刚体的平面运动

1、1l8-1 刚体平面运动的概述与运动分解l8-2 求平面图形内各点速度的基点法l8-3 求平面图形内各点速度的瞬心法l8-4 求平面图形内各点加速度的基点法l8-5 运动学综合应用第第 8 章章 刚体的平面运动刚体的平面运动2l本章作业（Page224）：l85；88；815；l822；828；829；第第 8 章章 刚体的平面运动刚体的平面运动3l8-1 刚体平面运动的概述与运动分解4 刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动。对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动。平面运动的定义平面运动的定义：刚体运

2、动时，其上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变。5刚体平面运动动画一：行星齿轮刚体平面运动动画一：行星齿轮6刚体平面运动动画二：车轮运动情况刚体平面运动动画二：车轮运动情况7 因此，在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度二、刚体的平面运动可以简化为平面图形二、刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的在其自身平面内的运动运动A1A2作平动A点代表A1A2的运动S代表刚体的运动8 三运动方程三运动方程为了确定平面图形的运动，取静系Oxy，在图形上任取一点O（称为基点），并取任一线段OA，只要确定了OA的位置，S的位置也就确定

3、了。)t (f)t (fy)t (fx o o321刚体平面运动方程任意线段OA的位置也就是平面图形S 的位置决定于 三个独立的参变量。当平面图形运动时，它们 是时间t的单值连续函数。所以,y,x o o9故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动，选择以作平动的坐标系Oxy铰接铰接于O点（基点）由上式知：若 为常量，则平面图形作 定轴转动。若 为常量，则平面图形作平动。 o oy,x则：平面图形的运动（绝对运动）=图形随动系（基点O）的平动（牵连运动）+图形相对于动系绕基点的转动（相对运动）10例如车轮的运动例如车轮的运动绝对运动：车轮对于静系的平面运动绝对运动：车轮对于静系的平面运动 牵

4、连运动：车厢（动系牵连运动：车厢（动系O x y ) 相对静系的平动相对静系的平动 相对运动相对运动：车轮相对车厢（动系：车轮相对车厢（动系O x y ）的转动）的转动 O 11车轮的平面运动车轮的平面运动随基点随基点A的平动的平动绕基点绕基点A的转动的转动12再例如再例如: 平面图形在时间内从位置I运动到位置II以A为基点: 随基点A平动到AB后, 绕基点转 角到AB以B为基点: 随基点B平动到AB后, 绕基点转 角到AB图中看出：AB AB AB ，于是有21122121212010, ; , limlimdtddtdtttt13 结论：平面图形伴随基点平动与基点的选择有关，平面图形伴随基

5、点平动与基点的选择有关，而绕基点的转动与基点的选取无关而绕基点的转动与基点的选取无关(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的 ,都是相同的）基点的选取是基点的选取是任意的任意的。(通常选取运动情况已知的点作为基点)148-2 求平面图形内各点速求平面图形内各点速度的基点法度的基点法156-3平面图形内各点的速度平面图形内各点的速度根据速度合成定理,reavvv则点速度为：BAABvvv 一基点法（合成法）一基点法（合成法）已知：图形S内一点A的速度，图形角速度求：AvBv16 ABAABBvv即 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影等平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影等这就是 速

6、度投影定理速度投影定理利用这以定理求平面图形上点的速度的方法称为速度投影法。速度投影定理反映了刚体上任意两点间的距离保持不变的特性。即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和基点转动的速度的矢量和这种求解速度的方法称为基点法基点法，也称为合成法合成法它是求解平面图形内一点速度的基本方法二速度投影法二速度投影法将上式在AB上投影：BAABvvv待求点基点cosvcosvAB或17l8-3 求平面图形内各点速求平面图形内各点速度的瞬心法度的瞬心法18 1. 问题的提出问题的提出 在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如

7、果存在的话，该点如何确定？瞬时速度中心（简称速度瞬心）瞬时速度中心（简称速度瞬心）平面图形S，某瞬时其上一点O速度 , 图形角速度，沿 方向取半直线OL, 然后顺 的转向转90o至OL的位置,在OL上取长度 则：OvOv/vOIOOIOvOIv方位IO，指向与 相反。所以vI=0Ov19 即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心（速度瞬心（I）速度瞬心又称为瞬时转动中心速度瞬心又称为瞬时转动中心 设某瞬时平面图形的角速度为，速度瞬心在I点。以I点为基点，有：AIAIIAvvvvAv即 大小：vA=AI 方向：AI与一致同理：MIMv

8、v204确定速度瞬心位置的方法确定速度瞬心位置的方法注意：速度瞬心的加速度不为于零。速度瞬心的加速度不为于零。平面图形的运动可以看成是绕它的一系列速度瞬心作瞬时转动。已知图形上一点的速度 和图形角速度，则速度瞬心AAvAI,/vAI且I在 顺转向绕A点转90的方向一侧。AvAv已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动（或称纯滚动）, 则图形与固定面的接触点I为速度瞬心。21 已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 的方向，且 过A , B两点分别作速度 的垂线,交点 I即为该瞬间的速度瞬心.BAvv ,BAvv 不平行BAvv ,I 已知某瞬时图形上A ,B两点速度 大小,且BAvv ,ABvABv

9、BA ,(b)(a)IIBIvAIvBA均有：22已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线 垂直 此时, 图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度 =0, 图形上各点速度相等, 这种情况称为瞬时平动瞬时平动. (此时各点的加速度不相等)对(a)的情况，若vAvB， 也是瞬时平动23 例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动此时连杆BC的图形角速度 ，BC杆上各点的速度都相等. 但各点的加速度并不相等设匀，则)(2ABaanBB而的方向沿AC的，瞬时平动瞬时平动平动不同平动不同cacBaa CBBCvv , 024例例1椭圆规尺的椭圆规尺的A端以速度端以速度vA沿沿x 轴的

10、负向运动，如图所示，轴的负向运动，如图所示，AB=l。求：求：B端的速度以及尺端的速度以及尺AB的角速度。的角速度。25sinABAvv sinlvlvABAAB解：解：1 AB作平面运动作平面运动,基点基点: A。，求求：，已已知知：ABBAvlABv方向？大小?2ABAABvvvvcotABvv 26例例2图所示平面机构中，图所示平面机构中，AB=BD=l=300mm。在图示位置时，在图示位置时，BDAE，杆，杆AB的角速度为的角速度为=5rad/s。求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。27lvvvBDBDsradlvDEvBDDE5sradlvBDvBDBBD5解：解：1 BD

11、作平面运动，基点：作平面运动，基点：BCDEABvs5radAEBDmmlDEBDAB，求：。已知：,/,300方向？大小?2lvvvDBBD28例例3曲柄连杆机构如图所示，曲柄连杆机构如图所示，OA =r, AB= 。如曲柄。如曲柄OA以以 匀角速度匀角速度转动。转动。r3的速度。时点，求：当B9006029解：解：1 AB作平面运动作平面运动,基点：基点：A6033230cosrvvAB900,BAABvrvv00Bv。求求：已已知知：BOAvrrABOA,3方向方向？大小大小?2rvvvBAAB30例例4图所示的平面机构中，曲柄图所示的平面机构中，曲柄OA长长100mm，以角速度，以角速

12、度=2rad/s转动。连杆转动。连杆AB带动摇杆带动摇杆CD，并拖动轮，并拖动轮E沿水平面纯沿水平面纯滚动。滚动。求：此瞬时点求：此瞬时点E的速度。的速度。已知：已知：CD=3CB，图示位置时，图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，三点恰在一水平线上，且且CDED。31解：解： 1 AB作平面运动，基点：作平面运动，基点：AAABBvvOAvB30cossm2309. 030cosOAvBEOAvEDCDOA。求：。求：已知：已知：, s2rad,mm10032解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运 动,滑块B作平动。 基点法（合成法） 研究 AB，以 A为基点，且方向如图示。, lvAl

13、lABvllvvllvvBAABABAAB/45tgtg)(245cos/ cos/（）例例5 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄OA以匀 转动。 求：当 =45时, 滑块B的速度及AB杆的角速度根据,BAABvvv在点作 速度平行四边形，如图示。33)(2/,lBIvllAIvlAIlvABBAABA（）试比较上述三种方法的特点。 ABAABBvv根据速度投影定理ABvv)90cos(0)(245sin/sin/llvvAB不能求出AB 速度投影法 研究AB, ,方向OA, 方向沿BO直线lvABv 速度瞬心法研究AB，已知的方向，因此可确定出I点为速度瞬心BAvv ,I34例例6绕线轮

14、作纯滚动，其上圆柱部分的绕线以u水平向右运动，求O、A、C、D点的速度。解：rRu（ ）vO=R=vA=2R=vC=IC=vD= ID=35例例7图示机构，曲柄OA以0转动。设OA=AB=r，图示瞬时O、B、C在同一铅直线上，求此瞬时点B和C的速度。解：（1）以OA为研究对象： vA=r0，方向OABv（2）以AB为研究对象：IAB0022/rrAIvABAAB03rBIvABABB（3）以BC为研究对象：AvCvIBC)(2360sin00rvCIBIvCIvBBCBCBBCBCCABBC36l8-4 求加速度的基点法求加速度的基点法37基点法基点法 (合成法合成法) nBABAABaaaa

15、 BAABVVV38nBABAaa ,二加速度瞬心由于 的大小和方向随B点的不同而不同,所以总可以在图形内找到一点Q，在此瞬时，相对加速度 大小恰与基点A的加速度等值反向，其绝对加速度Q点就称为图形在该瞬时的加速度瞬心加速度瞬心QAaAa0Qa39RvO/ （）解：轮O作平面运动，I为速度瞬心，由于此式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而RadtdvRdtdOO1（） 例例8 半径为R的车轮沿直线作纯滚动, 已知轮心O点的速度及加速度 ,求车轮与轨道接触点I的加速度OvOaInBABAABaaaa40 由此看出，速度瞬心I 的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心当车轮沿固定的直线轨道作纯滚

16、动时，其速度瞬心I的加速度指向轮心以O点为基点，则nIOIOoIaaaa方向？?a:aII:aO指向假设方位IO,aRa:aOIOIOOI,R/vRa:aOnIOnIO方向：22（*）OaIOanIOa将(*)式分别向、轴投影：0IOOIaaaRvaaOnIOI/2OI,R/vaOI方向：241例例9如图所示，在椭圆规机构中，曲柄如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以匀角速度以匀角速度绕绕O 轴轴转动。转动。ODADBDl。求：当时，尺求：当时，尺AB的角加速度和点的角加速度和点A的加速度。的加速度。 6042解解: 1 AB作平面运动作平面运动,瞬心为瞬心为 C。求：求：已知：已知：AABOD

17、alBDADODC,60,0llCDvDAB43l8-5 运动学综合应用44求：该瞬时杆求：该瞬时杆OA的角速度与角加速度。的角速度与角加速度。例例10图示平面机构，滑块图示平面机构，滑块B可沿杆可沿杆OA滑动。滑动。杆杆BE与与BD分别与滑块分别与滑块B铰接，铰接，BD杆可沿水平轨道运动。滑杆可沿水平轨道运动。滑块块E以匀速以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆沿铅直导轨向上运动，杆BE长为。图示瞬长为。图示瞬时杆时杆OA铅直，且与杆铅直，且与杆BE夹角为夹角为 。l 24545解解: 1 杆杆BE作平面运动作平面运动,瞬心在瞬心在O点点lvOEvBEvOBvBEB。，求求：。已已知知：OAOAEO

18、EOAOBElBECvv,45,2,取取E为基点为基点方向方向大小大小BEaaaaEnBEtBEEB2?0?46沿沿BE方向投影方向投影lvaalvaanBEBnBEB22245cos245cos47绝对运动绝对运动 ： 直线运动直线运动(BD)相对运动相对运动 ：直线运动：直线运动(OA)牵连运动牵连运动 ： 定轴转动定轴转动(轴轴O)2动点动点 ：滑块：滑块B 动系动系 ： OA杆杆方向方向大小大小?vvvvrea 沿沿BD方向投影方向投影lvOBvvvvveOArae048方向方向大小大小?222llvaaaaOArneea沿沿BD方向投影方向投影22222lvOBalvaateOAat

19、e49求：此瞬时杆求：此瞬时杆AB的角速度及角加速度。的角速度及角加速度。例例11在图所示平面机构中，杆在图所示平面机构中，杆AC在导轨中以匀速在导轨中以匀速v平移，平移，通过铰链通过铰链A带动杆带动杆AB沿导套沿导套O运动，导套运动，导套O与杆与杆AC距离为距离为l。图示瞬时杆图示瞬时杆AB与杆与杆AC夹角为夹角为 。6050解解: 1 动点动点 ： 铰链铰链A 动系动系 ： 套筒套筒O绝对运动绝对运动 ： 直线运动直线运动(AC )相对运动相对运动 ： 直线运动直线运动(AB )牵连运动牵连运动 ： 定轴转动定轴转动(轴轴O )ABABAClCvv,60,求：求：已知：已知：方向方向大小大

20、小?2vvvvrea51260cos2360sinvvvvvvaraelvAOveAB4352方向方向大小大小reoCrnetevAOaaaaaa2?02方向投影沿tealvaaaacteCte430222833lvAOateAB53另解另解: 1 取坐标系取坐标系xoy2 A点的运动方程点的运动方程cotlxA3 速度、加速度速度、加速度vlxA2sin2sinlv2sinsin2sin222lvlv 2sinlvAB 从而从而22833lvAB 54求：此瞬时求：此瞬时AB杆的角速度及角加速度。杆的角速度及角加速度。例例12图所示平面机构，图所示平面机构，AB长为长为l，滑块，滑块A可沿可

21、沿摇杆摇杆OC的长槽滑动。摇杆的长槽滑动。摇杆OC以匀角速度以匀角速度绕轴绕轴O转动，滑块转动，滑块B以以匀速沿水平导轨滑动。图示瞬时匀速沿水平导轨滑动。图示瞬时OC铅直，铅直，AB与水平线与水平线OB夹角为。夹角为。lv 3055解: 1 杆AB作平面运动，基点 为BABBAvvvnABtABBAaaaaABABBOCOBOClvClAB，。求求：已已知知：,2动点 ： 滑块A 动系 ： OC杆绝对运动 ：未知相对运动 ：直线运动（OC）牵连运动 ：定轴转动（轴O）56方方向向大大小小?lOAvvvvvABBreA方向投影方向投影沿沿Bv230sin0lvvveABBlvvveBAB 2lv

22、ABAB方向投影方向投影沿沿rvlvvABr2330cos057方向大小lvlaaaaaaaaABrABnABtABBCrneteA22?02?20方向投影方向投影沿沿Ca0030cos30sinnABtABCaaa233latAB从而从而233ABatABAB58解：(a) AB作平动，) , ( , nBnABABABAaaaaaavvlBOAO;BO/a,AO/a;BO/v,AO/vBABA2122112211 而又.;2121例例13 已知O1A=O2B=l, 图示瞬时 O1A/O2B 试问(a),(b)两种情况下1和 2，1和2是否相等？(a)(b)59(b) AB作平面运动, 图示

23、瞬时作瞬时平动, 此时BAABvv , 021221121 ,BO/v,AO/v, lBOAOBA下面求加速度：以A点为基点，则nBABAnAAnBBaaaaaa（*）指向假设方位：BO?,lBOaaBB2222221222OB:, lBOaanBnB方向：60BAaaAB作瞬时平动时并由此看出即, ctg2212112:, laaAA方向：1121OA:, laanAnA方向：指向假设方位：BA?,ABaaABBABA02ABaaABnBAnBA：将（*）式向x轴投影：xcosa)cos(acosa)cos(anAAnBB009090将各量代入，得：61例例14 曲柄滚轮机构：滚子半径R=1

24、5cm, 曲柄OA转速n=60 rpm。求：当 =60时 (OAAB),滚轮的B，B。62解解：OA定轴转动,AB杆和轮B作平面运动（1）求cm/s 30215rad/s 230/6030/OAvnA)(BIvABABBcm/s 320321532IBIABvBs/radAI/vABAAB3215330（顺时针）s/rad./BI/vBBB25715320A（逆时针）以AB为研究对象以轮为研究对象63以AB为对象，以A为基点：22cm/s60AanBABAABaaaa将（*）式向轴投影：nBABaa0030cos)(cm/s5 .1312Ba（2）求（*）以轮为研究对象：B=aB/BIB=13

25、1.5/15=8.77rad/s(逆时针)22cm/s3320nBAa64例例15图示机构，已知OA=20cm，BO1=100cm，AB=120cm；OA以0=5rad/s2转动，图示瞬时OA的0=10rad/s，求此时B点的加速度。解：以AB杆为研究对象（1）求O1B杆的1ABvv AB作瞬时平动0,/200,ABABABscmvvvvscmOAvA/20010200sradBOvB/210020011（ ）1AvBv65（2）求aB1AvBv以A点为基点，则B点加速度：nBABAnAAnBBaaaaaa其中：2/100scmaA2/2000scmanA2/400scmanB0nBAaAan

26、AanBaBaBAanBAa661AvBv将矢量方程（1）式向AB投影：AanAanAanBaAaBaBAanBAasincossincosnAAnBBaaaa2/5 .370scmaB222/2 .545)()(scmaaaanBBBB的大小：Ba67刚体平面运动习题课刚体平面运动习题课一概念与内容一概念与内容1. 刚体平面运动的定义刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变2. 刚体平面运动的简化可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平 面内的运动代替刚体的整体运动 3. 刚体平面运动的分解 分解为 4. 基点可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点 随基点的平动

27、（平动规律与基点的选择有关）绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）685. 瞬心（速度瞬心） 任一瞬时,平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的点 瞬心位置随时间改变 每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动这 种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同 =0, 瞬心位于无穷远处, 各点速度相同, 刚体作瞬时平动, 瞬时平动与平动不同6. 刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例7. 求平面图形上任一点速度的方法 （1）基点法： （2） 速度投影法： （3） 速度瞬心法：其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例为基点AvvvBAAB , ABAABBvv为瞬心一致与IBIvBIvBB

28、 . , , 69 8. 求平面图形上一点加速度的方法基点法： ，A为基点, 是最常用的方法此外，当 =0,瞬时平动时也可采用方法它是基点法在 =0时的特例。nBABAABaaaaABAABBaa9. 平面运动方法与合成运动方法的应用条件 平面运动方法用于研究一个平面运动刚体上任意两点的速 度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形 角速度、角加速度之间的关系 合成运动方法常用来确定两个相接触的物体在接触点处有 相对滑动时的运动关系的传递70二解题步骤和要点二解题步骤和要点 1. 根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动 形式注意每一次的研究对象只是一个刚体 2. 对作平面

29、运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速 度(图形角速度)问题的方法, 用基点法求加速度(图形角加速 度) 3. 作速度分析和加速度分析，求出待求量 (基点法: 恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图； 速度投影法: 不能求出图形 ; 速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键）71习题习题1 曲柄肘杆压床机构已知：OA=0.15m , n=300 rpm ,AB=0.76m, BC=BD=0.53m. 图示位置时, AB水平求该位置时的、 及ABBD Dv72习题习题2 曲柄肘杆压床机构已知:OA=0.15m,n=300 rpm,AB=0.76m, BC=BD=0.53m. 图示位置时, A

30、B水平.求该位置时的， 及ABBD Dv解：OA,BC作定轴转动, AB,BD均作平面运动 根据题意： (1)研究AB：rad/s103030030nm/s 5 . 11015. 0OAvA（ ）rad/s 16737602516051.sinAB.AIvABAABm/s 7221675076016760.cosABBIvABABBrad/s 135530732.BIvBDBBD)(.DIvBDBDDm/s 722135530（）(2)研究BD：BDIBD为等边三角形73解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心I点,)rR(rrRrIMvooM2211ooArrRrrRv )(）(方向均如图

31、示,)rR(rrRrIMvooM2222习题习题3 行星齿轮机构已知: R, r , o 轮A作纯滚动，求21,MMvv74解解：杆OC, 楔块M均作平动, 圆盘作平面运动，I为速度瞬心, cm/s 12vvA)(sinsinrIOvom/s 3432304m72214224212022222cosOBPOOBPOIB)IB.IBvB ( m/s 3182143272rad/s 323041212cos/cosr/IA/vA）(习题习题4 平面机构中, 楔块M: =30, v=12cm/s ; 盘: r = 4cm , 与 楔块间无滑动求圆盘的及轴O的速度和B点速度75 比较比较习题习题3和和

32、习题习题4可以看出可以看出, 不能认为圆轮只滚不滑时不能认为圆轮只滚不滑时,接触点就是瞬心接触点就是瞬心, 只有在接触面是固定面时只有在接触面是固定面时, 圆轮上接触点才是圆轮上接触点才是速度瞬心速度瞬心 每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和角速度和角速度, 并且瞬心在刚体或其扩大部分上并且瞬心在刚体或其扩大部分上, 不能认为瞬心不能认为瞬心在其他刚体上在其他刚体上. 例如例如, 习题习题2 中中AB的瞬心在的瞬心在IAB点点,BD的的瞬心在瞬心在IBD点点, 而且而且IAB也不是也不是CB杆上的点杆上的点76习题习题5 导槽滑块机

33、构已知已知： 曲柄OA= r , 匀角速度 转动, 连杆AB的中点C处连接一 滑块C可沿导槽O1D滑动, AB=l,图示瞬时O,A,O1三点 在同一水平线上, OAAB, AO1C= =30。 求求：该瞬时O1D的角速度解解：OA, O1D均作定轴转动, AB作平面运动 研究研究AB: , 图示位置, 作瞬时平动瞬时平动, 所以rvvrvAcB;rvA研究研究AB、O1D（复合运动） 动点动点: AB杆上C (或滑块C ), 动系动系: O1D杆77根据，作速度平行四边形作速度平行四边形reavvvrrvvCe2330coscoslrlrCOvCOveDODOe23sin/223 1111即： ）( 这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题求解的综合性问题注意这类题的解法，再看下例ve即O1D杆上与滑块C 接触的点的速度78习题习题6 平面机构图示瞬时, O点在AB中点, =60,BCAB, 已知O,C在同一水平