大学物理_机械波

1、机械波机械波2022-6-10第第6章章 机械波机械波6.1 机械波的产生、传播和描述机械波的产生、传播和描述6.2 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数6.3 波的能量波的能量6.4 惠更斯原理惠更斯原理 波的衍射、反射和折射波的衍射、反射和折射6.5 波的干涉波的干涉6.6 驻波驻波6.7 多普勒效应多普勒效应*6.8 声波声波 超声波超声波 次声波次声波内容提要内容提要机械波机械波2022-6-10振动振动: 于平衡位置，无随波逐流于平衡位置，无随波逐流.波动波动:机械波机械波：机械振动在弹性介质中的传播过程：机械振动在弹性介质中的传播过程.电磁波电磁波：交变电磁场在空间的传播过程交变电

2、磁场在空间的传播过程.物质波物质波：微观粒子的运动微观粒子的运动, 其本身具有的波粒二象性其本身具有的波粒二象性. 波动的种类波动的种类: 振动的传播过程振动的传播过程. 机械波机械波2022-6-10波动的共同特征：波动的共同特征： 具有一定的传播速度，具有一定的传播速度，且都伴有能量的传播。能产且都伴有能量的传播。能产生反射、折射、干涉和衍射生反射、折射、干涉和衍射等现象等现象.机械波机械波2022-6-106.1 6.1 机械波的产生、传播和描述机械波的产生、传播和描述6.1.1 机械波产生的形成机械波产生的形成 条件条件波源：波源：作机械振动的物体作机械振动的物体. .机械波机械波:

3、: 机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就形成机械波地传播出去，就形成机械波. .弹性介质：弹性介质：承担传播振动的物质承担传播振动的物质. .机械振动只能在弹性介质中传播机械振动只能在弹性介质中传播. .说明说明6.1.2 横波与纵波横波与纵波横波：横波：纵波：纵波：质元的振动方向与波的传播方向垂直质元的振动方向与波的传播方向垂直.质元的振动方向与波的传播方向平行质元的振动方向与波的传播方向平行.机械波机械波2022-6-10振动曲线振动曲线ty结论结论(1) 波动中各质点并不随波前进；波动中各质点并不随波前进；yux波动曲线波动曲线(2)

4、 各个质点的相位依次落后各个质点的相位依次落后, ,波波 动是相位的传播；动是相位的传播；(3) 波动曲线与振动曲线不同波动曲线与振动曲线不同. .机械波机械波2022-6-106.1.3 波的几何描述波的几何描述在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点构成的曲面相同的点构成的曲面.沿波的传播方向作的有方向的线沿波的传播方向作的有方向的线.波面波面:波线波线:波前波前: 波传播过程中波传播过程中, 某一时刻最前面的波面某一时刻最前面的波面.在各向同性均匀媒质中，在各向同性均匀媒质中，波线波线波面波面.注意注意机械波机械波2022-6-106.1.4

5、波速波速 波长波长 周期（频率）周期（频率）同一波线上相邻两个相位差为同一波线上相邻两个相位差为 2 2 的质点的质点之间的之间的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离. .波前进一个波长距离所需的时间波前进一个波长距离所需的时间. . 周期表征了波的周期表征了波的时间周期性时间周期性. .单位时间内，波前进距离中完整波的数目单位时间内，波前进距离中完整波的数目. . 频率与周期的关系为频率与周期的关系为: :T1振动状态在媒质中的传播速度振动状态在媒质中的传播速度. . 波速与波长、周期和频率的关系为波速与波长、周期和频率的关系为: :Tu:）波波长

6、长（ :）周期（周期（T:）频率（频率（ :）波速（波速（u波长反映了波的波长反映了波的空间周期性空间周期性. .机械波机械波2022-6-10(1) 波的周期和频率与媒质的性质无关波的周期和频率与媒质的性质无关; 一般情况下一般情况下, 与波源振动的周期和频率相同与波源振动的周期和频率相同.Eula. 拉紧的绳子或弦线中横波的波速为：拉紧的绳子或弦线中横波的波速为： Tutb. 均匀细棒中，纵波的波速为：均匀细棒中，纵波的波速为：(2) 波速实质上是相位传播的速度波速实质上是相位传播的速度, 故称为相速度故称为相速度; 其其 大小主要决定于媒质的性质大小主要决定于媒质的性质, 与波的频率无关

7、与波的频率无关.说明说明T 张力张力 线密度线密度E 固体棒的杨氏模量固体棒的杨氏模量 固体棒的密度固体棒的密度例如：例如：机械波机械波2022-6-10Buld. 液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出: :c. 固体媒质中传播的横波速率由下式给出：固体媒质中传播的横波速率由下式给出：Gut 固体的切变弹性模量固体的切变弹性模量G 固体密度固体密度 流体的容变弹性模量流体的容变弹性模量B 流体的密度流体的密度 e. 稀薄大气中的纵波波速为稀薄大气中的纵波波速为: :pMRTul 气体摩尔热容比气体摩尔热容比M 气体摩尔质量气体摩尔质量R 气体摩尔常数

8、气体摩尔常数机械波机械波2022-6-106.2 6.2 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数波面为平面的简谐波波面为平面的简谐波.平面简谐波平面简谐波:简谐波简谐波: 介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中各质点作同频率的谐运动中各质点作同频率的谐运动.6.2.1 平面简谐波波函数的建立平面简谐波波函数的建立),(txfy 一、波函数一、波函数:设波源的振动表达式为设波源的振动表达式为(x0)：tAyOcos简谐振动简谐振动平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数机械波机械波2022-6-10从时间看从时间看, P 点点 t 时刻的位移是时刻的位移是O点点

9、uxt 时刻的位移时刻的位移.tAyOcosP点的振动表达式：点的振动表达式：即即 t=x/u时时, P点的振动状态与点的振动状态与O点点t=0时的状态相同时的状态相同. uxtAyPcos平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数uxtAycos机械波机械波2022-6-10将将utT,22代入上式代入上式)(2cosxutAy)(2cosxtAy)(2cosxTtAy波函数的波函数的其它形式其它形式uxtAycos 如果波沿如果波沿x 轴的负方向传播，则轴的负方向传播，则P点的相位要比点的相位要比O点的相位点的相位超前超前. uxtAycos则波函数为则波函数为:机械波机械波2022-6-10讨

10、论波函数的物理意义讨论波函数的物理意义 当当 x = x 0 (常数常数) 时，时， )(cos0uxtA表示表示x0处质元的振动表达式处质元的振动表达式.(2) 当当 t = t 0 (常数常数) 时，时，uxtAxy0cos)()(cos0tuxA表示各质元的位移分布函数表示各质元的位移分布函数.对应函数曲线对应函数曲线波形图波形图.uxtAty0cos)(uxtAycos机械波机械波2022-6-10yxOx1x2u(3) 波形图的分析：波形图的分析：a. 可表示振幅可表示振幅A，A波长波长；b. 波形图中波形图中 x1 和和 x2 两质点的相位差两质点的相位差:)(cos11uxtAy

11、ux11)(cos22uxtAyux22)(2)(212112xxxxu相位差：相位差：波程差波程差:2xx2x1, 1s，试根，试根据图中绘出的条件求出波动表达式，并据图中绘出的条件求出波动表达式，并求求A点的振动点的振动表达式。表达式。(已知已知A=0.01m)解：解：由图可知由图可知:m04. 0101sm02. 02101. 0txxu波速：波速：s202. 004. 0uT2Ty(cm)x(cm)123456A原点振动表达式：原点振动表达式：)cos(tAyo机械波机械波2022-6-100cos0时，t2, 00v此时，2)cm)(2cos(01. 0tyo)(cm2)02. 0(

12、cos01. 0 xty波动表达波动表达式：式：A点振动表达式：点振动表达式：2)02. 001. 0(cos01. 0tyA(cm)cos01. 0t机械波机械波2022-6-10例例: 一平面简谐波在介质中以速度一平面简谐波在介质中以速度u = 20 m/s, 沿沿x轴的负向传播。已知轴的负向传播。已知A点的振动方程为点的振动方程为y = 3cos 4 t .y 解：解：A点为坐标原点点为坐标原点)SI)(20(4cos3xtyB点为原点点为原点, 波源坐标为波源坐标为:m50 x(SI)205(4cos3xtyAxyBu求求: (1) 以以A点为坐标原点求波函数；点为坐标原点求波函数；

13、(2) 以距以距A点点5m处的处的B为坐标原点求波函数。为坐标原点求波函数。机械波机械波2022-6-10*6.2.2 波动方程波动方程)(cos),(uxtAtxy)(cos222uxtAty)(cos2222uxtuAxy222221tyuxy由由知知 (2) 不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、化学中的扩散等过程；化学中的扩散等过程；(1) 上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）；上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）；(3) 若物理量是在三维空间中以波若物理量是在三维空间中以波的形式传播，波动方程为右式的形式传

14、播，波动方程为右式.2222222221tuzyx说明说明机械波机械波2022-6-106.3.1 波动能量的传播波动能量的传播6.3 6.3 波的能量波的能量波动波动过程过程质元由静止开始振动质元由静止开始振动质元也发生形变质元也发生形变波动过程是能波动过程是能量的传播过程量的传播过程以平面简谐纵波在直棒中的传播为例：以平面简谐纵波在直棒中的传播为例：设波沿设波沿x 方向传播方向传播)(cosuxtAy波动表达式：波动表达式：1. 介质元的能量介质元的能量1) 介质元的振动动能：介质元的振动动能：xSVddxSVmddd2kd21dvmW 机械波机械波2022-6-10)(sinuxtAty

15、vVuxtAWd)(sin21d222k2) 介质元的弹性势能：介质元的弹性势能：kWVuxtAWdd)(sin21d222p2p)(d21dykW xSuxESxFkddd222)d(d21yxSu22)dd(d21xyxSu)(sinuxtuAxy机械波机械波2022-6-103) 介质元的总能量：介质元的总能量：VuxtAWWWd)(sinddd222pk结论结论(1) 介质元介质元dV 的总能量：的总能量：VuxtAdsin222周期性变化周期性变化(2) 介质元的动能、势能变化是同周期的，且相等介质元的动能、势能变化是同周期的，且相等.(3) 机械能不守恒，因为不是孤立体系，有能量传

16、播机械能不守恒，因为不是孤立体系，有能量传播.(4) 最大位移处最大位移处:0pk EE平衡位置处平衡位置处:maxpk, 0EEEy机械波机械波2022-6-102. 波的能量密度波的能量密度单位体积介质中的波动能量单位体积介质中的波动能量.1) 能量密度：能量密度：)(sindd222uxtAVWw2) 平均能量密度：平均能量密度：tuxtATwTd)(sin122202221Aw 单位单位: Jm-3结论结论 机械波的能量与机械波的能量与振幅的平方振幅的平方、频率的平方频率的平方以及以及介质的密度介质的密度成正比成正比.一个周期内的平均值一个周期内的平均值.机械波机械波2022-6-10

17、6.3.2 能流和能流密度能流和能流密度单位时间内垂直通过介质单位时间内垂直通过介质中某一面积的波的能量中某一面积的波的能量Suu能流能流(P)：平均能流：平均能流：uSwP 能流密度能流密度(波的强度波的强度)：单位时间内流过垂直于波传播方向的单位面积单位时间内流过垂直于波传播方向的单位面积的波的平均能量的波的平均能量2221uAuwI一个周期内的平均值一个周期内的平均值.单位单位: Wm-2机械波机械波2022-6-106.3.3 波能量的吸收波能量的吸收吸收媒质吸收媒质, ,实验表明：实验表明：xAAddxeII200IxIxOdx 为为介质吸收系数介质吸收系数，与介质的性质、温度、及波

18、的频率有关，与介质的性质、温度、及波的频率有关IxIxI0I0 xOxeAA02AI机械波机械波2022-6-106.4 6.4 惠更斯原理惠更斯原理 波的衍射、反射和折射波的衍射、反射和折射6.4.1 惠更斯原理惠更斯原理介质中波动传播到的各点，都可以看成是发射介质中波动传播到的各点，都可以看成是发射子波的波源，而在其后的任一时刻，这些子波的包子波的波源，而在其后的任一时刻，这些子波的包络面就是新的波前络面就是新的波前子波波源子波波源波前波前子波子波机械波机械波2022-6-10平平 面面 波波球球 面面 波波机械波机械波2022-6-106.4.2 波的衍射波的衍射1. 波的衍射现象：波的

19、衍射现象：波在传播的过程中遇到障碍物或波在传播的过程中遇到障碍物或小孔后，能够绕过障碍物的边缘继续传播的现象小孔后，能够绕过障碍物的边缘继续传播的现象.机械波机械波2022-6-106.4.3 波的反射和折射波的反射和折射2u1sinsinuCAAC由图可得到，折射率由图可得到，折射率: :机械波机械波2022-6-10波的反射波的反射波的折射波的折射机械波机械波2022-6-106.5 6.5 波的干涉波的干涉6.5.1 波的叠加原理波的叠加原理1. 波传播的独立性原理波传播的独立性原理 几列波在空间某点相遇后，每一列波都能独立几列波在空间某点相遇后，每一列波都能独立地保持自己原有的特性地保

20、持自己原有的特性(频率，波长，振幅，振动方频率，波长，振幅，振动方向向)传播，就像在各自的路程中，并没有遇到其他波传播，就像在各自的路程中，并没有遇到其他波一样一样.2. 波的叠加原理波的叠加原理 在波相遇区域内，任一在波相遇区域内，任一质点的振动，为各波单独存质点的振动，为各波单独存在时所引起的振动的合振动在时所引起的振动的合振动.机械波机械波2022-6-106.5.2 波的干涉条件和公式波的干涉条件和公式1. 干涉现象：干涉现象： 两列波在空间相遇两列波在空间相遇(叠加叠加)时，介质中有些点的振动始时，介质中有些点的振动始终加强，有些点的振动始终终加强，有些点的振动始终减弱或完全消失的现

21、象减弱或完全消失的现象.3. 相干波相干波:2. 相干条件相干条件: 频率相同、振动方向相同、相位差恒定频率相同、振动方向相同、相位差恒定. .4. 相干波源相干波源:满足相干条件的波满足相干条件的波.产生相干波的波源产生相干波的波源.机械波机械波2022-6-105. 干涉规律干涉规律)cos(1101tAy)2cos(1111rtAy2cos212122122212rrAAAAA)cos(21tAyyy根据叠加原理可知，根据叠加原理可知，P 点处振动方程为点处振动方程为:S1S2)2cos(2222rtAy合振动的振幅合振动的振幅:)cos(2202tAyPcos22121IIIIIP 点

22、处波的强度点处波的强度:S1S2P1r2r机械波机械波2022-6-10, 2 , 1 , 022)(1212kkrr2121max21max2IIIIIAAA, 2 , 1 , 0 ) 12(2)(1212kkrr2121min21min2|IIIIIAAA12122)(rr 相位差相位差当当干涉相长干涉相长当当干涉相消干涉相消 空间点振动的情况分析空间点振动的情况分析:机械波机械波2022-6-10讨论讨论, 2 , 1 , 0,21kkrr21干涉相长干涉相长(1) 若若(2) 若若AAA21, 2 , 1 , 0,2) 12(21kkrr干涉相消干涉相消00minminIA0maxma

23、x42IIAA干涉相长干涉相长干涉相消干涉相消从能量上看，当两相干波发生干涉时，在两波交叠的区从能量上看，当两相干波发生干涉时，在两波交叠的区域，合成波在空间各处的强度并不等于两个分波强度之域，合成波在空间各处的强度并不等于两个分波强度之和，而是发生重新分布。这种新的强度分布是时间上稳和，而是发生重新分布。这种新的强度分布是时间上稳定的、空间上强弱相间具有周期性的一种分布。定的、空间上强弱相间具有周期性的一种分布。令令12rr 波程差波程差机械波机械波2022-6-10例例: AB为两个相干波源为两个相干波源, 振幅均为振幅均为5cm, 频率为频率为100Hz，波速为波速为10m/s. A点为

24、波峰时点为波峰时, B点恰为波谷点恰为波谷, 试确定两试确定两列波在列波在P点干涉的结果点干涉的结果.15mABP20m解：解： 依题意依题意0ABm25m152022BPm1 . 0u设设APBPAB21 . 015252199的奇数倍，的奇数倍， 干涉为零，干涉为零，P点静止点静止.机械波机械波2022-6-10例例: 两相干波源两相干波源S1和和S2的间距为的间距为d = 30m, 均在均在x 轴上轴上, S1位于原点位于原点O. 设两波源分别发出两列平面波沿设两波源分别发出两列平面波沿 x 轴传播轴传播,强度保持不变强度保持不变. x1 =9m 和和 x2=12m处的两点是相邻的两处的

25、两点是相邻的两个因干涉而静止的点个因干涉而静止的点. OS1S2x1x2x解：解：设设S1和和S2的振动相位分别为的振动相位分别为:12依题意依题意 x1点的振动相位差：点的振动相位差：)(212xd 211x) 12(k- (1)求求: 两波长及两波源间最小相位差两波长及两波源间最小相位差. .机械波机械波2022-6-10 x2点的振动相位差：点的振动相位差：)(222xd 221x)32(k- (2)(2)-(1):2)(412 xxm6)912(2)(212xx由由(1)式式)2(2) 12(112xdk) 52(k当当k = -2，-3时位相差最小，故时位相差最小，故12机械波机械波

26、2022-6-106.6 6.6 驻驻 波波6.6.1 驻波的产生驻波的产生 两列振幅相同的相干波相向传播时叠加形成的两列振幅相同的相干波相向传播时叠加形成的波称为波称为驻波驻波. 驻波是波的一种干涉现象驻波是波的一种干涉现象. 驻波的波形特点驻波的波形特点机械波机械波2022-6-106.6.2 驻波方程驻波方程, )2cos(1xtAy)2cos(2xtAy21yyy)2cos()2cos(xtAxtAtxAycos2cos2021设设 x = 0 处两波初相均为处两波初相均为0, 即即:讨论讨论xAxA2cos2)(即驻波是各质点振幅按余弦分布即驻波是各质点振幅按余弦分布的特殊谐振动；的

27、特殊谐振动；(1)机械波机械波2022-6-10波腹波腹(A= Amax)：kx2, 2, 1, 0,2kkx时时当当 12cosx2) 12(2kx, 2, 1, 0,4) 12(kkx波节波节(A= Amin)：时时当当 02cosx222) 1(1kkxxkk相邻两相邻两波腹波腹之间的距离：之间的距离：24) 12(4 1) 1(21kkxxkk相邻两相邻两波节波节之间的距离：之间的距离：机械波机械波2022-6-10(2) 所有波节点将媒质划分为长所有波节点将媒质划分为长 的许多段的许多段;2/每段中各质点的振动振幅不同，但相位皆相同；每段中各质点的振动振幅不同，但相位皆相同；而相邻段

28、间各质点的振动相位相反而相邻段间各质点的振动相位相反; 相位中没有相位中没有x 坐标，坐标，没有相位的传播没有相位的传播.x波节波节2波腹波腹(3) 没有波形的推进，也没有能量的传播，参与波动没有波形的推进，也没有能量的传播，参与波动 的各个质点处于稳定的振动状态的各个质点处于稳定的振动状态.机械波机械波2022-6-10例例: 在弦线上有一简谐波，其表达式为：在弦线上有一简谐波，其表达式为：(SI)3)2002. 0(2cos100 . 221xty为了在此弦线上形成驻波，并且在为了在此弦线上形成驻波，并且在x = 0处为一波节，处为一波节，此弦上还应有一简谐波，此弦上还应有一简谐波，求求其

29、表达式其表达式.解：解： 依题意设反向波为依题意设反向波为:)2002. 0(2cos100 . 222xty21yyy)302. 04(21cos)3204(21cos2txA因为因为x = 0处为波节，处为波节，2)3(2134)SI(34)2002. 0(2cos100 . 222xty机械波机械波2022-6-106.6.3 驻波的能量驻波的能量ABC波波节节波波腹腹xx2k)(dtyW2p)(dxyW位移最大时位移最大时平衡位置时平衡位置时 驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化, 在相在相邻的波节间发生动能和势能间的转换邻的波节间发生动能和势能

30、间的转换, 动能动能主要集中在主要集中在波腹波腹, 势能势能主要集中在主要集中在波节波节, 但无能量的定向传播但无能量的定向传播.机械波机械波2022-6-10驻波与行波的区别驻波与行波的区别机械波机械波2022-6-101. 入射波与反射波产生驻波入射波与反射波产生驻波振源振源固定端反射固定端反射软绳自由端反射自由端反射当形成驻波时总是出现波腹总是出现波腹总是出现波节总是出现波节6.6.4 半波损失半波损失机械波机械波2022-6-102.半波损失半波损失波密介质：波密介质：密度密度 与波速与波速u的乘积的乘积 u较大的介质较大的介质.波疏介质：波疏介质：密度密度 与波速与波速u的乘积的乘积

31、 u较小的介质较小的介质. 入射入射波波驻波反射波反射波波密介质波密介质波疏介质波疏介质xyO2 由波疏介质入射由波疏介质入射, 在波密介质界面上反射在波密介质界面上反射, 在界面在界面处处, 反射波的振动相位总是与入射波的振动相位相反，反射波的振动相位总是与入射波的振动相位相反，即差了即差了 ; 形成驻波时形成驻波时, 总是出现波节总是出现波节. 相位差了相位差了 ，相当于波程差了，相当于波程差了,2称为称为“半波损失半波损失”.机械波机械波2022-6-106.6.5 振动的简正模式振动的简正模式驻波条件驻波条件:2nnL本征频率本征频率:, 3 , 2 , 1nLununn21. 两端固

32、定的弦线形成驻波两端固定的弦线形成驻波41L432L453L,2, 1,2)21(nnLnLununn4)12(2. 一端固定一端自由的弦线形成驻波一端固定一端自由的弦线形成驻波机械波机械波2022-6-106.7 6.7 多普勒效应多普勒效应 波源或观察者或它们二者相对于介质运动时，波源或观察者或它们二者相对于介质运动时，观察者接收到的频率和波源的真实频率并不相等，观察者接收到的频率和波源的真实频率并不相等，这一现象称为这一现象称为多普勒效应多普勒效应.观察者观察者RS波源波源uSuRuR观察者观察者相对于介质的运动相对于介质的运动速度速度， 接近波源为正，反之为负接近波源为正，反之为负. .uR:波波的的传播传播速度速度，接近观察者为正，反之为负接近观察者为正，反之为负. .u:波源波源相对于介质的运动相对于介质的运动速度速度，接近观察者为正，反之为负接近观察者为正，反之为负. .uS:机械波机械波2022-6-10SWR波源静止波源静止, 观察者静止观察者静止:观察者接收到的频率观察者接收到的频率 观察者在单位时间内接收到完整波形的数目观察者在单位时间内接收到完整波形的数目.观察者观察者RS波源波源uSuRuR波源的频率波源的频率波源在单位时间内发出的完全波的数量波源在单位时间内发出的完全波的数量.波的频率波的频率单位时间内通