第一节常数项级数的概念及其基本性质(代初稿)

1、1机动 目录 上页 下页 返回 结束 1第九章第九章 无穷级数无穷级数 第一节第一节 常数项级数的概念及其基本性质常数项级数的概念及其基本性质 第二节第二节 正项级数及其敛散性判别正项级数及其敛散性判别第三节第三节 任意项级数任意项级数第四节第四节 幂级数幂级数第五节第五节 函数的幂级数展开函数的幂级数展开第六节第六节 幂级数在数值计算中的应用幂级数在数值计算中的应用2机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 无穷级数是高等数学中不可缺少的组成部分之一无穷级数是高等数学中不可缺少的组成部分之一, 它是表它是表 无穷级数包括常数项级数和函数项级数两大类无穷级数包括常数项级数和函数项级数两大类, 常

2、数项级数常数项级数示函数、研究函数的性态、进行数值计算的一种有效工具示函数、研究函数的性态、进行数值计算的一种有效工具, 它无论对数学理论本身它无论对数学理论本身, 还是对数学的应用都具有重要的作用还是对数学的应用都具有重要的作用.是函数项级数的基础是函数项级数的基础, 因此因此, 本章先介绍常数项级数本章先介绍常数项级数, 然后介绍然后介绍函数项级数中最重要的一类级数函数项级数中最重要的一类级数幂级数幂级数3机动 目录 上页 下页 返回 结束 3第一节第一节 常数项级数的概念常数项级数的概念 及其基本性质及其基本性质 一一. 常数项级数的概念常数项级数的概念二. . 无穷级数的基本性质无穷级

3、数的基本性质4机动 目录 上页 下页 返回 结束 4教学目标教学目标1. 了解常数项级数的概念了解常数项级数的概念, 掌握级数收敛与发散的定义掌握级数收敛与发散的定义, 并能利用定义判别一些级数的敛散性并能利用定义判别一些级数的敛散性.2. 理解无穷级数的基本性质理解无穷级数的基本性质5机动 目录 上页 下页 返回 结束 5一一. .常数项级数的概念常数项级数的概念012nAaaaa1. 引例引例6机动 目录 上页 下页 返回 结束 612nuuu 称为称为(常数项常数项)无穷级数无穷级数, 简称简称(常数项常数项) 级数级数. 记为记为1,nnu 即即121nnnuuuu 来的表达式来的表达

4、式定义定义1 将数列将数列12,nuuu的各项依次用加号连接起的各项依次用加号连接起2. 级数的定义级数的定义其中第其中第 n 项项nu叫做级数的叫做级数的一般项或通项一般项或通项.7机动 目录 上页 下页 返回 结束 7例如例如, 11111123nnn是一个级数是一个级数, 称为称为调和级数调和级数, 其通项为其通项为1.n中前中前 n 项的和项的和, 称为级数称为级数121nnnuuuu 取级数取级数1nnu 的的前前 n 项项 部分和部分和, 记为记为,nS121nniniSuuuu 即即8机动 目录 上页 下页 返回 结束 8 11,Su 212,Suu 3123,Suuu 12,n

5、nSuuu部分和数列部分和数列nS1nnu 级数级数n的增大的增大,中相加的项也逐渐增多中相加的项也逐渐增多. 所以当所以当趋于趋于随着随着nSnn的极限就反映了无穷多项的和于是考察级数的极限就反映了无穷多项的和于是考察级数nS无穷大时无穷大时, 是否有极限来研究无穷级数是否收敛是否有极限来研究无穷级数是否收敛的部分和数列的部分和数列nS9机动 目录 上页 下页 返回 结束 9121nnnuuuuS 1nnu 则称级数则称级数收敛收敛, 1nnu 的的和和, 记为记为并把并把 S 称为级数称为级数 定义定义2 若级数若级数1nnu nSlimnnS的部分和数列的部分和数列的极限的极限存在存在,

6、即即 limnnSS1nnu nS如果部分和数列如果部分和数列没有极限没有极限, 则称级数则称级数发散发散.即即1nnu 级数级数没有和没有和.10机动 目录 上页 下页 返回 结束 1012nnnnRSSuu 即即,nR 注注1 当级数当级数1nnu nSS收敛时收敛时, 称为该级数的称为该级数的余项余项, 记为记为级数级数1nnu 收敛的充要条件是收敛的充要条件是 lim0.nnR11机动 目录 上页 下页 返回 结束 11解解例例1 判定级数判定级数 11(21)(21)nnn的敛散性的敛散性. 于是于是 11(1).221n 1112311351157 112121nn111.+1 3

7、3 52n-1)(2n+1)nS（ 1(21)(21)nunn 111(),2 2121nn由于由于12机动 目录 上页 下页 返回 结束 12从而从而limnnS故故 111,(21)(21)2nnn 11lim1221nn 1,2即该级数收敛即该级数收敛, 其和为其和为 .1213机动 目录 上页 下页 返回 结束 13例例2 讨论讨论几何级数几何级数(或等比级数或等比级数)1211nnnaqaaqaqaq 的敛散性的敛散性. 若收敛若收敛, 则求出其和则求出其和.(其中其中a0, q 称为级数的公比称为级数的公比, 1nnuaq 为它的一般项为它的一般项)21(1)1nnnaqSaaqa

8、qaqq 解解 当当1q 时时, 部分和部分和(1)limlim11nnnnaqaSqq (1) 当当1q 时时,14机动 目录 上页 下页 返回 结束 14(1)limlim1nnnnaqSq limnnS从而从而不存在不存在.0nS 当当 n 为偶数时为偶数时,0nS 0nS 当当 n 为奇数时为奇数时, ,nSa 1q (2) 当当时时,1q (3) 当当时时,limlimnnnSna 1q (i) 当当时时, 则则1q ,aaaaaa ,aaaaaa (ii) 当当时时, 则级数变为则级数变为15机动 目录 上页 下页 返回 结束 15故原级数发散故原级数发散. 几何级数几何级数 12

9、11nnnaqaaqaqaq 综上所述有如下结论综上所述有如下结论:1aq 当当1q 1aq 当当1q 时时, 收敛于收敛于当当1q 时时, 发散发散.16机动 目录 上页 下页 返回 结束 162lim()0nnnSSSS 证证 反证法反证法 . 例例3 证明调和级数证明调和级数11111123nnn 发散发散.2111lim()lim()122nnnnSSnnn 而而11nn 收敛收敛, 设级数的和为设级数的和为S, 则有则有若若1lim22nnn1lim0.nn 与前者矛盾与前者矛盾. 故调和级数发散故调和级数发散. 但但111lim()222nnnn17机动 目录 上页 下页 返回 结

10、束 17二二. 无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质且且111().nnnnnnnuvuv1212()()nnuuuvvv 证证lim,limnnnnSaTb 且且令令1122()()()nnnWuvuvuv 则则11nnnnuv 和和1()nnnuv 性质性质1 若级数若级数 收敛收敛, 则级数则级数也收敛也收敛, 111,() nnnnnnnuvuv分别为分别为,nnnS T W部分和部分和,设设18机动 目录 上页 下页 返回 结束 18nnST注注2 两个无穷级数必须收敛才能相加两个无穷级数必须收敛才能相加, 而不象有限项情形而不象有限项情形, 11( 1)n 注注3 此定理反之不一定

11、成立此定理反之不一定成立. 例如级数例如级数收敛收敛,逐项相加总是可行的逐项相加总是可行的.发散发散.111( 1)与与nn 但级数但级数limlim()nnnnnWSTab 所以所以111 ()nnnnnnnuvuv 故故19机动 目录 上页 下页 返回 结束 191nncu 也收敛于也收敛于ca.1nnu 性质性质2 若级数若级数收敛于收敛于 a, c 是一个常数是一个常数, 则级数则级数证证11nnnnucu 与与的的部部分分和和,nnST分别为分别为设设limlimnnnnTcSca 1 nncuca 即即则级数则级数1nncu 收敛于收敛于ca.12nnnTcucucucS 20机动

12、 目录 上页 下页 返回 结束 20一个不为零的数一个不为零的数, 所得级数与原级数具有相同的敛散性所得级数与原级数具有相同的敛散性.注注 1,nnnnTcSu由由知知 若若发散发散, 则则limnnS 不存在不存在, 从而当从而当11122与与nnnna 例如例如, 级数级数都是收敛的都是收敛的.注注4不存在不存在. 这表明这表明: 级数的每一项同乘以级数的每一项同乘以limnnT c0时时, 必有必有21机动 目录 上页 下页 返回 结束 21 证证 因在级数中增加或去掉有限项因在级数中增加或去掉有限项, 总可通过在该级数前总可通过在该级数前设在级数设在级数121 mmm nuuuuu 中

13、去掉前中去掉前m项项, 则得级数则得级数12 mmm nuuu,mnST令两级数的部分和分别为令两级数的部分和分别为的敛散性的敛散性. 性质性质3 设设 k 为任意正整数为任意正整数, 则级数则级数1nnu 1nn ku 与与有相同有相同增加或去掉有限项来实现增加或去掉有限项来实现, 故只须证在级数前增加或去掉有故只须证在级数前增加或去掉有限项而其敛散性不变限项而其敛散性不变.22机动 目录 上页 下页 返回 结束 22注注5 级数中前面增加或去掉有限项级数中前面增加或去掉有限项, 级数的敛散性不变级数的敛散性不变.2124100.nn 例如例如, 级数级数11241002nn 和级数和级数前

14、者是收敛的前者是收敛的, 后者是发散的后者是发散的.nm nmTSS 于是于是limlim()nm nmmnnTSSSS 若若 收敛于收敛于S, 则则mS故级数故级数 收敛收敛.1nn ku limnnT若若 发散发散, 则则不存在不存在, 故故 也发散也发散.1nnu 1nn ku 23机动 目录 上页 下页 返回 结束 23性质性质4 收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和. 1112nvuuu 112212nnnvuuu 1112kkkknnnvuuu 证证 设设121 nnnnuSuuu 的的部部分分和和是是且且收敛于收敛于S则设级数按某一

15、规律加括号所得的新级数为则设级数按某一规律加括号所得的新级数为1kkv 且且*121kkkknnvSvvvS 的的部部分分和和是是则则24机动 目录 上页 下页 返回 结束 24*limlimkkknknSSS 故故 ,knk 而而由由知知limkknnSS 即即,kkn 若若必必有有仍为收敛级数仍为收敛级数.注注6 此定理表明收敛级数适合结合律此定理表明收敛级数适合结合律. 即收敛级数加括号即收敛级数加括号 注注7 其逆否命题为其逆否命题为 “若加括号后所成的级数发散若加括号后所成的级数发散, 则原则原级数也发散级数也发散.”注注8 发散级数加括号后级数有可能收敛发散级数加括号后级数有可能收

16、敛, 即即“加括号后所加括号后所成的级数收敛成的级数收敛, 原级数不一定收敛原级数不一定收敛.”25机动 目录 上页 下页 返回 结束 25是收敛的是收敛的.()()()0aaaaaa 注注9 收敛级数去括号后不一定收敛收敛级数去括号后不一定收敛.1( 1)naaaaa 例级数例级数是发散级数是发散级数. 但将相邻的两项加括号后所得级数但将相邻的两项加括号后所得级数 注注10 各项均非负的级数各项均非负的级数, 无论加括号还是去括号无论加括号还是去括号, 都不都不影响其敛散性影响其敛散性.26机动 目录 上页 下页 返回 结束 261limlimnnnnSSSS 且且1nnnuSS 由由1li

17、mlim()0nnnnnuSS 有有 lim0(),nnu若若包包括括不不存存在在情情形形lim0nnu 性质性质5 (收敛的必要条件收敛的必要条件) 若级数若级数1nnu 收敛收敛, 则则证证 设设121 nnnnuSuuu 的的部部分分和和是是且且收敛于收敛于S则级数则级数1nnu 发散发散.注注11 其逆否命题为其逆否命题为:则则27机动 目录 上页 下页 返回 结束 27注注12lim0nnu 仅是收敛的必要条件而非充分条件仅是收敛的必要条件而非充分条件. 即即“收敛级数通项必有收敛级数通项必有lim0,nnu 但通项极限为零的级数却不但通项极限为零的级数却不一定收敛一定收敛”.例例4

18、 判定级数判定级数 11112nnn的敛散性的敛散性.所以级数所以级数 11112nnn发散发散.解解 111limlim 102nnnnune 因为因为28机动 目录 上页 下页 返回 结束 28例例5 判定级数判定级数111(1) ; (2) 1nnnnnn 的敛散性的敛散性.所以级数所以级数11nnn 发散发散.解解lim1,1nnn (1) 因为因为所以级数所以级数发散发散.11nnn 1lim1,nnn (2) 因为因为29机动 目录 上页 下页 返回 结束 2929机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作业：作业：P100 1 , 2, 330机动 目录 上页 下页 返回 结束 30内容小结内容小结1. 级数的概念级数的概念, 级数收敛与发散的定义