定积分的定义与性质-李飞.

1、5.1 定积分的概念与性质5.2 定积分的积分方法5.4 复习题5.3 定积分的应用 规则图形规则图形 的面积的面积 矩形的面积矩形的面积=长长 宽宽. 长长宽宽高高h上上底底a直角梯形的面积直角梯形的面积=.2hba 中位线中位线,长为长为 2ba 直角梯形的面积可用矩形面积计算直角梯形的面积可用矩形面积计算. 下下底底b那么,不规则图形的面积如何求呢?用若干条平行于用若干条平行于 轴及轴及 轴的直线轴的直线 将图形分割将图形分割,所求面积应为被分割的所求面积应为被分割的 所有小面积之和所有小面积之和. yx 如左图如左图,将其放入平面直角坐标系中将其放入平面直角坐标系中. yoxA 我们分

2、析我们分析 : 由三条直线和一条曲由三条直线和一条曲 线围成线围成,其中两条直线互相平行其中两条直线互相平行,第三条第三条 直线与这两条直线垂直直线与这两条直线垂直,另一边为曲线另一边为曲线,称这样的图形为曲边梯形称这样的图形为曲边梯形. AA 对四周的不对四周的不规则图形规则图形,面积怎么求面积怎么求? 只要将其求出只要将其求出,则则大的不规则图形面大的不规则图形面 积也即求出积也即求出.? 求不规则图形求不规则图形 的面积问题的面积问题 其中其中,中间部分为矩形中间部分为矩形,易求面积易求面积. 转化为转化为 求曲边梯形求曲边梯形 的面积问题的面积问题如何求曲边梯形的面积如何求曲边梯形的面

3、积? 将曲边梯形放在平面直角坐标系中将曲边梯形放在平面直角坐标系中,则由连续曲线则由连续曲线)(xfy),0)(xfbx)(ba直线直线, ax0y和和(即即 轴轴)所围成的平面图形所围成的平面图形xbBAayxoax=bx0y)(xfy ABab?A面积面积 : 求曲线求曲线 y x2、直线、直线 x 1和和 x轴轴所围成的曲边三角形的面积所围成的曲边三角形的面积x yOy x21SSx yOy x212n1n1nn.1inin21()in(4)(4)取极限取极限 取取Sn的极限，得曲边三角形面积：的极限，得曲边三角形面积： SnlimS nS n)211)(11 (31limnnn13(1

4、)(1)分割分割(1,2,.,1)ixinnn直线把曲边三角形分成 个小曲边梯形。0,1n将区间分成 个相等的小区间。121.innSsssss (2)(2)近似近似i第 个小曲边梯形面积:211s()(1,2,., )iiinnn22211112110( )( ).()nnSnnnnnnn6) 12() 1(13nnnn)211)(11 (31nn。 小矩形面积的总和：(3)(3)求和求和nSS分分 割割求求 和和近近 似似取极限取极限把整体的问题分成局部的问题把整体的问题分成局部的问题在局部上在局部上“以直代曲以直代曲”, 求出求出局部的近似值；局部的近似值；得到整体的一个近似值；得到整体

5、的一个近似值；得到整体量的精确值；得到整体量的精确值；yxo直直 曲曲 对立对立统一统一)(xfy ABab在区间在区间 上任意选取分点上任意选取分点 ,ba,1210bxxxxxann 1x2x3xix1ix1nx,10 xx,21xx ,.,1nnxx 每个小区间的长度为每个小区间的长度为,1iiixxx., 2, 1ni.max1inixx其中最长的记作其中最长的记作 x0 x=nx=分成分成 个个小区间小区间n (1)分割分割分曲边梯形为分曲边梯形为 个小曲边梯形个小曲边梯形 n以直代曲1.求曲边梯形的面积 yxo)(xfy ABab1x2x3xix1ix1nx0 x=nx= 过每个分

6、点过每个分点 ( ) 作作 轴的垂线轴的垂线,把曲边梯形把曲边梯形分成分成 个窄曲边梯形个窄曲边梯形.ixni, 2, 1xn 用用 表示所求表示所求曲边梯形的面积曲边梯形的面积.A 表示第表示第 个小个小曲边梯形面积曲边梯形面积, 则有则有: iAi.121niinAAAAA1A2A3AiAnAyxo)(xfy ABab1x2x3xix1ix1nx0 x=nx= (2)近似代替近似代替用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积 ), 2 , 1(ni，iA)(ifix在每一个小区间在每一个小区间 上任选一点上任选一点 ( ),用与用与小曲边梯形同底小曲边梯形同底,以

7、以 为高的小矩形的面积为高的小矩形的面积 近似代近似代替小曲边梯形的面积替小曲边梯形的面积,即即 ,1iixxni，, 2 , 1i)(if)(ifix11A11)(xf2i2A22)(xfiAiixf)(nnAnnxf)(yxo)(xfy ABab1x2x3xix1ix1nx0 x=nx=11A11)(xf2i2A22)(xfiAiixf)(nnAnnxf)( (3)求和求和求求 个小矩形面积之和个小矩形面积之和 n 个小矩形构成的阶梯形的面积是个小矩形构成的阶梯形的面积是 ,这是原曲边这是原曲边梯形面积的一个近似值梯形面积的一个近似值.即即nniiixf1)(niiAA1.)(1niiix

8、f (4)取极限取极限由近似值过渡到精确值由近似值过渡到精确值 分割区间分割区间 的点数越多的点数越多,即即 越大越大,且每个小区间的长度且每个小区间的长度越短越短,即分割越细即分割越细,阶梯形的面积阶梯形的面积,即和数即和数 与曲边梯与曲边梯形面积形面积 的误差越小的误差越小. nniiixf1)(A,baix 现将区间现将区间 无限地细无限地细分下去分下去,并使每个小区间的并使每个小区间的长度长度 都趋于零都趋于零,这时这时,和和数的极限就是原曲边梯形数的极限就是原曲边梯形面积的精确值面积的精确值.,baix 01lim( ).niiiAfx其中 12=max,nxxx求得曲边梯形的面积求

9、得曲边梯形的面积:yxoab经经(1)分割分割; (2)近似代替近似代替; (3)求和求和; (4)取极限取极限.A)(xfy.)(lim10niiixxfA2.变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)0, 计算物体在时间段T1, T2内所经过的路程S.(1)分割: T1t0t1t2 tn1tnT2, tititi1; (2)近似代替: 物体在时间段ti1, ti内所经过的路程近似为 Siv(i)ti ( ti1 iti ); 物体在时间段T1, T2内所经过的路程近似为 (3)求和: (4)取极限: 记maxt1, t2, tn, 物体所经过的

10、路程为 niiitvS1)(; niiitvS10)(lim. 以不变代变定义定义5.1 .)(lim10niiixxf用分点用分点 ,1210bxxxxxann 设函数设函数 在闭区间在闭区间 上有定义上有定义,)(xf,ba把区间把区间 分成分成 个小区间个小区间 ,ban其长度其长度 ,1iiixxx., 2, 1ni并记并记 .max1inixx,1iixx., 2, 1ni在每一个小区间在每一个小区间 ( )上任选一点上任选一点 ,作乘作乘积的和式积的和式 ,1iixxni, 2, 1 i.)(1niiixf 当当 时时,若上述和式的极限存在若上述和式的极限存在,且这极限与区间且这极

11、限与区间 的分法无关的分法无关,与点与点 的取法无关的取法无关,则称函数则称函数 在在 上是可上是可积的积的,并称此极限值为函数并称此极限值为函数 在在 上的定积分上的定积分,记作记作 0 xi,ba)(xf,ba)(xf,ba,d)(baxxf即即 baxxfd)(xxfbad)( 积分上限积分上限 积分下限积分下限 被积表达式被积表达式 被积函数被积函数 积分变量积分变量 .)(lim10niiixxf 积分号积分号 ,ba称为积分区间称为积分区间. 定积分各部分的名称 积分符号, f(x) 被积函数, f(x)dx 被积表达式, x 积分变量, a 积分下限, b 积分上限, a, b积

12、分区间， niiibaxfdxxf10)(lim)(. niiixf1)(积分和. 根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为badxxfA)(. 变速直线运动的路程为dttvSTT)(21. bababaduufdttfdxxf)()()(. 说明： 定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即注意注意: : 定积分与不定积分的区别定积分与不定积分的区别定积分和不定积分是两个完全不同的概念.不定积分是微分的逆运算而定积分是一种特殊的和的极限函数f(x)的不定积分是(无穷多个)函数,而f(x)在a, b上的定积分是一个完全由被积函数f(x)的形式和积分区间a, b所确定的值.

13、v函数的可积性 如果函数f(x)在区间a, b上的定积分存在, 则称f(x)在区间a, b上可积. 定理1 如果函数f(x)在区间a, b上连续, 则函数f(x)在区间a, b上可积. 定理2 如果函数f(x)在区间a, b上有界, 且只有有限个间断点, 则函数f(x)在区间a, b上可积. niiibaxfdxxf10)(lim)(. 积分上限积分上限 1. 定积分定积分 是一个数值是一个数值,该数值取决于被积函数该数值取决于被积函数 和积分区间和积分区间 ,与积分变量无关与积分变量无关,即即xxfbad)()(xf,ba.d)(d)(ttfxxfbaba 积分下限积分下限 2. 交换定积分

14、的上下限交换定积分的上下限,定积分变号定积分变号,即即.d )(d )(xxfxxfabba特别地特别地, 有有. 0d)(aaxxf3. 3. 可以证明：如果在区间上可可以证明：如果在区间上可积，则在区间上有界，即函数积，则在区间上有界，即函数有界是其可积的必要条件有界是其可积的必要条件)(xfba,ba,)(xf)(xf这一结论也可以叙述为：如果函数这一结论也可以叙述为：如果函数在区间上无界，则在上不可在区间上无界，则在上不可积积)(xf)(xfba,ba,4 4.可积的充分条件可积的充分条件: :，且只有有限个第一类，且只有有限个第一类函数函数 在在 上连续上连续( )f x , a b

15、( )f x在在 上可积。上可积。 , a b函数函数 在在 上有界上有界( )f x , a b在在 上可积。上可积。( )f x , a b间断点间断点 (1)当 ab 时, 0)(badxxf; v两点规定 (2)当 ab 时, abbadxxfdxxf)()(. 例1 用定积分表示极限.11lim1ninnin解ninnin111limnninin11lim1iixxxd110 x01ni 1ni注: 设f (x)在0, 1上连续, 则有101)()(1limdxxfnifnninixi?Axoy1y1.dd)(abxxxfAbaba, 1)(xf特别地特别地,在区间在区间 上上,若若

16、,ba则则由定积分的定义知由定积分的定义知yxo?A面积面积A.d)(xxfba)., 0)(baxfb)(xfy ABaab.d)(baxxfA?Axoy)(xfy ab, 0)(xf在区间在区间 上上,若若,babaxxfAd)( 则图中阴影部则图中阴影部分的面积为分的面积为caxxfd)(abox)(xfy ycd若若)(xf有正有负有正有负,在区间在区间 上上,badcxxfd)(.d)(bdxxf 这是因为baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010baniii

17、niiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010. Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值Aabyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和例例2 2用几何图形说明下列等式成立用几何图形说明下列等式成立: (1);2d1112xx (1)由定积分的几何意义由定积分的几何意义,该面该面积就是作为曲边的函数积就是作为曲边的函数 在区间在区间 上的定积分上的定积分,即即21 xy 1, 1xx d1112上半单

18、位圆的面积为上半单位圆的面积为2.2解解 (2).21d10 xx解解 (2)由定积分的几何意义由定积分的几何意义,该面积该面积就是作为直线的函数就是作为直线的函数 在区在区间间 上的定积分上的定积分,即即xy1,0 xx d10.21xy yBxo1A该三角形的面积为该三角形的面积为211 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(. 性质1 性质2 2 babadxxfkdxxkf)()(. 性质3 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(. 注：值得注意的是不论a, b, c的相对位置如何上式总成立，这条性质也称为积分区间的可加性。例例4 4用几何图形说明下列等

19、式成立用几何图形说明下列等式成立: 解解 (1); 0dsin22xx(1)由定积分对区间的可加性知由定积分对区间的可加性知 ,dsindsindsin200222xxxxxxxoy1122CxysinDAB1A2A面积面积 21AA 由定积分的由定积分的几何意义几何意义 =1A=2A故故 .0dsin2122AAxx 奇函数奇函数 解解 (2)由定积分对区间的可加性知由定积分对区间的可加性知 ,dcosdcosdcos200222xxxxxxxo2面积面积 21AA 由定积分的由定积分的几何意义几何意义 =1A=2A故故 .dcos22dcos2022122xxAAAxx(2).dcos2d

20、cos2022xxxxxycosCAB1A22A1y 偶函数偶函数 ),()(xfxf则则. 0d )(xxfaa结论结论则则.d )(2d )(0 xxfxxfaaa(1) 若若 是奇函数是奇函数,即即)(xf设函数设函数 在对称区间在对称区间 上连续上连续, )(xf,aa),()(xfxf(2) 若若 是偶函数是偶函数,即即)(xf性质1 性质2 性质3 性质4 4 abdxdxbaba1. 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(. 1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(. 2 babadxxfkdxxkf)()(. badxxf0)(ab). 推论1

21、 如果在区间a, b上 f (x)g(x), 则 babadxxgdxxf)()(ab). 这是因为g(x)f(x)0, 从而 bababadxxfxgdxxfdxxg0)()()()(, babadxxgdxxf)()(. 所以如果在区间a, b上 f (x)0, 则 性质5 ( (比较性质比较性质) )若函数若函数 和和 在闭区间在闭区间 上总有上总有 )(xf)(xg, ba),()(xgxf则则.d)(d)(babaxxgxxf由图由图,两个曲边梯形的面积有关系两个曲边梯形的面积有关系: aABb的面积的面积bBaA11的面积的面积yABxo)(xfy ab)(xgy1A1Bbaxxf

22、d)(.d)(baxxg=例例5 5比较下列积分值的大小比较下列积分值的大小 : 解解 (1)10dxx与与.d102xx由定积分的比较性质由定积分的比较性质 y1(1)在区间在区间 上上,因因,1 ,0,2xxxo1xy 10dxx.d102xx2xy解解 由定积分的比较性质由定积分的比较性质 y1(2)在区间在区间 上上,因因,4, 0,cossinxxxo(2)与与40dsinxx.dcos40 xx4xycos40dsinxx.dcos40 xx2xysin即 babadxxfdxxf| )(|)(|. 这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|, 所以badxxf0)(ab). 推论1

23、 如果在区间a, b上 f (x)g(x), 则 babadxxgdxxf)()(ab). 如果在区间a, b上 f (x)0, 则 性质5 babadxxfdxxf| )(|)(|(ab). 推论2 bababadxxfdxxfdxxf| )(|)(| )(|, 推论1 如果在区间a, b上 f (x)g(x), 则 如果在区间a, b上 f (x)0, 则 性质5 推论2 性质6 （估值定理）设M及m分别是函数f(x)在区间a, b上的最大值及最小值, 则 baabMdxxfabm)()()(ab). badxxf0)(ab). babadxxgdxxf)()(ab). babadxxfd

24、xxf| )(|)(|(ab). 例4 试证:.2dsin120 xxx证明 设)(xf,sinxx则在),0(2上, 有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2, 1)(xf), 0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续, 则在积分区间a, b上至少存在一个点 , 使下式成立: 这是因为, 由性质6 性质7(定积分中值定理) baabfdxxf)()(. 积分中值公式. baabMdxxfabm)()()(, 即 baMdxxfabm)(1, 由介值定理, 至少存在一点a, b, 使badxxfabf)(1)(, 两端乘以ba即得积分中值公式.)(f注:无论从几何上, 还是从物理上, 都容易理解平均值公式求连续变量的平均值要用到.baxxfabfd)(1)()(ba.,)(上的平均值在区间就是baxf 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续, 则在积分区间a, b上至少存在一个点 , 使下式成立: 性质7(定积分中值定理) baabfdxxf)()(. 积分中值公式. 例5 计算从0 秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度. 解 已知自由落体速度为tgv 故