材料数值模拟——温度场模拟

1、材料加工过程的数值模拟第二章：温度场数值模拟教学目的 掌握基本的传热知识 了解热加工过程模拟的研究现状和发展趋势 了解传热问题的数值计算方法 掌握实际热加工过程温度场数值模拟的基本步骤先修课程 传热学 高等数学 线性代数 数值分析 热加工基本理论 材料基础知识参考书目 铸件凝固过程数值模拟，陈海清等，重庆大学出版社，1991（TG21-C4-2） 焊接热过程数值分析，武传松，哈工大出版社，1990（TG402-N74） 计算机在铸造中的应用，程军，机械工业出版社，1993（TG248-C73） 计算传热学，郭宽良，中国科学技术大学出版社，1988（TK124-43-G91） 焊接热效应，德D.

2、拉达伊，机械工业出版社，19972-1 热加工过程模拟的研究现状热加工过程模拟的意义 材料热加工 铸造：液态流动充型、凝固结晶等； 锻压：固态流动变形、相变、再结晶等； 焊接：熔池金属熔化、凝固结晶；热影响区金属经历不同的热处理过程； 热处理：相变、再结晶等； 特点：复杂的物理、化学、冶金变化 热加工过程目的 获得一定的形状、尺寸、成分和组织 成为零件、毛坯、结构2-1 热加工过程模拟的研究现状热加工过程模拟的意义 热加工过程的结果 成型和改性：使材料的成分、组织、性能最后处于最佳状态 热加工工艺设计 根据所要求的组织和性能，制定合理的热加工工艺，指导材料的热加工过程 热加工工艺设计存在的问题

3、 复杂的高温、动态、瞬时过程：难以直接观察，间接测试也十分困难 建立在“经验”、“技艺”基础上2-1 热加工过程模拟的研究现状热加工过程模拟的意义 解决方法 热加工工艺模拟技术：在材料热加工理论指导下，通过数值模拟和物理模拟，在实验室动态仿真材料的热加工过程，预测实际工艺条件下的材料的最后组织、性能和质量，进而实现热加工工艺的优化设计 热加工过程模拟的意义 认识过程或工艺的本质，预测并优化过程和工艺的结果（组织和性能） 与制造过程结合，实现快速设计和制造2-1 热加工过程模拟的研究现状热加工过程模拟的发展历程 60年代（起源于铸造） 丹麦的Forsund首次采用有限差分计算了铸件凝固过程的传热

4、。 美国随后进行了大型铸钢件温度场的数值模拟 70年代（扩展） 更多的国家加入 扩展到锻压、焊接和热处理 80年代以后（迅速发展） 1981年开始，每两年举办一次铸造和焊接过程的数值模拟国际会议 1992年开始，每两年举办一次焊接过程数值模拟国际大会 目前（成为研究热点） 国家攀登计划 973基础研究计划2-1 热加工过程模拟的研究现状热加工过程模拟的发展趋势 宏观中观微观 宏观：形状、尺寸、轮廓 中观：组织和性能 微观：相变、结晶、再结晶、偏析、扩散、气体析出 单一、分散耦合集成 流场温度场 温度场应力/应变场 温度场组织场 应力/应变场组织场2-1 热加工过程模拟的研究现状热加工过程模拟的

5、发展趋势 重视提高数值模拟的精度和速度 重视精确的基础数据获得与积累 与生产技术其他技术环节集成，成为先进制造技术的重要组成 与产品设计系统集成 与零件加工制造系统集成2-1 热加工过程模拟的研究现状部分商业软件 铸造 PROCAST, SIMULOR 锻压 DEFORM, AUTOFORGE, SUPERFORGE 通用 MARC, ABAQUS, ADINA, ANSYS2-2温度场及传热的基本概念 温度场定义 在 x、y、z直角坐标系中，连续介质各个地点在同一时刻的温度分布，叫做温度场。 T=f(x,y,z,t) 稳定温度场 T= f(x,y,z) 不稳定温度场 T=f(x,y,z,t)

6、 等温面 等温线热量传递的三种基本形式/热传导 定义：物体各个部分之间不发生相对位移时，依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的热运动而产生的热量传递。 表达式： 傅立叶定律： 矢量表示：xTFQxTFQnnTgradqkzjyigradnnTgradTTTxTT T 热量传递的三种基本形式/热对流 定义 运动的流体质点发生相对位移而引起的热转移现象 遵循的定律 牛顿定律 公式：)FT(TQ0cca热量传递的三种基本形式/热辐射 定义 物质受热后，内部原子震动而出现的一种电磁波能量传递。 遵循定律 斯蒂芬-波尔兹曼定律 公式： T：热力学温度（k） C：辐射系数，C=C0, C0=5.67W/m2

7、.K4 两物体之间热辐射交换：QR= C0(T14- T24)4cTQ 导热的数学描述建立基础：傅立叶定律和能量守恒定律在d 时间内，沿X方向导入微元体的热量：Qx=qx dAd= qx dy dz d 在d 时间内，沿X方向导出微元体的热量：Qx+ dX =qx+ dX dAd= qx +dX dy dz d 在d 时间内，沿X方向在微元体内积蓄的热量：dQx = Qx - Qx+ dX =(qx - qx +dX ) dy dz d = d qx dy dz d 同理： dQy = d qy dx dz d dQz = d qz dx dy d 导热的数学描述微元体中总的积蓄热量：dQ=

8、dQx + dQy + dQz = (d qx dy dz d +d qy dx dz d + d qz dx dy d )dzzqzdyyqydxxqxzyxdqdqdqzTqyTqxTqzyxdxdydzdzTyTxTdxdydzdzTzyTyxTxdxdydzdzqyqxqzyx)(222222)()()() 另： dTdxdydzcdTdxdydzcdQdTdTdxdydzdTcdQcTTcTTcdxdydzddTdxdydzczTyTxTzTyTxTzTyTxT,)()()(2222222222222222222导热的数学描述导热的数学描述 一维不稳定导热： 二维不稳定导热： 三维稳

9、定导热： 一般表达式：)(22xTT)(2222yTxTT02222222222220)(zTyTxTzTyTxTT.)()()(QzTzyTyxTxTc导热的数学描述初始条件和边界条件 初始条件：物体开始导热瞬时的温度分布，T=f(x,y,z) （=0） 边界条件：物体表面与周围介质交换的情况 第一类边界条件：已知物体表面温度Tw随时间变化关系。 Tw=f() 第二类边界条件：已知物体表面比热流量qw随时间变化关系。qw=f() 第三类边界条件：已知物体周围介质温度Tf物体表面温度（ Tw ）以及物体表面与周围介质间的放热系数。 qw= （ Tw - Tf ）2-3传热问题的数值计算方法 分

10、析解法 定义：以数学分析为基础，求解导热微分方程的定解问题。 特点：求得的结果为精确解 不足：只能求解比较简单的导热问题，而对于几何形状复杂、变物性及复杂的边界条件的导热问题，难以计算。 数值解法 定义：是一种以离散数学为基础，以计算机为工具的求解方法。 特点：不能获得未知量的连续函数，而只是某些代表性地点的近似值 步骤 种类：有限差分法、有限元法、边界元法、有限容积法等2-4不稳定导热的有限差分法解题步骤 分析和简化物理模型 判断问题属于稳态问题还是非稳态问题 有无内热源 适宜的坐标 判断边界条件的类型 数学模型的建立一般模型：物性参数为常数：非稳态无内热源物性参数为常数：.)()()(Qz

11、TzyTyxTxTcQzTyTxTT)222222(12222221zTyTxTT2-4不稳定导热的有限差分法解题步骤稳态无内热源：采用圆柱坐标时，若物性参数为常数，由于:0222222zTyTxTQzTTrrTrrTTzzryrx)11(1,sin,cos2222222有：2-4不稳定导热的有限差分法解题步骤 区域和时域的离散 区域的离散：将几何连续点的区域用一些列网格线分割开，形成一系列单元。 节点：每个单元的中心称为节点（内节点、边界节点） 步长：节点之间的距离（等步长、变步长），表示为x, y, z 时域的离散：非稳态问题将时间分割成时间段 时间步长：每个计算时间间隔的长短， 2-4不

12、稳定导热的有限差分法解题步骤 内节点和边界节点差分方程的建立 内节点一般采用直接法：即由导热微分方程直接用差商代替微商，导出递推公式，也可采用热平衡法； 边界节点一般采用热平衡法，视具体边界建立相应的能量方程 选择求解差分方程组矩阵的计算方法 编写计算程序 计算 计算结果的处理和分析讨论2-4不稳定导热的有限差分法一、有限差分的概念 微商和差商的定义若T(x)是连续函数，则它的导数为： 称为微商， 称为差商，两者之差代表以差商代替微商带来的误差。xTxxTxxTdxdTxx00lim)()(limdxdTxT二、差商的形式1、向前差商 表示第5项以后各项的代数和，其值与（x）4的值属同一个数量

13、级。xxTxxTdxdT)()()()(!3)()(!2)()()()(432xOxTxxTxxTxxTxxT )(4xO )()()(.)(! 3)()(! 2)()()(2xodxdTxxTxxTxTxxTxxTxxTxxT 二、差商的形式2、向后差商3、中心差商以上两式相加除2，得到中心差商：)()()()()(xOdxdTxxxTxTxxxTxTdxdT)(2)()(2xodxdTxxxTxxT二、差商的形式4、二阶差商xxxxTxTxxTxxTdxTd)()()()(222)()(2)()(xxTxxTxxT三、建立内节点差分方程/一维系统1、模型： 0，0 xL2、初始条件：T(x

14、,0)=(x)3、边界条件：T(0, )=1()， T(L, )=2()4、区域离散距离步长：x=xi-xi-1, xi =(i-1) x时间步长： = n- n-1, n=n Tin=T(xi, n)TxT122niT三、建立内节点差分方程/一维系统5、有限差分方程建立1）显示差分 点（i,n）的导热方程为：01)(20)(1)(2)()()()(2)()(1)(121121211122112222nininininininininininininininininininiTTxTTTxoTTxTTToTTTxOxTTTxTTxT三、建立内节点差分方程nininininlninininini

15、TFTFTFTFxFnnTnnTlixiTlinTxTxTxT1112211012212100000)21 ()(.2 , 1 , 0),(.2 , 1 , 0),(1,.3 , 2,) 1(1,.,3 , 2,.,3 , 2 , 1)()(21 ()(称为傅立叶数。，令：三、建立内节点差分方程/一维系统2)隐式差分格式温度对距离的二阶偏微商是对应时刻n+1的，而温度对时间的一阶偏微商是对应时刻n的。差分方程为：截断误差：O +（ x）2，整理后：nininininiTTxTTT12111111)(2niniTxT)(1)(122.210)(.210)(1.32) 1(1.32.210)21

16、(210001011111，nnTnnTlixiTlinTTFTFTFnlninininini三、建立内节点差分方程以l=5为例，推导求解隐式差分方程：n=1时刻：)3()14()2()13()()12()()1()()1()0(5)21(4)21(3)21(2)0()0(10403020403021511151105131415041213140311121302012211200000011xxTxxTxxTTTTTTTTTiTTFTFTiTTFTFTiTTFTFTiTi为初始条件，方程为：，为边界点，方程为：，这里，三、建立内节点差分方程n=2时刻：时求得。在，为边界点，方程为：，这里，

17、0)2()2()2()2()()1(5)21(4)21(3)21(2)()1(114131225212521152324251422232413212223121122112200000011nTTTTTTTTiTTFTFTiTTFTFTiTTFTFTiTi三、建立内节点差分方程n+1时刻：时刻求得。在，为边界点，方程为：，这里，nTTTnnTnnTTTnnTiTTFTFTiTTFTFTiTTFTFTinTinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn4321511151151314154121314311121321)1()1()1()1()()(5)21(4)21(3)21(21111122

18、0000001三、建立内节点差分方程c)显式和隐士差分格式的比较 计算格式的差别 显式在n+1时刻的温度由n时刻的3个已知温度求出，不要求解方程组。 隐式格式中，由于一个方程中包含n+1时刻的3个未知温度，只有把n+1时刻的所有节点方程列出后接联立方程，才能求出n+1时刻所有节点的温度。 稳定性的差别 显式差分的格式稳定是有条件的，稳定条件：F01/2 隐式差分格式的方程式无条件稳定的 对计算步长的要求 对于显式差分格式，稳定性条件制约时间步长由距离步长所决定：（ x）2/2 对于隐式差分格式，时间步长和距离步长都可以任意取三、建立内节点差分方程/二维系统假设热物理性能参数为常数，且无内热源。

19、节点（i,j）处的温度表示成Ti,j，对于0 xL1和0yL2的矩形区域内，将二维不稳定导热方程式应用于节点（i,j）可以写成：)()()()(2)()()(2)()(1)(,1,221,1,2222, 1, 1,22,2222oTTTyoyTTTyTxoxTTTxTTyTxTnjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinji三、建立内节点差分方程 若x= y，则：)41()(41 )(,1,1, 1, 1,21,1, 1, 121,00njinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjiTFTTTTFTxTTTTxT410F稳定条件：四、边界节点差分

20、方程/热平衡法 基本思想：将能量守恒原则应用到每个单元体，不再从微分方程入手，而是将导热的基本定律直接近似。)(1(,1,njinjiTTyxcQji为：时间间隔内的内能变化）单元体，对于（njinjinjinjinjinjiTFTTTTFT,1,1, 1, 11,)41 (00 xTTyQjinjinjiji, 1, 1)1(,单元体的热量分别为：）单元体流入（时间内从周围四个相邻在,)1()1()1(,1,1,1,1, 1, 1yxQQyTTxQyTTxQxTTyQnjinjijinjinjijinjinjiji若四、边界节点差分方程 绝热 给定热流密度 对流边界 给定温度 辐射 混合四、

21、边界节点差分方程1、绝热边界相邻单元体流入（i,j）单元体的热量：)(12(,1,njinjiTTyxcQji为：时间间隔内的内能变化）单元体，对于（njinjinjinjinjiTFTTTFT,1,1, 11,)41 (200）单元体流入（时间内从周围四个相邻在ji,0, 1jiQxTTyQnjinjiji, 1, 1)1(yTTxQnjinjiji,1,1,)12(,)12(,1,1,yxQQyTTxQnjinjiji若四、边界节点差分方程2、给定热流密度qr的边界相邻单元体流入（i,j）单元体的热量：)(12,1,njinjiTTxycQji为：时间间隔内的内能变化）单元体，对于（xcq

22、TFTTTFTrnjinjinjinjinji2)41 (2,1, 1, 11,00 xTTyQnjinjiji, 1, 1)12(xTTyQnjinjiji, 1, 1)12()1(1,xqQrji,yxQQ若四、边界节点差分方程3、对流边界已知对流放热系数c及周围介质温度Tf,)12()12()(1()1(,)(12(,1,1,1,1,1,1,1,1,yxQQyTTxQyTTxQTTyQxTTyQjiTTyxcQjinjinjijinjinjijinjijinjinjijinjinjifc若）单元体流入（时间内从周围四个相邻在为：时间间隔内的内能变化）单元体，对于（fccTxcTxcFTT

23、TFTnjinjinjinjinji2)241 (2, 11,1,1,00四、边界节点差分方程4、给定温度边界5、辐射边界wTTnji,)(12(,1,njinjiTTyxcQji为：时间间隔内的内能变化）单元体，对于（)(2)41 (24,1, 1, 11,4000njinjinjinjinjinjiTTxccTFTTTFTf,)()1()1()12()12(,4,41,1,1, 1, 1, 1, 10yxQQTTxcQyTTxQxTTyQxTTyQjinjifjinjinjijinjinjijinjinjiji若）单元体流入（时间内从周围四个相邻在7、混合边界,)12()12()12()1

24、2(,)(122(, 11,1,1, 1, 1,1,yxQQTTyQxqQyTTxQxTTyQjiTTyxcQjinjifjijinjinjijinjinjijinjinjicr若）单元体流入（时间内从周围四个相邻在为：时间间隔内的内能变化）单元体，对于（)(22)41 ()(2,1, 11,00njinjinjinjiTTxcxcqFTTFTfcr 差分法：以差分代替微分，对基本方程离散，建立以节点参数为未知量的线性方程组，而求得近似解。 优点：线性方程组的计算格式比较简单 不足：差分格式大多采用正方形、矩形和正三角形 有限元法：对连续体本身进行离散，根据变分原理求解问题 优点：适合于各种复

25、杂形状和复杂边界条件的数值计算 不足：计算过程复杂2-5不稳定导热的有限元解法数学基础2-5不稳定导热的有限元解法一、数学基础1、变分方法 研究泛函的极大值和极小值的方法1）泛函定义给定两点1和2，连接这两点曲线的长度:这样就建立了一个函数关系：I=Iy(x)，称I是y(x)的泛函。自变量是个函数，因变量是普通变量。dxdxdyxyIxx212)(1)(2）、泛函和函数2-5不稳定导热的有限元解法一、数学基础函数f(x)泛函Iy(x)变量f变量I自变量x函数y(x)x的增量 xy(x)的变分y函数的微分dfdf泛函的变分I2-5不稳定导热的有限元解法一、数学基础3）、泛函和变分研究泛函极值的方

26、法就是变分法。函数f=f(x）泛函I=Iy(x)如果对于变量x的某一域中的每一个x, f 都有一值与之对应，则变量f叫做x的函数，记为f(x）如果对于某一类函数y(x)中的每一个函数y(x), I 都有一值与之对应，则变量I叫做依赖于函数y(x)的泛函，记为Iy(x)如果对于x的微小改变，有函数f(x)的微小改变与之对应，则函数f(x)是连续的。如果对于y(x)的微小改变，有泛函的微小改变与之对应，则泛函Iy(x)是连续的。如果可微函数f(x)的内点x=x0处达到极大或极小值，则在这点df=0如果变分的泛函Iy(x)的内点y=y0 (x)处达到极大或极小值，则在这点I=02-5不稳定导热的有限

27、元解法一、数学基础2、差值函数线性差值：求过曲线y(x)上已知点A(xi,yi)、B(xi+1,yi+1)的直线方程：iiiiiiiiiiiiiiyxxxxyxxxxxyxxxxyyyxy111111)()()(还可以写成：3、形函数 形函数只和单元的形状、节点配置区间大小和差值方式有关，而和节点未知量无关，故统称其为形函数。2-5不稳定导热的有限元解法一、数学基础1）一维不稳定导热求解区间0，L划分为有限个互补重叠的小区间。构造的差值函数：形函数： 只和单元的形状、节点配置区间大小和差值方式有关，而和节点未知量无关。故统称其为形状函数或形状因子。)()(11iiiiiixxxxTTTxTii

28、iixxTT112-5不稳定导热的有限元解法一、数学基础对于三角形单元，通常假设单元e上的温度是x,y的线性函数。mjiijmijmjiimmjijjimiimjmmjmmjjiimjimmjjiimmmjjjiiiTTTxxxxxxyyyyyyyxyxyxyxyxyxyxyxyxTTTyxyxyxaaayaxaaTyaxaaTyaxaaTaaayaxaaT11111111321321321321321321根据矩阵求逆，是待定常数。，式中即：2）二维不稳定导热2-5不稳定导热的有限元解法/数学基础的行列式。称为方阵阶行列式：则设矩阵Aaaaaaaaaanaaaaaaaaannnnnnnnnn

29、2122211121121222111211.A.A*1212221212111*1.AAAaAAAAnnAAAAAAAAAijijnnnn且有：的代数余子式。中元素为行列式的伴随矩阵。称为矩阵mjiijmijmjiimmjijjimiimjmmjmmjjiimjimmjjiimmmjjjiiiTTTxxxxxxyyyyyyyxyxyxyxyxyxyxyxyxTTTyxyxyxaaayaxaaTyaxaaTyaxaaTaaayaxaaT11111111321321321321321321根据矩阵求逆，是待定常数。，式中即：2-5不稳定导热的有限元解法/数学基础ijmjimijjimmijimj

30、miimjjmimjijmmjixxcyybyxyxaxxcyybyxyxaxxcyybyxyxayaxaaT,321记：即：2111ijjimmjjiicbcbyxyxyx)(21)(21)(2121321321321321mmjjiimmjjiimmjjiimjimjimjimjiTcTcTcaTbTbTbaTaTaTaaTTTcccbbbaaaaaaaaayaxaaT是待定常数。，式中即：2-5不稳定导热的有限元解法一、数学基础 )(21)(21)(21,)()()(21ycxbaNycxbaNycxbaNTNTTTTNNNTTNTNTNTTycxbaTycxbaTycxbaTmmmmj

31、jjjiiiimjimjimmjjiimmmmjjjjiiiiT用有限元法求解二维不稳定导热问题时，采用三角形单元离散化并通过线性差值所求得的形函数(Ni, Nj, Nm)。2-5不稳定导热的有限元解法一、数学基础 形函数(Ni, Nj, Nm)的特点： Ni, Nj, Nm是x, y的线性函数，与插值函数具有同样的类型 Ni（xi,yi）=1 , Ni（xj,yj）= Ni（xm,ym）=02121)()(21)(21),(ijimmjjijmmjijmimjjmmjiiiiiiyxyxyxyxyxyxyxxxyyyxyxycxbayxN1111mmjjiiyxyxyx2111ijjimmj

32、jiicbcbyxyxyx可以证明：2-5不稳定导热的有限元解法一、数学基础021)()(21)(21),(mjmmmmjmjmmjmjmmmjjmmjiiimmiyxyxyxyxyxyxyxxxyyyxyxycxbayxN2-5不稳定导热的有限元解法二、有限元发的解题思想和步骤1、思想 从数学角度讲，某一泛函取极值所需要的充要条件等价于求解相应的微分方程式加边界条件。从而可利用泛函取极值的变分计算来代替微分方程及边界条件的求解。2、步骤1）找到导热微分方程对应的泛函22xTTdxTTxTTIL)(2)(20)(2222yTxTTI为T(x,y)的函数xTFQ2-5不稳定导热的有限元解法二、有

33、限元法的解题思想和步骤2）单元划分 将区域划分成有限个三角形单元（例如，分成E个单元，n个节点） 温度场T(x,y)离散成T1,T2Tn等n个节点温度，则泛函IT(x,y)实际上是一个多元函数：I(T1,T2,Tn)， IT(x,y)的变分问题则转化为多元函数求极值问题EeeII10iTI2-5不稳定导热的有限元解法二、有限元发的解题思想和步骤 建立温度的差值函数对于三角形单元：T=f(Ti,Tj,Tm)T=NiTi+NjTj+NmTm 单元变分计算EeeII10iTI的值。单元变分：求ieEeieiTIniTITI,.2 , 1, 012-5不稳定导热的有限元解法二、有限元发的解题思想和步骤

34、 总体合成得到线性方程组。 求解线性方程组niTITIEeiei,.2 , 1, 012-5不稳定导热的有限元解法三、内单元计算格式的建立1、一维系统(略去课堂不讲)1）模型：2）泛函：3)温度差值函数22xTT0)(2)(20IdxTTxTTIL寻找温度场，使111111) 1()()(iiiiiiiiiiiiThihxThxhixTnLhxxxTxxxxTxxxxxT若等步长：2-5不稳定导热的有限元解法二、内单元计算格式的建立4）单元变分计算hxhiTThxTThTTxTdxTTTxTTxTTTIdxTTxTTIIIiiiiiiiiiiixxexxee)1(1)(,)()()(2)(11

35、124）单元变分计算TfThThdxhxhiTdxhTdxhTdxhxhiThTTdxhxhiThhTTdxTTTxTTxTTTIeieieixxxxxxxxxxxxxxeiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii111111111111222) 1() 1() 1()1()()(hdxhhhhhxxhdxhhiiiiiixxeixxei11121222)(4）单元变分计算2)222(21) 1(21) 1()(21) 1()(21)(1() 1() 1(111111122hhihiihhihhhixxxxhhixxhxxidxhxdxidxhxhifiiiiiiiiiiiiiixxx

36、xxxei5）总体合成,.2 , 1, 00iTITITIIIieiiehhhhhhTfThThTITfThThTIIIiIieieieieiieeieieiieiiii20111hhhhhhIIiIiei2111hhhfffIIiIiei22niniTTT15）总体合成nininininininininininieieieiThThTTTThThTThThThTfThThii122111221112)21 (0)(220)(22012-5不稳定导热的有限元解法二维热传导1、数学模型无内热源、假定热物理性能为常数。)(2222yTxTTdxdyTTyTxTTID)()(2)(222、泛函 对应

37、的泛函：目标：寻找温度场T，使I=0，即：寻找是泛函达 到极值的函数。2-5不稳定导热的有限元解法二维热传导3、区域离散化 将一个矩形区域，划分成多个直角三角形。设直角边长为h，(x =y=h)节点x=rh,y=sh (r, s为正整数)此节点记为(r,s)，（相当于（x,y）点）2-5不稳定导热的有限元解法/二维热传导4、温度差值函数的建立对于三角形单元 T=f(Ti,Tj,Tm)T=NiTi+NjTj+NmTm5、单元变分的计算将求解区域分成有限个单元后，泛函I(T)变成各个单元内泛函的积分。eII的值。单元变分：求ieEeieiTIniTITI,.2 , 1, 012-5不稳定导热的有限

38、元解法/二维热传导dxdyTTyTxTIee)()(222iiiiiimmjjiimmjjiiiiieieNTTyNyTTxNxTTTyNTyNTyNyTTxNTxNTxNxTdxdyTTTyTTyTxTTxTTI)()()()(5、单元变分2-5不稳定导热的有限元解法二维热传导（5、单元变分）TfThThThdxdyNTyNTyNTyNTyNxNTxNTxNTxNTIeimeimjeijieiiiimmjjiiimmjjiieie）（）（代入得：eieimimieeimjijieeijiieeiidxdyNfdxdyyNyNxNxNhdxdyyNyNxNxNhdxdyyNxNh()()(22

39、2-5不稳定导热的有限元解法/二维热传导)(221)2()2()2()2()()(2222222222iieiieeiiiieiieeiicbhhhdxdydxdycbdxdycbdxdyyNxNh因为)(21ycxbaNiiii5、单元变分2-5不稳定导热的有限元解法/二维热传导)(2)44(222jijijijiejijieeijccbbhdxdyccbbdxdyyNyNxNxNh同理：)(21ycxbaNiiii)(21ycxbaNjjjj)(22mimieimccbbhh)(21ycxbaNmmmm5、单元变分2-5不稳定导热的有限元解法/二维热传导通过以下推导得出：eifhxxcyy

40、byxyxajmimjijmmji005、单元变分eieidxdyNf)(21ycxbaNiiii2-5不稳定导热的有限元解法/二维热传导eieieieiydxdycxdxdybdxdyaf21eieiieiydxdycxdxdybaf21hyyyydxdyhcbamjieiii3)(3,00，因为：63212hhhfei5、单元变分2-5不稳定导热的有限元解法/二维热传导在时间上采用向前差分：niniTTT16、总体合成01EeieiTITITfThThThTIeimeimjeijieiiieEeninieiEemeimEejeijEeieiiEeieTTfThThThTI1111110i= 1, 2, 3, n上式包含若干线性方程组。对于每一个方程来说，都是对所有单元求和而成。现以i(r,s)为例，进行求解。2-5不稳定导热的有限元解法/二维热传导i(r,s)点涉及六个单元、，所以01EeieTI其它单元中不含有节点i(r,s)，它们的泛函对Ti变分后都等于0。实际上只涉及上述六个单元