第三章热传导问题的数值解法

1、CompanyLOGO第三章第三章 导热问题的数值导热问题的数值解法解法任好玲任好玲机电实验大楼机电实验大楼B506TelQ:45075614一、导热问题数值求解的基本思想及内部一、导热问题数值求解的基本思想及内部节点离散方程的建节点离散方程的建二、边界节点离散方程的建立及代数方程二、边界节点离散方程的建立及代数方程的求解的求解三、三、非稳态导热问题的数值解法（自学）非稳态导热问题的数值解法（自学）四、四、导热问题数值计算实例导热问题数值计算实例主要内容p 数值求解的基本思想及常用的数值求解方法p 有限差分法p 节点离散方程的建立泰勒级数展开法与热平衡法。p 节点离散

2、方程(组)的求解 直接求解; 简接求解高斯-赛德尔(Gauss- Seidel)迭代法p 非稳态导热问题数值求解的有关概念 重点：用热平衡法建立稳态导热问题的离散方程，数值求解的高斯-赛德尔(Gauss- Seidel)迭代法主要内容u数值求解的基本方法及过程p 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数值计算 法；(3) 实验法 p 三种方法的基本求解过程 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理论解； 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方

3、法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解； 实验法， 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所研究对象的传热过程所求量的方法主要内容u数值求解方法的特点p 分析法 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据； 局限性很大，对复杂的问题无法求解； 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见.p 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低p 实验法: 是传热学的基本研究方法 适应性不好； 费用昂贵.有限差分法（有限差分法（finite-difference）有限元法（有限元法（finite-

4、element） 边界元法（边界元法（boundary- element）分子动力学模拟（分子动力学模拟（MD） 导热问题数值求解的基本思想及内部节点离散方程的建立u物理问题的数值求解过程建立控制方程及定解条件建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值设立温度场的迭代初值求解代数方程求解代数方程是否收敛是否收敛解的分析解的分析改进初场改进初场是是否否导热问题数值求解的基本思想及内部节点离散方程的建立u有限差分法p 解方程 , 并用节点的解的集合( 离散值 )来代替原物体内的连续温度分布p 离散：将连续体

5、用网格分割成有限单元体p 取节点：以单元体的中心点代表该单元体p 建立节点离散方程：对每一单元体按一定方法，将针对微元体得出的导热微分方程简转化成针对有限单元体的节点离散方程( 代数方程组 )导热问题数值求解的基本思想及内部节点离散方程的建立u有限差分法0tyf3thf2thf1thx例题：二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题例题：二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题 控制方程：是指描写物理问题的微分方程 针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为：02222ytxt 其四个边的边界条件为三个边界条件中的一种，三个边界条件为：1Ctw2)(Cntw)()(fwwtthnt

6、控制容积、网格线、节控制容积、网格线、节点、界面线、步长点、界面线、步长导热问题数值求解的基本思想及内部节点离散方程的建立u有限差分法例题：二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题例题：二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题 建立节点物理量的代数方程（离散方程） 首先划分各节点的类型； 其次，建立节点离散方程； 最后，代数方程组的形成。 对节点 (m,n) 的代数方程，当 x=y 时，有,1,1,1,11()4m nmnmnm nm nttttt 设立迭代初场 :直接解法与迭代解法，传热问题的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解时，需对被求的温度场预先设定一个解，这个解称为初场，并

7、在求解过程中不断改进导热问题数值求解的基本思想及内部节点离散方程的建立u有限差分法例题：二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题例题：二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题 求解代数方程组求解时遇到的问题： 线性； 非线性； 收敛性等。 m=1 的左边界上各节点的温度已知外，其余 (M-1)N 个节点均需建立离散方程，共有 (M-1)N 个方程，则构成一个封闭的代数方程组。 线性代数方程组：代数方程一经建立，其各项系数在整个求解过程中不再变化； 非线性代数方程组：代数方程一经建立，其各项系数在整个求解过程中不断更新。 是否收敛判断：是指用迭代法求解代数方程是否收敛，即本次迭代计算所得之解

8、与上一次迭代计算所得之解的偏差是否小于允许值。 解的分析：通过求解代数方程，获得物体中的温度分布，根据温度场应进一步计算通过的热流量，热应力及热变形等。因此，对于数值分析计算所得的温度场及其它物理量应作详细分析，以获得定性或定量上的结论。 建立离散方程的常用方法u节点类型这是导热问题数值计算的关键一步。要得出节点的离散方程，首先要了解该节点是哪种类型。p 具有对流边界条件的外角顶；p 具有对流边界条件的平直边界节点；p 具有对流边界条件和对称绝热角顶；p 具有绝热边界条件的平直边界节点；p 具有对流边界条件的内角顶；p 内部节点。建立离散方程的常用方法u 泰勒级数展开法p 对于节点（m+1,

9、n）及（m-1, n）分别写出函数t对（m, n）点的泰勒级数2233441,234,2624mnm nm nm nm ntxtxtxtttxxxxx223341,234,42624mnm nm nm nm ntxtxtxtttxxxxx)(|12|22,444,222, 1, 1Oxtxxtxtttnmnmnmnmnm)(2|22, 1, 1,22xOxtttxtnmnmnmnm建立离散方程的常用方法u 泰勒级数展开法)(2|22, 1, 1,22xOxtttxtnmnmnmnm2, 1, 1,222|xtttxtnmnmnmnm2,1,1,222|ytttytnmnmnmnm中心差分p 二

10、维稳态导热的微分方程式为22xt022ytp 其在节点（m,n）处的中心差分方程式为p 若 x=y 则有 ,1,1,1,11()4m nmnmnm nm nttttt1,1,1,1,22220mnmnm nm nm nm nttttttxy建立离散方程的常用方法u控制容积平衡法(热平衡法)p 基本思想：对每个有限大小的控制容积（元体）应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。p 能量守恒：导入元体的总热流量元体内热源生成热 导出元体的总热流量元体内能的增量p 从节点 (m-1,n) 通过界面 w 传

11、导到节点 (m,n) 的热流量1,mnm nwttyx p 通过界面 e,n,s 传导给节点（ m,n ）的热流量也可求得0ewns p 对元体(m,n). 根据能量守恒定律可知： 建立离散方程的常用方法u控制容积平衡法(热平衡法)p 导入元体的热流量为正，导出元体的热量为负0ewns p 说明： 上述分析与推导是在笛卡儿坐标系中进行的； 热平衡法概念清晰，过程简捷； 热平衡法与建立微分方程的思路与过程一致，但不同的是前者是有限大小的元体，后者是微元体； 适用于非均匀网格； 适用于导热系数为温度的函数或内热源分布不均匀的情形； 适用于物体内的各个节点（内节点与边界节点）物理概念清晰，推导过程简

12、单；物理概念清晰，推导过程简单；（2）边界节点离散方程的建立及代数方程的求解u边界节点离散方程的建立p 对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。p 而对于第二类或第三类边界条件的导热问题，所有内节点的离散方程组成的代数方程组是不封闭的，因未知边界温度，因而应对位于该边界上的节点补充相应的代数方程，才能使方程组封闭，以便求解。p 为了求解方便，这里我们将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流密度表达式。为使结果更具一般性，假设物体具有内热源 ( 不必均匀分布

13、 ) 。边界节点离散方程的建立及代数方程的求解u边界节点离散方程的建立平直边界上的节点p 为使讨论具有一般性，设物体具有内热源平直边界上的节点2,1,1,1,12(2)4m nmnm nm nwm nxxttttq1,1,1,2022mnm nm nm nm nm nm nwttttxyxyttxxyyqy xy 当边界节点离散方程的建立及代数方程的求解u边界节点离散方程的建立外部角点p 为使讨论具有一般性，设物体具有内热源外部角点xy 当2,1,1,12()22m nmnm nwm nxxtttq1,1,22024mnm nm nm nwm nttttyxxyxyxyq 边界节点离散方程的建

14、立及代数方程的求解u边界节点离散方程的建立内部角点p 为使讨论具有一般性，设物体具有内热源内部角点xy 当1,1,1,1,230224mnm nm nm nmnm nm nm nwm nttttttyyxxyxttxxyx yqy 2,1,1,11,132(22)62m nmnm nm nmnm nwxxtttttq边界节点离散方程的建立及代数方程的求解u边界节点离散方程的建立边界热流密度p 绝热边界平直边界xy 当0wq p 传入计算区域的热量为正0wq p 对流边界)(,nmfwtthq外部角点内部角点2,1,1,1,2222m nmnm nm nm nfh xxh xttttt2,1,1

15、2212m nm nmnm nfxh xh xtttt 2,1,11,1322322m nm nmnm nmnm nfxh xh xtttttth x：无量纲数，以网格步长x为特征长度的Bi数，称为网格Bi数p 当计算区域中出现曲线或倾斜边界时, 常用阶梯型折线来模拟真实边界边界节点离散方程的建立及代数方程的求解u边界节点离散方程的建立不规则边界处理模拟或逼近精度与什么有关？边界节点离散方程的建立及代数方程的求解u边界代数方程的求解方法p 迭代法：先对要计算的场作出假设（设定初场），在迭代计算中不断予以改进，直到计算前的假定值与计算结果相差小于允许值为止的方法，称迭代计算收敛。p 直接解法：通

16、过有限次运算获得精确解的方法，如：矩阵求解，高斯消元法。 高斯赛德尔迭代法：每次迭代计算，均是使用节点温度的最新值。 p 雅可比迭代法：每次迭代计算，均用上一次迭代计算出的值。 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解u边界代数方程的求解方法11 112 213 3121 122 223 3231 132 233 33a ta ta tba ta ta tba ta ta tb1112 213 3112221 123 3223331 132 2331()1()1()tba ta tatba ta tatba ta ta(0)(0)(0)123ttt、设初场：(1)( )( )( )1112 21

17、3 3111(1)( )( )( )2221 123 3222(1)( )( )( )112 2,11111kkkkn nkkkkn nkkkknnnnn nnnntba ta ta tatba ta ta tatba ta tata(1)( )( )( )1112 213 3111(1)(1)( )( )2221 123 3222(1)(1)(1)(1)1 12 2,11111kkkkn nkkkkn nkkkknnnnn nnnntba ta ta tatba ta ta tatba ta tata边界节点离散方程的建立及代数方程的求解u边界代数方程的求解方法收敛的准则收敛的准则)(max

18、)() 1()()() 1()() 1(maxmaxmaxkkikikikikikikittttttttk及k+1表示迭代次数；第k次迭代得到的最大值(k)maxt当有接近于零的t 时，第三个较好=10-310-6121311212322313233111aaaaaaaaa差分方程能收敛边界节点离散方程的建立及代数方程的求解u边界代数方程的求解方法例题1：高斯-赛德尔迭代法：123123123822952322428ttttttttt1232133121(292)81(322 )51(282)4ttttttttt满足收敛条件121311212322313233111aaaaaaaaa12321

19、3312325228242982ttttttttt能否收敛？设初值，一般设为零 节点迭代次数 t1 () t2() t3() 0 0 0 0边界节点离散方程的建立及代数方程的求解u边界代数方程的求解方法例题1：高斯-赛德尔迭代法求1、2、3、4温度：1234t=100t=100t=100t=500 各节点均为内节，故：12321431442311:(100500)412:(500 100)413:(100 100)414:(100 100)4tttttttttttt节点节点节点节点,1,1,1,11()4m nmnmnm nm ntttttxy 小结 导热问题数值求解的基本思想数值计算是解决较复杂的导热问题的有效途径 常用的数值求解方法：有限单元法和有限差分法* 离散(分割)、取节点、列节点离散方程、解方程 建立节点离散方程的两种方法: 泰勒级数展开法与热平衡法。 节点离散方程的建立是导热问题数值求解的重要环节(要求能根据不同情况，用热平衡法自行推导稳态导热问题的节点有限差分方程)。 节点离散方程（组）的求解 用高斯-赛德尔(Gauss- Seidel)迭代法*求解二维稳态导热问题的有限差分方程组迭代原则、基本求解步骤、迭代方程选取对迭代结果的影响、获得收敛解的条