第1章第4讲运动图像和追及与相遇问题

1、一、图象问题的基本处理方式1找坐标：利用横坐标找纵坐标，利用纵坐标找横坐标2找规律：根据图线变化情况，确定两坐标所对应的物理量之间的关系有的可以写出对应方程式3找截距：利用图线跟坐标轴的交点，确定特殊时候的物理量的值，有时利用它们写方程4求斜率(ktan)：曲线切线的斜率与曲线上一点跟坐标原点连线的斜率的物理意义常常不同角是通过坐标来确定，而非直接量出的度数5求面积：曲线跟坐标轴包围的面积，时常具有一定的物理意义注意面积正负的物理含义6找交点：同一坐标系中常常画出几条曲线，它们的交点表示对应的物理量相同二、图象的作用1直观地反应位移x和速度v随时间t变化的规律2可以直接得出任意时刻的位移和速度

2、3可以求出速度和加速度的大小和方向(看斜率)4vt图线与时间轴所围“面积”表示物体在时间t内的位移.比较xt图象vt图象图象图象的物理意义反映的是位移随时间的变化关系反映的是速度随时间的变化关系图象的形式匀速直线运动的xt图象是一条倾斜的直线,如上图中b、c、d匀变速直线运动的vt图象是一条倾斜的直线,如上图中b、c、d图象斜率的意义直线斜率的大小表示物体运动速度的大小；直线斜率的正负表示运动方向直线斜率的大小表示物体运动的加速度的大小；直线斜率的正负表示加速度方向图象交点的意义图线的交点表示到O点的位移相等图线的交点表示某一时刻速度相等续表比较xt图象vt图象图象与坐标轴交点的意义图象与x轴

3、的交点表示物体的初位置;图象与t轴的交点表示物体从参考点的一侧运动到另一侧的时刻图象与v轴的交点表示物体的初速度;图象与t轴的交点表示物体的速度开始反向的时刻图象与坐标轴周围成的“面积”的物理意义没有意义表示相应时间内的位移.面积在t轴上方,则位移为正;面积在t轴下方,则位移为负=tan=tanvaxvvavatt在直线运动图象中，利用斜率计算 、 时，要用和进行计算，不要利用或，通过量角度，查表方式进行计算，因为不同的坐标系，选取标度不同，则即使同一问题，量出的角度一般不同，造成说明：结果不同三、图象的实际意义用图象描述一个物体的运动，要和物体的运动情景结合起来，才能对各量的意义有更为明确的

4、理解，看到一个运动图象就要想到其运动情景；反之看到文字描述的情景也要能反映出其对应的图象图象是描述物理规律的重要方法位移和速度都是时间的函数，因此描述物体运动的规律常用位移时间图象(xt图)和速度时间图象(vt图)对于图象要注意理解它的物理意义，即对图象的纵、横轴表示的是什么物理量，图线的斜率、截距代表什么意义都要搞清楚形状完全相同的图线，在不同的图象(坐标轴的物理量不同)中意义会完全不同下表是对形状一样的xt图和vt图意义上的比较xt图vt图表示物体做匀速直线运动(斜率表示速度v)；表示物体静止；表示物体静止；表示物体向正方向的反方向做匀速直线运动；交点的纵坐标表示三个运动质点相遇时的位移；

5、表示t1时刻物体位移为x1表示物体做匀加速直线运动(斜率k表示加速度a);表示物体做匀速直线运动表示物体静止；表示物体做匀减速直线运动；交点的纵坐标表示三个运动质点的共同速度；表示t1时刻物体速度为v1(图中阴影部分面积表示质点在0t1时间内的位移)四、追及与相遇问题虽然新课程标准对追及与相遇问题已人为淡化但作为一轮复习还是应予一定的时间，毕竟对于培养学生的画草图能力及分析解决问题能力有一定帮助对于加深对图象的理解有一定的帮助1分类：(1)初速度为零的匀加速直线运动的物体A追及同方向的匀速运动的物体B，一定能赶上在追上之前两者有最大距离的条件是两物体速度相等(2)匀速运动的物体A追及同方向做匀

6、加速运动的物体B，恰好追上或恰好追不上的临界条件是两物体的速度相等时的位置相同物体A追及物体B：开始时，两个物体相距x0，要使A追上B时，必有xAxBx0，且vAvB；物体A追及物体B：开始时，两个物体相距x0，要使两物体恰好不相撞(即追不上)，必有xAxBx0，且vAvB.(3)匀减速运动的物体追及同方向的匀速运动的物体时，情形跟第二种情况相似2分析方法(1)解题思路：分析两物体运动过程,画运动示意图由示意图找两物体位移关系据物体运动性质列含有时间的位移方程并解答(2)追及和相遇问题多种解法数学公式法:追及和相遇问题,可以根据两物体运动性质,(如果追上或相遇则两物体在同一时刻到达同一位置),

7、从而列出位移关系方程,并建立时间关系,列式求解.如若追及者甲和被追及者乙最初相距d0，令两者在t时相遇，则有x甲x乙d0，得到关于时间t的一元二次方程：当b24ac0时，两者相撞或相遇两次；当b24ac0时，两者恰好相遇或相遇不相撞；b24ac0时，两者不会相撞或相遇物理分析法：追及和相遇问题除了列方程，用公式的方法解决外，也可以用物理逻辑推理分析的方法求解，就是根据物理情景，结合科学的推理得到结论如两物体处于同一位置时速度相等，或两物体速度相等时恰处于同一位置是追上和追不上的临界条件通过找临界条件列方程求解图象法：图象法解追及相遇问题，一般画出两物体的速度图象，利用图象围成的面积即为物体的运

8、动位移大小的特点，解决物理问题，该方法往往较为直观方便应用图象，可把较复杂的问题转变为简单的数学问题解决尤其是用图象定性分析，可避开繁杂的计算，快速找出答案3分析追及、相遇问题时应注意的问题：(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点如两物体恰能相遇的临界条件是，两物体处于同一位置时速度相等，或两物体速度相等时恰处于同一位置(2)两个关系，即时间关系和位移关系时间关系是指两物体的运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后运动等；位移关系是指两物体是同地运动还是一前一后运动等通过画示意图找到两物体间的位移关系是解题的

9、突破口，因此要养成画图分析问题的习惯(3)若被追及的物体做匀减速直线运动，一定要注意，追上之前该物体是否已经停止运动(4)仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中隐含的条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，根据它们对应的临界状态分析相应的临界条件4追及与相遇与图象的结合类型图象特点(一)匀加速追匀速能追及且只能相遇一次；交点意义：速度相等，追上前两物体的距离最远(二)匀减速追匀速当v减v匀时，如果xx0，则恰能追及，这也是避免相撞的临界条件，只相遇一次；若xx0，则不能追及(其中x0为两物体开始追及时的距离)交点意义：速度相等时若未追及，则距离最近；若xx0(也就是xx0

10、时，v减v匀)能相遇两次(三)匀速追匀加速规律同上(二)(四)匀速追匀减速规律同上(一)(五)匀加速追匀减速规律同上(一)(六)匀减速追匀加速规律同上(二)一、图象的基本问题1识图：通俗地讲就是要把图看懂，即已知图象，要同学们能把图象所反映的物体的运动过程或物理规律理解清楚具体来说，就是识别纵、横坐标所代表的物理量，图象反映出什么物理规律，明确物理图象中的点(起点、交点、拐点、终点)、线(直、曲)、峰值、截距、斜率、面积、正负号等的物理意义，以及图象给我们提供了哪些有用的信息例1、一质点沿直线运动时的速度时间图线如图141所示，则以下说法中正确的是 ()A第1s末质点的位移和速度都改变方向B第

11、2s末质点的位移改变方向C04s内质点的位移为零D第3s末和第5s末质点的位置相同CD解析：该图象为速度图象，从图线中可以直接从纵坐标轴上读出速度，其正、负就表示速度方向，位移为速度图线下的“面积”，在坐标轴下方的“面积”为负由图中可直接看出，速度方向发生变化的时刻是第2s末、第4s末，而位移始终为正值，前2s内位移逐渐增大，第3s、第4s内又逐渐减小第4s末位移为零，以后又如此变化.03s内与05s内的位移均为0.5m.故选项CD正确点评：速度图线(切线)的斜率表示加速度；位移图线(切线)的斜率表示速度速度图线与横轴围成的面积与位移大小相等变式训练1、如图142所示为表示甲、乙物体运动的xt

12、图象，则其中错误的是 ()A甲物体做变速直线运动，乙物体做匀速直线运动B两物体的初速度都为零C在t1时间内两物体平均速度大小相等D相遇时，甲的速度大于乙的速度B解析：xt图象描述物体运动位移随时间变化的关系，图线(某点切线)斜率表示速度，故B错，A、D正确；图线交点表示两物体相遇，又从图线上看出两物体从同一位置出发，t1时间内的位移相等，所以平均速度大小相等，C正确变式训练2、(2009广东卷)某物体运动的速度图象如图143所示，根据图象可知 ()A02s内的加速度为1m/s2B05s内的位移为10mC第1s末与第3s末的速度方向相同D第1s末与第5s末加速度方向相同AC解析：vt图象反映的是

13、速度v随时间t的变化规律，其斜率表示的是加速度，A正确；图中图象与坐标轴所围成的梯形面积表示的是05s内的位移为7m，在前5s内物体的速度都大于零，即运动方向相同，C正确；02s加速度为正，45s加速度为负，方向不同2辨图：对于具体物理过程的图象分析例2、如图144所示,有两个固定光滑斜面AB和BC,A和C在同一水平面上,斜面BC比AB长,一个滑块自A点以速度vA上滑,到达B点时速度减小为零,紧接着沿BC滑下,设滑块从A点到C点的总时间为tC,那么图中正确表示滑块速度v大小随时间t变化规律的是 ( )B解析：速度时间图象中，直线的斜率表示匀变速直线运动的加速度，加速度越大，直线越陡；而物体从A

14、经B到C的整个过程中，由于无阻力，故A、C两处的速率相等，选项C不正确；AB和BC两段上平均速率相等，AB段比BC段运动的时间短，选项A不正确；又因为AB段的加速度大于BC段的加速度，两段均做匀变速直线运动，AB段和BC段的速度图线为直线，选项B正确，D错误点评：要理解图象的意义，根据图线描绘出物体的物理过程，才能正确地求解这类问题变试训练3、(2010安徽理综)质量为2kg的物体在水平推力F的作用下沿水平面做直线运动，一段时间后撤去F，其运动的vt图象如图145所示g取10m/s2，求：(1)物体与水平面间的动摩擦因数；(2)水平推力F的大小；(3)010s内物体运动位移的大小 220222

15、2202222-2/ -0.2 1 tttffftvvavvam sFFmaFmgag设物体做匀减速直线运动的时间为，初速度为，末速度为，加速度为 ，则 设物体所受的摩擦力为，根据牛顿第二定律有 联立得：解析： 110112110111221210111202221263-1/146122ttftvvavvam stFFmaxFmgmaNxxvtamtvtat解法设物体做匀加速运动的时间为、初速度为、末速度为、加速度为 ，则 根据牛顿第二定律有 联立得：由匀变速运动的位移公式：一：得10112021()4.622tvtvvvxmtt根据 图象围成的面解法二：积得：变式训练4、两辆游戏赛车a、b

16、在两条平行的直车道上行驶t0时两车都在同一计时处，此时比赛开始它们在四次比赛中的vt图如图所示哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆 ()解析：vt图线与时间轴围成的几何图形的面积等于这段时间位移的大小B、D两图中无法得到相等时间面积相等的几何图形，但在A、C两图中都可以实现A图所描述的是a在前，b在后，最后b追上a并超过；C图所描述的是a在前做减速运动，b在后做加速运动，最后b追上a并超过3.用图：“用图”就是运用图象分析和解决问题具体来说，就是利用图象中的点(起点、交点、拐点、终点)、线(直、曲)、峰值、截距、斜率、面积、正负号等的物理意义来定性分析和定量计算或理解物理规律(1)比较物

17、体的运动时间例3、如图146所示，两光滑斜面的总长度相等，高度也相同，两球由静止从顶端滑下，若球在右图斜面上的转折处无能量损失，则两球谁先滑至底端？图1-4-6解析：由于两斜面光滑，高度相等因此，两球滑至底端时的速度大小相等b球在斜面上C点之前的加速度大于a球的加速度，在C点之后的加速度小于a球加速度又因为两斜面长度相等，即两球下滑的位移相等，故两图象下的面积相等这样，作出两小球的速度图象如图所示，由图象可以看出：tbsbsc，则b与c的平均速率相等，a的平均速率最大 12121212.()2. . 4 .2 ACBABCABBCABaBCav vBvAaaB aaC aaD物体做加速直线运动

18、，依次通过 、 、 三点，物体在段加速度为 ，在段加速度为 ，且物体在 点的速度为，则 比较物体的加速度 例 、不能确定C解析：依题意作出物体的vt图象，如右图所示图线下方所围成的面积表示物体的位移，由几何知识知图线、不满足ABBC.只能是这种情况因为斜率表示加速度，所以a1a2，选项C正确变式训练7、如图1-4-8所示，质量相同的木块A、B用轻弹簧连接，置于光滑水平面上，弹簧处于自然长度，现在用水平恒力F推木块A，则在弹簧第一次被压缩至最短的过程中，当A、B速度相同时，谁的加速度较大？ 图1-4-8解析：在弹簧压缩过程中，A做加速度减小的加速运动，B做加速度增大的加速运动，可定性作出它们的速

19、度图象如图中的A、B所示它们的交点为C，此时两物体速度相同，而从图可以看出图象B在该处切线的斜率大于A的斜率，即此时A的加速度小于B的加速度故，速度相同时，A的加速度小于B的加速度二、追及与相遇问题例5、在水平轨道上有两列火车A和B相距x,A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞,求A车的初速度v0满足什么条件.2000200()1=+( 2 )2= +(-2 )1=26= 6.()AABBABABA BAxv tatvvatBxatvatx xxvvvavvaxxA、 车的运动过程如图利用

20、位移公式、速度公式求解对 车有对 车有，两车有追上时，两车不相撞的临界条件是联立以上各式解得故要使两车不相撞， 车的初速度 应满足的条件解法一： 物理分析是：法解析22020200011( 2 )223220(2 )4 32)0(6.ABxxxv tatxatatv txtvaxtAvaxv利用判别式求解，由解法一可知，即 整理得 这是一个关于时间的一元二次方程，当根的判别式 时， 无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞， 车的初速度 应满足的条件是解法二： 极值法0002000002=311=()6=2236ABA BtAvv vatBvv atvtatxvvxv tvaaAvva利用速

21、度时间图象求解，先作 、 两车的速度时间图象，其图象如右图所示，设经过时间两车刚好不相撞，则对 车有 对 车有 以上两式联立解得经时间两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知，所以要使两车不相撞， 车的初速度 应满足的条件： 图是解法三象法. x0220200200=-2=-3 .0202 ( 3 )(66,.)AttABAvaaaa ABvABxvva xvavxvaxAvax巧选参考系求解，以 车对参考系，车的初速度为 ，加速度为车追上 车且刚好不相撞的条件是： ，这一过程 车相对于 车的位移为 ，由运动学公式 得： ，所以 =即要使两车不相撞，车的初

22、速度 应满足的条件是解法四： 相对运动法变式训练8、在十字路口，汽车以0.5m/s2的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以5m/s的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：(1)什么时候它们相距最远？最远距离是多少？(2)在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？ 22212121-5 -0.521-102541025 .10504020020205201000.520/11201/xxxttttsxmxttttsttssxmmvm sm s 自汽汽（）当 时，有最大值，最远距离为追上时 ，即 解得 ， ， 表示开始两车从同一位置出发，表示经汽车追上自行车，此时两车行驶的

23、距离 ，解析：汽车的速度方法 ：（） 2225s110s0.51215 10m0.5 10 m25m212225s20s0.25vvvvvvvvvvattaxvtatxxvtatvta自汽汽自汽自汽自自汽开始，两车距离不断增大，当汽车速度增大到，两车的距离将逐渐减小，所以 时，两车距离最大 ， ， 最远距离： 追上时，方， ，此时汽法 ：车的速度 2210000000.5 20/10/110.5 20100225100.5510252213vatm sm sxatmmABOvatvtssavxtmm汽 行驶的距离 画出两车的速度时间图象如右图示从图中可看出当速度相等时两车相距最远，最远的距离为

24、的面积由 ， ，得： 方法 ：0022020 0.5/10/20100OABBDCSSttsvm sm sxtmm从图中可看出当时，汽车追上自行车，此时 ，追上时汽车的速度为：位移 例6、在水平面上，一辆小车从静止开始以1m/s2的加速度前进有一人在车后与车相距x020m处，同时以6m/s的速度匀速追车(1)试分析人能否追上车？(2)若能追上，求追上时小车的速度；若追不上，求人与车的最小距离 min001110661181820381223638362vtssavxtm x xmmmxvtmxx xxx xxmmm当人与车相距最近时，即人与车速度相等时，所需时间：车的位移：， 人的位移： 因为 ，所解析： 以，人追不上小车两者相距的最小 离距 ：例7、经检测汽车A的制动性能：以标准速度20m/s在平直公路上行驶时，制动后40s停下来现A在平直公路上以20m/s的速度