理论力学第十三章动能定理教学PPT

1、动能定理动能定理主要内容主要内容力的功力的功动能动能动能定理动能定理功率、功率方程功率、功率方程势力场、势能、机械能守恒定理势力场、势能、机械能守恒定理动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用力的功力的功力的功力的功力的功是力在一段路程中对物体作用所累积是力在一段路程中对物体作用所累积的效果，其结果引起能量的转变和转化。的效果，其结果引起能量的转变和转化。常力在直线路程中的功常力在直线路程中的功元功、变力在曲线路程中的功元功、变力在曲线路程中的功 力力 F 在有限路程在有限路程 A1A2 中的总功中的总功W,是该力在这段是该力在这段路程中全部元功的代数和路程中全部元功的代数和,可表示成

2、曲线积分可表示成曲线积分如在质点上同时作用着几个力如在质点上同时作用着几个力,则由合力投影定理则由合力投影定理可以推知可以推知,。这个结论称为这个结论称为.d W = Fxdx + Fydy + Fzdz这就是这就是元功的解析表达式元功的解析表达式。因为因为 F = Fxi + Fyj + Fzk, dr = dxi + dyj + dzk, 上式上式改为改为2121)52()ddd(dcosAAzyxAAzFyFxFFW合力之功定理合力之功定理几种常见力的功几种常见力的功 设物体的重心设物体的重心 A 沿某一曲现由沿某一曲现由 A1 运动到运动到 A2 。物体的重力。物体的重力 G在坐在坐标

3、轴系上的投影为标轴系上的投影为21)(d21zzGhzzGzGW d W = Fxdx + Fydy + FzdzA1(x1,y1,z1)AxyzA2(x2,y2,z2)21)(d21zzGhzzGzGWA1(x1,y1,z1)AxyzA2(x2,y2,z2)几种常见力的功几种常见力的功OA1drA2r1rr2FA几种常见力的功几种常见力的功 OA1drA2r1rr2FA212122001020()d()()() 2rA ArcWd Wcrlrlrlrl 几种常见力的功几种常见力的功 )(22221cW212122001020()d()()() 2rA ArcWd Wcrlrlrlrl 几种常

4、见力的功几种常见力的功OkdrxrFAvdyz几种常见力的功几种常见力的功 d)(21FmWz几种常见力的功几种常见力的功思考思考rx 2FxrxMFxWC212根据式tMvFWCtCd)( 0 力F所作的功为思考思考 dW = F1d(A1A2) (2-13)(d )(d dd ddd12121121112211AAFrrFrFrFrFrFW几种常见力的功几种常见力的功 dW = F1d(A1A2) (2-13)几种常见力的功几种常见力的功工程上几种内力作功的情形工程上几种内力作功的情形NAdrNAdrNAdr(a)(b)(c)几种常见力的功几种常见力的功几种常见力的功几种常见力的功ddFC

5、vWFrd0CvF vt几种常见力的功几种常见力的功动能动能动能动能221122Tmvmv 动能动能平动刚体的动能平动刚体的动能222ccc11222vTmvmMv动能动能定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能22222)(2121mrrmmvT212zTJ17-9(b)AvzrO动能动能21iniim式中 分别为第 个质点的质量和到该轴的距离J=iim,i动能动能平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能212PTJ转动惯量转动惯量2CCPMrJJ即,212PTJ2CCPMrJJ2222111()222CCCCTJMrMvJ动能动能例题例题例题例题eAvvx rABvllr cosxvlr csin

6、yvl动能动能22212221()cos2Tmm xm lxm l22212BTm v2221(cos )(sin )2mxll21112ATmv2112m x动能动能动能定理动能定理动能定理动能定理表达了质点或质点系的动能变化量和作用力的功之间的数量关系。mv dv = F drFtvmdd质点动能定理质点动能定理质点动能定理质点动能定理21d()d2mvWmv dv = F dr22211122mvmvW质点动能定理质点动能定理即,。这就是。 dT= dW因故上式可写成Wmvd)2(d2Tmvmvd)2(d)2(d2221d()d2mvW质点系动能定理质点系动能定理 dT= dW质点系动能

7、定理质点系动能定理例题例题2222)(2)()(ccmgFWGWWss解:例题例题2202210cmv例题例题例题例题解：)(2 21)(21212121222222212222GGrgvvgGrvgGvgGJTO例题例题)2()cos(sin 222212rGGrgsfGMvOsGfGrMsGfsGrsMFWGWMWWOOOcossincossin)()()(22222) 1 ()cossin(0)(22221222sGfGrMGGrgvO例题例题把式(1)中的看作变值,并求两端对时间 t 的导数,有考虑到在单向的直线运动中 dv/dt = a,ds/dt = v,故rgrGGfrGMaO2

8、2212)cos(sintsGfGrMGGrtvgvOdd)cossin()(dd22222122) 1 ()cossin(0)(22221222sGfGrMGGrgvO例题例题物体物体 A 装在下部有轮子装在下部有轮子 B 的铅直轴的铅直轴 z 上上,轮轮 B 的半径是的半径是 r ,其上缠着不可伸其上缠着不可伸长的细绳。此绳跨过小滑轮长的细绳。此绳跨过小滑轮 C ,在下在下端系有质量是端系有质量是 m的物块的物块 D。当物块。当物块下降时下降时,带动带动 A 绕轴绕轴 z 旋转。旋转。 (1)已知轴已知轴 z上物体系对此轴的转动上物体系对此轴的转动惯量为惯量为 Jz ,试求物块试求物块D由

9、静止开始下由静止开始下降距离降距离 s 时的速度和加速度时的速度和加速度;(2)若由试验测得当物块下降距离若由试验测得当物块下降距离 s 所所需的时间是需的时间是 ,试求重物试求重物 A 对转轴对转轴 z 的的转动惯量。轴承摩擦转动惯量。轴承摩擦,空气阻力以及空气阻力以及小滑轮小滑轮C和绳索的质量都不计。和绳索的质量都不计。17-9(b)AvzBEFrsGaCD例题例题)(22121222222zzJmrrvJmvT) 1 (0)(2222mgsJmrrvzgsJmrmrvz222解：17-9(b)AvzBEFrsGaCD例题例题22222121gJmrmrasz) 12(22sgmrJzgJ

10、mrmraz22tsmgJmrtvvrzdd)(dd22122) 1 (0)(2222mgsJmrrvz例题例题系统在铅直平面内由两根相同的匀质细直杆构成系统在铅直平面内由两根相同的匀质细直杆构成. A、B为为铰链铰链,D为小滚轮为小滚轮.且且AD水平水平.每根杆的质量每根杆的质量M=6 kg,长度长度l=0.75 m.当仰角当仰角 1=60系统由静止释放系统由静止释放.求当仰角减到求当仰角减到 2=20 时杆时杆AB的角速度的角速度.摩擦和小滚轮的质量都不计摩擦和小滚轮的质量都不计.例题例题解:例题例题)(125241)2121(2122222E22PElMJMvJTABBDEABA例题例题

11、例题例题匀质滚子的质量为匀质滚子的质量为m，半径为，半径为R，放在粗糙的水平地板上，放在粗糙的水平地板上，如图所示。在滚子的鼓轮上绕以绳，在绳子上作用有常力如图所示。在滚子的鼓轮上绕以绳，在绳子上作用有常力T，作用线与水平方向夹角为，作用线与水平方向夹角为 。已知鼓轮的半径为。已知鼓轮的半径为r，滚，滚子对轴子对轴O的回转半径为的回转半径为 O，滚子由静止开始运动。试求滚，滚子由静止开始运动。试求滚子轴子轴O的运动方程。的运动方程。 NFmgOx 例题例题系统具有一个自由度，约束力不系统具有一个自由度，约束力不作功。作功。22()dTm Rd vAvB22(cos)()OT Rrm Recos

12、reR2222211221()2OOTmxJm R BdcosABAdtdtTedt T vT vWd功率、功率方程功率、功率方程功率功率功率：功率：力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬作能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。时性。limtWdWPtdt 瞬时功率作用力的功率：vvF dsdWPF vdtdt力矩的功率：30zzzdWdnPMMMdtdt功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s 。功率方程功率方程功率方程功率方程：由 的两边同除以dt 得dTdWdWdWdW入出无 dWdTdT

13、PPPPdtdtdt入出无即机器稳定运行时，机械效率0/dtdT100%PP出入是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下 。势力场、势能、机械能势力场、势能、机械能守恒定理守恒定理势力场与势能势力场与势能 具有力的功只决定于作用点的始末位置而与运动路径无具有力的功只决定于作用点的始末位置而与运动路径无关共同特性的力统称为关共同特性的力统称为有势力有势力(或保守力或保守力)。 有势力是一种场力有势力是一种场力,它出现在特定的空间它出现在特定的空间,这种空间称为这种空间称为势力场势力场(或保守力场或保守力场)。V = W(AA0) 在势力场中在势力场中,质点的势能只有相对值质点的势能只有相对值

14、.通常预先任意地选通常预先任意地选定场中某个点定场中某个点 A0 处的势能为零处的势能为零,称称A0为为势能零点势能零点。 质点在场中其他点质点在场中其他点A处的势能用处的势能用V表示表示,定义为该质点由定义为该质点由点点A运动到零点运动到零点A0的过程中的过程中,有势力所做的功有势力所做的功W(A A0).即有即有 势能势能几种常见势力场的势能几种常见势力场的势能 重力场重力场21)(d21zzGhzzGzGW并取并取 A0(x0,y0,z0) 为零点为零点,则质点在重则质点在重力场力场 A 处的势能为处的势能为利用重力的功的表达式利用重力的功的表达式几种常见势力场的势能几种常见势力场的势能

15、 弹性力场弹性力场 通常取弹簧无变形的位置作通常取弹簧无变形的位置作为零点为零点 A0,利用弹性力的功的表达利用弹性力的功的表达式式得质点在弹性力场变形为得质点在弹性力场变形为 的的 A处处的势能为的势能为2212()2 cW势能函数势能函数 在一般情况下在一般情况下,质点的势能可以表示成质点位置坐标质点的势能可以表示成质点位置坐标x、y、z的单值连续函数的单值连续函数,即即V = V (x , y , z). 势能函数势能函数势能函数势能函数 推广到质点系推广到质点系.只需把系内所有各质点的势能加在一只需把系内所有各质点的势能加在一起就得到质点系在势力场中的势能。这样起就得到质点系在势力场中

16、的势能。这样,质点系的势能质点系的势能一般可以表示成质点系内所有各质点的坐标一般可以表示成质点系内所有各质点的坐标 x1 , y1 , z1 ; ; xn , yn , zn 的单指连续函数，即的单指连续函数，即 例如例如,可以证明质点系在重力场中的势能为可以证明质点系在重力场中的势能为势力场的某些性质势力场的某些性质因为因为 F = Fxi + Fyj + Fzk, dr = dxi + dyj + dzk, d W = Fxdx + Fydy + Fzdzd W = V(x,y,z)-V(x+dx,y+dy ,z+dz)=-dV全微分多元函数全微分多元函数V的全微分的全微分, ,VVVdV

17、 x y zdxdydzxyzxyzVVVF dxF dyF dzdxdydzxyz xVFx yVFy zVFz 势力场的某些性质势力场的某些性质xVFx yVFy zVFz 作用于质点的有势力在各固定直角坐标轴上的投影，作用于质点的有势力在各固定直角坐标轴上的投影，等于势能函数对相应坐标偏导数冠以负号。等于势能函数对相应坐标偏导数冠以负号。由上式可以得到势力场存在的条件由上式可以得到势力场存在的条件,yyxxzzFFFFFFyxzyxz势力场的某些性质势力场的某些性质111222,;,;,nnnVV x y z xyzxyz以上结论可以直接推广到质点系，势能函数表示为以上结论可以直接推广到

18、质点系，势能函数表示为,ixiyiziiiVVVFFFxyz xyzVVVdWF dxF dyF dzdxdydzdVxyz 机械能守恒定理机械能守恒定理机械能守恒定理机械能守恒定理例题例题解:20202201)2(41)(21(2121vMmrvMrmvT例题例题例题例题mgcV22222120222)2(4120cvMmmgc20202201)2(41)(21(2121vMmrvMrmvT例题例题202)2(412vMmc022vcMm 2120222)2(4120cvMmmgc动力学定理的综合应用动力学定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用动量定理动量定理、质心运

19、动定理、动量守恒定理动量矩定理对固定点的动量矩定理、对轴的动量矩定理、动量矩守恒定理。动能定理动能定理（微分形式和积分形式）例题例题1BO2AO130oDWWWM 匀质圆轮匀质圆轮A和和B的半径均为的半径均为r，圆轮，圆轮A和和B以及物块以及物块D的的重量均为重量均为W，圆轮，圆轮B上作用有力偶矩为上作用有力偶矩为M的力偶，且的力偶，且3Wr/2 MWr/2。圆轮。圆轮A在斜面上向下作纯滚动。初始整在斜面上向下作纯滚动。初始整个系统处于静止状态，不计圆轮个系统处于静止状态，不计圆轮B的轴承的摩擦力。的轴承的摩擦力。求：求：1、物块、物块D的加速度；的加速度； 2、二圆轮之间的绳索所受拉力；、二

20、圆轮之间的绳索所受拉力； 3、圆轮、圆轮B处的轴承约束力。处的轴承约束力。解：解：1 1、确定物块的加速度、确定物块的加速度对系统整体应用动能定理对系统整体应用动能定理BO2AO130oDWWWMsDO212222211112222DDOBAAOATm vJm vJ21iiTTW iDGAMiWWWW222222111 111 1()()22 222 2DBAAWWWWvrvrTggggsin30DDBWsWsM例题例题1将所有运动量都表示成坐标将所有运动量都表示成坐标 sD的形式的形式BO2AO130oDWWWMsDO222222111 111 1()()22 222 2DBAAWWWWvr

21、vrTggggsin30DDBWsWsM,DDDADABvsvvsrr,DBsr213()22DDWMWvTsgr例题例题1 为求物块的加速度，将等式两为求物块的加速度，将等式两边对时间求一阶导数，得到边对时间求一阶导数，得到当当MWr/2，aD0，物块物块D向上运动向上运动BO2AO130oDWWWMsDO213()22DDWMWvTsgr3()2DDDWMWv avgr23DMWragW例题例题1WDBO2WFTFByFBxM2、确定圆轮、确定圆轮A和和B之间绳索的拉力之间绳索的拉力解除圆轮解除圆轮B轴承处的约束，将轴承处的约束，将AB段绳索截开，对圆轮段绳索截开，对圆轮B、绳索和物块、绳

22、索和物块D组成的局部系统应用动量矩定理组成的局部系统应用动量矩定理BO2AO130oDWWWM2T1(-)2BDWWra rMW F rgg例题例题1根据运动学关系根据运动学关系2T1(-)2BDWWra rMW F rggDBarT32DWMaWFgrT1 3()2 2MFWrTT330;0,22MWrFMWrF时，时，不合理。例题例题1WDBO2WFTFByFBxM得得解得解得3、确定圆轮、确定圆轮B轴承处的动约束力轴承处的动约束力 对圆轮对圆轮B、绳索和物块、绳索和物块D组成的局组成的局部系统应用质心运动定理部系统应用质心运动定理TT0cos302sin30BxDByFFWaFWFgT1

23、 3cos30()cos302 2153()122BxByMFFWrWMFr例题例题1WDBO2WFTFByFBxM例题例题2均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。 例题例题2解：解：选系统为研究对象选系统为研究对象)cossin2( cos sin 2)(fSmgmgSfSmgWF22222121212121 0mrmvmvTT运动学关系： rv 2245mvT 由动能定理 )cossin2(0452fmgSmvgfa)cos52sin54(行星齿轮机构在水平面内运动。质量为行星齿轮机构在水平面内运动

24、。质量为m的均质曲柄的均质曲柄AB带带动行星齿轮动行星齿轮II在固定齿轮在固定齿轮I上纯滚动。齿轮上纯滚动。齿轮II的质量为的质量为m2，半径为半径为r2。定齿轮。定齿轮I的半径为的半径为r1。杆与轮铰接处的摩擦力忽。杆与轮铰接处的摩擦力忽略不计。当曲柄受力偶矩为略不计。当曲柄受力偶矩为M的常力偶作用时，求杆的角的常力偶作用时，求杆的角加速度加速度 及轮及轮II边缘所受切向力边缘所受切向力F。例题例题31. 求杆的角加速度求杆的角加速度 222222122122 221 111 1()()2 322 2Tm rrm rrm r运动学条件：2122()/rrr2221231 1()()2 32T

25、mmrr主动力系的元功为由动能定理得221231()()32mmrrdMd 22126(29)()MmmrrddMW 例题例题322 22212m rFr1222rrr22123(29)()MmFmmrr例题例题3长为长为l、质量为、质量为m的均质细杆静止直立于光滑水平面上。当的均质细杆静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。地面约束力。ACvCvA例题例题4由质心运动定理可知，直杆在倒下过程中其质心将铅直下落。1. 求杆刚刚到达地面时的角速度求杆刚刚到达地面时的角速度12Cvl2222111226CCTmvJml由动能定理得：221162mlmgl3glACvCvA杆刚刚到达地面时，A点为瞬心例题例题42. 求杆刚刚到达地面时的地面约束力由刚体的平面运动微分方程得21212CmgNmalNmlCArtrnaaaa将上式沿铅垂方向投影，得12Cr