大物小测复习大纲

1、大学物理.电场强度与场强叠加原理.静电场的高斯定理.静电场环路定理电势能电势.静电场中的导体与电介质.电容器电场能量.直流电流和圆电流的磁场磁场的高斯定理.安培环路定理.电磁感应动生电动势.自感互感磁场能量46.3 在坐标原点及点在坐标原点及点 分别放置电荷分别放置电荷Q1-2.0 10-6C及及Q21.0 10-6C的点电荷，求点的点电荷，求点P 处的场强（坐处的场强（坐标单位为标单位为m）。）。解解：)0 , 3() 1, 3(mPOr2)3(1221mPQr122得：由204rQE131289210111050. 42100 . 21000. 94|CNCNrQE/p>

2、1000. 91100 . 11000. 94CNCNrQEP11289210110 .452100 . 21000. 94|CNCNrQEP131269220221000. 91100 . 11000. 94CNCNrQEP1310111090. 3230 .4530cosCNCNEEPxP1310111025. 2210 .4530sinCNCNEEPyP02xPE13221000. 9CNEEPyPjEEiEEEyPyPxPxPP)()(212113 10) 8 . 69 . 3(CNji6.4 如图所示，长为如图所示，长为L的均匀带电细棒的均匀带电细棒AB。设电荷的设电荷的线密度为线密

3、度为l l。求：（。求：（1）AB棒延长线上棒延长线上P1点的场强（点的场强（P1点到点到B点的距离为点的距离为a）。解解： 取取P1点为原点、点为原点、P1A向为向为x轴正轴正向建立坐标系。向建立坐标系。 在在AB上距上距P1为为x处取电荷元处取电荷元dq=l ldx，其在其在P1产生的场强：产生的场强：ixdxidEEd20114liLaaLxdxiEdEaLaQP)(4402011ll即即P1点点场强大小为场强大小为)(40LaaLl方向沿方向沿APAP1 1方向。方向。6.5 5 一根玻璃棒被弯成半径为一根玻璃棒被弯成半径为R R的半圆形，其上电荷均的半圆形，其上电荷均匀分布，总电荷为

4、匀分布，总电荷为q q，求半圆中心，求半圆中心O O点的场强。点的场强。解解：以半圆圆心为原点、对称轴为以半圆圆心为原点、对称轴为x轴建立坐标系，轴建立坐标系，ldqRdRqdldq 如图，根据对称性如图，根据对称性EOy=0在棒上取电荷元在棒上取电荷元dq。cosqqxOxOdEdEEEdRqRdqdE202204422202cos4dRq2022RqiRqE20202 写成矢量式：写成矢量式：6-11 6-11 两个均匀的带电同心球面，内球面带有电荷两个均匀的带电同心球面，内球面带有电荷q q1 1，外球面带有电荷外球面带有电荷q q2 2，两球面之间区域中距球心为，两球面之间区域中距球心

5、为r r的点的点的场强为的场强为 ，方向沿球面半径指向球心；外，方向沿球面半径指向球心；外球面球面之之外距球心为外距球心为r r的点的场强为的点的场强为 ，方向沿，方向沿球面半径向外。试求球面半径向外。试求q q1 1和和q q2 2各等于多少？各等于多少？ 解：设解：设A A、B B分别为两球面之间区域和外球面之外区域分别为两球面之间区域和外球面之外区域中的点，过中的点，过A A、B B分别作两球面分别作两球面S SA A、S SB B为高斯面，并取高为高斯面，并取高斯面法线单位矢量沿径向背离球心。斯面法线单位矢量沿径向背离球心。根据高斯定理根据高斯定理SqSdE0A A点点( (两球面之间

6、区域两球面之间区域) )：SAAqrESdE0124CrrrEqA70202201103 . 343000430004B B点点( (外球面之外区域外球面之外区域) )：SBBqqrESdE0212420212012420004rrqrEqqBCq701106 . 5420006-13.6-13.两无限长同轴圆柱面，半径分别为两无限长同轴圆柱面，半径分别为R R1 1和和R R2 2( ( R R2 2 R R1 1) )，分别带有等量异号电荷（内圆柱面带正电），且两圆柱分别带有等量异号电荷（内圆柱面带正电），且两圆柱面沿轴线每单位长度所带电荷的数值都为面沿轴线每单位长度所带电荷的数值都为l

7、l。试分别求出。试分别求出以下三区域中离圆柱面轴线为以下三区域中离圆柱面轴线为r r处的场强：求距离轴线处的场强：求距离轴线r r远处的场强：远处的场强： r r R R1 1； R R1 1 r r R R2 2。解：分别在三个区域作半径为解：分别在三个区域作半径为r r高为高为h h的同轴柱面为高的同轴柱面为高斯面。斯面。根据高斯定理根据高斯定理SqrhESdE02r r R R1 1 , 0q0ER R1 1 r r R R2 2 , 0hhqll0E场强方向：沿矢径方向背离球心场强方向：沿矢径方向背离球心6-16-14 4. .一半径为一半径为R R的带电球，其上电荷分布的体密度的带电

8、球，其上电荷分布的体密度r r为为一常数。试求此带电球体内、外的场强分布。一常数。试求此带电球体内、外的场强分布。解：在带电球体内、外分别作半径为解：在带电球体内、外分别作半径为r r的同心球面为高的同心球面为高斯面。斯面。根据高斯定理根据高斯定理SqrESdE024当当r r R R时，时，,343Rqr,344032rRrE,3203rRErrerE03rrerRE2033r6-16-17 7 如图所示，如图所示，A A点有电荷点有电荷+q+q，B B点有电荷点有电荷-q-q，AB=2AB=2l l，OCDOCD是以是以B B为中心、为中心、l l为半径的半圆。为半径的半圆。（1 1）将单

9、位正电荷从将单位正电荷从O O点沿点沿OCDOCD移到移到D D点，电场力做功多少？点，电场力做功多少？（2 2）将单位负电荷从将单位负电荷从D D点沿点沿ABAB移到无穷远处，电场力做功移到无穷远处，电场力做功多少？多少？解：解：（1 1）选择无穷远处为电势零点）选择无穷远处为电势零点04400lqlqUOD D点电势：点电势：lqlqlqUD0006434O O点电势：点电势：单位正电荷从单位正电荷从O O点移到点移到D D点，电场力做功为：点，电场力做功为：lqlqUUqWDOOD006)6(01)(（2 2）单位）单位负负电荷从电荷从D D点移到无穷远处，电场力做功为：点移到无穷远处，

10、电场力做功为：lqlqUUqWDD0060)6(1)(, 04400lqlqUOlqlqlqUD00064346-16-19 9 在半径分别为在半径分别为R R1 1和和R R2 2的两个同心球面上，分别均匀的两个同心球面上，分别均匀带电，电荷量各为带电，电荷量各为Q Q1 1和和Q Q2 2，且，且R R1 1RR2 2。求下列区域内的电势。求下列区域内的电势分布：（分布：（1 1）rRrR1 1；（；（2 2）R R1 1rRrRrR2 2。解：解：半径为半径为R R均匀带电均匀带电Q Q的球面在空间产生的电势为：的球面在空间产生的电势为：rQURrRQURr012044因此因此，根据球面

11、电势的叠加原理，根据球面电势的叠加原理rQQURrRQrQURrRRQRQURr0212202012120210114)3(44)2(44) 1 (时时时6-6-2020 电荷电荷q q均匀分布在长为均匀分布在长为2a2a的细棒上。求棒的延长线上的细棒上。求棒的延长线上离棒的中点离棒的中点O O点为点为x x的点的点P P的电势。的电势。解：解：建立如图所示的坐标系：建立如图所示的坐标系：aqrxdrrxdqdUP2)(4)(400ll，其中：aaaaPPrxrxdrdUU)ln(4)(40-0llaxaxaqaxaxln8ln400l6-23 两个均匀带电的金属同心球壳，内球壳（厚度不计）半

12、径为两个均匀带电的金属同心球壳，内球壳（厚度不计）半径为R1=5.0cm ，带电荷，带电荷q1=0.60 10-8C ；外球壳内半径；外球壳内半径 R2=7.5cm，外，外半径半径R3=9.0cm，所带总电荷，所带总电荷 q2=-2.00 10-8C ，（，（1）求：距离球）求：距离球心心 3.0cm，6.0cm，8.0cm，10.0cm各点处的场强和电势各点处的场强和电势；（2）如果用导线把两个球壳连起来结果又怎样？如果用导线把两个球壳连起来结果又怎样？解：静电平衡后解：静电平衡后q1=0.60 10-8C 电荷分布在电荷分布在内内球壳表面球壳表面 。外球壳内表面有电荷。外球壳内表面有电荷-

13、 -q1，外表，外表面有电荷面有电荷q1+q2=- -1.40 10-8C 。(1)(1)由高斯定由高斯定理理024qrESdESr=6.0cm (R1rR2)0, 0Eqr=3.0cm (rR1)/(105 . 14,42011mVrqEqqr=8.0cm (R2rR3)/(1026. 14,4202121mVrqqEqqq半径为半径为R R的均匀带电的均匀带电Q Q的球面电势分布为的球面电势分布为)( 4)( 400RrrQRrRQU根据球面电势公式和电势叠加原理，根据球面电势公式和电势叠加原理，r=6.0cm (R1rR2)r=3.0cm (rR1)r=8.0cm (R2rR3)(100

14、4. 144433021201101VRqqRqRqU)(1022. 14443302120101VRqqRqrqU)(104 . 144443302130210101VRqqRqqrqrqU)(1026. 1444430210210101VrqqrqqrqrqU（2）如果用导线把两个球壳连起来，）如果用导线把两个球壳连起来，内球壳和外球壳内表面不内球壳和外球壳内表面不带电，外球壳外表面带电为带电，外球壳外表面带电为q3 =-1.410-8C。 导体内部场强处处为零，由于静电屏蔽，外球壳的外表导体内部场强处处为零，由于静电屏蔽，外球壳的外表面电荷不影响导体空腔内部。因此面电荷不影响导体空腔内部

15、。因此rR3)由高斯定理由高斯定理024qrESdES)/(1026. 14,42033mVrqEqq 用导线把两个球壳连起来后，导体是个等势体。用导线把两个球壳连起来后，导体是个等势体。)(104 . 14|33030 . 80 . 60 . 3VRqUUUcmrcmrcmrr=10.0cm (rR3)(1026. 14303VrqU6-24 在一半径为在一半径为a的长直导线的外面的长直导线的外面,套有内半径为套有内半径为b 的同轴导体的同轴导体薄圆筒薄圆筒,它们之间充以相对介电常数为它们之间充以相对介电常数为r的均匀电介质的均匀电介质,设导线和圆设导线和圆筒都均匀带电筒都均匀带电,且沿轴线

16、单位且沿轴线单位长度所带电荷分别为且沿轴线单位且沿轴线单位长度所带电荷分别为 和和-.（1）试求导线内、导线和圆筒间、圆筒外三个空间区域中）试求导线内、导线和圆筒间、圆筒外三个空间区域中的点的场强大小；（的点的场强大小；（2）求导线和圆筒间电势差。）求导线和圆筒间电势差。 02rhErhl 02rErl abhr（1 1）根据高斯定理）根据高斯定理arb时，时，qhl0E rb时，时，()0qhhll (2)abab之间的电势差之间的电势差02babarUdrrl 0ln2rbal 解：在三个空间区域分别解：在三个空间区域分别取半径为取半径为r高度为高度为h的高斯面的高斯面rSqrhESdE0

17、26-25 6-25 A A、B B、C C是三块平行金属板，面积均为是三块平行金属板，面积均为200cm200cm2 2，A A、B B相距相距4.0mm,A4.0mm,A、C C相距相距2.0mm,B2.0mm,B、C C两板都接地，如图所示，设两板都接地，如图所示，设A A板带正板带正电电q=3.0q=3.01010-7-7C,C,不计边缘效应不计边缘效应( (即认为电场集中在平板之间是均即认为电场集中在平板之间是均匀的匀的) )。(1)(1)若平板之间为空气若平板之间为空气(r r1.00),1.00),求求B B板和板和C C板上的感应板上的感应电荷，以及电荷，以及A A板上的电势；

18、（板上的电势；（2 2）若在）若在A A、B B间另充以间另充以r r=5=5的均匀的均匀电介质，再求电介质，再求B B板和板和C C板上的感应电荷，以及板上的感应电荷，以及A A板的电势。板的电势。 由静电感应可知由静电感应可知, ,A、C相向两面带等量异号电荷，相向两面带等量异号电荷，A、B相向两面也带等量异号电荷。相向两面也带等量异号电荷。ABACUU)2(00ABBACcdd3/, 3/2ABAc解：解：) 1 ()(CBAB、C两板都接地，两板都接地，解以上两式：解以上两式：,100 . 23/23/27CqSSqAACc,100 . 13/3/7CqSSqAABBACccAAdSq

19、UU0|V31026. 2(2)(2)由静电感应可知由静电感应可知, ,A、C相向两面带等量异号电荷，相向两面带等量异号电荷，A、B相相向两面也带等量异号电荷。向两面也带等量异号电荷。ABACUU)2(00ABrBACcddABAc75,72) 1 ()(CBAB、C两板都接地，两板都接地，解以上两式：解以上两式：r,1057. 872728CqSSqAACc,10143. 275757CqSSqAABBACccAAdSqUU0|124381085. 8102001021057. 8V968电场能量：电场能量：6-28 一空气平板电容器的电容一空气平板电容器的电容C=1.0pFC=1.0pF，

20、充电到电荷为，充电到电荷为Q=1.0Q=1.01010-6-6C C后，将电源切断。（后，将电源切断。（1 1）求极板间的电势差）求极板间的电势差和电场能量：（和电场能量：（2 2）将两极板拉开，使距离增到原距离的）将两极板拉开，使距离增到原距离的2 2倍，试计算拉开前后电场能的改变，并解释其原因。倍，试计算拉开前后电场能的改变，并解释其原因。 (2)距离拉长距离拉长2倍后，电容变为倍后，电容变为解解: (1)由由 得得QCU61.0 10 ( )QUVC20.5( )2eQWJC0022SSCCdd 电场能量：电场能量：21( )2eQWJC电场能量增量：电场能量增量：0.5( )eeeWW

21、WJ原因：原因：将两极板拉开时，电场力做负功，电场能量增加。将两极板拉开时，电场力做负功，电场能量增加。6.29 平板电容器两板间的空间（体积为平板电容器两板间的空间（体积为V）被相对介电）被相对介电常数为常数为 r的均匀电介质填满。极板上电荷的面密度为的均匀电介质填满。极板上电荷的面密度为 。试计算将电介质从电容器中取出过程中外力所作的功。试计算将电介质从电容器中取出过程中外力所作的功。解：外力做功等于电容器电场能的增加：解：外力做功等于电容器电场能的增加：)11(20212CCqWWWeeSdV dSCr0dSC00Sq将将 代入，得代入，得rrVW022) 1(解：解：在球形电容器两极板

22、间作半径为在球形电容器两极板间作半径为r r的同心高斯球面的同心高斯球面S S 6.30 若球形电容器两同心金属球面半径分别为若球形电容器两同心金属球面半径分别为R RA A和和R RB B（R RA AR2）。试求a、b两端的电势差，并指出那端电势高。解：以解：以O点为坐标原点。距离原点为坐标原点。距离原点点x位置取微元位置取微元dx，axBdxbl/kl则则dx产生的感应电动势为产生的感应电动势为cos2sinvBdxd xBdxvBdx 对整根导体棒进行积分：对整根导体棒进行积分：dkllklxBdx/2222)2()/()/(2BlkklkllBaxBdxbl/kldkllklxBdx

23、/2222)2()/()/(2BlkklkllB电动势方向：电动势方向：ba，a a端电势高。端电势高。22)2(BlkUab0, 2k8-15 8-15 一纸筒长一纸筒长 , ,截面直径截面直径为为 ，筒上绕有，筒上绕有 匝匝线圈，求这线圈的自感。线圈，求这线圈的自感。30cm3.0cm500解解：222725004100.31.5 100.3Ln V47.4 10H8-17 一由两薄圆筒构成的同轴长电缆，内筒半径为R1，外筒半径为R2，两筒间的介质ur=1，设内圆筒和外圆筒中的电流方向相反，而电流强度I相等，求长度为l的一段同轴电缆所贮磁能为若干？rIB2222228BuIdWwdVdVd

24、Vur)(21RrR解：根据对称性和安培环路定理，在内圆解：根据对称性和安培环路定理，在内圆筒和外圆筒外的空间磁场为零。两圆筒筒和外圆筒外的空间磁场为零。两圆筒(如如右图所示右图所示)间磁场为间磁场为因磁场是非均匀的，则体积元中的磁场能量为因磁场是非均匀的，则体积元中的磁场能量为I2R1Rl所以磁场能所以磁场能为为drrlrIdWWRRV2128222122ln4RRlI8-18 两个共轴圆线圈，半径分别为R及r（ R r ），匝数分别为N1，N2，两线圈的中心相距为l，设r很小，则小线圈所在处的磁场可以视为均匀的。求两线圈的互感系数。解：解：因为因为Rr，且小线圈所在处的磁场可以视为均匀（如

25、图所示），则由，且小线圈所在处的磁场可以视为均匀（如图所示），则由载流圆线圈轴线上的磁场表达式可知载流圆线圈轴线上的磁场表达式可知L1在在L2处产生的磁感应大小为处产生的磁感应大小为210132222 ()N uI RBRl212111221 0 12322212 212 032222()2()B SMMIINu I RNrIRlN N uR rRl方向沿两线圈的轴线方向，方向沿两线圈的轴线方向，其中其中 表示线圈表示线圈L1激发的磁场通过激发的磁场通过L2的磁通量的磁通量21第四章气体动理论第六章静电场第七章恒定磁场第八章电磁感应电磁场例：例：如图，两容积不变、导热的容器如图，两容积不变、导

26、热的容器A A和和B B，容积分别为，容积分别为V VA A=3.73=3.73升、升、V VB B=2.73=2.73升，用绝升，用绝热细管连通，在热细管连通，在2727时两容器内气压均为时两容器内气压均为1 1大气压。今把大气压。今把A A置于沸水中，置于沸水中，B B置于置于00的的冰中，则达到热平衡后，求容器冰中，则达到热平衡后，求容器A A中的气压和中的气压和A A中气体的分子数。中气体的分子数。 解：解：设两容器中的分子总数为设两容器中的分子总数为N N，) 1 ()(00kTVVNpBA初态时初态时)2( AAAkTVNp 末态时末态时)3( BBAkTVNNp联立解得联立解得

27、)(08. 1atmp 221090. 721NNA 理想气体在常温下，分子内各原子间的距离认为不变，理想气体在常温下，分子内各原子间的距离认为不变，可不考虑分子内部的振可不考虑分子内部的振动，而认为分子是刚性的。动，而认为分子是刚性的。此时气体分子只有平动自由度和转动自由度。此时气体分子只有平动自由度和转动自由度。单原子分子气体单原子分子气体例：例：HeHe、NeNe、ArAr等。其模型可用一个质点来代替。等。其模型可用一个质点来代替。平动自由度平动自由度3t转动自由度转动自由度0r303rti总自由度总自由度 将理想气体模型稍作修改，将气体分为单原子分子气体，双原子分子气体，多原将理想气体

28、模型稍作修改，将气体分为单原子分子气体，双原子分子气体，多原子分子气体。子分子气体。zyx),(zyxPo刚性双原子分子气体刚性双原子分子气体如：如：H H2 2、O O2 2等。其模型可用两个刚性质点来代替。等。其模型可用两个刚性质点来代替。平动自由度平动自由度3t转动自由度转动自由度2r523rti总自由度总自由度轴轴Oxyz),(zyxCl刚性多原子分子气体刚性多原子分子气体如：如：CO2、CH4等。其模型可用多个刚性质点来代替。等。其模型可用多个刚性质点来代替。633rti3t3r平动自由度平动自由度转动自由度转动自由度总自由度总自由度轴轴Oxyz例：例：处于平衡态的理想气体，压强处于

29、平衡态的理想气体，压强p p5 510102 2PaPa，容积，容积V V4.04.01010-3-3m m3 3，则气体分子，则气体分子总平动动能为【总平动动能为【 】。】。B B（A A）2J2J（D D）9J9J（C C）5J5J（B B）3J3J解：解：)(3232323JpVRTkTNEt例：例：用总分子数用总分子数N N、气体分子速率、气体分子速率v v和速率分布函数和速率分布函数f f( (v v) )表示下列各量：表示下列各量：(1)(1)速率大于速率大于100m/s100m/s的分子数；的分子数；(2)(2)速率大于速率大于100m/s100m/s的那些分子速率之和。的那些分

30、子速率之和。由速率分布函数的物理意义出发由速率分布函数的物理意义出发解解: :dvvfNdN)(dvvNfdN)(100)(dvvfNNv vv v+d+dv v区间的分子数区间的分子数速率大于速率大于100m/s100m/s的分子数的分子数v vv v+d+dv v区间的分子速率和区间的分子速率和dvvNvf)(速率大于速率大于100m/s100m/s的那些分子速率之和的那些分子速率之和100)(dvvNvf例：例：经典的氢原子中电子绕核旋转，质子质量经典的氢原子中电子绕核旋转，质子质量 M Mp p = 1.67= 1.67 1010-27 -27 kg , kg , 电子质量电子质量 m

31、 me e= = 9.119.11 1010-31 -31 kg , kg , 求电子与质子间的库仑力求电子与质子间的库仑力F Fe e与万有引力与万有引力F F引引之比。之比。解：解：库仑力大小库仑力大小20214rqqFe2024re万有引力大小万有引力大小221rmmGF引2rmmGepepemmeGFF2041引391026.2rerqqkF221库仑定律：库仑定律：rerqq20214例：例：求点电荷求点电荷q q所激发的电场中各点的电场强度矢量。所激发的电场中各点的电场强度矢量。,4200rerqqF场点场点O O 场源场源pqEr r0 0时，时，E E ，此结论正确吗？此结论正

32、确吗？0qrerqqFE2004解：解：要求出电场中各点的场强，只要求出其中任意一点要求出电场中各点的场强，只要求出其中任意一点P P的场强即可。的场强即可。在在P P点放置试探电荷点放置试探电荷q q0 0。rerqE204点电荷场强公式：re的方向：从源点指向场点。的方向：从源点指向场点。例：例：正电荷均匀分布在一根长直细棒上，此棒电荷线密度为正电荷均匀分布在一根长直细棒上，此棒电荷线密度为l l。试计算距细棒垂直距。试计算距细棒垂直距离为离为a a的的P P点的场强。已知细棒两端和点的场强。已知细棒两端和P P点连线的夹角分别为点连线的夹角分别为 1 1和和 2 2 。解解: :dydq

33、lrerdqEd204lsin4)sin(20rdydEdExlcos4)cos(20rdydEdEy,sin/)sin(/aar,)(actgactgydady2sinrerdy204lxoya21Pydqr rEdydExdExoya21Pydqr rEdydExdElsin420rdydExlsin)sin/(4)sin/(202ada21sin40ldaEx)cos(cos4210la同理可得：同理可得：21cos40ldaEy)sin(sin4120la,sina/r dady2sinad04sinllcos420rdydEyad04cosl例：例：如图所示，均匀带正电细圆环半径为如

34、图所示，均匀带正电细圆环半径为R，带电量为，带电量为q，求圆环轴线上与环心，求圆环轴线上与环心O O距离距离为为x x的的P P点的场强。点的场强。解解: :rerdqEd204由场对称性由场对称性qxxdEEEqdEcos,cosrxqrxrdqE204r 与与 x 都为常量都为常量0Eqdqrx3042/3220)(4RxqxoxRqxPdqEdr电荷元电荷元dq的场强的场强EddqdExdE例：例：用细的塑料棒弯成半径为用细的塑料棒弯成半径为R=50cmR=50cm的圆环，两端间空隙为的圆环，两端间空隙为l l=2cm=2cm，电量为，电量为Q=Q=3 3. .12121010 9 9C

35、 C的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处的电场强度的大小和方向。的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处的电场强度的大小和方向。 解：解：电荷的线密度：电荷的线密度：lRQl2RQ2mc/1019ll带电为带电为l ll l的电荷可以看成点电荷，的电荷可以看成点电荷，204RlElmv/72. 0场强方向由圆心指向缺口的中心。场强方向由圆心指向缺口的中心。E 根据对称性，圆心处的电场强度可看成是与缺口对称的长度为根据对称性，圆心处的电场强度可看成是与缺口对称的长度为l l、电荷线密度为、电荷线密度为l l的电荷产生的。的电荷产生的。例：例：求电偶极子中垂线上一点的电场强度。求电偶极子中垂线上一点的电场强度

36、。电偶极子：电偶极子：一对等量异号的点电荷系。一对等量异号的点电荷系。电偶极矩电偶极矩: : 解：解：cos2E由对称性分析由对称性分析E Ey= =0 xE2xEE qqll qpoyxPEExExEyEyErrlrqE24220rl2cosl qp304rql304rpE304rp写成矢量式：写成矢量式：xxEE4.4.带电体在电场中的受力带电体在电场中的受力点电荷所受的电场力：点电荷所受的电场力：EqF0连续带电体所受电场力：连续带电体所受电场力：FdFdqE例例：如图所示，长为：如图所示，长为L L的均匀带电细杆，电荷线密度为的均匀带电细杆，电荷线密度为+ +l l。如在。如在P P点

37、处有一带电量为点处有一带电量为q q的的正电荷，求该电荷所受的电场力。正电荷，求该电荷所受的电场力。ox解：解：如图建坐标系如图建坐标系, ,dx20)(4xLddxdElLxLddxE020)(4l)11(40Lddl)11(40LddqEqFl方向：水平向右方向：水平向右长度为长度为d dx x的电荷元的电荷元l ld dx x, ,在点产生的电场强度为：在点产生的电场强度为：oRq例：例：半径半径 R、带电量为、带电量为 q 的均匀带电球体，计算球体内、外的电场强度。的均匀带电球体，计算球体内、外的电场强度。1. .球体外部球体外部 r R作半径为作半径为 r 的球面；的球面；面内电荷代

38、数和：面内电荷代数和： qqr高斯面高斯面neE球面上各点的场强大小相等，方向与法线同向。球面上各点的场强大小相等，方向与法线同向。解：解：场强方向沿着径向且在球面上的场强处处相等。场强方向沿着径向且在球面上的场强处处相等。SSEdSSdEcosSEdSSdSE24 rE根据高斯定理：根据高斯定理：0qSdES有：有：024qrEoRq2. .球体内部球体内部 r R作半径为作半径为 r 的球面；的球面；面内电荷代数和：面内电荷代数和：333434rRqVqrqRr33204rqE与电荷与电荷q q全部集中在中心的场的分布全部集中在中心的场的分布相同。相同。024qrEr,402qrESdES

39、30324RqrrE304RqrE同理同理oRqREor204Rq例：例：无限长均匀带电直线，线电荷密度为无限长均匀带电直线，线电荷密度为 l，计算电场强度分布，计算电场强度分布 。解：解：作半径为作半径为r高为高为h的闭合圆柱面，的闭合圆柱面，hlhqlr右底侧左底e0右底左底,SdEneE侧侧cosEdSe侧面上各点的场强大小相等，方向与法线相同。侧面上各点的场强大小相等，方向与法线相同。侧dSErhE 2rE02l面内电荷代数和为面内电荷代数和为根据高斯定理根据高斯定理,0qSdES有：有：02lhrhE侧侧cosEdSe例：例： 一无限长均匀带电圆柱体，体电荷密度为一无限长均匀带电圆柱

40、体，体电荷密度为r r，截面半径为，截面半径为R R。（。（1 1）求柱内外电场）求柱内外电场强度分布；强度分布；解：解：柱内柱内(r R)(r R)(r R)作半径为作半径为r r高为高为h h的闭合圆柱面，同理：的闭合圆柱面，同理：例：例：无限大均匀带电平面，面电荷密度为无限大均匀带电平面，面电荷密度为 ，求平面附近某点的电场强度。，求平面附近某点的电场强度。r解：解：Sq右底侧左底e0侧,SdES右底左底eSESE 202SSE02 EEE作如图所示闭合圆柱面为高斯面。作如图所示闭合圆柱面为高斯面。右底左底r面内电荷代数和：面内电荷代数和：根据高斯定理根据高斯定理,0qSdES有：有：例

41、：例：求点电荷求点电荷q q产生的电场中的电势分布。产生的电场中的电势分布。 rerqE204pppl dEUUU负点电荷周围的场电势为离负电荷越远，电势越高。负点电荷周围的场电势为离负电荷越远，电势越高。正点电荷周围的场电势为离正电荷越远，电势越低。正点电荷周围的场电势为离正电荷越远，电势越低。解：解： rqdrrqr02044以无穷远处为电势零点。以无穷远处为电势零点。 pqrE例：均匀带电圆环，半径为例：均匀带电圆环，半径为 R R，带电为，带电为 q q，求圆环轴线上与环心，求圆环轴线上与环心O O距离为距离为x x的的P P点的电点的电势势U U。qdqdUoxRxP解：解：以无穷远

42、处为电势零点，以无穷远处为电势零点，rdqdU04rdUUqdqr041环上各点到轴线等距。环上各点到轴线等距。2/1220)(4Rxq将圆环分割成无限多个电荷元，将圆环分割成无限多个电荷元，例：例：均匀带电球面半径为均匀带电球面半径为 R，电量为，电量为 q，求：球面内、外的电势分布。，求：球面内、外的电势分布。oRqr高斯面高斯面解：解：球面内、外分别作半径为球面内、外分别作半径为 r 的高斯球面；的高斯球面；rIII, 0qI区：球面内，区：球面内，rRrRrR，, qq2024rqE024qrESdES根据高斯定理根据高斯定理 ，有：有：204rqEl dEl dEURRr 211dr

43、ER20drrqR204Rq04I区：球面内区：球面内(rR)(rR)(rR)电势电势oRqr高斯面高斯面rIII例：例：无限长带电直线线电荷密度为无限长带电直线线电荷密度为 l ，求电势分布。，求电势分布。解：解：无限长带电直线的场强：无限长带电直线的场强：rE02lPPl dEU若选无穷远为电势零点，若选无穷远为电势零点，PEdrrdrr02lorPlr)ln(ln20rlQR选取距带电直导线为选取距带电直导线为R R的的Q Q点为电势零点，点为电势零点，QPPEdrUrRln20lRrdrr02l 当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能选在无穷当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能选在无

44、穷远处。远处。 已知电势分布时电场力所做功的求解已知电势分布时电场力所做功的求解baabl dEqW0)(0baUUq例：例：在正方形四个顶点上各放置带电量为在正方形四个顶点上各放置带电量为+ +q的四个电荷，各顶点到正方形中心的四个电荷，各顶点到正方形中心O O的距的距离为离为r r。求：。求：(1)O(1)O点的电势；点的电势；(2)(2)把试探电荷把试探电荷q q0 0从无穷远处移到从无穷远处移到O O点时电场力所做的功。点时电场力所做的功。解：解：4104iiiOrqUrqrq0044qqqqor(1)(1)以无穷远为电势零点，以无穷远为电势零点，(2)(2)(0OOUUqWOUq0r

45、qq00解解: :以无穷远处为电势零点以无穷远处为电势零点04400RqRqUBRqRqUD004)3(4Rq06)(|DBDBUUA将一单位正电荷从将一单位正电荷从B B点沿半圆弧轨道点沿半圆弧轨道BCDBCD移到移到D D点，则电场力所做的功：点，则电场力所做的功：Rq06例：例：图示图示BCDBCD是以是以O O点为圆心、以点为圆心、以R R为半径的半圆弧为半径的半圆弧。在在A A点有一电量为点有一电量为q q的点电荷，的点电荷，O O点点另有一电量为另有一电量为- -q q的点电荷的点电荷，直线段直线段AB=RAB=R。现将一单位正电荷从。现将一单位正电荷从B B点沿半圆弧轨道点沿半圆

46、弧轨道BCDBCD移移到到D D点，求电场力所点，求电场力所做做的功。的功。例：例：在电量为在电量为+q+q的点电荷的电场中，放入一不带电金属球，从球心的点电荷的电场中，放入一不带电金属球，从球心O O到点电荷所在处到点电荷所在处的矢径为的矢径为r r ，求金属球上的感应电荷净电量以及这些感应电荷在球心，求金属球上的感应电荷净电量以及这些感应电荷在球心O O处产生的电场处产生的电场强度。强度。根据电荷守恒，金属球上感应电荷净电量为零，根据电荷守恒，金属球上感应电荷净电量为零，在静电平衡时，金属球内场强为零，在静电平衡时，金属球内场强为零，qOEEE感qEE感204)(reqr解：解：0204r

47、eqrrqO例：例：A A、B B、C C是三块平行金属板，面积均为是三块平行金属板，面积均为200cm200cm2 2，A A、B B相距相距4.0mm4.0mm，A A、C C相距相距2.0mm2.0mm，B B、C C两板都接地，如图所示，设两板都接地，如图所示，设A A板带正电板带正电q=3.0q=3.01010-7-7C,C,不计边缘效应不计边缘效应( (即认为电场集中在平即认为电场集中在平板之间是均匀的板之间是均匀的) )。若平板之间为空气，求。若平板之间为空气，求B B板和板和C C板上的感应电荷，以及板上的感应电荷，以及A A板上的电势；板上的电势； 由静电感应可知由静电感应可

48、知, ,A A、C C相向两面带等量异号电荷，相向两面带等量异号电荷，A A、B B相向两面也带等量异号相向两面也带等量异号电荷。电荷。ABACUU)2(00ABBACcddABAc31,32解：解：) 1 ()(CBAB B、C C两板都接地，两板都接地，解以上两式：解以上两式：ABAc31,32,100 . 232327CqSSqAACc,100 . 131317CqSSqAABBACccAAdSqUU0|124371085. 810200102100 . 2V31026. 2例：例：将电荷将电荷 q 放置于半径为放置于半径为 R 相对介电常数为相对介电常数为 r 的介质球中心，求：的介质

49、球中心，求：I 区、区、II区区的的 D、E、 及及 U。rIIIRq解：解：在介质球内、外各作半径为在介质球内、外各作半径为 r 的高斯球面。的高斯球面。rr24 rqDI区：区：214 rqDII区：区：224 rqD 球面上各点的场强球面上各点的场强 D D 大小相等，方向与法线同向。大小相等，方向与法线同向。SSDdSSdDcosSDdSSdSD24 rD根据介质中的高斯定理：根据介质中的高斯定理：qSdDS有：有：, qq, qqrIIIRqrrI区：区：,421rqDII区：区：224 rqD由由EDr0I区：区：rDE011II区：区：204rqr022DE 204rqrE00E

50、aal dEU由由aEdrRRrdrEdrEU211I区：区：RqRrqr004)11(4rdrEU22rq04II区：区：例：例：A A、B B、C C是三块平行金属板，面积均为是三块平行金属板，面积均为200cm200cm2 2，A A、B B相距相距4.0mm4.0mm，A A、C C相距相距2.0mm2.0mm，B B、C C两板都接地，如图所示，设两板都接地，如图所示，设A A板带正电板带正电q=3.0q=3.01010-7-7C,C,不计边缘效应不计边缘效应( (即认为电场集中在平即认为电场集中在平板之间是均匀的板之间是均匀的) )。若在。若在A A、B B间充以间充以r r=5=

51、5的均匀电介质，求的均匀电介质，求B B板和板和C C板上的感应电荷以及板上的感应电荷以及A A板的电势。板的电势。 由静电感应可知由静电感应可知, ,A A、C C相向两面带等量异号电荷，相向两面带等量异号电荷，A A、B B相向两面也带等量异号相向两面也带等量异号电荷。电荷。ABACUU)2(00ABrBACcddABAc75,72解：解：) 1 ()(CBAB B、C C两板都接地，两板都接地，解以上两式：解以上两式：rABAc75,72,1057. 872728CqSSqAACc,10143. 275757CqSSqAABBACccAAdSqUU0|124381085. 8102001

52、021057. 8V968r例：例：平行板电容器极板间距为平行板电容器极板间距为 d , , 极板面积为极板面积为 S，面电荷密度为，面电荷密度为 0 , , 其间插有厚度其间插有厚度为为 d、相对介电常数为相对介电常数为 r r 的电介质。求：的电介质。求： (1)(1)P1 、P2点的场强；点的场强； (2)(2) 电容器的电电容器的电容。容。d00dr1P2P解：解：（1 1）过）过 P1 点作高斯柱面点作高斯柱面, , 左右底面分别经过导体和左右底面分别经过导体和 P1 点。点。侧右底左底DDDDD0左底D0侧D导体内导体内 D D=0=0，,SdD右底DD右底SdD1SD 1SS0S

53、qD1根据介质中的高斯定理：根据介质中的高斯定理：qSdDSD有：有：0过过P2点作高斯柱面点作高斯柱面, , 左右底面分别经过导体和左右底面分别经过导体和P2点。点。同理，可求得：同理，可求得：02D01D011DE 00rDE022r00d00dr1P2P（2 2）电容）电容CabUqC ) (210dEddESrdddS0例：例：同轴电缆由内径为同轴电缆由内径为R R1 1、外径为、外径为R R2 2的两无限长金属圆柱面构成，单位长度带电量分别的两无限长金属圆柱面构成，单位长度带电量分别为为+ +l l、- -l l，其间充有相对介电常数为，其间充有相对介电常数为 r r的电介质。求：的

54、电介质。求：(1)(1)两柱面间电势差两柱面间电势差 U U；(2)(2)单位单位长度电容长度电容 ；(3)(3)单位长度贮存能量。单位长度贮存能量。2R1Rllrrh解：解：（1 1）两柱面间作高为）两柱面间作高为 h 半径为半径为 r 的高斯柱面，的高斯柱面，0qSdDS,2hrhDlrDl2场强场强rDE0rrl02由介质中高斯定理：由介质中高斯定理：有：有：21RREdr21RRl dEU120ln2RRrl2R1Rllrrh（2 2）单位长度电容）单位长度电容12UCl)/ln(2120RRr（3 3）单位长度）单位长度贮存能量贮存能量或或dVWeedVEr2021rdrrrrRRl

55、2)2(21200211202ln4RRrlqUWe21120ln221RRrll1202ln4RRhrl例：例：球形电容器内外半径分别为球形电容器内外半径分别为R R1 1和和R R2 2，两极板间充满相对介电常数为两极板间充满相对介电常数为 r r的各向同性的各向同性均匀电介质，两极板带有等量异号电荷均匀电介质，两极板带有等量异号电荷Q Q。 (1)(1)用电场能量密度积分的方法求电容器用电场能量密度积分的方法求电容器内所储电场能量；内所储电场能量；(2)(2)证明此结果与按电容器储能公式计算的结果相等。证明此结果与按电容器储能公式计算的结果相等。 解：解：（1 1）依据高斯定理，易得：）

56、依据高斯定理，易得：204rQEr)(21RrRdVwWedVEr2021drrrQrrRR222004)4(21212101228)(RRRRQr1R2RoQQr(2)(2)EdrUUQC CQW22204rQEr)(21RrR21204RRrdrrQ210124)(RRRRQr2101228)(RRRRQWr)(412210RRRRr2101228)(RRRRQr1R2RoQQr或或2101228)(21RRRRQQUWr两种方法结果相等。两种方法结果相等。例：例：一平板电容器面积为一平板电容器面积为S S，间距，间距d d，用电源充电后，两极板分别带电为，用电源充电后，两极板分别带电为+

57、 +q q和和- -q q，断开断开电源，再把两极板缓慢地拉至电源，再把两极板缓慢地拉至2 2d d ，试求外力克服电力所做的功，试求外力克服电力所做的功。解解 ：qqd2122222CqCqWAqqd初态初态末态末态Sdq022122Cq212122)(CCCCq 电容器两个状态下所存贮的能量差等于外力的功。电容器两个状态下所存贮的能量差等于外力的功。,dSC01初态初态,22102CdSC末态末态 若把电容器极板缓慢拉开一倍的距离，所需外力的功等于电容器原来具有的若把电容器极板缓慢拉开一倍的距离，所需外力的功等于电容器原来具有的能量。能量。例：例：如图所示，在磁感应强度为如图所示，在磁感应

58、强度为B B的均匀磁场中，放置一半圆形半径为的均匀磁场中，放置一半圆形半径为 R 通有电流为通有电流为 I 的闭合载流导线，求：（的闭合载流导线，求：（1 1）圆弧）圆弧abcabc所受的安培力；（所受的安培力；（2 2）闭合载流导线所受的合力。）闭合载流导线所受的合力。解：解：BIIRabcO直弧acabcFFBLIFac直2sin2IRB（1 1）以直代弯：）以直代弯：直弧acabcFFIRB2（2 2）0abcaF弧abcF直caF直直caacFF闭合载流导线所受的合力：闭合载流导线所受的合力：axolP21I例：例：如图所示，一段有限长载流直导线，通电流为如图所示，一段有限长载流直导线

59、，通电流为 I，求距导线为，求距导线为a的的P点磁感应强度。点磁感应强度。已知细棒两端和已知细棒两端和P P点连线的夹角分别为点连线的夹角分别为 1 1和和 2 2 。解解: :204sinrIdldB)ctg( alctgadadl2csc)csc(ar2220csc4sincsc adIadB daIsin4 0dBB21sin40daI210coscos4 aI分割电流元分割电流元rBdllIdcsca讨论讨论: :1. .无限长载流直导线的磁场：无限长载流直导线的磁场：; , 021aIB202. .半无限长载流直导线的磁场：半无限长载流直导线的磁场：IRP;,21) 1(cossin

60、40RIB注意：注意：载流导线延长线上任一点的磁场载流导线延长线上任一点的磁场0BIaP,/ rlId, 0rlId210coscos4 BaIaxolP21IrBdllId任意点的磁场：任意点的磁场：rIB20例：例：一载流圆环半径为一载流圆环半径为R ，通有电流为通有电流为 I。求圆环轴线上与环心。求圆环轴线上与环心O O距离为距离为x x的的P P点的磁感点的磁感应强度应强度 。解：解：将圆环分割为无限多个电流元；将圆环分割为无限多个电流元； ,420rIdldBIoxxPRrBdlIddBxdBdBxdBBdlId 由对称性可知，由对称性可知，, 0B22BBBxxBrRsinxdBs