第八章卡尔曼滤波与LQG控制

1、同济大学汽车学院 目目 录录1.引言钟再敏现代控制理论基础6离散时间状态观测器与离散时间状态观测器与LQG控制控制Discrete Time Observers and LQG Control同济大学 汽车学院College of Automotive, Tongji University同济大学汽车学院 连续系统的离散化连续系统的离散化给定给定LTI系统系统LTI系统的输入系统的输入u为离散控制量，采样周期为为离散控制量，采样周期为T，采样期间采样期间ZOH零阶保持，零阶保持，则采样保持期间的系统相应可以计算得到：则采样保持期间的系统相应可以计算得到：其中：其中：进而：进而：同济大学汽车学院

2、 连续系统的离散化连续系统的离散化框图表示为：框图表示为：Z变换表示为变换表示为：引入状态反馈控制：引入状态反馈控制：可以得到可以得到：同济大学汽车学院 3.6 连续系统的时间离散化连续系统的时间离散化 , (1)x tA t x tB t u t3.6.1 3.6.1 近似离散化近似离散化考虑系统考虑系统 1. (2)x tx kx kTT当采样周期当采样周期 很小时，很小时，有有同济大学汽车学院 tkT令,(1)(2): 1,xkTx kTTA kT x kTB kT u kT 1,xkTITA kTx kTTB kT u kT .G kT x kTH kT u kT其中：其中：,.G k

3、TITA kTH kTTB kT同济大学汽车学院 3.6.2 3.6.2 线性时不变系统状态方程的离散化线性时不变系统状态方程的离散化考虑系统：考虑系统： , x tAx tBu t 000tA t tA ttx tex teBud其状态方程的解为：其状态方程的解为：假设：假设：(1) 等采样周期等采样周期T： (2) ,1.u tu kTkTtkT 同济大学汽车学院 则有：则有：()( )()( )()111kTA kTATkTx kTex kTeBudttt+轾+-臌轾+=+臌11kTAkTATkTex kTeBdu kT()( )()( )01A tATx kTex kTeBdt u k

4、Tt轾+=+臌( )()( )0A tATex kTedt Bu kTt=+01,tkTtkT令令,ddt 则则 1,tkT令令同济大学汽车学院 1.xkTGx kTHu kT则线性时不变系统离散状态方程为：则线性时不变系统离散状态方程为：0,TATAtGeHe dB令令同济大学汽车学院 连续系统离散化的几点说明：连续系统离散化的几点说明：(1) 近似离散化是一般离散化的特例近似离散化是一般离散化的特例(2) 定常系统离散化是时变系统离散化的特例定常系统离散化是时变系统离散化的特例(3) 一般说来，没有精确离散化一般说来，没有精确离散化(4) 离散化是有条件的，离散化是有条件的，“连续化连续化

5、”是无条件的是无条件的(5) 连续系统的结论可以在离散系统中找到对应，连续系统的结论可以在离散系统中找到对应，反之则未必反之则未必同济大学汽车学院 解：解：(1) (1) 近似离散化近似离散化: :GITA 则100110.20.2,01230.40.4 000.210.2 0.2 .Ts离散化，离散化，例例3.6.13.6.1把状态方程把状态方程1122010231xxuxx 同济大学汽车学院 1,xkTGx kTHu kT所以近似离散化状态方程为所以近似离散化状态方程为: :10.200.210.20.20.40.41xkxkuk 即即 同济大学汽车学院 时间时间 k k过去过去 - -

6、现在时刻现在时刻 - - 将来将来已知已知求现在时刻的求现在时刻的值值滤波滤波？求过去时间段求过去时间段某一点的值某一点的值数据平滑、数据平滑、插值、拟合插值、拟合？求将来时间段求将来时间段某一点的值某一点的值估计、预测估计、预测？拟合、滤波与估计拟合、滤波与估计同济大学汽车学院 离散化状态观测器离散化状态观测器预测：预测：滤波：滤波：同济大学汽车学院 离散化状态观测器与闭环控制离散化状态观测器与闭环控制带有离散状态观测器的闭环反馈控制系统：带有离散状态观测器的闭环反馈控制系统：同济大学汽车学院 Kalman滤波器滤波器-最优估计最优估计如何设计状态观测器的增益系数，考虑噪声环境下测量噪声v(

7、k) 和过程噪声w(k)为零均值高斯噪声,即Kalman滤波的原理是选择观测器增益Ke, 使得如下方差最小:测量噪声方差Rv一般由传感器指标决定过程噪声方差Rw主要考虑未知扰动和模型误差同济大学汽车学院 Kalman滤波器滤波器-最优估计的瞬态解最优估计的瞬态解瞬态增益系数的解如下测量更新时间更新同济大学汽车学院 Kalman滤波器滤波器-最优估计的两步更新过程最优估计的两步更新过程由测量得到新息 做最优估计 测量更新,由新息和历史数据进行估计时间更新,为下一步最优估计作准备同济大学汽车学院 P(k)-P(k)-误差估计阵误差估计阵K Kk k卡尔曼增益阵卡尔曼增益阵P(k|k-1)- P(k

8、|k-1)- 一步测量误差阵一步测量误差阵卡尔曼增益卡尔曼增益Kk的求法的求法卡尔曼滤波的特点：卡尔曼滤波的特点：适用于平稳适用于平稳/非平稳时间序列的滤波；非平稳时间序列的滤波；递推形式，便于实时；递推形式，便于实时；Kk与观测无关，可离线计算出来；与观测无关，可离线计算出来；由于存在两个延迟环节，因此需要给出由于存在两个延迟环节，因此需要给出P0和和X(0)（实验表明，可任取）；实验表明，可任取）；Kk在滤波收敛之后，不再发生改变。在滤波收敛之后，不再发生改变。同济大学汽车学院 滤波方程中各参数的含义：滤波方程中各参数的含义： P(k) - 滤波误差方差阵滤波误差方差阵 P(k|k-1) - 一步预测误差方差阵一步预测误差方差阵 Kk - 卡尔曼滤波增益卡尔曼滤波增益 若设若设H=1，则基本滤波方程变成：则基本滤波方程变成：JXXXXEXXEkPTkkkkTkk)()()1|()(1|() 1|(1,1,TkkTkkkkkkXXkkXXEXXEkkP( )()(|1)( )kkX kIKX k kK Z k卡尔曼滤波方程中各参数的含义卡尔曼滤波方程中各参数的含义同济大学汽车学院 Kalman滤波器滤波器-稳态解与稳态解与LQGKalman滤波器稳态