信号与系统复习

1、信号与系统1.连续时间信号与连续系统概论 任何信号分析与处理的问题，都可以看成是信号通过系统的问题。 f(t),h(t)已知，求y(t)，是信号处理 f(t),y(t)已知，求h(t)，是系统设计 h(t),y(t)已知，求f(t)，是信号的反演（电子侦察）f(t)y(t)h(t)概论 信号是各种各样的，系统也是形形色色的，无法穷尽 最好的研究方法是将信号分解成某种最简单的单一信号的组合。研究这种单一信号通过系统后得到的响应，然后在系统的输出端将系统对各个单一信号的响应用同样的方式组合起来，就得到希望的响应。 这是研究信号通过系统，或者说信号分析与信号处理的最基本的思路和方法。连续时间信号 任

2、何信号都是一个时间历程，随时间的改变而变化，记为f(t)，是一个时间函数 在现实的物理世界中，任何信号都是有起点的，给出因果信号的定义。最常用的信号 单位阶跃信号u(t) 定义式、图形表示、延时表示 u(t)是最基本的因信号，用它乘以任何非因信号，就将其变为因信号 正弦信号f(t)=Asin(wt+），正弦/余弦信号可以用指数表示，欧拉公式 正弦信号是一种最基本的周期信号，周期信号定义式。无论是从理论还是工程上讲都是很重要的 正弦信号是一种非因果信号最常用的信号 指数信号f(t)=eat a为正数、负数的图形 a为复数时：a=b+jw，当b为不同值时，可得到不同的正弦振荡 门信号定义 门信号可

3、以用u(t)来表示最常用的信号 单位冲击信号 只有在t=0时的值不为0，在其余时间点上都为0 在t=0时的值不是用常数来表示，而是用一个积分来表示，即用一个面积来表示 通常的函数在确定的时刻都有确定的值，因此单位冲击信号成为广义函数1)(0, 0)(dtttt函数的生成 可以由面积为1的门信号进行宽度压缩，幅度增大，面积不变而得到 该函数物理意义存在 如：一个质点，质量一定，体积趋于0，密度趋于无穷大，但密度的积分即质量不变 如：一个压力，接触面积趋于0，压强趋于无穷大，但压强的积分即压力不变 这些问题，其实都是单位冲击函数的问题)(t函数的特性 取样特性(很有用的特性，采样定理时也会用到)

4、移位性 乘以常数：A称为冲击强度，就是所包围的面积，讨论具体的幅度值没意义 其微分也是一个冲击)(t)0(d)()(ftttf)(tA)0( d)()( fttft冲击函数的特性)()(tt)(t 其积分为u(t) 是一个偶函数理解： 可看用是门函数取极限得到，门函数为偶函数理解2：由冲击函数的尺度变换特性可得到信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-111111页页页电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分用冲击函数表示其他信号用冲击函数表示其他信号(1) (1) 预备知识预备知识p(t)1t022(a)f1(t)At022(b)问问 f1(t) = ? p(

5、t)用强度表示出用强度表示出)(A)(1tptf其中， 表示矩形面积，p(t)表示发生的时刻A信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第2-2-2-121212页页页电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分(2) (2) 任意信号分解任意信号分解22f(t)t023-1 0 1 2)(tff(0)(f)( f“0”号脉冲高度号脉冲高度f(0) ,宽度为宽度为，用，用p(t)表示为表示为：f(0) p(t)“1”号脉冲高度号脉冲高度f() ,宽度宽度为，用为，用p(t - - )表示为：表示为： f() p(t - - )“- -1”号脉冲高度号脉冲高度f(- -) 、宽度为，

6、用、宽度为，用p(t + +)表示表示为为： f ( - - ) p(t + + )nntpnftf)()()(d)()()()(lim0tftftf线性时不变系统线性时不变系统讨论线性时不变系统 的目的：信号分析和处理的基本思想只有在这种设想下才能实现系统的单位冲击响应 由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t) h(t)是线性时不变系统特征的重要表征，只要知道了系统对(t)的响应，就可以得到它对任何信号的响应，因为信号都可以表示为(t)的移位加权和。信号与系统信号与系统第第第2-2-2-161616页页页电子教案2.3 2.3

7、 卷积积分卷积积分信号通过线性时不变系统的响应信号通过线性时不变系统的响应LTI系统LTI系统零状态零状态yf(t)f (t)根据根据h(t)的定义：的定义：(t) h(t) 由时不变性：由时不变性：(t - -)h(t - -)f ()(t - -)由齐次性：由齐次性：f () h(t - -)由叠加性：由叠加性：d)()(tfd)()(thff (t)yf(t)d)()()(thftyf卷积积分，要理解卷积积分，要理解连续时间信号与系统的频域分析 时域分析是将信号分解为(t)的移位加权和，只讨论系统对(t)的响应 频域分析是将信号分解为以sinwt为基础的各种谐波分量的和，只讨论系统对si

8、nwt的响应周期函数的傅里叶级数 周期函数可以展开为傅里叶级数110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb周期函数的傅里叶级数 指数形式的傅里叶级数ntjnnFtfe)( n = 0, 1, 2， 22de)(1TTtjnnttfTF周期函数的频谱 周期矩形脉冲f(t)t0T-T122tTttfTFtjnTTtjnnde1de)(1222222sinnnT周期函数的傅里叶级数Fn022441特点特点： (1)周期信号的频谱具有谐波周期信号的频谱具有谐波(离散离散)性。谱线位置性。谱线位置是基频是基

9、频的整数倍；的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。一般具有收敛性。总趋势减小。(a) T一定，一定， 变小，此时变小，此时 （谱线间隔）不变。两零点之（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：间的谱线数目： 1/ =（2 / ）/(2 /T)=T/ 增多。增多。(b) 一定，一定，T增大，间隔增大，间隔 减小，频谱变密。幅度减小。减小，频谱变密。幅度减小。tTttfTFtjnTTtjnnde1de)(1222222sinnnT信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-222222页页页电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换 非周期信号的频谱非周期信号的频

10、谱傅里叶变换傅里叶变换一、傅里叶变换一、傅里叶变换 非周期信号非周期信号f(t)可看成是周期可看成是周期T时的周期信号。时的周期信号。 前已指出当周期前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷大时，谱线间隔 趋趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。间仍有差别。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令概念。令 TFTFjFnTnTlim/1lim)(单位频率上的频谱）单位频

11、率上的频谱） 称称F(j)为频谱密度函数。为频谱密度函数。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-232323页页页电子教案VMV0limTjwFFTFjwFnnT/ )(,/1lim)( 对密度的理解例子 设粉笔的质量为M，均匀地分布在体积V上，将体积V分成许多体积为V的小单元，每个小单元质量为M，当V0时，M0.于是定义密度 零比零型的极限，是一个有限值。 将周期函数的谱线幅度看做是M，谱线的间距比作V，定义谱密度信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-242424页页页电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换22de)(

12、TTtjnnttfTFntjnnTTFtf1e)(考虑到：考虑到：T，无穷小，记为无穷小，记为d； n （由离散量变为连续量），而（由离散量变为连续量），而2d21T同时，同时， 于是，于是，ttfTFjFtjnTde)(lim)(de)(21)(tjjFtf傅里叶变换式傅里叶变换式“- -”傅里叶反变换式傅里叶反变换式周期信号和非周期信号的思想是一样的，都是将复杂周期信号和非周期信号的思想是一样的，都是将复杂信号分解成简单信号的组合形式信号分解成简单信号的组合形式根据傅里叶级数根据傅里叶级数信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-252525页页页电子教案4.

13、4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换1. 单边指数函数单边指数函数f(t) = e t(t)， 0实数实数10tf(t)jjtjFtjtjt1e1dee)(0)(02. 双边指数函数双边指数函数f(t) = et , 0 10tf(t)2200211deedee)(jjttjFtjttjt信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-262626页页页电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换3. 门函数门函数(矩形脉冲矩形脉冲)2, 02, 1)(tttg10tg(t)22jtjFjjtj222/2/eede)()2Sa

14、()2sin(24. 冲激函数冲激函数 (t)、 (t)1de)()(ttttjjttttttjtj0eddde)( )( 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-272727页页页电子教案常用函数的傅里叶变换)(21w 常数1 由对称性即可得到 常数1代表直流信号，其频谱只能在w=0处，体现为(w)常用函数的傅里叶变换 正弦函数与余弦函数常用函数的傅里叶变换周期为周期为T的单位冲激周期函数的单位冲激周期函数 T(t)= mmTt)(TdtetfTFTTtjnn1)(122)()()(2)(tnnTtnnT信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第

15、第第4-4-4-313131页页页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一、线性一、线性(Linear Property)If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)thena f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-323232页页页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质二、时移性质二、时移性质(Timeshifting Property)If f (t) F(j) thenwhere “t0” is real c

16、onstant.信号在时域的时移，对应信号在时域的时移，对应频域中的相移频域中的相移)(e)(00jFttftj信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-333333页页页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质三、频移性质三、频移性质(Frequency Shifting Property)（调制定理）（调制定理）If f (t) F(j) thenwhere “0” is real constant.)(e)(00tfjFtj用低频信号f(t)调制载波信号sinwot(或coswot)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第

17、4-4-4-343434页页页电子教案 幅度调制的例子信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-353535页页页电子教案四四.能量定理（帕斯瓦尔关系）能量定理（帕斯瓦尔关系）(Parsevals Relation for Aperiodic Signals)d)(21d)(22jFttfE4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-363636页页页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质五、卷积性质五、卷积性质(Convolution Property)Convolut

18、ion in time domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j)Convolution in frequency domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j)21信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-373737页页页电子教案0)()()()(00jwtejwFtttfttf)(2)(21)(00wwjwFetftjw前面所有的性质几乎都可以由卷积定理导出：时移特性：频移特性：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第4-4-4-383838页页页电子教案4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析一般信号一般信号f(t)作用于作用于LTI系统的响应系统的响应ej tH(j ) ej t21F(j