第6章振动jd2013

1、xmoAAa机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动：物体在一定位置附近作来回往复的运动.机械振动机械振动 电磁振动电磁振动 振动有各种振动有各种不同的形式不同的形式 广义振动：广义振动： 任一物理量任一物理量( (如位移、电流等如位移、电流等) )在某一数值附在某一数值附近反复变化。近反复变化。一、简谐运动一、简谐运动(简谐振动、谐振动简谐振动、谐振动)的定义：的定义： 物体振动时，离开平衡位置的位移物体振动时，离开平衡位置的位移x(或角位移或角位移 ) 随时间随时间t 变化可表示为余弦函数或正弦函数的振动。变化可表示为余弦函数或正弦函数的振动。)cos( tAx弹簧弹簧物体系统

2、物体系统)6-1(2) 6-1(2) 简谐运动简谐运动xxmo平衡位置平衡位置：振动物体所受合外力为零的位置振动物体所受合外力为零的位置振动特点：振动特点：物体所受合外力始终指向平衡位置物体所受合外力始终指向平衡位置-回复力回复力kxF 并且：并且：由第二定律可得物体的瞬时加速度由第二定律可得物体的瞬时加速度: :xmkmFa 022 xmkdtxd22dtxda 简谐振动振动方程简谐振动振动方程简谐振动微分方程简谐振动微分方程其通解为：其通解为：)cos( tAx2 两式均为物体作谐振动的特征表述。两式均为物体作谐振动的特征表述。简谐振动振动方程简谐振动振动方程kxF xdtxda222 0

3、222 xdtxd 回复力回复力运动学特征运动学特征动力学特征动力学特征-两种特征表述是等价两种特征表述是等价)cos( tAxkxF 0222 xdtxd 或或2.小球在半径很大的光滑凹球面底小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动部作小幅振动 mgO22dtdRRamamgtt sin切向运动切向运动 sin很很小小22dtdmRmg 022 RgdtdRg 2令令0222 dtd简谐振动简谐振动判断下列运动是否为简谐运动判断下列运动是否为简谐运动1.乒乓球在地面上的上下跳动乒乓球在地面上的上下跳动例题例题1判断判断运动是否为简谐运动运动是否为简谐运动220dgdtl 在角位移很小的时候，

4、单摆的振动是简谐运动。在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐运动。glTlg2200gmfsin当当 时时22dmg sinmlmldt 例题例题2角频率角频率,振动的周期分别为：振动的周期分别为：振动的角频率、周期完全由振动系统本身来决定。振动的角频率、周期完全由振动系统本身来决定。-固有频率、固有周期。固有频率、固有周期。2.速度速度 3.加速度加速度)cos(2 tAdtdva)cos()(amtata dtdx )2cos( tA)sin( tA)cos()( ttm)cos( tAx1.位移位移注意：注意：a =-2Acos(t+ ) = -2 x简简谐振动是一种变加速运动谐振动是一种

5、变加速运动速度也是简谐的速度也是简谐的 也是简谐的也是简谐的)cos(2 tA)cos(tAx)sin(tAv)cos(2tAaxa234o,xav,tAAA24.振动曲线振动曲线v由振动曲线可判某一时刻的振动方向。由振动曲线可判某一时刻的振动方向。t to oT TA Ax-物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。 对弹簧振子：对弹簧振子：物体在单位时间内完成振动的次数。物体在单位时间内完成振动的次数。T1 22TkmT 2 mk 2谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。 决定振动物体的运动状态决定振动物体的运动状态相位相位 t+

6、 = 0 x=Av=0a=-2A相位相位 t+ = / 2 x=0v=-A a=0a0 vv0 aOAXOAX ( t + )是是 t 时刻的相位时刻的相位 是是t t=0=0时刻的相位时刻的相位 初相初相)cos( tAx;cos00 Axt 时时 sin0Av 00 xv tan2020)( vxA ( (或或 . .T). ). A 和和 三个特征量确三个特征量确定，则谐振动方程就唯一确定。其定，则谐振动方程就唯一确定。其中中 ( (或或 . .T) )由系统本身的性质决由系统本身的性质决定，定，A 和和 由初条件决定由初条件决定若已知：若已知：则可求得则可求得1.描述简谐振动的方法有三

7、种：描述简谐振动的方法有三种：（1） 解析法解析法（2）曲线法）曲线法oxmx0 = 0 = /2oA-AtxT由由)cos( tAx已知表达式已知表达式A, , 已知已知A, , 表达式表达式已知曲线已知曲线A, , 曲线曲线已知已知 A, , 六、简谐运动的描述方法六、简谐运动的描述方法通常上述两种方法合并使用。通常上述两种方法合并使用。mxox例题例题1如图一竖直轻弹簧的下端挂一小球，如图一竖直轻弹簧的下端挂一小球，试证明试证明此振动为简谐振动，并取开始振动时为此振动为简谐振动，并取开始振动时为计时零点，写出运动方程；计时零点，写出运动方程；弹簧被拉长弹簧被拉长 l0=9.8cm平衡，再

8、向上压缩平衡，再向上压缩9.8cm后松手，小球开始振动，后松手，小球开始振动，v0=0；解：解：取平衡位置为原点，建立坐标。取平衡位置为原点，建立坐标。)cos( tAx设向下有位移设向下有位移 x, 则合外力则合外力 :满足简谐振动的动力学特征满足简谐振动的动力学特征是简谐振动，是简谐振动，平衡位置：平衡位置： mg=k l0 k=mg/ l0设运动方程为设运动方程为)(0 xlkmgF kx mxox)cos( tAx设运动方程为设运动方程为010kgrad / sml 由初条件由初条件(t=0)x0=Acos = -0.098v0= - A sin =0mA098. 0 解得：解得： =

9、 运动方程为运动方程为： x=9.8 10 -2cos(10t+ ) m例题例题2已知某简谐振动的已知某简谐振动的 位移与时间的关系曲线如图位移与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。所示，试求其振动方程。431.431. 715.715. 01)(st)(cmx解：解：)cos( tAx振动方程为：振动方程为：由图可知：由图可知：cmA431. A.x217150 t =0时时:即有：即有：AAx21cos0 00 sinAv又又AA21cos 0sin A 32 解得：解得：00 v27151A.x t =1s时时:01 vAAxt21)32cos(1 0)32sin(1 Avt )32

10、cos(314. 0 tx振动方程：振动方程： t = 0 x=Acos( t+ ) AA t + t = tXo参考圆参考圆-借助矢量的性质及方法描述振动借助矢量的性质及方法描述振动方法：方法： 自自ox轴的原点作一矢轴的原点作一矢量量 (A为振幅大小为振幅大小)，绕绕o点以点以逆时针匀角逆时针匀角速度转动，设速度转动，设t=0 时，时，矢量矢量 与与ox轴夹角为轴夹角为，则任一时刻，矢量则任一时刻，矢量 与与ox轴夹角为轴夹角为(t+)，矢量矢量 端点在端点在ox轴上投轴上投影点的位置影点的位置 tcosAxAAAA 因此，旋转矢量因此，旋转矢量 的端点投影点在的端点投影点在 X X 轴上

11、的运动，轴上的运动，可以用来表示物体在可以用来表示物体在OXOX轴上的简谐运动轴上的简谐运动Ax(3)(3)简谐运动的旋转矢量简谐运动的旋转矢量)tcos(Ax 旋转矢量旋转矢量 的端点在的端点在 轴上的投影点的运动轴上的投影点的运动为简谐运动为简谐运动. .xA（1） 确定初相位确定初相位 要求条件：已知要求条件：已知 x0 与与A的关系，初速度的方向。的关系，初速度的方向。已知一物体做简谐振动。已知一物体做简谐振动。1）t=0时，时，x0=(1/2)A且向且向位移的负方向运动；位移的负方向运动； 2） t=0时，时，x 0= 0且向位移的且向位移的正方向运动。试求两种情况下的初相。正方向运

12、动。试求两种情况下的初相。X = /3X = - /2A / 2例例题题2、旋转矢量的应用、旋转矢量的应用（2）研究质点的运动）研究质点的运动例例题题已知一质点做简谐振动。已知一质点做简谐振动。t = 0 时的运动状态为时的运动状态为过过1/2最大位移处且向位移的负方向运动。已知最大位移处且向位移的负方向运动。已知周期为周期为T=2s，求再次通过求再次通过1/2最大位移处且向最大位移处且向位移的正方向运动的时刻。位移的正方向运动的时刻。 xo/ /3 34 4/ /3 32 2- - 24 4/ /3 3s s tt0/ /3 3 振幅矢量旋转角度振幅矢量旋转角度问题转化为：已知旋转问题转化为

13、：已知旋转2 需要需要T 时时间，问旋转间，问旋转 4 /3 需要多少时间？需要多少时间？t/T 342 2st34 解：解： 0 0A tA解：解：用旋转矢量法辅助求解。用旋转矢量法辅助求解。0 , 2/7 .15:00 vAxt xo32 431.431. 715.715. 01)(st)(cmx0 , 2/7 .15:10 vAxst35 t)tcos(.x323140 例例题题已知某简谐振动的已知某简谐振动的 位移与时间的关系曲线如图位移与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。所示，试求其振动方程。t=0t=1例题例题2已知某简谐振动的已知某简谐振动的 位移与时间的关系曲线如图位移与

14、时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。所示，试求其振动方程。431.431. 715.715. 01)(st)(cmx解：解：)cos( tAx振动方程为：振动方程为：由图可知：由图可知：cmA431. A.x217150 t =0时时:即有：即有：AAx21cos0 00 sinAv又又AA21cos 0sin A 32 解得：解得：00 v27151A.x t =1s时时:01 vAAxt21)32cos(1 0)32sin(1 Avt )32cos(314. 0 tx振动方程：振动方程：（3） 比较两个同频率谐振动的振动步调比较两个同频率谐振动的振动步调x1 = A1 cos( t +

15、 1) x2 = A2 cos( t + 2) 21 = ( t + 2 ) - ( t + 1) = 2 - 1两个谐振动的相位差：两个谐振动的相位差：称振动称振动2超前振动超前振动1 ；若若 2 1：称振动称振动2落后振动落后振动1 。若若 2 1： 取小于取小于 的值。的值。X2 0t 12A1A当当 = 2 1= 0 ,两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相 同相和反相同相和反相txoA1-A1A2- A2x1x2T同相同相 Xx1 = A1 cos( t + 1) x2 = A2 cos( t + 2) 2 1当当 = 2 1= , 两振动步调相反两振动步调相反, ,称反相称

16、反相x2TxoA1-A1A2- A2x1t反相反相X1 0t 2x1 = A1 cos( t + 1) x2 = A2 cos( t + 2) )cos()cos( tatAam2)cos( tAx)cos()sin(2 tvtAvm谐振动的位移、速度、加速度之间的相位关系谐振动的位移、速度、加速度之间的相位关系x t+ ot = t Amv ma 090090由图可见：由图可见：2 va超前超前2 xv超超前前a与与x反相反相xa234o,xav,tAAA2vo, xav,txva 练习：练习：图中三条曲线分别表示简谐振动中的位移，图中三条曲线分别表示简谐振动中的位移，速度和加速度，试判断出

17、哪一条是速度和加速度，试判断出哪一条是x， v， a？谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的动能系统的动能Ek+系统的势能系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为位移为x)sin( tAv)cos( tAx221mvEk )(sin2122 tkA221kxEp )(cos2122 tkA谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数)t(sinAm 222216-3 简谐运动的能量简谐运动的能量简谐运动系统的能量特点简谐运动系统的能量特点: :(1) (1) 动能动能221 mEk )(sin2122 tkA(2) (2) 势能势能22

18、1kxEp )(cos2122 tkA情况同动能。情况同动能。minmax,ppEE0min kE分析：分析：2max21kAEk (3) (3) 机械能机械能221kAEEEpk 简谐运动系统机械能守恒简谐运动系统机械能守恒周期性变化EpEkkpEE ExtpE)(cos2122 tkAkE)(sin2122 tkAPTttkkEkAdtETE 2411tTEO(1/2)kA2一、阻尼振动一、阻尼振动阻阻尼尼振振动动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅减小，系统克服阻力作功使振幅减小， 系统的动能转化为热

19、能。系统的动能转化为热能。辐射阻尼辐射阻尼：振动以波的形式向外传播，使振振动以波的形式向外传播，使振 动能量向周围辅射出去。动能量向周围辅射出去。t欠阻尼欠阻尼)(tx欠阻尼欠阻尼阻尼较小的阻尼运动。阻尼较小的阻尼运动。振幅衰减较慢，接近于振幅衰减较慢，接近于谐振动。谐振动。过阻尼过阻尼t)(tx过阻尼过阻尼阻尼过大，在未完成一次振动以阻尼过大，在未完成一次振动以前，能量就以消耗掉，振动系统前，能量就以消耗掉，振动系统将通过非周期运动回到平衡位置将通过非周期运动回到平衡位置临界阻尼临界阻尼t)(tx临界阻尼临界阻尼使系统能以最短时间返回平衡位使系统能以最短时间返回平衡位置，而恰好不作往复运动的

20、阻尼置，而恰好不作往复运动的阻尼应用于天平调衡应用于天平调衡otx过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼二、二、 受迫振动受迫振动振动系统在周期性外力持续作振动系统在周期性外力持续作用下进行的振动。用下进行的振动。强迫力强迫力OAtx振动周期与周期性外力的周期相同振动周期与周期性外力的周期相同受迫振动振幅的大小，不决定于系统的初始条件，而与受迫振动振幅的大小，不决定于系统的初始条件，而与(固有角频率、质量固有角频率、质量)、和和有关。有关。当阻尼很小，策动力频率等于当阻尼很小，策动力频率等于固有频率时振幅最大固有频率时振幅最大-共振。共振。大阻尼小阻尼0阻尼pA0三、共振三、共振1940年年

21、7月月1日美国塔科马海峡大桥因强风引起的日美国塔科马海峡大桥因强风引起的桥身共振而坍塌桥身共振而坍塌 202101202101 cosAcosAsinAsinAtg )tcos(Ax1011 )tcos(Ax2022 21xxx )tcos(Ax )cos(AAAAA10202122212 两个同方向同频率两个同方向同频率简谐简谐振动的合成仍为振动的合成仍为简谐振动。简谐振动。x20 x0 x10 xP .Aot M2A1AA2A1A6-6 同一直线上同频率简谐运动的合成同一直线上同频率简谐运动的合成结论：结论： 20 10 讨论两个特例讨论两个特例 (1)两个振动同相两个振动同相,k 210

22、20 ,.2, 1, 0 k)cos(AAAAA10202122212 由由212122212AAAAAA )cos(AAAAA10202122212 由由(2)两个振动反相两个振动反相212122212AAAAAA ,)k( 121020 ,.2, 1, ok如果如果21AA 则则 A=0to2TT23T2Tx2x1x合成振动合成振动xto2TT23T2T合成振动合成振动21 或或 221121 AAAA一般情况一般情况为其他任意值，则：为其他任意值，则：)(2121AAAAA 上述结果说明上述结果说明两个振动的相位差两个振动的相位差对合振动起着对合振动起着重要作用。重要作用。合成振动合成振

23、动t2TT23T2Txo)cos(AAAAA10202122212 -仍为仍为简谐振动简谐振动-为为一复杂运动一复杂运动同方向、同频率两个同方向、同频率两个简谐简谐振动的合成振动的合成同方向、不同频率两个同方向、不同频率两个简谐简谐振动的合成振动的合成6-7 6-7 同一直线上不同频率简谐运动的合成同一直线上不同频率简谐运动的合成位移位移x xt to o2TT T23T2 2T T分振动分振动1 1分振动分振动2 2合振动合振动122 tA2cos212 tcos221 21xxx)tcos(Ax 11)tcos(Ax 22设两振动振幅相同，并且它们的初相位相同设两振动振幅相同，并且它们的初

24、相位相同振幅周期性变化振幅周期性变化采用解析法分析采用解析法分析合振动不是谐振动合振动不是谐振动随随t变化较快变化较快随随t变化缓慢变化缓慢toxx1x2&着重研究着重研究21, 相近情况相近情况拍现象：拍现象：合振幅随时合振幅随时间作周期性变化，振动时间作周期性变化，振动时而加强，时而减弱的现象而加强，时而减弱的现象即即 1- 2 很小很小 x tA2cos212 tcos22121xxx 振幅随时间的变化非常缓慢振幅随时间的变化非常缓慢振幅调制因子振幅调制因子合振幅变化的频率即合振幅变化的频率即拍频拍频|12 拍拍一个强弱变化所需的时间一个强弱变化所需的时间手风琴的中音簧：手风琴的

25、中音簧： 的两排中音簧的频的两排中音簧的频率大概相差率大概相差6到到8个赫兹，其作用就是产生个赫兹，其作用就是产生“拍拍”频。而俄罗斯的频。而俄罗斯的“巴扬巴扬”-则是单则是单簧片的，因此没有拍频造成的颤音效果。簧片的，因此没有拍频造成的颤音效果。利用拍频测速利用拍频测速 从运动物体反射回来的波的频率由于多普勒效从运动物体反射回来的波的频率由于多普勒效应要发生微小的变化，通过测量反射波与入射波应要发生微小的变化，通过测量反射波与入射波所形成的拍频，可以算出物体的运动速度。这种所形成的拍频，可以算出物体的运动速度。这种方法广泛应用于对卫星、各种交通工具的雷达测方法广泛应用于对卫星、各种交通工具的

26、雷达测速装置中。速装置中。 &拍现象是一种很重要的物理现象。拍现象是一种很重要的物理现象。)tcos(Ax1011 )tcos(Ay2022 )(sin)cos(AAxyAyAx102021020212222122 消去消去 得到轨道方程得到轨道方程t-（椭圆方程）（椭圆方程）一、两个互相垂直同频率一、两个互相垂直同频率简谐简谐振动的合成振动的合成合运动一般是在合运动一般是在2A1 (x向向 )、2A2 (y向向 ) 范围内的一个椭圆。范围内的一个椭圆。 * *6-8 6-8 相互垂直的简谐运动的合成相互垂直的简谐运动的合成两个互相垂直不两个互相垂直不同振幅同频率同振幅同频率简谐简谐振

27、动的合成振动的合成22301020 12 A22 A2443454749与合成相反：一个圆运动或椭圆运动与合成相反：一个圆运动或椭圆运动可分解为可分解为相互相互垂直的两个简谐振动。垂直的两个简谐振动。)(sin)cos(AAxyAyAx102021020212222122 二、两个互相垂直不同频率二、两个互相垂直不同频率简谐简谐振动的合成振动的合成合运动比较复杂，而且轨迹是不稳定的。下面只讨论合运动比较复杂，而且轨迹是不稳定的。下面只讨论简单的情形。简单的情形。&两振动的频率只有很小的差异两振动的频率只有很小的差异 则可以近似地看做同频率的合成，不过相差在缓慢则可以近似地看做同频率的合

28、成，不过相差在缓慢地变化，因此地变化，因此合成运动轨迹将要不断地按下图的次序，合成运动轨迹将要不断地按下图的次序，在图示的矩形范围内自直线变成椭圆再变成直线等等。在图示的矩形范围内自直线变成椭圆再变成直线等等。04243452347则合成运动具有稳定的封闭的运动轨迹。这种图则合成运动具有稳定的封闭的运动轨迹。这种图称为称为李萨如图李萨如图。&如果两振动的频率相差较大，但有简单的整数比如果两振动的频率相差较大，但有简单的整数比2:1:yxTT3:24:3由李萨如图形，可以从一个已知的振动周期求出由李萨如图形，可以从一个已知的振动周期求出另一个振动的周期另一个振动的周期。为合振幅随时间作缓

29、慢变化的准简谐振动（拍）为合振幅随时间作缓慢变化的准简谐振动（拍）两个同方向频率相近的两个同方向频率相近的简谐简谐振动的合成振动的合成总结：总结：合振幅变化的频率即合振幅变化的频率即拍频拍频|12 拍拍两个同方向频率相同的两个同方向频率相同的简谐简谐振动的合成仍为简谐振动。振动的合成仍为简谐振动。合振幅与两振动的合振幅与两振动的相位差相位差有关，可用旋转矢量图求得。有关，可用旋转矢量图求得。两个振动方向垂直频率相同的两个振动方向垂直频率相同的简谐简谐振动的合成可能仍振动的合成可能仍为直线振动（而且是谐振动）也可能是圆运动，和椭为直线振动（而且是谐振动）也可能是圆运动，和椭圆运动。圆运动。1.简

30、谐运动的特征与规律简谐运动的特征与规律A. 动力学特征：动力学特征：kxF B.运动学特征：运动学特征：)cos( tAxC.规律：规律：)cos( tAx)cos( tAa2)sin( tAv0222 xdtxd 机械振动小结机械振动小结2.描写简谐运动的基本物理量及其关系描写简谐运动的基本物理量及其关系A.振幅：振幅： AB.角频率、频率和周期：角频率、频率和周期：T, 1 T 2 C.初相位：初相位： 由系统决定角频率：由系统决定角频率：mk 由初始条件确定由初始条件确定 A和和 ： 22020 vxA )(00 xvarctg 3、简谐运动的能量、简谐运动的能量A.动能：动能：)(si

31、n tmAmvEk22222121B.势能：势能：)(cos tkAkxEp2222121C.特点：机械能守恒特点：机械能守恒221kAEEEpk 4 4、求解简谐运动的方法、求解简谐运动的方法A、解析法解析法B、振动曲线求法振动曲线求法C、旋转矢量求法旋转矢量求法D、能量求法能量求法5. 简谐振动的合成简谐振动的合成A. 同方向同频率：同方向同频率：)cos(122122212 AAAAA22112211 coscossinsinAAAAtg B.同方向不同频率：拍同方向不同频率：拍拍频为：拍频为：12C.两个相互垂直同频率的振动：两个相互垂直同频率的振动：椭圆椭圆D.两个相互垂直不同频率的

32、振动：两个相互垂直不同频率的振动：李萨如图李萨如图多个：用旋转矢量合成多个：用旋转矢量合成6、阻尼振动，受迫振动，共振。、阻尼振动，受迫振动，共振。取开始振动时为计时零点，写出运动方程；取开始振动时为计时零点，写出运动方程；mxox解：解： 取平衡位置为原点取平衡位置为原点 平衡位置平衡位置: mg=k l k=mg/ l )cos( tAx10kgrad / sml 例题例题如图如图m=210-2kg, 弹簧的静止形变为弹簧的静止形变为 l=9.8cm t=0时时 x0= -9.8cm, v0=0设向下有位移设向下有位移 x, 则合外力则合外力 F=mg-k( l +x)= -kx做简谐振动，设运动方程为做简谐振动，设运动方程为由初条件由初条件x0=Aco