第六章_二元函数微积分

1、微积分第六章第六章二元函数微积分二元函数微积分一元函数微分学一元函数微分学 推广推广多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同微积分第一节第一节二元函数的基本概念二元函数的基本概念 一、平面点集一、平面点集二、二元函数的概念二、二元函数的概念三、二元函数的极限三、二元函数的极限四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性微积分1、邻域、邻域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx一、平面点集一、平面点集 微积分(1) (1) 内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集设有点集E E及一点及一点P P : : 若存在点若存在点

2、P P的某邻域的某邻域 U U( (P P) ) E E , , 若存在点若存在点P P的某邻域的某邻域 U U( (P P) )E E = = , , 若对点若对点P P的的任一任一邻域邻域U U( (P P) )既含既含E E中的内点也含中的内点也含E EE则称则称P P为为E E的的内点；内点；则称则称P P为为E E的的外点外点 ; ;则称则称P P为为E E的的边界点边界点 . .的外点的外点 , ,显然显然, ,E E 的内点必属于的内点必属于E E , , E E 的外点必不属于的外点必不属于E E , , E E 的的边界点可能属于边界点可能属于E E, , 也可能不属于也可能

3、不属于E E . . 2. 2. 区域区域微积分若对任意给定的若对任意给定的 , ,点点P P 的去心的去心) ,(PUE邻域邻域内总有内总有E E 中的点中的点 , , 则则称点称点P P是是E E 的的聚点聚点. .2) 2) 聚点可以属于聚点可以属于E E , ,也可以不属于也可以不属于E E ( (因为聚点可以为因为聚点可以为 E E 的边界点的边界点 ) )（2 2）聚点）聚点1) 1) 内点一定是聚点；内点一定是聚点；10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合yx| )y,x(122 例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是

4、聚点也都属于集合微积分D D(3) (3) 开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集若点集E E的点都是的点都是内点内点，则称，则称E E为为开集开集； 若点集若点集E E E E , , 则称则称E E为为闭集闭集； 若点集若点集D D中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于D D的折线相连，的折线相连， 开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域. .则称则称D D是是连通的；连通的； 连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域，简称，简称区域区域 ；。 。 E E 的边界点的全体称为的边界点的全体称为E E 的的边界边界, ,记作记作 E E ; ;微积分的的

5、边边界界点点为为），则则称称可可以以不不属属于于，也也本本身身可可以以属属于于的的点点（点点也也有有不不属属于于的的点点，于于的的任任一一个个邻邻域域内内既既有有属属如如果果点点EPEEPEEPEP 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 EE微积分例如，例如，在平面上在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx开区域（开区域（连连通的开集通的开集）闭区域（闭区域（开开区域连同它区域连同它的边界的边界） xyoxyoxyo21xyo1 2微积分 整个平面整个平面 点集点集 1),(xyx是开集，是开集， 是最大的开域是最大的开域 , , 也

6、是最大的闭域；也是最大的闭域；但非区域但非区域 . .11o oxy 对区域对区域D D, ,若存在正数若存在正数K K, ,使一切点使一切点P P D D与某定点与某定点 A A 的距离的距离 APAPK K ,( ,(或总可以被包围在一个以原或总可以被包围在一个以原点为中心、半径有限大的圆内的区域点为中心、半径有限大的圆内的区域） 则称则称D D为为有界域有界域. .否则称为否则称为无界域无界域. .微积分二、二元函数的概念二、二元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积 定量理想气体的压强,2hrV,(为常数）RVTRp 0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVhrSxy 长方形的

7、面积公式,0,0 x y xy微积分定义定义：设在某个变化过程中有三个变量三个变量,zx yD和，是 平 面 上 的 一 个 非 空 点 集 .,zx yD如果当变量在 内任取一组值时，变量 按照某一确定的法则f总有唯一确定的数值与之对应，则称变量z, x y为变量的二元函数，通常记为 ,zfx yx yD其中点集D称为该函数的定义域，,.x yz称为自变量， 称为因变量数集 ,.z zf x yx yD称为该函数的值域微积分二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz （如下页图）（如下页图）微积分二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.微积分例例1 1 求求 的定义域的定

8、义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 微积分xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:微积分图图形形)(221yxzxyzo221yxzxyz微积分定义定义: :设函数设函数),(yxfz 在点在点000( ,)p x y的的某个去心邻域某个去心邻域内有内有定义定义，如果存在常数，如果存在常数 A A，使得当动点，使得当动点( , )p

9、x y沿任意沿任意路径路径趋于点趋于点000(,)P xy时，函数时，函数( , )f x y总无限趋于总无限趋于 A,A,则则称常数称常数 A A 为函数为函数( , )f x y当当00( , )(,)x yxy时的极限. 记作记作: : 00,)lim( , )yf x yA（x,y) (x 二、二元函数的极限（又称二重极限）二、二元函数的极限（又称二重极限）00( , )(,)lim( , )x yxyf x yA,0 ,0 时，时，当当00 PP有有( , )f x yA微积分几点说明：几点说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）罗必塔法则不可用；）

10、罗必塔法则不可用；（3）若）若 的方式不同，使得极限不相同，则的方式不同，使得极限不相同，则 此二元函数的极限一定不存在；此二元函数的极限一定不存在；（4）0PP 00000,0,)()lim,limlim.xxyyyyxxx yxy（表示的是累次极限，与二重极限不同微积分例题讲解例题讲解求下列极限求下列极限( , )(1,0)sin()(1)limx yxyy222( , )(0,0)(2)limx yxyxy242( , )(0,0)(3)limx yx yxy22( , )(0,0)(4)limx yxyxy微积分（2） 找找两两种种不不同同趋趋近近方方式式，使使),(lim00yxfy

11、yxx存存在在，但但两两者者不不相相等等，此此时时也也可可断断言言),(yxf在在点点),(000yxP处处极极限限不不存存在在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：微积分闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最

12、大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理微积分思考题解答思考题解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41微积分观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.微积分观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.微积分观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形y

13、xyxz 不存在不存在.微积分观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.微积分观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.微积分观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.微积分观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.微积分观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.微积分观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.微积分观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.微积分观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.微积分例例5 5 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 微积分 2)0 , 0(),(fyxf故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.),0