 考虑单元内任一点的体积力为等效节点荷载 称为体积力对应的等效节点力 yxppp 1111ddJpNhPTep

8、l集中力的等效节点荷载设单元内任一点C(x,y)作用一集中力等效节点荷载为 yxRRR RNPTCeRl面力的等效荷载考虑边界单元上任一点的面力为面力分布在与平行的边上时，等效节点荷载为面力分布在与平行的边上时，等效节点荷载为 yxqqq 11d|abqNhPTeq 11d|bcqNhPTeq3.3 八节点四边形等参单元 四结点实单元的边界是直线，位移是线性函数。对于计算曲线边界问题，这种单元不能很好地拟合；同时，对于位移变化剧烈（应变大）的部分，单元要划分很密。下面介绍的八结点单元，单元边界是二次抛物线。因而，可以适应具有曲线边界的区域，是一种经常使用的单元。1 位移模式 按照上一章求插值函

9、数的方法，得到用节点位移表示的位移场2162152141321211109282726524321vu(3) ),( ),(8181iiiiiivNvuNu，式中的形函数为(11) 8 , 7 , 6 , 511214 , 3 , 2 , 1 111412222jNiNiiiijiiiii实际单元中任一点坐标可用下式表示8181),(),(iiiiiiyNyxNx，单元刚度矩阵 几何方程为eexyyxBNxyyxdxyyxyuxvyvxu00000087654321BBBBBBBBNxyyxB其中其中，)8 , 2 , 1(,00ixNyNyNxNBiiiiiyNxNJNNiiiiiiiiNN

10、JyNxN1 1111ddJBDBhKTe 1111)8 , 2 , 1(,ddiJBDBhKjTieij由于，从而单元刚度矩阵为其中，单元刚度矩阵的子块为单元性质 八节点正方形母单元对应于八节点曲线四边形实单元运用两组坐标，母单元的局部坐标 与实际单元的整体坐标(x,y), 将实际单元映射到母单元上。在母单元上选择位移插值函数，通过坐标变换，转化到实际单元上去因此，两个坐标系中的形函数具有完全相同的形式和相同的性质。位移模式能够保证相邻单元彼此相容，即同一边界两边的单元，变形后位移是连续的。当时，两套坐标之间建立一一对应关系，即两种单元 ( 母单元与实单元) 之间存在一一对应关系当实单元的四

11、个顶点的内角皆小于180, 且每条边上的中间节点与两个端点节点的距离大致相同时，能够保证。),(0J0J4 等参单元的形态等参单元形态的好坏，对于计算结果影响很大。以下四方面影响等参单元形态的好坏：现在分别叙述：l当单元各边长度相差较大时，会对计算结果产生一定的误差。对于曲面边界，假如其曲率半径远大于单元的边长，则各向边长的差别对精度影响不大，但当曲面曲率半径与单元边长为同阶大小时，边长相差过大就可能引起很大误差。l等参单元比之其它单元能更好拟合曲折的棱，但是每一种等参单元所能拟合的曲边界是有限度的，例如8节点单元的棱边是二次曲线，不可能拟合一段具有反向曲率的边界。图4中 ABCDE 表示一物

12、体的一部分边界，如果采用以A，C，E 为节点的单元，l各边长度的相对大小；l棱边的曲折；l棱边的夹角；l棱边上节点的间距。则计算所得的位移和应力实际上属于单元ABCDEFG, 这样就严重歪曲了原物体的边界，其计算结果有很大误差。但假如单元划分成图4(b), 以弯点C为单元的顶点，使每个单元的棱边都是只具有单向曲率的曲线，则计算结果将大大改善。如果在计算对象上有折线边界，则应尽量使单元边上没有折点，如图 5(a) 。假如边界不可避免有折点，则应使棱边上只有凸出的折点图5(b)，而不应有凹入的折点，如图5(c)。4 等参元的收敛性1 等参变换的条件：雅可比行列式不得为零l如何避免雅可比行列式为零？l单元退化处理（退化为三角单元；从积分点的位置考虑。）dd)d,dsin(dddd)d,dsin(dd d ddJJA即分子上的三项都不能为零。2 等参元的收敛性(1)单元的完备性对于C0连续性单元，要求插值函数中包含完全的线性项（即完全一次多项式），这样的单元可以反映函数及一次导数为常数的情况。显然，等参元在自然坐标中是满足这一要求的。经等参变换后，坐标和位移的插值表达式为(4) ),(,),(11iiiiiiyNyxNx将线性变化的位移函数(1) cybxau取结点值(a) iiicybxau将(a)式代入(3)式，并利用(4)式，可得到