[2]第二章解析函数

1、 复变函数复变函数 与积分变换与积分变换 大学数学多媒体课件大学数学多媒体课件2022-6-122 目目 录录3 内容提要：解析函数是复变函数研究的主要对象在理论和实际问题中有着广泛的应用，本章在介绍复变函数的导数概念和求导法则的基础上，着重讲解析函数的概念，判别方法及重要性质 42.1 解析函数的概念2.2 解析函数和调和函数的关系2.3 初等函数本章小结v 思考题5一、复变函数的导数与微分一、复变函数的导数与微分 1导数定义 01.( )wf zz定义 设函数在点 的某邻域内有定义，0zz 是该邻域内任意一点，00()()wf zzf z函数的增量，000()()limzf zzf zz

2、如果极限存在，0( )f zz则称函数在 处可导，0( )f zz此极限值称为在 处的导数。0000000 |limlim()()()limz zzzzzdwwwdzzzf zzf zfzz 求导公式：微分公式：0()wfzz00( )( )f zzf zz称为在 处的微分，在 处可微。0()(|)wfzzoz z 为极小量泰勒展开00()()wf zzf z 0z 线性变化量高阶变化量0 ()dwfz dz6 例12( ).f zz求函数的导数解：22000()( )()limlimlim(2)2zzzf zzf zzzzzzzzz ( )2 .fzz所以 例2( )f zzxiy函数是否可

3、导？()( )f zzf zzzzzzzzzzzz 解：xiyxiy 1zzz（）若沿平行于实轴方向趋向于 ，00yx 即，而，00,0()( )limlim1zxyf zzf zxi yzxi y 则有2zzz（ ）若沿平行于虚轴方向趋向于 ，00 xy 即，而，00,0()( )limlim1zyxf zzf zxi yzxi y 则有( )f zzxiy故不可导.例例3 .Im)(的的可可导导性性讨讨论论zzf zzfzzfzf )()(解解:zzzz Im)Im(zzzz ImImImzz Imyixyix )Im(,yixy ()0,yk xz 沿的方向而使0000limlimlim

4、1=zxxyy k xfyk xkzxi yxik xik ,0极极限限值值不不同同时时当当点点沿沿不不同同的的方方向向使使 z.在在复复平平面面上上处处处处不不可可导导zzfIm)( 故故82可导与连续关系 ( )f zzxiy函数处处连续，但处处不可导，反之可导必连续.从例2从可以看出： 00( ).wf zzz函数在 可导，则在 处必连续，反之不成立结论： 证明：000()()0,0,0()f zzf zzfzz 当时，都有由导数的定义可知 000()()()limzf zzf zfzz 存在000()()()()f zzf zzfzz令0lim()0zz 那么000()()()()f

5、zzf zfzzzz 000lim()()zf zzf z 所以0( ).f zz即函数在点 处连续() zzz是的高阶无穷小量94可微与可导的关系 000()()()(),wf zzf zfzzzz 0( )wf zz设函数在 处可导，则0lim()0zz 其中，() zzz 是的高阶无穷小量00( )( )f zzf zz函数在 处可微在 处可导.000()()(),0wf zzf zfzzozz 证明：0 ()dwfz dz .)(00可可微微是是等等价价的的可可导导与与在在在在函函数数zzzfw 0000()()()= limlimzzwf zzf zfzzz 000()()()()f

6、 zzf zzfzz令104求导法则 (1) ( )0,CC （其中 为常数）1(2) (),nnznzn （其中 为正整数）(3) ( )( )( )( )f zg zfzg z(4) ( )( )( )( )( )( )f zg zfzg zf zg z2( )1(5)( )( )( )( ), ( )0( ) ( )f zfzg zf zg zg zg zg z(6) ( )( )( ),( )f g zfw g z wg z( )1(7)( ),( )0.( )wf zfzfww与 互为反函数且单值函数，结论：由于复变函数中导数的定义与一元实函数中导数在形式上完全相同，而且极限的运算法

7、则也一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中去 11二、解析函数二、解析函数 在复变函数理论中，重要的不是只在个别点处可导的函数，而是在区域D内处处可导的函数，即解析函数 1解析函数的概念 000( );( )ff zzzzz(1)如果函数在 及 的某一邻域在内处处可导，么称处解析那(2)( )( )f zDf zD如果函数在区域 内每一点都解析，那么称在 内解析，( )fDz内的一个解析函或称是(全纯函数数或正则函数).00(3)( )( )f zzzf z若在 处不解析，那么称 为函数的奇点.注意： （1）函数在区域内解析与在区域内处处可导是等价的； （2）函数在一点处解析和可导是两

8、个不等价的概念，即在一 点处可导不一定在该点解析； 00zz反之函数在 点解析，必在 处可导.函数在某点处的性质的条件苛刻程度：解析可导=可微连续12 例322( )( )( ) |.f zzg zxiyh zz研究函数，的解析性解：2( )f zz(1)前面章节中已经讨论过函数在整个复平面上处处可导，所以在整个复平面处处解析( )g zxiy(2)已经讨论过函数在整个复平面上处处不可导，所以在整个复平面处处不解析2(3)( ) |.h zz讨论函数的解析性220000000()()()limlimzzzzzh zzh zh zzz 00000000()()limlimzzzz zzz zzz

9、zzz zzz 000000lim()lim,zzzzzzzzzzz 0z任取 ，由于00(0)0zh当时，；000000()zzzyyk xxz当时，让沿直线趋向于 ，1111yizxi ykixyzxi ykiix k随着 的变化而变化，20( ) |0h zzz故在可导，而其它点却不可导，函数在复平面上处处不解析。 13 例41.wz研究函数的解析性解：2110dwwzzdzz 复平面内除点外处处可导，且，0z 所以在除外的复平面内，函数处处解析，0z 而是它的奇点.定理1：在区域D内解析函数的和、差、积、商（除去分母为0的点）在D内解析定理2：设函数( )hg zzD在 平面上的区域

10、内解析，( )wf hhG在 平面上的区域 内解析,( ),Dzg zG如果对 内的每一个点 ，函数的对应值都属于 ( ).wf g zG那么复合函数在 内解析定理3：任何有理分式函数( )0,0( )P zQ z在分母不为 的点的区域内是解析函数 使分母为 的点是函数奇点.00211z=01( )limlim1()-z0zzzzzzfzzz zz 不存在，142函数解析的充分必要条件 ( )( , )( , )f zu x yiv x yD函数定义在区域 内，则定理1：( )f zDzxiy在 内一点处可导的充分必要条件是：(1) ( , )( , )( , )u x yv x yx y与在

11、点可微；(),.uvuvCRxyyx (2)在该点满足柯西黎曼方程方程 ： 证明： 必要性0()( )( )( )limzf zzf zf zzxiyfzz 在处可导，存在0()( )( )(),lim()0zf zzf zfzzzzz 其中()( )f zzf zui v 设，0zxi y 对充分小的，有12( ),()fzaibziui v 所以12()()()()aibxi yixi y 1221()()a xb yxyi b xa yxy 150lim()0zz 由于，12() zi而，120,00,0lim0,lim0 xyxy 所以2212( ()() )xyoxy 因此，2221

12、( ()() )xyoxy 22( ()() ),ua xb yoxy 22( ()() )vb xa yoxy ( , ), ( , )( , )u x y v x yx y于是在处可微.且沿平行于实轴x方向： 0,0limxyuuaxx 沿平行于虚轴y方向： 0,0limxyvvayy uvxy从而，.uvyx 同理12ua xb yxy 从而，21vb xa yxy 16充分性()( )(,)( , ) (,)( , )f zzf zu xx yyv x yi v xx yyv x y由于ui v ( , ), ( , )( , )u x y v x yx y又因为在点可微，可知34vv

13、vxyxyxy 12uuuxyxyxy 00lim0,kxykN ，其中1234()( )()()()()uvuvf zzf zixiyixiyxxyy 因此2,uvuvvCRixyyxx 根据方程：1324()( )()()()()uvf zzf zixi yixiyxx 所以1324()( )( )()()f zzf zuvxyfziiizxxzz0()( )( )limzf zzf zuvvufziizxxyy 复变函数的导数计算公式17定理2：函数( )( , )( , )f zu x yiv x yD在定义域 内解析的充分必要条件是( , ), ( , ).u x y v x yDC

14、R函数在 内可微分且满足方程判别函数在区域解析的常用方法(1) ( , ), ( , )u x y v x yD在 内偏导数连续；(2),.uvuvCRxyyx 满足方程：( )( , )( , )f zu x yiv x y判断函数在内是否解析，只需判断两点：( )( , )( , )( ).f zu x yiv x yDCRf zD若函数在 内不满足方程，则在 内不解析 例1判定下列函数在何处可导，在何处解析？ (1),wz(2)( )(cossin ),xf xeyiy(3)Re( ).wzz解：(1),wzxiy,ux vy 因为偏导数连续1,0,0,1,uuvvxyxy uvxy可知

15、，,CR即不满足方程wz所以函数在复平面内处处不可导，从而处处不解析.18(2)( )(cossin ),xf xeyiycos ,sinxxuey vey因此偏导数连续，cos ,sin ,sin ,cosxxxxuuvveyeyeyeyxyxy 且，CR以上四个偏导数连续，且满足方程，( )f z所以在复平面内处处可导，( )(cossin )( ).xfzeyiyf z于是处处解析，且这个函数特点：其导数是本身，这个函数就是复变函数中的指数函数 2(3)Re( )(),wzzxiy xxixy2,2 ,0,uuvvux vxyxyxxyxy且，0 xyCR这四个偏导数连续，但只有当时，才

16、满足方程,0z 因此函数仅在处可导，但在复平面内处处不解析.,.uvuvCRxyyx 方程：19 例2( )(), ,f zxayi bxcya b c若函数在复平面上解析，试确定实常数的值.解：,uxay vbxcy1,uuvvabcxyxy且，( )f z因为在复平面上解析，,uvuvCRxyyx 故需满足方程：1,.cba 所以有 例3( )( )f zDf zD如果在区域 内解析，而且满足下列条件之一，则在 内为一常数.(1)( )0,fz2 Re( )f z（ ）为常数，(3)|( )|f z为常数.证明： (1)( )0,uvvufziixxyy0uuvvxyxy，( )0,fz由

17、uv所以 ， 为常数，( ).f zD于是函数在 内为一常数20(2)0uuuxy因为 为常数，故，0vvCRxy由方程可知：，( ).f z所以为常数222(3)|( )|f zuv常数，, x y分别对求偏导数，得：0,0,uvuvuvuvxxyyCR由方程知：0,0,uuuuuvuvxyyx0,0uuuvxyuuuuxyvuxy 解关于的齐次线性方程组：，2200( )0;uvuvf z当，即，显然2200uuuvuxy当时，故常数，( ).vf zD同理，常数，在 内为常数2 Re( )f z（ ）为常数，线性代数知识：齐次方程组的解：行列式等于零，无穷非零解；行列式不等于零，解为零。

18、21 平面静电场中的电位函数、无源无旋的平面流速场中的势函数与流函数都是一种特殊的二元实函数，即所谓的调和函数，它们都与某种解析函数有着密切的关系下面给出调和函数的定义 一、调和函数的概念一、调和函数的概念 定义1： (调和函数)( , )x y如果二元函变函数满足：D(1)在区域 内具有二阶连续偏导数，2222)0Laplacexy(2)满足二维拉普拉斯(方程：( , )x yD则称为区域 内的调和函数.Harmonic function22定理1：设函数 ( )( , )( , )f zu x yv x yD则的实部和虚部都是区域 内的调和函数.( )( , )( , )f zu x yi

19、v x yD在区域 内解析，证明： ( )wf zuivD因为为 内的一个解析函数，,uvuvDCRxyyx 则在区域 内满足方程：222222, uvuvx yxy xyx y 上式分别对求偏导，得： 22vvy xx y 由于2222220uuvvxyy xx y 从而，( , ).u x yD即是区域 内的调和函数22220.vvxy同理可证，,.u v因此二元实变函数都是调和函数23二、共轭调和函数二、共轭调和函数 定义2：(共轭调和函数)( , )( , )x yx yD设函数及均为区域 内的调和函数，,CRxyxy 且满足方程：( , )( , ).x yx y则称是的共轭调和函数

20、定理2：复变函数 ( )( , )( , )f zu x yiv x yD在区域 内解析的充分必要条件是( )( , )( , ).Df zv x yu x y在区域 内，的虚部是实部的共轭调和函数 根据这个定理，可以利用一个调和函数和它的共轭调和函数构造解析函数 三、解析函数与调和函数的关系三、解析函数与调和函数的关系 ( , )u x yCR如果已知一个调和函数，则可利用方程( , )v x y求得它的共轭调和函数，从而构造一个解析函数( )( , )( , ).f zu x yiv x y( , )- ( , )u x yv x y是的共轭调和函数( , )( , )u x yv x y

21、不是的共轭调和函数注意：( )( , )( , )f zv x yiu x y不解析( )- ( , )( , )f zv x yiu x y解析（三种构造方法）（三种构造方法）24 例132( , )3( , )u x yyx yv x y证明为调和函数，并求它的共轭调和函数( ).f zuiv和由它们构成的解析函数解：32( , )3.u x yyx y先证明为调和函数2222226, 6 , 33,6 ,uuuvxyyyxyxxyy 因为22220uvxx均连续，且，32( , )3u x yyx y所以为调和函数.(1)( , ).v x y用求函数偏积分法22633vxyvyuuCx

22、xyyRx 由方程，有， ,得：2( , )63( )v x yxydyxyg x 2223( )33,vyg xyxx 又23( )3g xx dxxC23( , )3.v x yxyxC 因此32323( )3(3)( )().wf zyx yi xxyCwf zi zC从而25(2)CR用求复不定积变数（法函分方程）( )( )f zuivfz解析函数的导数仍为解析函数，( ),uvvufziixxvvuuiyiyyxxy且uuizxy把还原成 的函数：( )( )uufziU zxy凑( )( )vvfziV zyx凑( )( )f zU z dz上式积分得：，( )( ),f zV

23、z dz上式积分得：( , )u x y已知实部，323uyx y上例中，已知，226,33,xyuxy uyx 故22( )6(33)fzxyiyx 22223 (2)3 ()3,i xxyiyi xiyiz231( )3.f ziz dzizC故解析的复变函数是无数阶可导的vvizyx把还原成 的函数：( , )v x y已知虚部，(3)用求函数(二维拉普拉曲线积分法斯方程）( , )( )u x yDf z设函数为区域 内的解析函数的实部，22220uuxy由于它是调和函数，故有：，2222uuyx即：，,uuPQyx 令，vvuudvdxdydxdyxyyx 全微分定义vuvuxyyx

24、 ，, u vCRuiv满足方程，为一解析函数，000000( , )( , )( , )(,)(,)(,)=x yx yx yxyxyxyvvuuvdxdyCPdxQdyCdxdyCxyyx而积分：，00(,).CxyD其中 为常数，为 中的某一点( , )2232(0,0)(33)( 6)3.x yvxydxxy dyCxxyC 上例，以上积分与路径无关，以上积分与路径无关，why？ ，因此可选任意一条简单路径（如折线）计算。，因此可选任意一条简单路径（如折线）计算。PQyx则，2222+=0uuyx由27平面上曲线积分与路径无关的等价条件平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理:,),

25、(),(,yPyxQyxPD为平面单连通区域设:,则下列四个命题等价内连续在DxQ; 0,) 1 (LQdyPdxLD曲线内任意一条分段光滑闭沿LQdyPdxLD积分线内任意一条分段光滑曲对于,)2(;与路径无关使得上定义在存在某一函数,),()3(Dyxuu QdyPdxdu;内恒成立在D.)4(xQyPD内才处处有在28 例2( , )( cossin ),xv x yeyyxyxy已知一调和函数( )(0)0.f zuivf求一解析函数，使解：用不定积分法不定积分法 ( cossin )xveyyxyxy因为，( cossinsin )1, (cossincos )1xxvveyyxyy

26、eyyyxyxy( )uvvvfziixxyx(cossincos ) 1( cossinsin ) 1xxeyyyxyi eyyxyy (cossin )()sin()cos1xxxey iyi x iy eyx iy eyi ()1x iyx iyexiy ei 1zzezei ( )(1)(1)zzzf zezei dzzei zC 积分，得：(0)0,( )(1) .zff zzei z又所以凑x+iy形式29 例322( )( )1.f zuivuxyxyf ii 求解析函数，已知，解：u容易验证函数 是全复平面上的调和函数，CRv利用方程，先求出 的两个偏导数:2,2vuvuyxx

27、yxyyx ( , )(0,0)(2)(2),x yvyx dxxy dyC0( , )0 00)()(2)xx yx dxxy dyC（ ， ）（ ， ）（x,2211222xxyyC 222211( )()(2)22f zxyxyixxyyC221()()2xiyi xiyiC21(1),2i ziC1( )12f iiC 又因为，所以，21( )(1).22if zi z于是与路径无关同学们可以尝试用不定积分法求解。凑x+iy形式曲线积分法( )f zuiv30作业习题二2.1 (1)(2)2.2 (1)(3)2.3 (1)2.4 (1) (2) (1)（2）(3)2.

28、10P51-5231 本节将把实变函数中的一些初等函数推广到复变函数中，研究它们的性质，并讨论它们的解析性 一、指数函数一、指数函数 1.定义：( )f z在复平面内定义一个函数，满足下列三个条件：(1)( )f z 在复平面内处处解析；(2)( )( );fzf z(3)Im( )0( )Re( ).xzf zexz当时，其中z则称它为复变量 的指数函数，exp(cossin ).zx iyxwzeeeyiy记做：exp ,zzeze 代这里 没有幂的定义，只是一种符号.(cossin ).zxeeyiy即：exponential function322性质：(1) exp0,z exp(e

29、xp )2,0, 1, 2,xzeArgzykk 模：0，辐角：1212(2)expexpexp()zzzz加法定理： 22(3)(cos2in)2s2zk izk izzTeeeekkkeii周期性：，即；(4)();zzzeee指数函数 是整个复平面上的解析函数，且(5)zez 复变量指数函数 ，当时没有极限.0limlimzxzxz xzee 当 沿着实轴正向趋向于 时，有，0limlim0zxzxz xzee 当 沿着实轴负向趋向于 时，有，111222,zxiyzxiy设，则12121122expexp(cossin)(cossin)xxzzeyiyeyiy1212121212(co

30、scossinsin)(sincoscossin)xxeyyyyiyyyy12121212(cos()(sin()exp().xxeyyiyyzz(5)(2)证明：33 例134ie 计算的值.解：根据指数的定义，有 334(cossin)44ieei 322(sin).22ei 例2132.12ii 利用复数的指数表示计算11113(arctan )1323(arctanarctan2)2arctan225125iiiieeie 解：因为 1(2)32,0,1,2ikek56623131.2222iiieieiei 于是所求之值有3个：，34二、对数函数二、对数函数 与实变量函数一样，对数函

31、数定义为指数函数的反函数 1.定义：(0)( )Ln .wez zwf zwz称满足方程的函数为对数函数，记做Ln wz现在来认识它：，,iwuivzre令wez代入中，得：u iviere,2uer vk比较得：，lnln2urzvk即：，Ln ln(2)ln0, 1, 2,wzzikziArgzk 因此，(1)2 i它是一多值函数（一对多），每两值相差的整数倍；(2)lnargziz为一个分支解，lnlnargzzizwLnz记： ，称为的主值,ln20, 1, 2,Lnzzk ik 其它各值表示为：，(3)0Ln lnln .zxzzx当时，的主值 即是实数中对数函数性质：性质：Loga

32、rithm，logarithmic function，log function35 例32( 1),( 23 )LnLnLni 求，及其相应的主值.解：2ln20+2ln22,Lniki k（）ln2主值是；( 1)ln1( 1)(2)(21),LniArgikkiln( 1)i主值是；( 23 )ln23( 23 )LniiiArgi 13ln13( arctan(21) ),0, 1, 2,22ikk 13ln( 23 )ln13(arctan).22ii 主值是13ln13(arctan2)22ikLn ln(2)ln0, 1, 2,wzzikziArgzk ，362性质：1121212

33、2(1)Ln ()Ln Ln Ln Ln Ln zzzzzzzz运算性质：，1,nnLnznLnzLn zLnznlnlnarg ,zziz(2)解析性，研究主值：ln z模：除原点外在其它点都连续；argz辐角：在原点与负实轴上不连续.0000ReReReReIm0 0Im0 00limarglimargzzzzzzzxxzz 因为对负实轴上任意一点 = ，则当时，ln.z所以，除原点与负实轴外，在复平面内其它点对数函数处处连续arglnwzezwz综合上述，指数函数在区域内反函数对数函数是单值的，ln111wwdzdedzezdw由反函数求导法则可知： Ln = ln2Ln = ln2nz

34、nzini knz nzini nk比如：广义相等不过：Ln z是多值函数37三乘幂与幂函数三乘幂与幂函数 1.ab乘幂ln0, aabbabe在实数中，若为实数，则乘幂现将其推广到复数中.定义1：ba设 为不等于零的一个复数， 为任一复数，Lnaabbe定义为， Ln .aabbe即：Ln ln(arg2)bbibk由于是多值的，ab因而可能是多值的，有多少值呢？(2)a当 为正整数时，ln(arg2)ab ibkaaLnbbee(lnarg ) 2ln,abibk aiabeeab所以是单值的.复数的乘方复数的乘方(1)a当 为0时，01aaLnbbee单 值 的38ln(arg2)ppp

35、bibkqqqbelncos(arg2)sin(arg2),0,1,2,(1)pbqppebkibkkqqq0,1,2,(1)abqkq具有 个值所以，即当时相应的各值.(3)aab当 是时，具有无无理数或复数穷多个值.ln(arg2)(lnarg )2ab ibkab ibiaaLnbkabeee(3)(0)papqqq当和 为互质的整数，时，1,ann特别地，当为正整数111ln(arg2)e,0,1,2,(1)Lnbbibkannnbeekn复数的开方无数个不重复幅角值0, 1, 2,k (ReIm )ln(arg2)Re lnIm (arg2I)(Im lnRe (arg2)Re ln

36、Im arg(Im lnRe argm 2Re)2 a iab ibkababkiababkaaLnbababika kbabaabeeeee无数个不重复模值无理数复数39 例2211(1)iiii求， 和的值.解：221221cos(22)sin(22),0, 1, 2,Lnk ieekikk (2)(2)22,0, 1, 2,iik ikiiLniieeek (1)ln2(2)1(1)(1)4(1)iikii Lniiee(ln22)(2ln2)44kike242cos(2ln2)sin(2ln2),0, 1, 2,.44kekikk Ln aabbe402幂函数 Ln (0),azaea

37、wzz 函数为复数,.z复变量 的称幂函数为 LnLn .azze由于是多值函数，所以一般情况下是多值函数ln| |(arg2)arg(1)|nnLnznzizkninzanwzeeze当 为正整数 时，1(2)()ann当为正整数 时，1111arg2ln| |(arg2)|,0,1,2,(1)zkLnzzizkinnnnnwzeezekn它的各分支除去原点和负实轴外在复平面上是解析的，1111.nnzzn且其导数为：(3)(0)paapqqq当 为有理数和 为互质的整数时，ln(arg2),0,1,2,(1)pppzizkqqqwzekq是一个多值函数.(4)aawz当 为无理数或复数时，

38、有多穷多值，1().aazaz 各分支除去原点和负实轴外在复平面是解析的，且power function41四、三角函数和双曲函数四、三角函数和双曲函数 1三角函数 trigonometric function cossin ,cossiniyiyeyiyeyiy根据欧拉公式：两式相加与相减，分别得： cos,sin22iyiyiyiyeeeeyyi（1）三角函数定义 2izizeez称为复变量 的余弦函数，2izizeezi称为复变量 的正弦函数，cos ,sinzz分别记做：，即：cos,sin22izizizizeeeezzi/ trnmtri; NAmE -nm-/42（2）性质 (1)cos ,sinzz单值性：均为单值函数；(3)cossinzz奇偶性：为偶函数，奇函数；(4)(cos )sin(sin )cos .zzzz 解析性：在整个复平面内处处解析，且，(cos )2izizeez 证明：sin22izizizizieieeezi （3）三角公式 121212(1) cos()coscossinsin;zzzzzz121221(2)sin()sincossincos;zzzzzz22(3)sincos1zz ；(5), cos2yyyeeziyiy 无界性：取11sin().22yyyyyiyeeeei sinco