常数项级数(一)

1、执教：吕伟波执教：吕伟波2015年年11月月1 1 常数项级数常数项级数 思考：思考： 1.什么叫级数？什么叫级数？ 2.什么叫常数项级数？什么叫常数项级数？ 3.常数项级数有哪些特性？常数项级数有哪些特性？ 4.级数有什么用？级数有什么用？教学目标教学目标1.1.理解级数的概念及作用；理解常数项级数的概理解级数的概念及作用；理解常数项级数的概念、敛散性和基本性质；掌握无穷级数部分和、念、敛散性和基本性质；掌握无穷级数部分和、和的概念；和的概念；2.2.掌握无穷级数收敛的必要条件，并能够正确判断掌握无穷级数收敛的必要条件，并能够正确判断简单级数的敛散性；简单级数的敛散性；3.3.了解正项级数的

2、概念及其审斂方法了解正项级数的概念及其审斂方法. . 定义定义1.1 设设 是给定的数是给定的数列，则称表达式列，则称表达式新授：新授：,u21nuunnuuu211nu为无穷级数，简称级数，其中为无穷级数，简称级数，其中 称为级数称为级数的一般项或通项的一般项或通项. .nu新授：新授： 定义定义1.2 对无穷级数对无穷级数nnuuu211nu我们称我们称 为级数前为级数前n n项部项部分和分和. .若数列若数列 ，当，当 时存在极限时存在极限S S，则称级数收敛，则称级数收敛，S S为它的和为它的和. .nuu21nuS,S,S21nSn1n1.Snu注：注：2.2.如果这个极限不存在，我

3、们就称这个级如果这个极限不存在，我们就称这个级数发散数发散. . 例例1 讨论等比级数讨论等比级数例题与练习例题与练习)0a11n1aaqaqaqnn（的敛散性的敛散性. 例例2 求证级数求证级数 收敛，且收敛，且其和为其和为1.例题与练习例题与练习1n) 1(1nn 例例3 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性.例题与练习例题与练习1n1n 完成课本第完成课本第21页习题第页习题第1、2题题.例题与练习例题与练习新授：新授：收敛级数的基本性质：收敛级数的基本性质：1.性质性质1：2.性质性质2：.cSu11cSucnnnn收敛于为常数，则级数，收敛于若级数，收敛于级数，收敛于若级数1n1VUu

4、nnnv.)(1VUvunnn收敛于则级数3.性质性质3：.u1性不会影响该级数的敛散内添上或去掉有限项，在级数nn4.性质性质4：级数任意添加括号后所成的收敛级数按原来的顺序.仍然收敛于原来的和.发散，则原级数必发散推论：若加括号后级数例题与练习：例题与练习：例例1 判断级数判断级数 的敛散性的敛散性.4131313121211新授：新授： 定理定理 1 （级数收敛的必要条件）（级数收敛的必要条件） 若级数若级数 收敛，则收敛，则 .1nnu0lnnuim例例2 判断级数判断级数 的敛散性的敛散性.1)1nnnn（ 定理定理 2 （柯西收敛原理）（柯西收敛原理） 级数级数 收敛的充分和必要条

5、件为：收敛的充分和必要条件为：1nnu均有使, 0N, 0NpNn|21pnnnnpnuuuSS例例2 证明调和级数证明调和级数 发散发散.1n1n 定义定义1.3 若级数若级数 中的各项中的各项 都有都有相同的符号，则称该级数为同号级数；特别相同的符号，则称该级数为同号级数；特别地，若地，若 ，则称该级数为正项，则称该级数为正项级数级数.1nnunu, 3 , 2 , 1, 0nun 定理定理 3 正项级数收敛的充要条件是其部正项级数收敛的充要条件是其部分和数列分和数列 有界有界.nS例例3 判断下列级数的敛散性：判断下列级数的敛散性：；）（ 12n11n. )n11ln(21n）（ 定理定理3 （比较判别法）（比较判别法）1nnu 设设 和和 都是正项级数，且都是正项级数，且1nvn, 3 , 2 , 1,vnunn 1.若级数若级数 收敛，则级数收敛，则级数 也收敛；也收敛； 2.若级数若级数 发散，则级数发散，则级数 也发散也发散.1nnu1nvn1nnu1nvn例例4 判断下列级数的敛散性：判断下列级数的敛散性：；）（ 1nn11n. )30(3xsin22