华科大数理方程课件——具有非齐次边界条件的问题(2014)

1、12.5 2.5 具有非齐次边界条件的问题具有非齐次边界条件的问题),(txw),(),(),(txwtxvtxu本节我们讨论带有非齐次边界条件的定解问题本节我们讨论带有非齐次边界条件的定解问题的求解方法。的求解方法。处理这类问题的处理这类问题的基本原则基本原则是：是：无论方程是无论方程是齐次的还是非齐次的齐次的还是非齐次的，选取一个，选取一个辅辅助函数助函数的方法。（也可称为的方法。（也可称为辅助函数法辅助函数法）我们以下面的问题为例，说明选取我们以下面的问题为例，说明选取函数代换函数代换),(txv通过通过函数代换函数代换使得对于新的未知函数使得对于新的未知函数而言，而言，边界条件为边界条

2、件为齐次的。齐次的。2考察定解问题：考察定解问题： ),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt ),(),(),(), 0(21tutlututu ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxut(80)(80)(81)(81)(79)(79),(),(),(txwtxvtxu, 0), 0(tv. 0),(tlv ),(),(),(), 0(21tutlwtutw),(txw),(txv通过作一通过作一函数变换函数变换将将边界条件化为齐次边界条件化为齐次的，的，为此令为此令(82)(82)并选取并选取辅助函数辅助函数使新的未知函数使新的未知函数满足满足齐次边界条件齐次边界条件，即，即(83

3、)(83)由由(80)(82)(80)(82)容易看出，容易看出， 要使要使(83)(83)成立，只要成立，只要(84)(84)3),(txw),(txwx),()(),(tBxtAtxw)(),(tBtA ),()(1)(12tutultA),()(1tutB ),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt ),(),(),(), 0(21tutlututu ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxut(80)(80)(81)(81)(79)(79),(),(),(txwtxvtxu(82)(82) ),(),(),(), 0(21tutlwtutw(84)(84)其实满足其实满足(84)

4、(84)中两个条件的函数中两个条件的函数是很多的，是很多的，为了以后计算方便起见，通常取为了以后计算方便起见，通常取为为的一次的一次式，式， 即设即设由条件由条件(84)(84)确定确定得得4),(txv).()()(),(112tututulxxtw).()()(),(),(112tututulxtxvtxu ),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt ),(),(),(), 0(21tutlututu ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxut(80)(80)(81)(81)(79)(79),(),(),(txwtxvtxu(82)(82)于是可得于是可得因此，令因此，令(85)(

5、85)则问题则问题(79)-(81)(79)-(81)可化成可化成的定解问题的定解问题5 ),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt ),(),(),(), 0(21tutlututu ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxut(80)(80)(81)(81)(79)(79) ),0,0(),(12tlxtxfvavxxtt , 0),(), 0(tlvtv ).()0 ,(),()0 ,(11xxvxxvt(86)(86).()()(),(),(112tututulxtxvtxu(85)(85)将问题将问题(86)(86)的解代入的解代入即得原定解问题问题即得原定解问题问题(79)-

6、(81)(79)-(81)的解。的解。6 ),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt(79)(79); )(),(),(), 0(21tutlututu);(),(),(), 0(21tutlututux );(),(),(), 0(21tutlututux (4)(4)(3)(3)(2)(2)(1)(1) );(),(),(), 0(21tutlututuxx).()(),(12tuxtutxw).()()(),(121tlutuxtutxw.)(2)()(),(1212xtuxltututxw).()()(),(112tututulxxtw若边界条件不全是第一类，也可采用类似方法若边界

7、条件不全是第一类，也可采用类似方法把把非齐次边界条件化成齐次非齐次边界条件化成齐次的。的。我们就下列几种我们就下列几种非齐次边界条件的情况，分别给出相应非齐次边界条件的情况，分别给出相应辅助函数辅助函数),(txw的表达式：的表达式：以上以上4 4种辅助函数的情形对热传导方程同样适用。种辅助函数的情形对热传导方程同样适用。).()(),(12tuxtutxw7求解下列问题：求解下列问题： ),0,0(2tlxuauxxt , 0),(,), 0(tluttu ,.0)0 ,(xu(87)(87)例例1 1.),(txlttxw,),(),(txlttxvtxu -),0,0(12tlxlxva

8、vxxt , 0),(, 0), 0(tlvtv . 0)0 ,(xv(88)(88)解解选取选取辅助函数辅助函数令令则问题则问题(87)(87)化成化成固有函固有函数法数法8,sin)(),(1nnxlntvtxv(89)(89),)()(0)()(2ttlannndeftv -),0,0(12tlxlxvavxxt , 0),(, 0), 0(tlvtv . 0)0 ,(xv(88)(88)应用应用固有函数法固有函数法求问题求问题(88)(88)的解的解。为此，设为此，设利用利用2.4.22.4.2节中推得公式节中推得公式(64)(64)可知可知再利用再利用2.4.22.4.2节中推得公式

9、节中推得公式(62)(62)可知可知dxlxnlxll0sin12.2ndxlxntxfltfln0sin),(2)(9ntfn2)(.sin1)(2),(1)(2322ntlanlxneanltxv,)()(0)()(2ttlannndeftvttlanndentv0)()(22)(,1)(22)(232tlaneanl,sin)(),(1nnxlntvtxv.sin1)(21),(1)(2322ntlanlxneanllxttxu再将再将代入代入(90)(90)即得即得把把(90)(90)代入代入(89)(89)可得可得因此，原问题因此，原问题(87)(87)的解为的解为10f21,uu

10、t),(xw),(),(),(xwtxvtxu特别值得注意的是，对于给定的定解问题，特别值得注意的是，对于给定的定解问题， 例如：例如： ),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt ),(),(),(), 0(21tutlututu ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxut如果方程中的如果方程中的自由项自由项和和边界条件边界条件中的中的都都与自变量与自变量 无关无关，在这种情形下，我们可选取在这种情形下，我们可选取辅助函数辅助函数通过通过函数代换函数代换使使方程与边界条件同时化成齐次方程与边界条件同时化成齐次的。的。11求解下列问题：求解下列问题：例例22),(),(),(xwtxv

11、txu 112, )()(xxxwvvxxt 解解设问题的解为设问题的解为(92)(92)(xw).()(112 xxxw将将(92)(92)代入问题代入问题(91)(91)中的方程，即得中的方程，即得为了将此为了将此方程化成齐次方程化成齐次的，自然选取的，自然选取满足满足 ),0, 10()1(12 txxxuuxxt , 1), 1(, 0), 0( tutux.322sin)0 ,(34xxxxxu (91)(91)12)(xw),(txv 00,)( w.)( 11 w,)(),(000 wtv,)( ),(111 wtvx求解下列问题：求解下列问题： ),0, 10()1(12 tx

12、xxuuxxt , 1), 1(, 0), 0( tutux.322sin)0 ,(34xxxxxu 例例22),(),(),(xwtxvtxu解解(92(92) )再把再把(92)(92)代入问题代入问题(91)(91)中的定解条件，得中的定解条件，得为了将为了将的的边界条件为齐次边界条件为齐次， 则则满足满足(91(91) )13),()(112 xxxw 00,)( w.)( 11 w 0 10 2),( txuavxxt 01 00,),(,),( tvtvx 322034).(sin),(xwxxxxxv (94)(94)(93)(93),(),(),(xwtxvtxu(92)(92

13、)这样由代换这样由代换问题问题(91)(91)化为下面两个问题：化为下面两个问题：和和 ),0, 10()1(12 txxxuuxxt , 1), 1(, 0), 0( tutux.322sin)0 ,(34xxxxxu (91)(91)14)(xw.)(xxxxw3234 问题问题(93)(93)是一个常微分方程的边值问题，其解为是一个常微分方程的边值问题，其解为将求得的将求得的代入问题代入问题(94)(94),()(112 xxxw 00,)( w.)( 11 w(93)(93) 0 10 2),( txuavxxt 01 00,),(,),( tvtvx 322034).(sin),(x

14、wxxxxxv (94)(94)15 0 10 2),( txuavxxt 01 00,),(,),( tvtvx 20.sin),(xxv (94)(94)(xw.)(xxxxw3234 问题问题(93)(93)是一个常微分方程的边值问题，其解为是一个常微分方程的边值问题，其解为将求得的将求得的代入问题代入问题(94)(94),()(112 xxxw 00,)( w.)( 11 w(93)(93) 2121 nt21)(2nnxnatxv2.)(sine),(其级数解形式为其级数解形式为 0 10 2),( txuavxxt 01 00,),(,),( tvtvx 20.sin),(xxv

15、(94)(94)na其中系数其中系数由由初始条件初始条件xxv20sin),( 确定。即确定。即 22121 nnxxna.sin)(sin, 1 n na, 0, 1. 1 n比较上式两边系数可得比较上式两边系数可得17.sine),(xtxvt224 xtxut224sine),( . xxx3234 于是，问题于是，问题(94)(94)的解为的解为因此，原问题因此，原问题(91)(91)的解为的解为 0 10 2),( txuavxxt 01 00,),(,),( tvtvx 20.sin),(xxv (94)(94)18内容小结内容小结1.1.对对一维波动方程一维波动方程和和热传导方程

16、热传导方程的定解问题而言：的定解问题而言：当当方程和边界条件均为齐次方程和边界条件均为齐次时时，不管初值条件不管初值条件如何，可直接应用如何，可直接应用分离变量法分离变量法求解；求解；当当边界条件为齐次边界条件为齐次、方程与初始条件为非齐次方程与初始条件为非齐次时，原定解问题分解成两个，时，原定解问题分解成两个，其一是其一是方程为齐次方程为齐次的并具有的并具有原初始条件原初始条件的定解的定解问题，这个问题应用问题，这个问题应用分离变量法分离变量法求解；求解；其二是其二是方程为非齐次方程为非齐次的并具有的并具有零初始条件零初始条件的的定解问题，该问题应用定解问题，该问题应用固有函数法固有函数法求

17、解；求解；19内容小结内容小结1.1.对对一维波动方程一维波动方程和和热传导方程热传导方程的定解问题而言：的定解问题而言：当当边界条件为非齐次边界条件为非齐次时，时，则必须则必须引进辅助函数引进辅助函数把把边界条件化为齐次边界条件化为齐次的，的， 然后再按照以前的方法然后再按照以前的方法求解。求解。分离变量法、分离变量法、固有函数法、固有函数法、作辅助函数法作辅助函数法方程和边界方程和边界条件齐次条件齐次方程非齐次，方程非齐次，定解条件齐次定解条件齐次边界条件非齐次边界条件非齐次202.2.对于对于二维拉普拉斯方程二维拉普拉斯方程的边值问题而言：的边值问题而言：应根据求解区域的形状应根据求解区

18、域的形状适当的选取坐标系适当的选取坐标系，使得，使得在此坐标系中边界条件的表达式最为简单，便于在此坐标系中边界条件的表达式最为简单，便于求解。求解。内容小结内容小结;0,0byax yax0,0 对对圆域、圆环域、扇形域圆域、圆环域、扇形域等采用等采用极坐标极坐标例如，例如，对于像对于像矩形矩形带形带形一类的区域采用一类的区域采用直角坐标系直角坐标系应当指出，只有当应当指出，只有当求解区域很规则求解区域很规则时，才可以应时，才可以应用分离变量法用分离变量法求解拉普拉斯方程的边值问题。求解拉普拉斯方程的边值问题。213.3.对于对于二维泊松方程二维泊松方程的边值问题而言：的边值问题而言：内容小结内容小结)