第7章数值微积分1

1、第第7章章基础教学部数学教研室基础教学部数学教研室 彭彭 晓晓 华华立体化教学资源系列立体化教学资源系列数值分析数值分析2xxfsin)(0 x48xdxxdxxfL48024802)(cos1)(1波形屋顶平材的长度波形屋顶平材的长度：一个波形屋一个波形屋顶是通过将一张平的铝材料压成横顶是通过将一张平的铝材料压成横断面具有正弦波形式的材料而构造断面具有正弦波形式的材料而构造出来的出来的. .现在需要一个现在需要一个4848英寸长的英寸长的波形屋顶，每个波的高度均离开中波形屋顶，每个波的高度均离开中心线心线1 1英寸，每个波的周期大约为英寸，每个波的周期大约为英寸英寸. .求原来平材的长度求原

2、来平材的长度. .（从（从英寸到英寸到从而这个问题归结为从而这个问题归结为求数值积分问题求数值积分问题. .7.1数值积分与数值微分数值积分与数值微分确定此曲线的长度确定此曲线的长度. .根据微积分理论，此长度为根据微积分理论，此长度为引言：引言：英寸），英寸），问题为问题为: :给定给定年份年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 19901900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990人口人口 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 7

3、6.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4226.5 251.4610t)(tx)(/)(txdtdxtr人口相对增长率人口相对增长率：已知已知2020世纪美国人口统计数据如下表，世纪美国人口统计数据如下表，为了计算表中这些年份的人口相对增长率，记时刻为了计算表中这些年份的人口相对增长率，记时刻的的，则人口相对增长率为，则人口相对增长率为它表示每年人口增长的比例它表示每年人口增长的比例. .从而这个问题归结为从而这个问题归结为求数值求数值微分问题微分问题. .表表7-1 207-1 20世纪美国人口统计数据（世纪美国人口统计

4、数据（ ）人口为人口为在许多实际工程中，直接或间接地涉及计算导数和在许多实际工程中，直接或间接地涉及计算导数和计算定积分计算定积分.在这些微分积分的计算过程中存在如下在这些微分积分的计算过程中存在如下一些问题：一些问题：( )( )( )baIf x dxF bF a1、牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式大量的被积函数找不到用初等函数表示的原函数；大量的被积函数找不到用初等函数表示的原函数；例如，积分例如，积分10sin xdxx 2、当、当( )f x微积分理论无法精确求积分，也无法精确求导数微积分理论无法精确求积分，也无法精确求导数. 是由测量或数值计算给出的一张数据表时，是由测量或数值计算

5、给出的一张数据表时，* * 对于计算导数的问题，对于计算导数的问题，从导数定义想到用差商近似的算从导数定义想到用差商近似的算法，即法，即hxfhxfxf)()()(虽然这种近似计算的精度较差，但是它启示我们可以用两个虽然这种近似计算的精度较差，但是它启示我们可以用两个点上的函数值来近似求导，如果点上的函数值来近似求导，如果用有限个点上的函数值，能用有限个点上的函数值，能否建立一个求导公式并估计误差呢？否建立一个求导公式并估计误差呢？这是数值微分研究的问这是数值微分研究的问题题. .需要研究的问题：需要研究的问题：,ba)(f)(xf,ba)(f)(f,ba( )f从几何方面看，公式（从几何方面

6、看，公式（7.17.1）表示以区间）表示以区间的长度为的长度为底而高为底而高为恰等于恰等于在在边梯形的面积，见图边梯形的面积，见图7-2.7-2.问题在于问题在于一般一般是不知道的，因而难以准确算出是不知道的，因而难以准确算出的值的值. .区间区间只要对平均高度只要对平均高度数值求积方法数值求积方法. .如果近似地取如果近似地取. .上的积分上的积分值，即曲值，即曲的具体位置的具体位置称为称为提供提供一种算法，相应地便获得一种一种算法，相应地便获得一种,babaabfdxxf)()(对于计算定积分的问题，对于计算定积分的问题，根据积分中值定理：存在点根据积分中值定理：存在点使使. . （ 7.

7、1 7.1）图图7-2 矩形公式几何意义矩形公式几何意义 的矩形面积，的矩形面积，上函数的平均高度，上函数的平均高度，( ) ( )( )/2ff af b( ) ( )( )2babaf x dxf af b如果近似地取如果近似地取则由公式（则由公式（7.17.1）得）得梯形公式梯形公式，几何，几何意义见图意义见图7-3.7-3. 图图7-3 梯形公式几何意义梯形公式几何意义)2()(baff( )()()2baabf x dxfba则公式（则公式（7.17.1）称为）称为中矩形公式中矩形公式,bakx)(kxf)(f0( )()nbkkakIf x dxA f xkx), 1 , 0(nk

8、kA), 1 , 0(nkkAkx)(xf如果取如果取上有限个节点上有限个节点的函数值的函数值的加权平的加权平，则公式（，则公式（7.17.1）称为）称为机械求积公式机械求积公式（7.27.2）称为称为求积节点求积节点，称为称为求积系数求积系数.仅仅与节点仅仅与节点的选取有关，而不的选取有关，而不的具体形式的具体形式. 均值为均值为其中其中依赖于被积函数依赖于被积函数kx,kA问题问题: :的位置并确定求积系数的位置并确定求积系数才能使求得的积分值具有预先给定的任意的精确度？才能使求得的积分值具有预先给定的任意的精确度？(2)(2)怎样估计数值计算的误差？怎样估计数值计算的误差？(1)(1)如

9、何安排求积节点如何安排求积节点 寻找便于数值计算，又能满足精度寻找便于数值计算，又能满足精度要求的微积分公式和方法要求的微积分公式和方法. .数值积分与数值微分的基本内容：数值积分与数值微分的基本内容：复习复习：拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式一、满足一、满足插值条件插值条件 Pn(xi)=f(xi), ( i=0,1,2,n) n次插值多项次插值多项式式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn 存在而且惟一存在而且惟一。二、二、Lagrange插值多项式：插值多项式：0( )( )nnk kkL xy lx称为称为Lagrange插值基函数。插值基函数。011011()()()()(

10、 )()()()()kknkkkkkkknxxxxxxxxlxxxxxxxxx0,1,2,kn三、插值余项三、插值余项: Rn (x)= f (x) - Pn (x)=(1)1()( )(1)!nxnfwxn( , )xa bx且依赖于10( )(),nniiwxxx,ba1nkx), 1 , 0(nk)(xfkA)()(xfxLn bankkbaknbaxfdxxldxxLdxxfI0)()()()(0()nkkkA f xbakkdxxlA)(), 1 , 0(nk7.2 7.2 牛顿牛顿- -柯特斯求积公式柯特斯求积公式上取定上取定个点个点，经过这些点作插值多项式，用插值多项式，经过这些

11、点作插值多项式，用插值多项式，进而确定，进而确定如果利用如果利用LagrangeLagrange插值多项式插值多项式型求积公式型求积公式其中其中插值型求积公式的基本思想：插值型求积公式的基本思想：在在7.2.1 7.2.1 牛顿牛顿- -柯特斯求积公式柯特斯求积公式代替被积函数代替被积函数，则有插值，则有插值 (7.3)(7.3),bannabhnkkhaxk, 1 , 0, nnkjjbankjjjkjbakkhdthjkhjtthaxdxxxxxdxxlA000)()()()(ndtnkkkkkkkntktkttth0)() 1)(1() 1()() 1)(1() 1(nkndtntktk

12、tttknkh0)() 1)(1() 1()!( !) 1(等距节点情形等距节点情形: :将区间将区间划分为划分为等分，步长等分，步长，选取等距节点，选取等距节点，此时，此时， nnkjjkndtjtknkh00)()!( !) 1( ,bahnnkk记A = b-a C nnkjjknknkdtjtknknabAC00)()()!( !) 1()()()(0)(knknkbaxfCabdxxfI)(nkC nnkjjknnkdtjtknknC00)()()!( !) 1(即记即记将其代入公式（将其代入公式（7.37.3），得到），得到牛顿牛顿- -柯特斯公式柯特斯公式其中其中称为称为柯特斯系

13、数柯特斯系数， . . （7.57.5）， （7.47.4）对不同的对不同的n, ,柯特斯系数可按公式（柯特斯系数可按公式（7.57.5）计算）计算. .1n(1)(1)011/2,cc1() ( )( )2Tbaf af b2n6/1, 6/4, 6/1)2(2)2(1)2(0ccc ( )4 ()( )62baabSf aff b当当时（有两个等距求积节点），时（有两个等距求积节点），相应的求积公式就是相应的求积公式就是梯形公式梯形公式当当时（有三个等距求积节点），时（有三个等距求积节点），相应的求积公式就是相应的求积公式就是辛普森公式辛普森公式（7.77.7）（7.67.6）1 012(

14、1)1000( 1)11(1)11 0! (1 0)!22Ctdtt 1 11(1)2 1100( 1)11(0)1 1! (1 1)!22Ctdtt 2 12(2)101422 1! 2 1 !6ct tdt 时的牛顿时的牛顿- -柯特斯公式则特别称为柯特斯公式则特别称为柯特斯公式柯特斯公式4n012347 ()32 ()12 ()32 ()7 ()90baCf xf xf xf xf x,0,1,4,kxakh k4/ )(abh当当其中，其中，（7.87.8）柯特斯系数的部分数据见柯特斯系数的部分数据见教材教材179页页表表7-2.( )01.nnkkC( )1f x 8n ( )nkC

15、8n 【注注】 这是因为这是因为此式成立此式成立. .这说明：求积系数与被积函数、节点的选取均无这说明：求积系数与被积函数、节点的选取均无关，其和恒为关，其和恒为1.1.时，时，出现负值，计算不稳定，故不能应用出现负值，计算不稳定，故不能应用的牛顿的牛顿- -时，公式时，公式（7.47.4）精确成立，因此必有精确成立，因此必有（2 2） 根据表根据表7-27-2，当当柯特斯系数柯特斯系数柯特斯公式柯特斯公式.（1 1） 柯特斯系数的和恒为柯特斯系数的和恒为1 1，即，即,ba1nkx), 1 , 0(nk)(xf)(xLn)()()(xRxLxfnnbanbanbadxxRdxxLdxxfI)

16、()()(bandxxRfR)(bandxxwnf)()!1()()1(banndxxxxxnf)()()!1()(0)1(7.2.2 7.2.2 截断误差截断误差上上个等距节点个等距节点，得到，得到的插值多项式的插值多项式. .由于由于，因此，因此牛顿牛顿- -柯特斯公式的截断误差（即余项）为柯特斯公式的截断误差（即余项）为（7.9）已知已知thaxnnhdthnthtthnf0)1()() 1()!1()(nnndtntttfnh0)1(2)() 1()()!1(当当1n时，时，梯形公式的截断误差梯形公式的截断误差为为10)2(31) 1()(! 2)(dtttfhdxxRTIRbaT0)

17、 1( tt)()2(xf10)2(3) 1()(2dtttfhRT,)(12)()2(3bafab注意到注意到，若要求，若要求连续，根据连续，根据中值定理，则有梯形公式的截断误差中值定理，则有梯形公式的截断误差返回例返回例1)()4(xf4(4)()( ) , 1802SbabaRISfa b 6(6)2()()( ) , 9454CbabaRICfa b 如果如果连续，连续，辛普森公式的截断误差为辛普森公式的截断误差为柯特斯公式的截断误差为柯特斯公式的截断误差为（7.117.11）返回例返回例1 110dxeIx8591409. 1)(20110eeTIxexf)(xexf )(23. 0

18、12)(max12110 exfTIRxT7188612. 1)4(60112/10eeeSIx）（exf)(400094. 02880)(max28801410exfSIR）（xS例例1 1 计算积分计算积分，并估计误差，并估计误差. .由于由于，所以，所以，于是，于是，梯形公式的误差梯形公式的误差2 2） 用用辛普森公式辛普森公式计算，计算，由于由于，于是，于是，辛普森公式的误差辛普森公式的误差解解 1 1） 用用梯形公式梯形公式计算计算(2)( )0fx (4)( )0fx ( )f xn( )f x【注注】 时，梯形求积公式准确成立；时，梯形求积公式准确成立；即梯形公式对一次多项式准确

19、成立，即梯形公式对一次多项式准确成立，是是（3 3） 数值求积方法是一种近似方法，因此，要求求积公式数值求积方法是一种近似方法，因此，要求求积公式 作为衡量公式逼近好坏的标准之一，下面给出作为衡量公式逼近好坏的标准之一，下面给出代数精度代数精度的概念的概念. .时，辛普森公式准确成立时，辛普森公式准确成立. .（2 2） 一般地，由余项一般地，由余项公式公式(7.9)(7.9)知，当知，当次多项式次多项式时，积分余项为零，从而牛顿时，积分余项为零，从而牛顿- -柯特斯求积公式准确成立柯特斯求积公式准确成立. .对尽可能多的被积函数对尽可能多的被积函数能准确计算积分值能准确计算积分值. .而辛普

20、森公式对三次多项式准确成立而辛普森公式对三次多项式准确成立. .当当（1 1） 当当m1mm7.2.3 7.2.3 代数精度代数精度能准确求出积分值，而对某个能准确求出积分值，而对某个积分，则称该求积公式具有积分，则称该求积公式具有次代数精度次代数精度. .【定义定义1 1】 如果某求积公式对于次数小于等于如果某求积公式对于次数小于等于的多项式的多项式次多项式就不能准确求出次多项式就不能准确求出例例1：验证梯形公式的代数精度：验证梯形公式的代数精度m=1( ) ( )( )2babaf x dxf af b解：解：(1)当当f(x)=1时时1badxba左端：左端：(1 1)2baba右端：右

21、端：左端左端=右端右端这表明求积公式对这表明求积公式对f(x)=1是准确成立的是准确成立的(2)当当f(x)=x时时221()2baxdxba左端：左端：221()()22baabba右端：右端：左端左端=右端右端这表明求积公式对这表明求积公式对f(x)=x是准确成立的是准确成立的(3)当当f(x)=x2时时2331()3bax dxba22()2baab右端：右端：左端左端右端右端这表明求积公式对这表明求积公式对f(x)=x2不能准确成立不能准确成立左端：左端：故梯形公式的代数精度故梯形公式的代数精度m=1辛普生公式的代数精度辛普生公式的代数精度分别取分别取 f(x) = f(x) = 1,

22、 x, x2, x3 ， 则有则有所以，所以，辛普生公式的代数精度为辛普生公式的代数精度为3 3。554d462but d4562()( )( )( )(),()( )( )(),bababaabI ff xxf aff bS fbabaabI fxxf aff bS fd462()( ) ( )()( )()babaabf xxf aff bS fmmxxxf, 1)(1)(mxxfnkbammmmkknkbakknkbakmabdxxxAabxdxxAabdxA0110220,1,2,1kxkAm由定义由定义1 1，具有，具有次代数精度的求积公式（次代数精度的求积公式（7.37.3）对）对

23、时精确成立，而对时精确成立，而对成立成立. .为了构造形如公式（为了构造形如公式（7.37.3）的求积公式，通过解方程组）的求积公式，通过解方程组可得求积节点可得求积节点与求积系数与求积系数，由此求得具有，由此求得具有次代数精度的求积公式次代数精度的求积公式. .不能精确不能精确nn1n( )f xn(1)( )0nfx( )0bnaR x dx n1( )nf xx(1)( )(1)!nfxn2000( )()()nnbbnnnjaajjR x dxxx dxhtj dt2ntu2202( )()2nnbnnnajnR x dxhuj du0()2njnujun( )0bnaR x dx 对牛顿对牛顿- -柯特斯求积公式，有下面结论柯特斯求积公式，有下面结论. .数精度，而当数精度，而当为偶数时，至少具有为偶数时，至少具有次代数精度次代数精度. .为任何次数不高于为任何次数不高于的多项式时，的多项式时，所以，所以, ,显然结论成立显然结论成立. .为偶数时，只须对为偶数时，只须对时的结论验证时的结论验证. .因为因为，由截断误差公式，由截断误差公式若令若令，则有，则有注意到注意到是是的奇