积分变换第1-2节

1、积分变换积分变换第一章 Fourier变换 1.1 Fourier积分 但全直线上的非周期函数没有但全直线上的非周期函数没有FourierFourier级级 数表示；数表示； 引进类似于引进类似于FourierFourier级数的级数的FourierFourier积积分分 ( (周期趋于无穷时的极限形式周期趋于无穷时的极限形式) )复习复习: : 周期函数在一定条件下可以展开为周期函数在一定条件下可以展开为 FourierFourier级数级数；最常用的一种周期函数是三角函数最常用的一种周期函数是三角函数fT(t)=Asin(wt+j), 其中其中w=2p/T研究周期函数研究周期函数 fT(t

2、) ,如果在区间如果在区间-T/2,T/2上满足上满足狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)条件条件:1. 连续或只有有限个第一类间断点连续或只有有限个第一类间断点;2.只有有限个极值点只有有限个极值点.那么在区间那么在区间-T/2,T/2上就可以展成上就可以展成Fourier级数级数.t由高数可知由高数可知, , 任何满足狄氏条件的周期函数任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表示为三角级数的形式如下可表示为三角级数的形式如下:22010( )(cossin) (1.1)2( )2dTTTnnnTafttTaftan tbn twwww- - 其中222( )cosdTTnTaftn t

3、tTw w- - 222( )sindTTnTbftn ttTw w- - 1.2 Fourier变换变换1. Fourier变换的概念变换的概念我们知道我们知道, , 若函数若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件满足傅氏积分定理的条件, , 则在则在f(t)的连续点处的连续点处, , 有有jj1( )( )eded(1.7)2tf tfwwwwwwp p- - (1.8)式叫做式叫做f(t)的的Fourier变换式变换式, , (1.9)式为式为F(w w)的的Fourier逆变换式逆变换式, , f(t)与与F(w w)可相互转换可相互转换, ,可记为可记为F(w w)= f(t) 和和 f

4、(t)= -1F(w w)jj1( )( )( )ed( )ed(1.9)21.8)ttfFFf tttw ww wwwwww wp p- - - - - 设设则则还可以将还可以将f(t)放在左端放在左端, , F(w w)放在右端放在右端, , 中间用双中间用双向箭头连接向箭头连接: : f(t) F(w w) (1.8)式右端的积分运算式右端的积分运算, , 叫做叫做f(t)的的Fourier变换变换, , 同样同样, (1.9)式右端的积分运算式右端的积分运算, , 叫做叫做F(w w)的的Fourier逆变换逆变换. . F(w w)称作称作f(t)的的象函数象函数, f(t)称作称作

5、F(w w)的的象原函数象原函数.可以说象函数可以说象函数F(w w)和象原函数和象原函数f(t)构成了一个构成了一个Fourier变换对变换对. .wpwwdedeftjj-)(21傅氏积分定理傅氏积分定理 若若f(t)在在(- - , + )上满足条件上满足条件: : 1. f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件在任一有限区间上满足狄氏条件; 2.f(t)在无限区间在无限区间(- - , + )上绝对可积上绝对可积, , 则有则有(,)|( )|df tt- - 在在绝绝对对可可积积是是指指的的收收敛敛. . 为连续点为连续点 为间断点为间断点( )(0)(0)2f ttf tf tt-0,

6、02( )e,00.( ).ttf ttf t - - FourierFourier, , ,求求函函数数的的变变换换及及其其积积分分表表达达式式 其其中中这这个个叫叫做做指指数数衰衰减减函函数数 是是工工程程技技术术中中常常碰碰到到的的一一个个函函数数例例tf(t)根据根据(1.8)式式, , 有有j0eedtttww- (j)0edttww- 这就是指数衰减函数的这就是指数衰减函数的Fourier变换变换.221jjwwwwww- -= ( )Fw( )f t( )j tf t edtw w - - - 根据根据(1.9)式式, 有有j221jed2tw wwww wpwpw- - 220

7、1cossindttwwwwwww wpwpw 22000cossind/20e0tttttt wwwwwwwpwpwwp p- - 因因此此( )f t= 1( )Fw-1( )2j tFedw wwwwwp p- 问题的提出 定定义义于于 ，而而不不必必考考虑虑时时取取值值的的函函数数；绝绝对对可可积积的的条条件件太太强强。许许多多简简单单函函数数的的傅傅氏氏变变换换或或者者不不存存在在，或或者者为为非非常常义义下下的的广广义义函函数数给给应应用用带带来来很很大大的的不不方方便便。(1)0),0(2)t 对于任意一个函数),(tj使其进行Fourier变换时克服上述两个缺点？能否经过适当地

8、改造 因此因此, , 几乎所有的实用函数几乎所有的实用函数j j(t)乘上乘上u(t)再乘再乘上上e- t后得到的后得到的j j( (t) )u(t)e- t傅氏变换都存在傅氏变换都存在. . 首先将首先将j j(t) 乘上乘上u(t), 这样这样t小于零的部分的小于零的部分的函数值就都等于函数值就都等于0了了. 而大家知道在各种函数中而大家知道在各种函数中, , 指数函数指数函数e t ( 0)的上升速度是很快的了的上升速度是很快的了, , 因而因而e- t下降的速度也下降的速度也是很快的是很快的. .tf (t)Otf (t)u(t)e- - tO对对函数函数j j(t)u(t)e- -

9、t( 0)取傅氏变换取傅氏变换, , 可得可得j( )( ) ( )eedttGt u ttww wjwj- (j)00( )ed( )edtstf ttf ttww-其其中中j,( )( ) ( )sf tt u twjwj若若再再设设( )jsF sG - - 则则得得0( )( )edstF sf tt- - 定义定义 设函数设函数f(t)当当t 0时有定义时有定义, , 而且积分而且积分是是一一个个复复参参量量0( )ed()stf tts- - 0( )( )ed(2.1)stF sf tt- - 在在s的某一域内收敛的某一域内收敛, , 则由此积分所确定的函数可写则由此积分所确定的

10、函数可写为为称此式为函数称此式为函数f(t)的的Laplace变换式变换式( (简称拉氏变换式简称拉氏变换式), ), 记为记为F(s)= f(t)F(s)称为称为f(t)的的Laplace变换变换( (或称为或称为象函数象函数). ). 而而f(t)称为称为F(s)的的Laplace逆变换逆变换( (或或象原函数象原函数) )记为记为f(t)= - -1F(s)注注：的的变变换换，实实际际上上就就是是的的变变换换。( )(0)( ) ( )tf t tLaplacef t u t eFourier - - 例例1 1 求单位阶跃函数求单位阶跃函数的的变变换换00( )10tu tLaplac

11、et . .0 ( )edstu tt- - 解解: : 根据拉氏变换的定义根据拉氏变换的定义, , 有有这个积分在这个积分在Re(s)0时收敛时收敛, , 而且有而且有011ede.0ststtss- - - 1 ( )(Re( )0)u tss ( ( ) )1u ts所以例例2 2 求指数函数求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换的拉氏变换(k为实数为实数).根据根据(2.1)式式, , 有有()00 ( )e ededktsts k tf ttt-()011e(Re( ).s k tsksksk-其实其实k为复数时上式也成立为复数时上式也成立, , 只是收敛区间为只是收敛区间为 Re(s

12、) Re(k).).1ktesk- - 例例3 求求 f(t)=sinkt (k为实数为实数) ) 的拉氏变换的拉氏变换. .0sinsinedstktktt- - jj01(ee)ed2jktktstt- ( () )(j )(j )00jeded2sk tsk ttt- -(j )(j )00j112jjsk tsk teesksk-22j112j(R ( )0)je sksksksk- - 解：解： 22sinkktsk 在今后的实际工作中在今后的实际工作中, , 我们并不要求用广义我们并不要求用广义积分的方法来求函数的拉氏和积分的方法来求函数的拉氏和FourierFourier变换变换

13、, , 有有现成的拉氏和傅氏变换表可查现成的拉氏和傅氏变换表可查, , 就如同使用三角就如同使用三角函数表函数表, , 对数表及积分表一样对数表及积分表一样. . 本书已将工程实本书已将工程实际中常遇到的一些函数及其傅氏、拉氏变换列于际中常遇到的一些函数及其傅氏、拉氏变换列于附录中附录中, , 以备查询以备查询. . 在物理学和工程技术中在物理学和工程技术中, , 有许多重要函数不满足有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件傅氏积分定理中的绝对可积条件, , 即不满足条件即不满足条件|( )|df tt- 一种改进思路是转换为一种改进思路是转换为LaplaceLaplace求，但例如常

14、数求，但例如常数, , 符号函数符号函数, , 以及正以及正, , 余弦函数等余弦函数等, , 我们希望其我们希望其能正确地反应出频率的特性能正确地反应出频率的特性, , 因此引入了单位因此引入了单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换变换. . 1.2 Fourier变换变换 2. 单位脉冲函数及其傅氏变换单位脉冲函数及其傅氏变换 在物理和工程技术中在物理和工程技术中, , 常常会碰到单位脉冲函常常会碰到单位脉冲函数数. . 因为有许多物理现象具有脉冲性质因为有许多物理现象具有脉冲性质, , 如在电如在电学中学中, , 要研究线性电路受具有脉冲

15、性质的电势作要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流用后产生的电流; ; 在力学中在力学中, , 要研究机械系统受要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等冲击力作用后的运动情况等. . 研究此类问题就会研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数产生我们要介绍的单位脉冲函数. . 工程上将工程上将d-函数称为函数称为单位脉冲函数单位脉冲函数, , 可将可将d-函数函数用一个长度等于用一个长度等于1的有向线段表示的有向线段表示, , 这个线段的长这个线段的长度表示度表示d-函数的积分值函数的积分值, , 称为称为d-函数的强度函数的强度. .tOd(t)1称称de(t)的弱极限为的弱极

16、限为d-函数函数, , 记为记为d(t).即即0( ) ( )( ),dlim( ) ( )d(0)对任意的无穷次可微函数若对任意的无穷次可微函数若t f ttt fff ttte ee edddd-1/0( )0tte eeeeed d 其其中中其其它它de(t)1/eeO0lim()()tte ee ed dd d d-函数有性质函数有性质:00( )d1( ) ( )d(0)() ( )d( )ttt f ttfttf ttf td dd dd d- - 及及( ) ( )lim( ) ( )t f t dtt f t dte ee edddd- 0 0lim( )lim( )f t d

17、tf t dteeeeeeeeeeee000000001111(1)(1)筛选性质筛选性质事实上f(t)是连续函数，按积分中值定理知：eeee)(lim0f)0(f=（2 2）( ) td d( ( ) )td d 则有则有为无穷次可微的函数，为无穷次可微的函数，若若)()4(tf函数为偶函数函数为偶函数, ,即即()( )ttd dd d- - （3 3）( )tt dtd d- - ( ( ) )u t 其中其中, 10( )00tu tt 称为单位阶跃函数称为单位阶跃函数. .反之反之, ,有有 ( )du tdt( ) ( )(0)t f t dtfd d- - - 一般地，有一般地，

18、有( )( )( ) ( )( 1)(0)nnnt f t dtfd d- - - d-函数的Fourier变换为:于是常数1 与d (t)构成了一Fourier变换对.证法2：若F(w)=2pd (w), 由Fourier逆变换可得j01( )2( )ed12tj tf tewwwww wpd wwpd wwp p - .例1 证明：2pd (w) 和1构成Fourier变换对证法1：= ( )Fw)(td( )j tt edtw wd d- - 01j ttew w- - = ( ) td d 1 1-12j tedw ww wp p- 2( )j tedtw ww wp pd d - - 1j tedtw w- - ts-2( )j sedsw