第四章平面一般力系

1、第四章第四章 平面一般力系平面一般力系平面一般力系：平面一般力系： 作用在物体上的力的作用线都分布在同一平面内(或近似地分布在同一平面内)，并呈任意分布的力系。注：当物体所受的力都对称于某一平面时，也可将它视作平面任意注：当物体所受的力都对称于某一平面时，也可将它视作平面任意力系问题。力系问题。例例4-1 4-1 工程中的平面一般力系问题附加力偶的矩为FdM 定理：可以把作用在刚体刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。证明：F FA点力力系 ， ，F FF F F FF FF F- -F F B点力附加力偶F F),(F FF

2、 F 4-2 4-2 力线平移定理)(F FBMM 力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力力+力偶力偶注：注：力平移的条件是附加一个力偶力平移的条件是附加一个力偶M，且且M与与d有关，有关，M=Fd 力线平移定理是力系简化的理论基础。力线平移定理是力系简化的理论基础。平面任意力系，例如力系 ， ， 1F F2F F3F F力的平移力的平移 定理定理平面内任取一点O，称为简化中心简化中心点O的力 ， ， （平面汇交力系）附加力偶 （平面力偶系） 1 1F F2F F3F F2()MMO2F F)(1O1F FMM 3()MMO3F F4-4-3 3 平面一般

3、力系向一点简化 主矢与主矩 分别合成这两个力系)()()(321321F FF FF FooooMMMMMMM321321RF FF FF FF FF FF FF F（原来各力的矢量和）（原来各力的矢量和）（原来各力对点（原来各力对点O的矩的代数和）的矩的代数和）在一般情形下，平面一般力系向作用面内任选一点O简化可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢主矢，即平面一般力系中所有各力的矢量和ni 1iRF FF F作用线通过简化中心O；这个力偶的矩等了该力系对于点O的主矩主矩，即这些力对于任选简化中心O的矩的代数和niooMM1)(iF F注：注：1. 主矢与简化中心的选择无关。主矢与简化中

4、心的选择无关。 2. 一般情况下主矩与简化中心的选择有关。以后说到主矩时，必须指一般情况下主矩与简化中心的选择有关。以后说到主矩时，必须指 出是力系对于哪一点的主矩。出是力系对于哪一点的主矩。取坐标系Oxy主矢jiYXRyRxRF FF FF F22)()(YXFR大小方向余弦RRFX),cos(iF FRRFY),cos(jF F固定端或插入端支座固定端或插入端支座车刀夹持在刀架上车刀夹持在刀架上工件夹持在卡盘上工件夹持在卡盘上简图注：固定端支座除了限制物体在水平方向和铅直方向移动外，还能限注：固定端支座除了限制物体在水平方向和铅直方向移动外，还能限制物体在平面内转动。制物体在平面内转动。在

5、平面问题中固定端支座对物体的作用力构成一平面任意力系向作用平面内点A简化得到一个力和一个力偶约束反作用可简化为两个约束反力 、 和一个矩为 的约束反力偶FAxFAyAM 重力坝受力情形如图所示。设 ， ， , 。求力系的合力 的大小和方向余弦、合力与基线OA的交点到点O的距离x，以及合力作用线方程。kNP4501kNP2002kNF3001kNF702RF F解：(1)将力系向点O简化。oCBABACB7 .16arctankNFFXFRx9 .232cos21kNFPPYFRy1 .670sin221主矢 的大小为RF FkNYXFR4 .709)()(22方向余弦为3283. 0),cos

6、(RRFXiF9466. 0),cos(RRFYjF则有oR84.70),(iFooR16.19180),(jF故主矢 在第四象限内，与x轴的夹角为 。o84.70RF F力系对点O的主矩为mkNPPFMMoo23559 . 35 . 13)(211F4-4-4 4 简化结果分析简化结果分析 合力矩定理合力矩定理0, 0oRMF F1平面任意力系简化为一个力偶的情形平面任意力系简化为一个力偶的情形作用于简化中心O的力 相互平衡n21F F, ,F FF F,附加的力偶系并不平衡，可合成为一个力偶，合力偶矩为niiooMM1)(F F注：此种情况下主矩与简化中心的选择无关。注：此种情况下主矩与简

7、化中心的选择无关。2平面一般力系简化为一个合力的情形平面一般力系简化为一个合力的情形合力矩定理合力矩定理附加力偶系互相平衡。有一个与原力系等效的合力 ，作用线通过选定的简化中心O。RF F0, 0oRMF F 0, 0oRMF FRRRF FF FF F合力矢等于主矢合力矢等于主矢RoFMd 注：合力的作用线在点注：合力的作用线在点O的哪一侧，需根据主矢和主矩的方向确定。的哪一侧，需根据主矢和主矩的方向确定。平面任意力系的平面任意力系的合力矩定理合力矩定理平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。证明：平面任意力系对简化中心O的主矩niooMM1)(iF F合力

8、 对点O的矩RF FoRRoMdFM)(F F所以得证)()(ioRoMMF FF F3平面任意力系平衡的情形平面任意力系平衡的情形0, 0oRMF F例： 如图所示圆柱直齿轮，受到啮合力 的作用。设1400N。压力角 。齿轮的节圆(啮合圆)的半径 r60mm，试计算力 对于轴心O的力矩。nF FnFo20nF F解：解法一hFMn)(nOF F力 对于轴心O的力矩nF F其中力臂 ，故cosrh mNrFMon93.7820cos601400cos)(nOF F 解法二根据合力矩定理rFMMMMncos)()()()(F FF FF FF FOrOOnO 例： 如图所示的踏板，各杆自重不计。

9、已知：力F及其与x轴的夹角，力作用点B坐标 ，距离l。试求平衡时水平杆CD的拉力 。),(BByxDF F解： 取整体为研究对象。平衡方程0)(F FAM0lFFhD利用合力矩定理0sincoslFxFyFDBB求得lxFyFFBBDsincos例 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图所示。载荷的最大值为q，梁长l。试求合力作用线的位置。解：在梁上距A端为x的微段dx上，作用力的大小为 ，其中 为该处的载荷强度，大小为qdxqqlxq 因此分布载荷的合力的大小为lqldxqP021根据合力矩定理lxdxqPh0得lh32计算结果说明：合力大小等于三角形线分布载荷的面积，合力作用线通过该三角

10、形的几何中心。4-4-5 5 平面一般力系的平衡条件和平衡方程0R F F平面一般力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。充分性：充分性：作用于简化中心O的汇交力系为平衡力系原力系必为平衡力系必要性：必要性：合力或合力偶（不平衡）（不平衡）主矢与主矩都不等于零 力系平衡00oRMF F0oM 附加力偶系也是平衡力系主矢和主矩有一个不等于零一个合力 22)()(YXFRniiooMM1)(F F0RF F0oM平面一般力系平衡的充要条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零以及各力对于任意点的矩的代数和也等于零。平面一般力系平衡的必要和充分条件0)(1

11、nioMiF F01niiX01niiY平面一般力系 的平衡方程 (一矩式)（三个方程，（三个方程， 求解三个未知数）求解三个未知数） 支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C相联接，并各以铰链A、D连接于铅直墙上。如图所示。已知ACCB；杆DC与水平线成 角；载荷P10kN，作用于B处。设梁和杆的重量忽略不计，求铰链A的约束反力和杆DC所受的力。450解：(1)取AB梁为研究对象。 (3)列平衡方程。(2)画受力图。0245cos, 0)(lFlFMoCAF F(c)045cos, 0oCAxFFX(a)045sin, 0FFFYoCAy(b)(4)解方程。由式(c)可得kNFFoC28.284

12、5cos/2代人式(a)、(b)，得kNFFFoCAx20245coskNFFFFoCAy1045sin合成，得kNFFFAyAxRA36.22220245cos, 0)(lFlFMoCAF F045cos, 0oCAxFFX045sin, 0FFFYoCAy(a)(b)(c)式中负号表明，约束反力 、 的方向与图中所设的方向相反。AxFAyF 起重机重 ，可绕铅直轴AB转动；起重机的挂钩上桂一重为 的重物。起重机的重心C到转动轴的距离为1.5m，其它尺寸如图所示。求在止推轴承A和轴承B处的反作用力。kNP101kNP402解：以起重机为研究对象。0, 021PPFYAy12( )0,51.5

13、3.50ABMFPP F F0, 0BAxFFX解得kNFFBAx31kNPPFB317 . 03 . 021kNPPFAy5021为负值，说明它的方向与假设的方向相反，即应指向左。BF02, 0BAyFPaqFY0224, 0)(aaqaPMaFMBAF F0, 0AxFXqaPFAy234qaPFB2143解得0AxF 如图所示的水平横梁AB，A端为固定铰链支座，B端为一滚动支座。梁的长为4a，梁重P，作用在梁的中点C。在梁的AC段上受均布载荷q作用，在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩MPa。试求A和B处的支座反力。解：选梁AB为研究对象。平面一般力系平衡方程的其它两种形式01niiX0)(

14、1niAMiF F0)(1niBMiF F二矩式注：其中注：其中x轴不得垂直于轴不得垂直于A、B两点的连线。两点的连线。01niiX0)(1niBMiF F0)(1niAMiF F力系简化为经过点A的一个力或者平衡。力系有一合力沿A、B两点的连线，或者平衡合力必与x轴垂直或平衡x轴不得垂直于轴不得垂直于A、B两点的连线两点的连线0)(1niAMiF F0)(1niBMiF F0)(1niCMiF F三矩式注：注：A、B、C三点不得共线。三点不得共线。A、B、C三点不得共线。三点不得共线。0)(1niBMiF F0)(1niAMiF F力系简化为经过点A的一个力或者平衡。力系有一合力沿A、B两点

15、的连线，或者平衡力系有一合力沿A、B、C三点的连线，或者平衡0)(1niCMiF F注： 1.在平面任意力系情形下，矩心应取在两未知力的交点上， 而坐标轴应当与尽可能多的未知力相垂直。 2. 一矩式、二矩式、三矩式三组方程都可用来解决平面任 意力系的平衡问题。3. 对于受平面任意力系作用的单个刚体的平衡问题，只可以 写出三个独立的平衡方程，求解三个未知量。任何第四个 方程只是前三个方程的线性组合，因而不是独立的。我们 可以利用这个方程来校核计算的结果。4-6 平面平行平行力系的平衡方程平面平行力系平面平行力系: :各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。如图所示，设物体受平面平行力系 的作用

16、。n21F,F,F0X平行力系的独立平衡方程的数目只有两个，即：01niiY0)(1niOMiF F注：其中注：其中A、B两点的连线不得与各力平行。两点的连线不得与各力平行。0)(1niBMiF F0)(1niAMiF F或0,0AxXF( )0,202ABaMF a q aMFa F0,0AyBYFFqaF已知：F=20kN, M=16kNm, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。解：以AB梁为研究对象。解得：212(kN )2BqaMFFa 24(kN )AyBFFqaFkNPPP75)210(8112min33min12( )0,(62)2(122)0BMPPPF F

17、塔式起重机如图所示。机架重 作用线通过塔架的中心。最大起重量 ，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距为4m。平衡荷重 ，到机身中心线距离为6m。试问：(1)保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平衡荷重 应为多少?3PkNP7001kNP20023P解: (1)当满载时，为使起重机不绕点B翻倒。在临界情况下 。0AF当空载时，为使起重机不绕点A翻倒。在临界情况下 。0BF13max23504PPkN3max1( )0,(62)20AMPPF F(2)当平衡荷重 时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？kNP1803kNFA210312( )0,(62)2(122)40ABMPPPF F F0,

18、 0213BAFFPPPY解:(2)根据平面平行力系的平衡方程，有：kNPPPFB87044212321解得利用多余的不独立方程 ，来校验以上计算结果是否正确。kNPPPFA21041028213312( )0,(62)2(122)40BAMPPPFF F0)(F FBM结果相同，说明计算无误。解得4-4-7 7 静定和静不定问题的概念力偶系平面任意力系（两个独立方程）（两个独立方程）0011niiniiYX平面汇交力系01niMi0)(1nioMiF F01niiX01niiY（一个独立方程）（一个独立方程）（三个独立方程）（三个独立方程）注：独立方程数目注：独立方程数目未知数数目时，是静定

19、问题（可求解）未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目独立方程数目 未知数数目时，是静不定问题（超静定未知数数目时，是静不定问题（超静定 问题）问题）对子静不定问题，必须考虑物体因受力作用而产生的变对子静不定问题，必须考虑物体因受力作用而产生的变形，加列某些补充方程。静不定问题已超出刚体静力学形，加列某些补充方程。静不定问题已超出刚体静力学的范围，须在材料力学和结构力学中研究。的范围，须在材料力学和结构力学中研究。受平面任意力系作用的由n个物体组成的物体系，有3n个独立方程。外力外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。解物系问题的一般方法：解物系问题的一般方法： 由整体由整体 局部局部（

20、常用），由局部由局部 整体整体（用较少）内力内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。注：在选择研究对象和列平衡方程时，应使每一个平衡方程中的未知注：在选择研究对象和列平衡方程时，应使每一个平衡方程中的未知量个数尽可能少，最好是只含有一个未知量，以避免求解联立方程。量个数尽可能少，最好是只含有一个未知量，以避免求解联立方程。4-4-8 8 物系的平衡如图所示为曲轴冲床简图，由轮I、连杆AB和冲头B组成。A、B两处为铰链连接。 OAR， ABl。如忽略摩擦和物体的自重，当OA在水平位置、冲压力为F时系统处于平衡状态。求：(1)作用在轮I上的力偶之矩 M 的大小；(2) 轴承O处的约束反力；(3

21、)连杆AB受的力；(4)冲头给导轨的侧压力。解：(1)以冲头为研究对象。0cos, 0BFFY0sin, 0BNFFX解得cosFFB连杆受压力，大小等于FB22tanRlRFFFN冲头对导轨的侧压力的大小等于FN(2)以轮I为研究对象。0sin, 0AOxFFX0cos, 0AOyFFYFRM 22sinRlRFFFAOxFFFAOycos0cos, 0)(MRFMAoF解得负号说明，力 FOx 、 FOy的方向与图示假设的方向相反。 如图所示的组合梁由AC和CD在C处铰接而成。梁的A端插入墙内，B处为滚动支座。己知：F20kN，均布载荷q10kNm，M20 ，l1m。试求插入端A及滚动支座

22、B的约束反力。mN 解：先以整体为研究对象。0,cos60sin300ooAxBXFFF030cos260sin, 0ooBAyFqlFFY()0,22sin603cos3040ooAABMMMqllFlFlF以上三个方程中包含有四个未知量。必须再补充方程才能求解。取CD为研究对象。()0,sin60cos30202CooBMlFlqlFl FkNFB77.45kNFAx89.32kNFAy32. 2mkNMA37.10解得 齿轮传动机构如图所示。齿轮I的半径为r，自重 。齿轮II的半径为R2r，其上固结一半径为r的塔轮III，轮II与III共重 。齿轮压力角为 ，被提升的物体C重 。求：(1

23、)保持物C匀速上升时，作用于轮I上力偶的矩M；(2)光滑轴承A、B的约束反力。1Po2012PP21PP20解：先取轮II、III及重物C为研究对象。齿轮间的啮合力Fn可沿节圆的切向及径向分解为圆周力F 和径向力Fr。0, 0)(FRPrMBF0, 02PFPFYBy0, 0rBxFFXFFrtano20或压力角定义解出164. 3tanPFFrRPrF 164. 3PFFrBx1232PFPPFBy取轮I为研究对象0, 0rAxFFX0, 01PFFYAy0, 0)(rFMMAF164. 3PFFAx119PFPFAyrPrFM110解得 如图所示为钢结构拱架，拱架由两个相同的钢架AC和BC

24、用铰链C连接，拱脚A、B用铰链固结于地基，吊车梁支承在钢架的突出部分D、E上。设两钢架各重为P60kN；吊车梁重为 ，其作用线通过点C；载荷为 ；风力 F10kN。尺寸如图所示。D、E两点在力P的作用线上。求固定铰支座A和B的约束反力。kNP201kNP102解 （1）选整个拱架为研究对象。0, 0BxAxFFFX02, 012PPPFFYByAy21()0,125210460AByMFFPPPPF以上三个方程包含四个未知数，必须再补充一个独立的方程。(2)选右边钢架为研究对象。04106, 0)(EBxByCFPFFMF这时又出现了一个未知数 FE 。为求得该力的大小。12()0,8420D

25、EMFPP F解得kNFE5 .12kNFBy5 .77kNFBx5 .17kNFAx5 . 7kNFAy5 .72再考虑吊车梁的平衡。 如图所示，已知重力 ，DCCEAC=CB2l ；定滑轮半径为R，动滑轮半径为r，且R2rl， 。试求：A、E支座的约束反力及BD杆所受的力。Po45解：取整体为研究对象。045cos, 0ExoAFFX045sin, 0PFFYEyoA02522, 0)(lPlFMAEF解得PFA825PFEx8581345sinPFPFoAEy取杆DCE为研究对象。022245cos, 0)(lFlFlFMExKoDBCF2PFK其中解得823PFDB解解： 选整体研究

26、受力如图 选坐标、取矩点、Bxy,B点 列方程为: 解方程得 0X; 0BX0Bm0DEPMB)mN(100011000BM 0Y; 0 PYBPYB例例: 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？ 受力如图 取E为矩心，列方程 解方程求未知数045sin, 0EDPCESmoCAE)N(14141707. 01100045sinCEEDPSoCA再研究CD杆例例 已知：F各杆重量不计。 求：A、B和D约束反力？ 0FMc由02 aYB0BY解解：以整体为研究对象0Y由0FYYBCFYC0X由0BCXX(求不出求不出X

27、B)我们已经求出YB，下一步应选取谁做为研究对象呢(三个未知数三个未知数)(五个未知数五个未知数)(四个未知数四个未知数) 0FME由0aFaYDFYD以DEF为研究对象02 aFaXDFXD2(可以求出可以求出NE) 0FMB由 0FMA由02 aXaXBDFXXDB21以ADB为研究对象0BADXXXFXXXDBA0X由0Y由0BADYYYFYYYDBA例例 已知：连续梁上，P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重 求：A ,B和D点的反力（看出未知数多余三个，不能先整 体求出，要拆开） 0Fm由0512PQYG)kN(50210550GY解解：研究起重机0Cm由016GDY

28、Y)kN(33. 8650DY0610123, 0QPYYmDBA)kN(100BY0, 0PQYYYYDBA)kN(33.48AY 再研究整体 再研究梁CD三铰拱整体三铰拱整体分析力：分析力：P, Q , XA , YA , XB , YB列方程：列方程：02232)( LYLQhPFmBA0222)( LYLQhPFmAB0 PXXXBA取左半部为研究对象取左半部为研究对象分析力：分析力： P,XA , YA , XC , YC02)( LYhXhPFmAAc代入第三式解得代入第三式解得hQLPhXB44 解：解：研究对象：研究对象：LQLPhYB43 LQLPhYA4 hQLPhXA443 例例 图示静定多跨梁由图示静定多跨梁由AB梁和梁和BC梁用中间铰梁用中间铰B连接而成，支连接而成，支 撑和载荷情况如图所示。已知撑和载荷情况如图所示。已知P=20kN，q=5kN/m，a=45o； 求支座求支座A,C的反力和中间铰的反力和中间铰B处的压力。处的压力。 ABPC2m1m1mq PBCxyXBYB NC解解:(1) 研究研究BC梁梁 ，画出受力图；，画出受力图；(2) 列平衡方程；列平衡方程； 0210cosNP,mcBF00sinNX,XcB00c