工程电磁场第一章3

1、1.5 1.5 分离变量法分离变量法Separation Variable Method下 页上 页 1. 1. 分离变量法的思想分离变量法的思想 把一个包含多个自变量的函数用含单个自变量的函数的把一个包含多个自变量的函数用含单个自变量的函数的乘积表示，从而将偏微分方程分离为几个常微分方程分别求乘积表示，从而将偏微分方程分离为几个常微分方程分别求解，最后利用边界条件确定积分常数，得到级数形式的解。解，最后利用边界条件确定积分常数，得到级数形式的解。分离变量法分离变量法解题的一般步骤：解题的一般步骤：写出边值问题（微分方程和边界条件）；写出边值问题（微分方程和边界条件）；分离变量，将偏微分方程分

2、离成几个常微分方程；分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程；解常微分方程，并叠加得到通解；解常微分方程，并叠加得到通解；利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的解。利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的解。下 页上 页 分离变量法采用正交坐标系，当场域边界与分离变量法采用正交坐标系，当场域边界与正交坐标面重合或平行时，分离变量法是一种有正交坐标面重合或平行时，分离变量法是一种有效的方法。效的方法。2. 2. 直角坐标系中的分离变量法（二维场）直角坐标系中的分离变量法（二维场）022222yx分离变量，设解答为：分离变量，设解答为：)()(),(21yxyx0dddd22212122yx代

3、入微分方程代入微分方程2222dd1y21211 ddx，设设分离常数的取值有三种情况：分离常数的取值有三种情况：0) 1 ( 0dd0dd222212yx下 页上 页221222121 d1 d0ddxy除以除以12分离常数分离常数yDCxBA002001)()()(0000210yDCxBAyx特解特解1 12222222122dd1dd1nnkykx下 页上 页指数函数指数函数 0 2(2nk) xkBxkAnnnnshch1ykDykCnnnnsincos2特解特解2 2ykDykCxkBxkAnnnnnnnnnsincosshch212222222121dd1dd1nnkykx下 页

4、上 页 0 )3( 2nkykDykCnnnnshch2xkBxkAnnnnsincos1特解特解3 3yshDychCxsinBxcosA21nnnnnnnnnkkkk)sincos)(shch(1ykDykCxkBxkAnnnnnnnnn )()()(000021yDCxBAyx通解为所有特解的叠加通解为所有特解的叠加下 页上 页)shch)(sincos(1ykDykCxkBxkAnnnnnnnnn 对于具体问题，根据边界条件确定积分常数，对于具体问题，根据边界条件确定积分常数，积分常数的确定一般有：积分常数的确定一般有： 比较系数法比较系数法 傅立叶级数展开法傅立叶级数展开法试求长直接

5、地金属槽内电位的分布。试求长直接地金属槽内电位的分布。 边值问题（边值问题（D 域内）域内）接地金属槽的截面xaaxayayaxaxyayxsin 1000000,0,0,00,0下 页上 页例例解解022222yx代入边界条件，确定积分常数代入边界条件，确定积分常数沿沿 x方向作正弦变化，方向作正弦变化，0nnnABA下 页上 页 双曲函数)sincos)(shch(1ykDykCxkBxkAnnnnnnnnn)()()(000021yDCxBAyx)shch)(sincos(1ykDykCxkBxkAnnnnnnnnn)(0000yDCxBA)shch)(sin(1ykDykCxknnnn

6、nn )3 , 2 , 1( nankn1( , )sin()shnnnnx yDxyaa下 页上 页)(0000yDCxBA)shch)(sin(1ykDykCxknnnnnn00,0ayx1 1）00,ayax3 3）00,0axy2 2）)3 , 2 , 1( a nnkn1100sinsh( ) sinnnxnDnxaa比较系数比较系数当 时，1n0nD yaxashyxsh)sin(100),(当 时，1n1sh100D1100shD n1( , )sin()shnnnx yDxyaa下 页上 页,0100 siny ax axa 4 4）若金属槽盖电位若金属槽盖电位 ，再求槽内电位

7、分布，再求槽内电位分布0U通解通解1, )sin)sh()nnnx yDxyaa（011sh( )sin()sin()nnnnnnUDnxExaax xanUaEandsin200., nnU., n 531442000当当 时，时，0Uay 下 页上 页傅立叶级数傅立叶级数04sh nnUEDnn代入通解代入通解0141( , )sin()sh()sh nUnnx yxynnaan奇数奇数04 13 5sh nUD n, , .nn 接地金属槽内的等位线分布下 页上 页下 页上 页下 页上 页01)(12222下 页上 页2. 2. 圆柱坐标系中的分离变量法（二维场）圆柱坐标系中的分离变量法

8、（二维场）设电位只是设电位只是 和和 的函数，拉普拉斯方程为：的函数，拉普拉斯方程为：分离变量分离变量, , 设设 )()(),(R 代入微分方程代入微分方程0dd1dddd22222RRRR22222dd1ddddRRRR分离常数分离常数令令=n2 下 页上 页0dddd222RRR0dd22 欧拉方程欧拉方程 因因)2k,(),()()2( k周期函数周期函数 = 正整数正整数当 时，0n000000)( ln)(DCBAR不是周期函数不是周期函数当当 时，时，0nnDnCBARnnnnnnnnsincos)( )()sincos( )(1nDnCBAnnnnnnn)ln(),(00BA通

9、解通解下 页上 页0dddd222RRR0dd22 欧拉方程欧拉方程 取圆柱坐标系，边值问题取圆柱坐标系，边值问题001)(1222122112aa0 垂直于均匀电场垂直于均匀电场E 放置一根放置一根无限长均匀介质圆柱棒，试求无限长均匀介质圆柱棒，试求圆柱内外圆柱内外 和和 E 的分布。的分布。 下 页上 页 均匀电场中的介质圆柱棒例例解解（有限值）002下 页上 页)B(A(01011ln),通解通解)sincos)(11111nDnCBAnnnnnnn)B(A02022ln),()sincos( )(22122nDnCBAnnnnnnn利用给定边界条件确定积分常数利用给定边界条件确定积分常

10、数参考点参考点cos 1EEx 对称性对称性 ),(),(n=1n=1比较系数比较系数下 页上 页cos)G(),(1EcosF),(2a 21021由分界面的衔接条件由分界面的衔接条件F)G( FG20aEaaEa200)()(GaE002F最终解最终解下 页上 页xx2ExeeE00222a0eEcos)()(1 (202011EaaEaesin)()(1 (2020均匀电场均匀电场cos)()(cos),(0201EaEaa0cos2cos)1 (),(00002EEx 均匀外电场中介质圆柱内外的电场 下 页上 页介质柱内电场均匀，并与介质柱内电场均匀，并与外加电场外加电场E 平行；平行

11、；xEeE12122表明表明若若2 E1；若若21 ，E2 E1； 取圆柱坐标系，边值问题取圆柱坐标系，边值问题01)(12222a0长圆柱导体壳上部电压为长圆柱导体壳上部电压为- -U下部电压下部电压为为U，求柱内的电位分布。，求柱内的电位分布。下 页上 页例例解解 - -UUa)B(A(00ln),通解通解)sincos)(1nDnCBAnnnnnnn ),(),(因因奇函数奇函数（有限值）00参考点参考点下 页上 页 - -UUa)sin(10nEBnnn00, 等电位面等电位面应用傅立叶级数展开：应用傅立叶级数展开：a 2 U 0 UdU dUEn20nnsin1nsin1a4cosc

12、os20nUnnnnU., n531nnsin)a)(n1(4Un1., n531下 页上 页下 页上 页1.6 1.6 有限差分法有限差分法Finite Difference Method1. 1. 数值计算的基本思想数值计算的基本思想下 页上 页 当计算场域的边界几何形状复杂时，应用解析当计算场域的边界几何形状复杂时，应用解析法分析较困难，这时可以采用数值计算的方法。法分析较困难，这时可以采用数值计算的方法。将电磁场连续域内的问题变换为离散系统的问题求将电磁场连续域内的问题变换为离散系统的问题求解，用离散点的数值解逼近连续域内的真实解。解，用离散点的数值解逼近连续域内的真实解。把求解连续函

13、数的偏微分方程问题转换为求解离把求解连续函数的偏微分方程问题转换为求解离散点上的代数方程组的问题。散点上的代数方程组的问题。下 页上 页下 页上 页绝缘子的破坏情况绝缘子的破坏情况下 页上 页复合悬式绝缘子结构复合悬式绝缘子结构下 页上 页下 页不同憎水性等级的计算模型不同憎水性等级的计算模型 RHC1RHC2RHC3RHC4RHC5RHC1伞裙上表面电场分布下 页上 页下 页上 页下 页上 页2. 2. 二维差分方程的建立二维差分方程的建立 下 页上 页 有限差分的网格分割场域的离散场域的离散不同的离散方式得到不同的离散方式得到不同的差分方程不同的差分方程结点多，步长小，计结点多，步长小，计

14、算结果精确算结果精确网格法网格法h h注意下 页上 页下 页上 页下 页上 页下 页上 页用差分代替微分用差分代替微分)()()(xfhxfxfhx 增量增量一阶差分一阶差分一阶差商一阶差商xfhxfhxfxxfdd)()()(二阶差商二阶差商22222dd)()()(xfhxfhxfxxf中心差分中心差分)2()2()(hxfhxfxfFyx2222二维静电场边值问题二维静电场边值问题下 页上 页 有限差分的网格分割hx0110中心hx3030中心hhx3001022h1031221hh0220y中心h4040y中心hh4002022h1y042221h2043214Fh当场域中当场域中00

15、404321)(41243210Fh或或)(4143210或或下 页上 页用差分方程代替微分方程用差分方程代替微分方程五五点点差差分分格格式式若场域离散为矩形网格，写出若场域离散为矩形网格，写出差分格式差分格式Fhhhh02221422231212)11()(1)(1矩形网格剖分下 页上 页例例解hhx0312121h24020220221yhhh0422221h下 页上 页400443003320022000)()(41)()(! 31 )()(21)()x()(xxx!xxxxxx!xxx沿 x方向在 x0 处的泰勒公式展开为30332022001)(! 31)(

16、! 21)()(hxhxhxx结点结点1， x = x0 + + h ，结点结点3 x = x0 - -h30332022003)(! 31)(! 21)()(hxhxhxx20310222hx略略去去高高次次项项20420222hy同理同理3.3.差分方程组的求解差分方程组的求解 ( Solution Method )下 页上 页差分方程的特点差分方程的特点当步长当步长h h 减小，结点增加，方程数很大；减小，结点增加，方程数很大；方程组的系数是有规律的；方程组的系数是有规律的；各方程的项数只有各方程的项数只有5 5项。项。 采用逐次近似的方法求解，常用的方法采用逐次近似的方法求解，常用的方

17、法为超松弛迭代法为超松弛迭代法下 页上 页1 1）松弛法）松弛法假定结点电位的初值，代入差分方程，计算各假定结点电位的初值，代入差分方程，计算各结点余数；结点余数；修正余数最大点的电位，减小该点余数，再重修正余数最大点的电位，减小该点余数，再重新计算各结点的余数；新计算各结点的余数；重复减小最大余数的过程，直至各余数都达很小；重复减小最大余数的过程，直至各余数都达很小；松弛法的步骤松弛法的步骤0)4(R0432104max1ininiR为达到精度，细分网格，重复以上过程。为达到精度，细分网格，重复以上过程。在接地方形导体管中有一圆形导线（很细），电压为在接地方形导体管中有一圆形导线（很细），电

18、压为100V，求管线间的电位分布。，求管线间的电位分布。下 页上 页例例解解AB0 0 0100 V对称性，只需求八分之一区域对称性，只需求八分之一区域V50BA1 1）设）设100 504500500RA0 50450050100RB2）25410050A0 254500500RA5050410002525RB划分网格划分网格下 页上 页AB0 0 0100 V2 V356 V19BBAARR2 38410002525RB3）3845050B24 254383800RA 细分网格，重复以上步骤，提高精度。细分网格，重复以上步骤，提高精度。松弛法计算简单；松弛法计算简单；不论初值如何，必收敛于

19、最后解答；不论初值如何，必收敛于最后解答；收敛速度慢。收敛速度慢。小结下 页上 页2 2）迭代法）迭代法网格编号，假定结点电位的初值，网格编号，假定结点电位的初值，作为解的零次近似值，代入差分方作为解的零次近似值，代入差分方程得一次近似值；程得一次近似值；判断误差判断误差同步迭代同步迭代)(41010101011iji,ji,j,ji,ji01ijij结束计算结束计算01ijij继续计算继续计算)(4111111111kijki,jki,jk,jik,ji 网格编号下 页上 页特特点点同步迭代法计算简单；但用计算机解同步迭代法计算简单；但用计算机解时需要两套存储单元；时需要两套存储单元；收敛速

20、度较慢。收敛速度较慢。高斯高斯赛德尔迭代法（异步迭代）赛德尔迭代法（异步迭代） 网格编号(1)(1)(1)( )( ),1,11,114kkkkki jiji jiji j特特点点用计算机解时只需要一套存储单元；用计算机解时只需要一套存储单元；迭代时有一半用了迭代的新值，收敛速度迭代时有一半用了迭代的新值，收敛速度较快。较快。 迭代过程直到节点电位满足迭代过程直到节点电位满足 为止。为止。)(,) 1(,kjikji3 3）超松弛迭代法）超松弛迭代法(1)( )(1)(1)( )( )( ),1,11,1,44kkkkkkki ji jiji jiji ji ja 加速收敛因子加速收敛因子（1

21、 a 1000 269 174 143 122 133 171 发散最佳收敛因子的经验公式（不唯一）最佳收敛因子的经验公式（不唯一）)sin(12p（正方形场域、正方形网格）221122qp（矩形场域、正方形网格）收敛速度与电位初始值、网格剖分粗细有关；收敛速度与电位初始值、网格剖分粗细有关；迭代次数与计算精度迭代次数与计算精度 及及收敛因子有关。收敛因子有关。下 页上 页泊松方程的超松弛迭代格式44)(,2)(1,)(, 1)1(1,)1(, 1)(,)1(,kjikjikjikjikjikjikjiFh下 页上 页4. 4. 边界条件离散化边界条件离散化（Discrete Boundary

22、 Condition)第一类边界条件第一类边界条件 10 f网格结点与边界重合网格结点与边界重合对称边界条件对称边界条件 )2(4124210Fh31204对称边对称边下 页上 页网格结点与边界不重合网格结点与边界不重合31204h1h2h10110hx中心hx3030中心hhhhx3010110222hhhh4020220222y同理同理设：设：h1=ph，h2=qh0312022)11 ()1 (2ppphx0422022)11 (q)q1 (h2yq第二类边界条件第二类边界条件 hfhnf2100102 )(分界面衔接条件分界面衔接条件 , )1212(4143210KKKbaK其中其中 介质分界面下 页上 页31204h边界节点赋已知电位值赋节点电位初始值累计迭代次数 N=0N=N+1按超松弛法进行一次迭代，求 )1(,Nji打印 ),(jiN，NY程序框图)(,) 1(,kjikji下 页上 页上机作业要求：上机作业要求：试用超松弛迭代法求解接地金属槽内电位的分布。给定边值：如图示；0)0(,ji给定初值：510误差范围：下 页上 页 接地金属槽半场域的网格剖分按对称场差分格式求解电位的分布) 1(40100) 1(12.jjpji或：计算：1