深圳大学量子力学复习

1、量子力学总结量子力学总结顾顾 樵樵 (Qiao Gu)International Institute of Biophysics, Germany 联系：联系：gu-qiaogmx.de深圳大学电子学院深圳大学电子学院量子力学：量子力学：概率概率经典的因果关系在物质的深处经典的因果关系在物质的深处终结了，代替它的是一幅概率终结了，代替它的是一幅概率世界的画面。世界的画面。 基本内容基本内容1.1.德布罗意物质波德布罗意物质波2.2.薛定谔方程薛定谔方程3.3.玻恩：波函数的几率解释玻恩：波函数的几率解释4.4.海森堡测不准关系海森堡测不准关系5.5.狄拉克符号狄拉克符号6.6.泡利矩阵泡利矩阵

2、基本概念基本概念普朗克推出黑体辐射公式所作的基本假设普朗克推出黑体辐射公式所作的基本假设是什么？是什么？能量是以能量是以hv一份一份的，不是连续一份一份的，不是连续黑体辐射的光谱分布只依赖于黑体的什么？黑体辐射的光谱分布只依赖于黑体的什么？温度温度玻尔的原子量子理论的表达式为，玻尔的原子量子理论的表达式为， 说明每个量的含义。说明每个量的含义。（E2：高能态动态能量、E1：低能态、hv：高能态到低能态跃迁发出的光子的能量）hEE12德布罗意物质波理论的表达式是什么？德布罗意物质波理论的表达式是什么？ 康普顿散射的理论结果为：康普顿散射的理论结果为： 其中其中 各表示什么？各表示什么？ ，入射粒

3、子的原波长 ，受撞粒子的静止质量 ，散射角)cos1 (0ch,0统计解释对波函数的要求（即波函数的标统计解释对波函数的要求（即波函数的标 准条件）是什么？准条件）是什么？单值、有限、连续、设微观粒子的波函数为设微观粒子的波函数为 写出波函数的归一化条件，它的物理意义写出波函数的归一化条件，它的物理意义是什么？是什么？ )()(xxA设微观粒子的归一化波函数为设微观粒子的归一化波函数为 ，则，则 表示什么？表示什么？概率密度概率密度)(x2)(x 微观体系的薛定谔方程的一般形式为微观体系的薛定谔方程的一般形式为 其中的其中的 代表什么？代表什么？哈密顿算符哈密顿算符 ( )( )itHttH写

4、出哈密顿算符写出哈密顿算符 的本征方程，并说明所的本征方程，并说明所有量的意义。有量的意义。H如果如果 和和 是微观体系的状态，则是微观体系的状态，则 是否为体系的状态？是否为体系的状态？是的是的122211cc一维无限深势阱模型如图所示，写出波函一维无限深势阱模型如图所示，写出波函数的边界条件。数的边界条件。mpExV20)(20 a x 写出线性谐振子的量子化能量表达式，基写出线性谐振子的量子化能量表达式，基态能量（即零点能）是什么？态能量（即零点能）是什么？氢原子能量量子化的条件为氢原子能量量子化的条件为 其中其中 分别为径量子数，角量子数和分别为径量子数，角量子数和 主量子数。试由此确

5、定各个量子数的取值主量子数。试由此确定各个量子数的取值 范围。范围。nlnr1nlnr,nr=0,1,2,3，n-1l =0,1,2,3n-1n=1,2,3无穷无穷 氢原子的电子云分布用角向几率密度氢原子的电子云分布用角向几率密度 表示，其中表示，其中 称为什么函数？称为什么函数？球谐函数球谐函数2),(mlY),(mlY 厄密算符满足厄密算符满足 ，还是，还是 第二个第二个 FF1 FF写出动量算符写出动量算符 的厄米共轭的厄米共轭它本身它本身 pix 厄密算符的本征值是厄密算符的本征值是实实数，这确保了数，这确保了力学量的期待值是力学量的期待值是实实数数两个力学量两个力学量 A 和和 B

6、能被同时测定的条能被同时测定的条件是什么？件是什么？A A和和B B对易对易如果两个算符如果两个算符 A 和和 B 有共同的本征函数，有共同的本征函数，则算符则算符 A 和和 B 対易対易。),(mlY球谐函数球谐函数 是哪两个算符的共同的是哪两个算符的共同的本征函数？本征函数？ 能量与时间的测不准关系为能量与时间的测不准关系为 写出坐标算符的本征方程，指出相应的本写出坐标算符的本征方程，指出相应的本征值。征值。一个本征值对应一个以上本征函数的情况一个本征值对应一个以上本征函数的情况称为称为简并简并 动量的本征函数为动量的本征函数为 它在全空间的它在全空间的“正交归一化正交归一化”表达式是什么

7、？表达式是什么？ )exp(21)(pxixp写出一维自由粒子的波函数写出一维自由粒子的波函数),(tx)(),(tEiAetrpr一维自由粒子的波函数是哪两个算符的共同一维自由粒子的波函数是哪两个算符的共同的本征函数？的本征函数？)(),(tEiAetrpr算符算符 称为什么算符？它是厄密的吗？称为什么算符？它是厄密的吗？投影算符投影算符 是是nn狄拉克符号狄拉克符号 表示态矢量表示态矢量 向向 的的 投影投影在抽象态空间，分立态的正交完备集在抽象态空间，分立态的正交完备集 的正交归一化表达式是什么？的正交归一化表达式是什么？完备性关系完备性关系式是什式是什么？么？ n在一维无限深势阱中，量

8、子效应约化为在一维无限深势阱中，量子效应约化为 经典效应的条件是：量子数经典效应的条件是：量子数 ，还，还 是是 ？量子数量子数n0nn在势阱模型中，粒子可以穿过高势能的在势阱模型中，粒子可以穿过高势能的 势垒而逸出的效应称为什么？或什么？势垒而逸出的效应称为什么？或什么？势垒贯穿势垒贯穿 隧道效应隧道效应微观粒子的海森堡测不准关系可以表示微观粒子的海森堡测不准关系可以表示为为 ，其中，其中 ， ， 各表示什么？各表示什么？分别为：坐标变化范围 ，动量的变化范围 ，表示普朗克常数hpxxph设厄密算符的本征方程是设厄密算符的本征方程是 在状态在状态 中测量力学量中测量力学量F，所得测量值是，所

9、得测量值是什么？什么？ F设一个量子体系的任意态可以按照该系统设一个量子体系的任意态可以按照该系统的哈密顿算符的哈密顿算符 的本征态展开：的本征态展开： 其中展开系数的物理意义是什么？其中展开系数的物理意义是什么？表示粒子波函数的几率幅nnnxcxf)()(H设一个量子体系的任意态可以按照该系统设一个量子体系的任意态可以按照该系统的哈密顿算符的哈密顿算符 的本征态展开：的本征态展开： 设设 ，在，在 态中，能量态中，能量 出现出现的概率有多大？的概率有多大？nnnxcxf)()(nnnHE( )f x1EH|Cn|2写出坐标算符和动量算符的对易关系，即写出坐标算符和动量算符的对易关系，即?,x

10、pxih 设厄密算符设厄密算符A和和B的对易关系为的对易关系为iCBAAB?A B 问问C/2 对于氢原子的主量子数对于氢原子的主量子数n，能级的简并度是，能级的简并度是多少？多少？ N N平方平方重要问题重要问题牛顿力学的因果关系牛顿力学的因果关系牛顿力学的研究思路是非常明牛顿力学的研究思路是非常明确的：只要知道了质点的初始确的：只要知道了质点的初始位移位移 和初始动量和初始动量 ，通过求解微分方程，就可以得通过求解微分方程，就可以得到任意时刻的位移到任意时刻的位移 ，并进，并进而得到任意时刻的动量而得到任意时刻的动量 。 牛顿力学的图像是质点的牛顿力学的图像是质点的轨道，反映在哲学上，则是

11、因轨道，反映在哲学上，则是因果关系。在这里初始条件与微果关系。在这里初始条件与微分方程同属分方程同属“因因”，二者是同等，二者是同等重要的。重要的。)0(r)0(r m)(tr)(tmr )0(r)0(r m)(tr)(tmr 22dtdmFr牛顿力学：质点的轨道牛顿力学：质点的轨道牛顿力学与量子力学的牛顿力学与量子力学的逻辑对应逻辑对应22d( )dtFmtr),(),(tHittrr( ) tr( , ) tr 波函数的物理意义波函数的物理意义 粒子在单位体积出现的几率粒子在单位体积出现的几率2( ) :r波函数的模方表示微观粒子在空间出现的几波函数的模方表示微观粒子在空间出现的几率密度率

12、密度( (即单位体积的几率即单位体积的几率) )。这就是波函数这就是波函数的的 “统计解释统计解释”。 归一化条件归一化条件 2( ) d1VrrV系统占据的整个空间系统占据的整个空间一维无限深势阱一维无限深势阱0)()0(0222akx0sin, 0kaBmkE222数为负数给不出新的波函；无物理意义nn)(00), 3, 2, 1(22222nmanEnnka xanaxnsin2)(kxBkxAxcossin)(通解：通解：边界条件要求：边界条件要求：xanAxnsin)(本征值：本征值：1sin202dxxanAaaA2归一化归一化条件：条件：归一化常数：归一化常数：归一化本征函数：归

13、一化本征函数：几率密度：基态几率密度：基态-2e-44e-40.0010.0020.0020.0030.003-4-3-2-101234m2考察振子在考察振子在 处的势能：处的势能：势能等于基态粒子的总能量，即势能等于基态粒子的总能量，即 是基是基态粒子的振幅位置。按经典理论振子不可能态粒子的振幅位置。按经典理论振子不可能进入进入 区域。区域。但是按照量子理论但是按照量子理论，振子的波函数为，振子的波函数为在在 区域的几率为：区域的几率为：022222212121) 1(ExxmxV1x1x22/1021exp)(1%16)()(201201dd1x动能为零动能为零最大位置最大位置020)(x

14、特别是，最大几率出现在特别是，最大几率出现在 ，与经典情况完，与经典情况完全相反。全相反。01x 径向几率密度：径向几率密度：基态基态（n = 1，l = 0, m = 0） 电子几率密度（在空间任意处的单位体积内的几率）：电子几率密度（在空间任意处的单位体积内的几率）： 电子在电子在(r r+dr) 球壳内的几率：球壳内的几率：araaraYrRexp141exp2),()(2/32/30001001波函数：)(2exp132100球对称分布aradWardardarardrarradrr)()/()2exp(4)2exp(42exp44222322001令41),(00Yrdr10得到由d

15、dWW 0.00.10.20.30.40.50.6012345ar 玻尔理论：电子处于玻尔理论：电子处于 的轨道的轨道量子理论：电子在整个空间（量子理论：电子在整个空间（ ）的几率都不为）的几率都不为零，但在玻尔半径零，但在玻尔半径 处有最大几率。处有最大几率。ar r0)2exp(4)(2W)2exp(2)2exp(22ddW狄拉克符号的优点狄拉克符号的优点所有运算过程能以所有运算过程能以非常便捷非常便捷的方式进行，比如的方式进行，比如 ( (期待值期待值) )nnnnmmmnmnnmmncccmmFnnmmFnnF2插入完备性关系式插入完备性关系式mmFm( (统计统计平均平均) )泡利矩

16、阵泡利矩阵泡利矩阵的定义：泡利矩阵的定义：应用非常广泛应用非常广泛： 角动量理论角动量理论 电子自旋电子自旋 二能级原子二能级原子 量子计算机量子计算机 zyxLiLL,1001000110zyxiizyxi2,求解求解 的本征态的本征态 矩阵矩阵 的本征方程的本征方程：zbaba100101001ba0)1 (000)1 (baba1时当10020000bababa1122aba时当1 bababa00000020)1 (00)1 (z01a10bz1122bbaba不能确定不能确定不能确定不能确定归一化条件：归一化条件：本征态：本征态：归一化条件：归一化条件：本征态：本征态：自旋态的应用自

17、旋态的应用01a10b电子自旋电子自旋二能级原子二能级原子 算符对易的条件算符对易的条件 定理：定理：如果两个算符如果两个算符A和和B有共同的本征函数有共同的本征函数 而且构成完备集而且构成完备集 ，则算符则算符A和和B对易对易。 证明：证明： 对于任意态对于任意态： )(nnnnnnnnnnnccnnnnnnnbBaA,0 BAAB,nnnnnnnnnnnnnABABcc a bBAc b a n由于由于 是任意的，故是任意的，故 （A和和B对易）对易）0,BABAAB算符对易的物理含义算符对易的物理含义物理含义：物理含义：如果两个算符如果两个算符A和和B对易对易, 则则它们它们有共同的本征

18、函数集有共同的本征函数集 ，则在本，则在本征态征态 中，力学量中，力学量A和和B同时有确定的同时有确定的期待值：期待值： 和和 ，即力学量，即力学量A和和B能被同时测定。能被同时测定。 nnnnnaAnnnbB典型的例子典型的例子1自由粒子的波函数自由粒子的波函数 是是 能量算符：能量算符： 动量算符：动量算符：的共同的本征函数。事实上：的共同的本征函数。事实上：)(),(tEiAetrprtiE ip),(),(tEttirr),(),(ttirpr 自由粒子的能量与动量能被同时测定自由粒子的能量与动量能被同时测定典型的例子典型的例子2 球谐函数球谐函数:量子系统的角动量平方与角动量量子系统

19、的角动量平方与角动量 z 分量能被同时测定分量能被同时测定22222sin1sinsin1LzLi 22( , )(1)( , )l ml mL Yl lY ( , )( , )zl ml mL Ym Y 是角动量平方算符：是角动量平方算符： 角动量角动量 z 分量算符：分量算符：共同的本征函数：共同的本征函数：lmlemlmllYimmlml, 2, 1, 0, 2, 1, 0)(cos)!()!(412),(P典型的例子典型的例子3 氢原子的波函数：氢原子的波函数：lmnln, 2, 1, 01, 2, 1, 0, 3, 2, 1mln)()() 1()(222224：mmLlllLnne

20、Hmlnmlnzmlnmlnmlnmln),(22exp)!(2)!1(2),(1233lmllnlnlmYanranranrlnnlnnarLzLLH,2是算符是算符 共同的本征函数共同的本征函数zLLH,2氢原子的三个力学量氢原子的三个力学量 能被同时测定能被同时测定主量子数主量子数角量子数角量子数磁量子数磁量子数两个算符不对易两个算符不对易现在考察两个算符不对易的情况。现在考察两个算符不对易的情况。 由上述讨论得知，如由上述讨论得知，如果算符果算符A和和B是不对易的是不对易的，则它们在同一个态则它们在同一个态 中不能中不能同时测定。那么它们在这个态中有怎样的不确定行为？同时测定。那么它们

21、在这个态中有怎样的不确定行为？测不准关系就是要对这种测不准关系就是要对这种不确定性进行不确定性进行“formulation”. .设厄密算符设厄密算符A和和B的对易关系为的对易关系为力学量力学量A和和B在该态的期待值在该态的期待值 定义定义“偏差偏差”算符算符： iCBAABBBAA,BBBAAA,（C是常数或算符）是常数或算符）一个特殊的积分一个特殊的积分 考察积分考察积分： 式中式中 是实参量，积分区域是变量变化的整个空是实参量，积分区域是变量变化的整个空 间。因为被积函数是绝对值的平方（在变量变化间。因为被积函数是绝对值的平方（在变量变化 的整个空间恒不小于零），故积分是非负值。的整个空间恒不小于零），故积分是非负值。0)()(2dBiAI2222222222222)()()()()()()()()(,)()()()()()()()(