第5章杆系结构单元

1、第四章第四章 杆系结构单元杆系结构单元 本章主要内容是：本章主要内容是： 结构离散为单元的有关问题结构离散为单元的有关问题 单元（局部）坐标系和结构（整体）坐标系单元（局部）坐标系和结构（整体）坐标系 单元坐标系中各类杆件单元的特性：单元刚度单元坐标系中各类杆件单元的特性：单元刚度 矩阵、等价节点力矩阵等。矩阵、等价节点力矩阵等。 结构坐标系中的单元特性及坐标变换矩阵。结构坐标系中的单元特性及坐标变换矩阵。 杆系结构是由一些杆件单元组成。主要结构类杆系结构是由一些杆件单元组成。主要结构类型有：梁、拱、框架、桁架等，如图（型有：梁、拱、框架、桁架等，如图（4-1）所示。）所示。 图（图（4-1）

2、梁梁拱拱框架框架桁架桁架 2、编号、编号 （1）节点编号）节点编号 节点编号应按正整数不间断逐点编号。编号时节点编号应按正整数不间断逐点编号。编号时应力求单元两端点号差最小，以便使结构刚度矩阵应力求单元两端点号差最小，以便使结构刚度矩阵元素集中在主对角线附近，后面结构刚度矩阵组集元素集中在主对角线附近，后面结构刚度矩阵组集中有详细说明。中有详细说明。4.1 结构离散结构离散 1、离散方法、离散方法 取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交点为节点。承的交点为节点。 相邻两节点间的杆件段是单元。相邻两节点间的杆件段是单元。 杆件结构的单元一般只有杆件

3、结构的单元一般只有2个节点。个节点。 （2）单元编号）单元编号 单元也要逐个依次编号。谁前谁后按实际情况单元也要逐个依次编号。谁前谁后按实际情况而定。而定。 3、记录基本信息、记录基本信息 应建立一个数据文件（应建立一个数据文件（DATA.*）基本信息来记录）基本信息来记录基本信息，以便计算时调用。基本信息包括：基本信息，以便计算时调用。基本信息包括： （1）单元总数（）单元总数（NE）、节点总数（）、节点总数（NJ）、节点自由）、节点自由度数（度数（NDF）。）。 （2）弹性模量（）弹性模量（E）、波桑系数（）、波桑系数（AMU）。）。 （3）单元）单元I端节点号端节点号IO（NE）、）、

4、J端节点号端节点号JO（NE） （4）有约束的节点数（）有约束的节点数（ NRJ ）、有约束的节点号）、有约束的节点号（KRJ(NRJ)）、受约束的自由度（）、受约束的自由度（KRL(NDF,NRJ)）。）。 （5）单元截面面积（）单元截面面积（A）、截面惯性矩（）、截面惯性矩（ZI） （6）节点坐标：）节点坐标：X(NJ)、Y(NJ) （7）分布力荷载集度）分布力荷载集度qx(NE)、qyi(NE)、qyj(NE) （8） 受集中力作用的节点数（受集中力作用的节点数（MJL）、受集中力作）、受集中力作用的节点号（用的节点号（NJL（MJL）、集中力数值）、集中力数值（VJL（NDF，MJL）

5、。）。 DATA.FRA(1) NE、NJ、NDF 25, 18, 3(2）E、AMU 3.25e7, 0.15 (3）IO（NE）、）、JO（NE） 1, 4, 4, 7, 7, 10, 10,13, 13,16, 2, 5, 5, 8, 8, 11, 11,14, 14,17, 3, 6, 6, 9, 9, 12, 12,15, 15,18, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10,11,11, 12, 13,14, 14,15, 16,17, 17,18(4）NRJ 、KRJ(NRJ)、（、（KRL(NDF,NRJ)）3，1,2,3,9*1(5)A(NE)、ZI(NE)(6

6、)X(NJ)、Y(NJ)(7)qx(NE)、qyi(NE)、qyj(NE)(8) MJL, NJL(MJL), VJL(NDF,MJL)数据填写顺序应和程序对应数据填写顺序应和程序对应。q=10kN/m 4、示例、示例6.0m5.0m3.0m3.0m3.0m3.0m4.0m123456789101112131415161718(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)XY练习练习 对平面铰接桁架进行结构离散，并作出数据文件。对平面铰接桁架进行结构离散，并作

7、出数据文件。44m3mP1P2P3已知：已知：E=2.1109kN/m2 P1=P3=10kN, P2=50kN, 15cm2 (斜杆）斜杆） A = 65cm2 (上下弦杆）上下弦杆） 40cm2 (竖杆）竖杆） 4.2 单元（局部）坐标系单元（局部）坐标系 杆系结构单元在结构中的位置是复杂的。如图杆系结构单元在结构中的位置是复杂的。如图（4-1）桁架所示。）桁架所示。 XYP图（图（4-1） 如果每一个单元都在统一的整体坐标系如果每一个单元都在统一的整体坐标系XY中写中写单元刚度矩阵。可能导致结构中处于不同位置的同单元刚度矩阵。可能导致结构中处于不同位置的同一类型单元，其单元刚度矩阵不相同

8、。这不利于计一类型单元，其单元刚度矩阵不相同。这不利于计算机编程运算。算机编程运算。 杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种类杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种类型。它们都只有型。它们都只有2个节点个节点i、j。 约定：约定：单元坐标系的原点置于节点单元坐标系的原点置于节点i；节点；节点i到到j的的杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向。轴的正向。 y轴、轴、z轴都与轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则（图轴垂直，并符合右手螺旋法则（图4-2）（图（图4-2）ijxyz 容易理解，采用适合于单元具体方位的坐标系将容易理解，采用适合于单元具体方位的坐标系

9、将会改善上述状况，得出规格化的结果。这种属于每个会改善上述状况，得出规格化的结果。这种属于每个单元的坐标系称为单元坐标系，也称单元的坐标系称为单元坐标系，也称局部坐标系局部坐标系。 为了便于对单元坐标系中的单元特性进行识别，为了便于对单元坐标系中的单元特性进行识别，引入以下符号：引入以下符号：e单元坐标单元位移单元坐标单元位移 F e单元坐标单元力单元坐标单元力 ke单元坐标单元刚度矩阵单元坐标单元刚度矩阵 单元的单元的2个节点中取任何一个作为个节点中取任何一个作为i均可，只要均可，只要指定好指定好i节点和节点和j节点，节点， x轴的正向就确定了。轴的正向就确定了。 对于梁单元，对于梁单元，

10、y轴和轴和z轴分别为横截面上的两个轴分别为横截面上的两个惯性主轴。惯性主轴。 下面，开始讨论几种杆系结构单元在单元坐标下面，开始讨论几种杆系结构单元在单元坐标中的一些特性。中的一些特性。ijxl图图4-34.3 铰接杆单元铰接杆单元 图图4-3示出了一维铰接杆单元，横截面积为示出了一维铰接杆单元，横截面积为A，长度为长度为l，弹性模量为，弹性模量为E，轴向分布载荷为，轴向分布载荷为qx。单元有。单元有2个结点个结点i，j，单元坐标为一维坐标轴，单元坐标为一维坐标轴x。qxujui1、一维铰接杆单元、一维铰接杆单元jieuu（4-1）单元力向量为：单元力向量为：jieFFF（4-2） （1）位移

11、模式和形函数）位移模式和形函数 位移模式位移模式单元结点位移向量为：单元结点位移向量为： 因为只有因为只有2个结点，每个结点位移只有个结点，每个结点位移只有1个自由度，个自由度，因此单元的位移模式可设为：因此单元的位移模式可设为：xaau21（4-3）式中式中a1、a2为待定常数，可由结点位移条件确定为待定常数，可由结点位移条件确定 x=xi时，时， u=ui x=xj时，时， u=uj由此可确定由此可确定a1、a2 。再将其代入式（。再将其代入式（4-3），得），得 xluuxluuuuijiiji)(（4-4） 形函数形函数 将式（将式（4-4）改写为下列形式）改写为下列形式 eNu（4-

12、5）式中式中e由式（由式（4-1）确定，形函数）确定，形函数N为为 )()(1xxxxlNNNijji（4-6） （2）应变矩阵）应变矩阵一维铰接杆单元仅有轴向应变一维铰接杆单元仅有轴向应变 dxdu将式（将式（4-5）、（）、（4-6）代入上式，得）代入上式，得 el111上式也可写为上式也可写为 eB（4-7）式中式中B为应变矩阵为应变矩阵 111lBBBji（4-8）由应力应变关系由应力应变关系 （3）应力矩阵）应力矩阵E将式（将式（4-7）代入上式，得）代入上式，得 eeSBE（4-9）式中式中S为应力矩阵为应力矩阵 11lES（4-10） (4) 等价节点力等价节点力 单元上作用分布

13、力单元上作用分布力qx，则等价节点力计算公式仍，则等价节点力计算公式仍为以下形式为以下形式 dxqNFxTe当分布力集度当分布力集度qx为常数时，有为常数时，有 112)()(1lqdxqxxxxlFxxijxxeqjix（4-11）式（式（4-11）概念是将分布力引起的合力按静力等效原）概念是将分布力引起的合力按静力等效原则分配到单元节点上。由于位移模式是线性函数，因则分配到单元节点上。由于位移模式是线性函数，因此此按公式（按公式（4-11）计算结果与静力等效分配是一致的）计算结果与静力等效分配是一致的。 (5) 单元坐标单元刚度矩阵单元坐标单元刚度矩阵 单元坐标单元刚度矩阵仍式（单元坐标单

14、元刚度矩阵仍式（2-33）推出）推出 dvBDBkvTe（2-33）对于等截面铰接杆单元，对于等截面铰接杆单元， dv=AdxA 单元截面面积。单元截面面积。有有 dxBDBAkvTe将式（将式（4-8）代入上式，得）代入上式，得 1111lAEke（4-12）2、平面铰接杆单元、平面铰接杆单元 1 2 3 4ijxy图图4-4l（1）单元坐标单元位移向量）单元坐标单元位移向量 4321e （2）位移模式和形函数）位移模式和形函数由于平面铰接杆单元只有轴向力。位移模式同式（由于平面铰接杆单元只有轴向力。位移模式同式（4-3）、（）、（4-4）。）。 形函数形函数0)(0)(1xxxxlNNNi

15、jji（4-13） （3）应变矩阵）应变矩阵 位移模式位移模式eB（4-7）应变矩阵应变矩阵 B为为01011lBBBji（4-14）（4）应力矩阵）应力矩阵eeSBE（4-9）应力矩阵应力矩阵 S为为0101lES（4-15） (5) 等价节点力等价节点力 010120)(0)(1qlqdxxxxxlFijxxeqji（4-16） (6) 单元坐标单元刚度矩阵单元坐标单元刚度矩阵 对于等截面铰接杆单元，对于等截面铰接杆单元，0000010100000101lAEke（4-17）ijxylz3、空间铰接杆单元、空间铰接杆单元（1）单元坐标单元位移向量）单元坐标单元位移向量图图4-5 1 2 4

16、 5 3 6 Te654321（4-18） （2）形函数）形函数00)(00)(1xxxxlNij（4-19） （3）应变矩阵）应变矩阵（4-20）0010011lB （4）应力矩阵）应力矩阵 001001lES（4-21） (5) 等价节点力等价节点力 TeqlF0010012（4-22） (6) 单元坐标单元刚度矩阵单元坐标单元刚度矩阵 对于等截面铰接杆单元对于等截面铰接杆单元（4-23）000000000000001001000000000000001001lAEke4.4 梁单元梁单元 1、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元图图4-5ijxyijxy 1 2

17、 3 4lF1F2F3F4l（1）单元坐标下的单元位移和单元力）单元坐标下的单元位移和单元力 单元位移单元位移 TjjiiTevv4321（4-24）其中，其中， vy方向位移，即挠度。方向位移，即挠度。 角位移。角位移。对于梁，对于梁， =dv/dx （4-25） 单元力单元力 TjjiiTeMQMQFFFFF4321（4-26）其中，其中， Q剪力剪力 M弯矩弯矩对于梁，对于梁，（2）位移函数和形函数）位移函数和形函数设单元坐标位移模式为设单元坐标位移模式为342321)(xaxaxaaxv（4-28） 位移模式位移模式 形函数形函数 由单元两端点的节点位移条件，解出式（由单元两端点的节点

18、位移条件，解出式（4-28）中的中的a1、a2、a3、a4。再代入该式，可将位移模式写为。再代入该式，可将位移模式写为以下形式：以下形式： 3322dxvdEIQdxvdEIM（4-27）eNxv)(（4-29）式中式中4321NNNNN （4-30）23243323232233231/ )(/ )23(/ )2(2/ )23(lxlxNlxlxNlxlxxlNlxlxlN（4-31）（3）应变矩阵）应变矩阵 单元弯曲应变单元弯曲应变 b与节点位移与节点位移e的关系。的关系。由材料力学知，梁单元上任一点的应变和该点挠度之由材料力学知，梁单元上任一点的应变和该点挠度之间关系为：间关系为： 22d

19、xvdyb（4-32）将式（将式（4-29）代入（）代入（4-32），得单元弯曲应变和单元位），得单元弯曲应变和单元位移之间关系移之间关系（4-34） )26()612()46()612(3lxllxxllxlyB4321BBBBB ebB（4-33） （4）应力矩阵）应力矩阵 eebbSBEE（4-35） (5) 等价节点力等价节点力 对于梁上作用的集中力或集中力矩，在划分单元时对于梁上作用的集中力或集中力矩，在划分单元时可将其作用点取为结点，按结构的节点载荷处理。可将其作用点取为结点，按结构的节点载荷处理。 这里考虑的是把单元上的横向分布载荷转化为等价这里考虑的是把单元上的横向分布载荷转化

20、为等价节点力问题。当梁单元上作用有横向分布荷载节点力问题。当梁单元上作用有横向分布荷载qy(x)时时（图（图4-6），），xyijl图图4-6qy(x)图图4-7lxyijqy(x)ijxdxv(x)qy (x)dx横向分布荷载横向分布荷载qy(x)的势能的势能Vq为：为：dxxqNdxxqxvVlyTeTlyS)()()( eqeTyF（4-36） dxxqNFyTleqy)(0形函数矩阵由式（形函数矩阵由式（4-30）和（）和（4-31）给出。对于具体问）给出。对于具体问题，只要将题，只要将qy(x)代入上式进行积分即可。表代入上式进行积分即可。表1给出了几给出了几种特殊情况的等价节点力。

21、种特殊情况的等价节点力。荷载分布QiMiQjMjql/2ql2/12ql/2- ql2/123ql/20ql2/307ql/20- ql2/20ql/45ql2/96ql/4- 5ql2/96ijqqijqij几种横向分布荷载等价节点力几种横向分布荷载等价节点力 表表 1 (6) 单元坐标单元刚度矩阵单元坐标单元刚度矩阵 梁单元刚度矩阵公式为梁单元刚度矩阵公式为将式（将式（4-34）代入上式进行积分，并注意到）代入上式进行积分，并注意到Iz梁截面对梁截面对Z轴（主轴）的惯性矩轴（主轴）的惯性矩得单元坐标单元刚度矩阵得单元坐标单元刚度矩阵ke:AzdAyI2（4-37） dAdxBBEdvBDB

22、kAlTvTe0 单元刚度矩阵式单元刚度矩阵式(4-38)适合于连续梁分析。适合于连续梁分析。lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIkzzzzzzzzzzzzzzzze46612266122661246612223223223223（4-38） 2、两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元、两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元ijxyijxy 2 3 5 6l 1 4F2F3F5F6lF1F4图图4-8（1）单元坐标单元位移和单元力）单元坐标单元位移和单元力 单元位移单元位移 TjjjiiiTevuvu654321（4-39）其中，其中，

23、ux方向（轴向）位移。方向（轴向）位移。 vy方向位移，即挠度。方向位移，即挠度。 角位移。角位移。 单元力单元力 TjjjiiiTeMQNMQNFFFFFFF654321（4-40）其中，其中， N轴向力轴向力 Q剪力剪力 M弯矩弯矩 对于小变形问题，可以认为轴向变形和弯曲变形对于小变形问题，可以认为轴向变形和弯曲变形互不影响，因此，位移模式和形函数可以分别按互不影响，因此，位移模式和形函数可以分别按4.3节节一维铰接杆单元和一维铰接杆单元和4.4节两端承受剪力、弯矩的平面梁节两端承受剪力、弯矩的平面梁单元的结果（式单元的结果（式4-3和式和式4-28）简单集合而成。）简单集合而成。 （2）

24、位移函数和形函数）位移函数和形函数 位移模式位移模式（4-41）342321xaxaxaavxaau21 以下形函数和一些基本矩阵都可按此思路推演。以下形函数和一些基本矩阵都可按此思路推演。 形函数形函数式中形函数式中形函数N为：为： eNvuf（4-42） 653241000000NNNNNNN（4-43）23263325423223332321/ )(/ )23(/ )(/ )2(/ )23(/ )(lxlxNlxlxNlxxNlxlxxlNlxlxlNlxxNij其中其中, （3）应变矩阵）应变矩阵 单元弯曲应变单元弯曲应变 与节点位移与节点位移e的关系。的关系。承受轴向力、剪力、弯矩的

25、梁单元上任一点的应变，承受轴向力、剪力、弯矩的梁单元上任一点的应变，应为该点挠度（应为该点挠度（v）引起的应变和轴向位移（）引起的应变和轴向位移（u）引起）引起的应变之和。的应变之和。考虑到式（考虑到式（4-8）和（）和（4-34），单元应变矩阵为：），单元应变矩阵为：eB654321BBBBBBB （4-44）)26()612(1)46()612(12635423321lxlyBlxlyBlBxlyBlxlyBlB，（4-45）(5) 等价节点力等价节点力 xyijl图图4-9qy(x) （4）应力矩阵）应力矩阵 eeSBEE（4-46）应力矩阵形式同式（应力矩阵形式同式（4-35）：）：q

26、x将式（将式（4-36）、（）、（4-11）膨胀成）膨胀成61矩阵后相加，矩阵后相加，并注意到式（并注意到式（4-43），有），有（4-36） dxxqNFyTleqy)(0dxqNNdxxqNNNNMQNMQNxlljjjiiiy031065320000)(00jieuu（4-11）最后得等价节点力矩阵最后得等价节点力矩阵dxqNqNqNqNqNqNMQNMQNlyyxyyxjjjiii0654321（4-47）表表2给出了几种特殊情况的等价节点力。给出了几种特殊情况的等价节点力。荷载分布NiQiMiNjQjMj几种横向分布荷载等价节点力几种横向分布荷载等价节点力 表表 22lqy203lq

27、y4lqy122lqy302lqy9652lqy2lqx2lqy207lqy4lqy2lqx122lqy202lqy9652lqyijqyqxqyijqxqyijqx2lqx2lqx2lqx2lqx (6) 单元坐标单元刚度矩阵单元坐标单元刚度矩阵 梁单元刚度矩阵公式为梁单元刚度矩阵公式为lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkzzzzzzzzzzzzzzzze460260612061200000260460612061200000222323222323（4-48） 式式(4-48)用于分析平面框架。用于分析平

28、面框架。 3、两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁、两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁 单元单元图图4-10ijlxyz 1 2 4 5 3 6F1F2F4F5F3F6ijlxyz 1 2 3 4 5 6F1F2F3F4F5F6 xi yiwi xj yjwjMxiMyiQziMxjMyjQzj 此类单元适用于格栅以及受面外荷载的平面框此类单元适用于格栅以及受面外荷载的平面框架。之所以仍称为平面梁单元，是由于结构本身是架。之所以仍称为平面梁单元，是由于结构本身是平面结构，而节点也是平面结构，而节点也是3个自由度。个自由度。 x、Mx截面绕扭心轴的扭转角和相应扭矩。截面绕扭心轴的扭转角和相应扭

29、矩。 y、My截面绕截面绕y轴的弯曲转角和相应弯矩。轴的弯曲转角和相应弯矩。 w、Q截面形心的横向位移和相应横向剪力。截面形心的横向位移和相应横向剪力。 如果截面形心和扭心不重合，则弯曲和扭转之如果截面形心和扭心不重合，则弯曲和扭转之间是相互不独立的。例如，横向剪力不通过扭心，间是相互不独立的。例如，横向剪力不通过扭心，它会引起对扭心轴的扭矩。它会引起对扭心轴的扭矩。 这里只讨论截面形心与扭心重合或可以近似认这里只讨论截面形心与扭心重合或可以近似认为重合的情形。则弯曲和扭转之间是相互独立的。为重合的情形。则弯曲和扭转之间是相互独立的。 此外，这里的扭转限于纯扭转或称均匀扭转。其此外，这里的扭转

30、限于纯扭转或称均匀扭转。其特点是扭矩和扭率（单位长度上的相对扭转角）成正特点是扭矩和扭率（单位长度上的相对扭转角）成正比。即比。即lGJMxixjxj（4-49）扭矩平衡条件扭矩平衡条件0 xjxiMM（4-50）由此得由此得)()(xjxixjxjxixilGJMlGJM（4-51）式中式中GJ为截面扭转刚度。为截面扭转刚度。只需要将式（只需要将式（4-48）中的）中的Iz换成换成Iy，并注意编号次序。，并注意编号次序。同时考虑到式（同时考虑到式（4-51），即得），即得323222323222126012606406200000126012606206400000lEIlEIlEIlEIl

31、EIlEIlEIlEIlGJlGJlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJkyyyyyyyyyyyyyyyye（4-52） 4、空间梁单元、空间梁单元 空间梁单元，每个节点有空间梁单元，每个节点有6个自由度，单元自由度个自由度，单元自由度为为12。图。图4-11给出了空间梁单元节点位移分量的正方向给出了空间梁单元节点位移分量的正方向及其编号。单元力的正向及其编号与单元位移相同。及其编号。单元力的正向及其编号与单元位移相同。ijlxyzui xivi yiwi zivj yjwj zjuj xj图图4-11aijlxyz142536811912710图图4-11b 综合前述结

32、果，得空间梁单元单元坐标单元刚综合前述结果，得空间梁单元单元坐标单元刚度矩阵度矩阵(式式4-53）（式）（式4-57）。）。 4321kkkkke（4-53）lEIlEIlEIlEIlGJlEIlEIlEIlEIlEAkzzyyyyzz4000600406000000006012006000120000002223231（4-54）lEIlEIlEIlEIlGJlEIlEIlEIlEIlEAkzzyyyyzz2000600206000000006012006000120000002223232（4-55）lEIlEIlEIlEIlGJlEIlEIlEIlEIlEAkzzyyyyzz200060

33、0206000000006012006000120000002223233（4-56）lEIlEIlEIlEIlGJlEIlEIlEIlEIlEAkzzyyyyzz4000600406000000006012006000120000002223234（4-57）4.5 单元特性在两类坐标系中的转换单元特性在两类坐标系中的转换 在在4.3、4.4节中，单元位移和单元力都是按单元节中，单元位移和单元力都是按单元坐标系的坐标轴分量定义的，由此建立的单元刚度矩坐标系的坐标轴分量定义的，由此建立的单元刚度矩阵属于单元坐标单元刚度矩阵。阵属于单元坐标单元刚度矩阵。 进行系统分析时，需要把单元力按统一的结构

34、坐进行系统分析时，需要把单元力按统一的结构坐标轴的分量表示出来，以便建立节点平衡方程。因此，标轴的分量表示出来，以便建立节点平衡方程。因此，在进行系统分析之前，必须把单元坐标系中的单元力在进行系统分析之前，必须把单元坐标系中的单元力以及单元刚度矩阵都转换到结构坐标系中去以及单元刚度矩阵都转换到结构坐标系中去。此外，。此外，还需要把结构坐标系中的节点位移转换到单元坐标系还需要把结构坐标系中的节点位移转换到单元坐标系中去，以计算结构内力。因此了解坐标变换是必要的。中去，以计算结构内力。因此了解坐标变换是必要的。 设设XYZ为结构坐标（整体）系，为结构坐标（整体）系，xyz为单元（局为单元（局部）坐

35、标系，部）坐标系，约定下列符号：约定下列符号： 结构坐标单元位移结构坐标单元位移 F 结构坐标单元力结构坐标单元力 k结构坐标单元刚度矩阵结构坐标单元刚度矩阵 1、坐标变换矩阵定义、坐标变换矩阵定义 把单元位移从结构坐标系转换到单元坐标系的变把单元位移从结构坐标系转换到单元坐标系的变换矩阵定义为坐标变换矩阵，用符号换矩阵定义为坐标变换矩阵，用符号R表示表示。有。有继续使用前单元坐标中的符号：继续使用前单元坐标中的符号：e单元坐标单元位移单元坐标单元位移 F e单元坐标单元力单元坐标单元力 ke单元坐标单元刚度矩阵单元坐标单元刚度矩阵 式（式（4-58）给出了结构坐标单元位移转换为单元）给出了结

36、构坐标单元位移转换为单元坐标单元位移的转换式，同时是坐标变换矩阵坐标单元位移的转换式，同时是坐标变换矩阵R的的定义式。定义式。 本节只了解本节只了解R的存在和概念，有关坐标变的存在和概念，有关坐标变换矩阵换矩阵R 的具体形式、内容留在的具体形式、内容留在4.6节中专门讨论。节中专门讨论。2、结构坐标单元力、结构坐标单元力 单元力在单元位移上作的功，不因其坐标系的改单元力在单元位移上作的功，不因其坐标系的改变而变。则有变而变。则有 TeTeFF)( Re（4-58）将式（将式（4-58）代入，）代入， TTeFRF)(对上式两端进行转置，注意到对上式两端进行转置，注意到TTTABBA消去消去，得

37、，得 TTeFRF)(即得即得 eTFRF （4-59）式（式（4-59）表明：）表明：结构坐标单元力等于单元坐标单元结构坐标单元力等于单元坐标单元力前乘坐标变换矩阵的转置。力前乘坐标变换矩阵的转置。 必须指出：式（必须指出：式（4-58）是从整体（结构）坐标系）是从整体（结构）坐标系到局部（单元）坐标系的变换式；式（到局部（单元）坐标系的变换式；式（4-59）是从局）是从局部（单元）坐标系到整体（结构）坐标系的变换式。部（单元）坐标系到整体（结构）坐标系的变换式。在单元坐标系中，有在单元坐标系中，有 eeekF3、结构坐标单元刚度矩阵、结构坐标单元刚度矩阵上式两端左乘上式两端左乘RT， ee

38、TeTkRFR注意到式（注意到式（4-58）、（）、（4-59），有），有 Re（4-58） eTFRF （4-59） RkRFeT kF k结构坐标单元刚度矩阵。并有结构坐标单元刚度矩阵。并有 RkRkeT（4-60） 式（式（4-60）给出了把单元坐标单元刚度矩阵转换）给出了把单元坐标单元刚度矩阵转换为结构坐标单元刚度矩阵的转换式。为结构坐标单元刚度矩阵的转换式。?4.6 坐标变换矩阵坐标变换矩阵 坐标变换矩阵因单元类型不同而异。坐标变换矩阵因单元类型不同而异。 1、平面铰接杆单元、平面铰接杆单元 设设OXY为结构坐标，为结构坐标，oxy为单元坐标。为单元坐标。 为任意为任意单元单元 i

39、端的任一矢量。它在结构坐标系中的分量为端的任一矢量。它在结构坐标系中的分量为 X、 Y；在单元坐标系中的分量为；在单元坐标系中的分量为 x、 y。 X、 Y 在在单元坐标单元坐标x轴上投影的代数和给出轴上投影的代数和给出 x 。同理，。同理， X、 Y 在单元坐标在单元坐标y轴上投影的代数和给出轴上投影的代数和给出 y 。由图由图4-12得：得：XYxy X Y x yi图图4-12cossinsincosYXyYXx（4-61） 写成矩阵形式，写成矩阵形式，YXyxcossinsincos取取ejjeiivuvu,得得jjiiejjiivuvuvuvucossin00sincos0000co

40、ssin00sincos上式可写成上式可写成 Re坐标变换矩阵坐标变换矩阵R的具体内容为：的具体内容为：用节点坐标描述方向余弦：用节点坐标描述方向余弦：（4-62） cossin00sincos0000cossin00sincosRlYYlXXijijsin,cos（4-62a）式中，（式中，（Xi，Yi）和（）和（Xj，Yj）分别为节点）分别为节点I和节点和节点j在在结构坐标系中的坐标值。结构坐标系中的坐标值。 2、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元 如果在连续梁中使用这类单元，通常可将单元如果在连续梁中使用这类单元，通常可将单元坐标和结构坐标取得一致。此时，无须

41、进行坐标变坐标和结构坐标取得一致。此时，无须进行坐标变换。换。 3、两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元、两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元 此时，节点自由度为此时，节点自由度为3，见图，见图4-13。ijxy 2 3 5 6l 1 4图图4-13 注意单元坐标系注意单元坐标系xy平面和结构坐标系平面和结构坐标系XY平面在同平面在同一平面上，因而单元坐标系一平面上，因而单元坐标系z轴和结构坐标系的轴和结构坐标系的Z轴总轴总有相同指向，所以恒有：有相同指向，所以恒有：ZzZzMM 线位移的坐标变换式和平面铰接杆完全相同。于是线位移的坐标变换式和平面铰接杆完全相同。于是得到：得到： 100000

42、0sincos0000sincos0000001000000cossin0000sincosR（4-63） zjjjziiiezjjjziiivuvuRvuvuijxyz 4、两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁单元、两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁单元 此时，此时，xy平面和结构坐标系平面和结构坐标系XY平面仍在同一平面平面仍在同一平面上，因而上，因而z轴和结构坐标系的轴和结构坐标系的Z轴指向相同，只须取轴指向相同，只须取l图图4-14 xi xj yi yjWiWjXYZ在单元坐标系中，单元每个节点（如在单元坐标系中，单元每个节点（如i）有）有3个位移分个位移分量：量： xi、 yi和

43、和wi，它的变换式和承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单，它的变换式和承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元（图元（图4-13）中向量）中向量eiivu的变换式相同。的变换式相同。 并且，恒有并且，恒有ieiWW ijxyvi ivj jluiuj图图4-13eyixi向量向量，其变换和承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元中的，其变换和承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元中的iei相同。相同。由此知：由此知： jYjXjiYiXiejyjxjiyixieWWRRWW 5、空间铰接杆单元、空间铰接杆单元 空间铰接杆单元的每个节点有空间铰接杆单元的每个节点有3个相互垂直的线个相互垂直的线位移分量（位移分量（u、v、w

44、）。单元自由度为）。单元自由度为6，如图，如图4-15。其中，坐标变换矩阵其中，坐标变换矩阵R的内容与式（的内容与式（4-63）相同。）相同。xyzij图图4-15 设向量设向量 （图（图4-16）在单元坐标系和结构坐标系在单元坐标系和结构坐标系两个坐标系中的分量被表示两个坐标系中的分量被表示 为：为： 1 2 3 4 5 6（1）一般空间铰接杆单元）一般空间铰接杆单元一般空间铰接杆单元指非竖直杆单元。一般空间铰接杆单元指非竖直杆单元。XYZxyz图图4-16 ZYXzyxe, x、 y、 z、向量向量 在单元坐标轴上的分量在单元坐标轴上的分量 X、 Y、 Z、向量向量 在结构坐标轴上的分量在

45、结构坐标轴上的分量有有 333231232221131211（4-65） 是坐标系的旋转矩阵，是单元坐标轴是坐标系的旋转矩阵，是单元坐标轴x、y、z在在结构坐标系结构坐标系XYZ中的方向余弦：中的方向余弦： 11、 12、 13x轴在结构坐标系轴在结构坐标系XYZ中的方向余弦中的方向余弦 21、 22、 23y轴在结构坐标系轴在结构坐标系XYZ中的方向余弦中的方向余弦 31、 32、 33z轴在结构坐标系轴在结构坐标系XYZ中的方向余弦中的方向余弦 e（4-64） 容易理解，式（容易理解，式（4-64）可代表）可代表空间铰接杆中一个空间铰接杆中一个节点的节点位移坐标变换。空间铰接杆单元有节点的

46、节点位移坐标变换。空间铰接杆单元有2个节个节点，所以坐标变换矩阵一般可表示为：点，所以坐标变换矩阵一般可表示为： 00R（4-66）下面讨论下面讨论 矩阵中，元素矩阵中，元素 ij(i=1、2、3，j=1、2、3)。 对于空间铰接杆单元，无论单元在结构中的位置对于空间铰接杆单元，无论单元在结构中的位置如何，都可以把单元坐标系的如何，都可以把单元坐标系的xy面和结构坐标系的面和结构坐标系的XY面取成竖向平面，单元坐标系的面取成竖向平面，单元坐标系的z轴和结构坐标系轴和结构坐标系的的Z轴同在水平面内（图轴同在水平面内（图4-17）。）。xyzXYZ 图图4-17 i j lj x轴在结构坐标系中的

47、轴在结构坐标系中的3个方向余弦：个方向余弦：jXjZ任一单元任一单元ij的长度为的长度为l。单元坐标系中。单元坐标系中x轴从轴从i指向指向j，lZZlYYlXXijijij131211,（4-67）Xi、Yi、Zi节点节点i在结构坐标系中的坐标在结构坐标系中的坐标Xj、Yj、Zj节点节点j在结构坐标系中的坐标在结构坐标系中的坐标z轴在结构坐标系中的轴在结构坐标系中的3个方向余弦：个方向余弦： 注意到注意到Y轴、轴、x轴和线段轴和线段ij 在同一竖直平面内。在同一竖直平面内。z轴在水平面内，轴在水平面内， z轴与轴与Y轴垂直，轴垂直， z轴也与轴也与线段线段ij 垂直。垂直。z轴在结构坐标系中的

48、轴在结构坐标系中的3个方向余弦为：个方向余弦为：sin)2cos(),cos(31Xz22)()(ijijijXZZXXZZj ij j代入式（代入式（4-67），得），得 213211133102cos),cos(32Yz2132111133cos),cos(Zz（4-68）y轴在结构坐标系中的轴在结构坐标系中的3个方向余弦：个方向余弦： 引入记号：引入记号： i1、i2、i3结构坐标系中结构坐标系中3个坐标轴方向的单位矢量个坐标轴方向的单位矢量e1、e2、e3单元坐标系中单元坐标系中3个坐标轴方向的单位矢量个坐标轴方向的单位矢量有有3132121111iiie3232221212iiie3

49、332321313iiie因为单元坐标系是右手螺旋坐标系，故有因为单元坐标系是右手螺旋坐标系，故有132eee按矢量乘法规则，即得按矢量乘法规则，即得131211333132120iiie31231213311133112332)()()(iiie于是得于是得213211131212312321321113311133222132111211123321（4-69）综合式（综合式（4-67）、（）、（4-68）、（）、（4-69），得空间铰接），得空间铰接杆单元的杆单元的 矩阵矩阵 2132111121321113213211131221321121321112111312110（4-70）

50、综上所述，一般空间铰接杆单元的坐标变换矩阵综上所述，一般空间铰接杆单元的坐标变换矩阵由式（由式（4-66）、（）、（4-70）、（）、（4-67）确定。）确定。 必须指出：对于竖直空间铰接杆单元，式（必须指出：对于竖直空间铰接杆单元，式（4-70）是不能用的，因为是不能用的，因为 112+ 132 =0，将导致计算溢出。，将导致计算溢出。（2） 竖直空间铰接杆单元竖直空间铰接杆单元 竖直的空间铰接杆单元不外有图竖直的空间铰接杆单元不外有图4-18示出的两种示出的两种情况：情况：XYZijxyzXYZijxyz图图4-18（a）（b） 对于竖直的空间铰接杆单元，单元坐标系中的对于竖直的空间铰接杆

51、单元，单元坐标系中的z轴方向没有特殊限制，水平面内任何方向皆可取作轴方向没有特殊限制，水平面内任何方向皆可取作z轴方向。为了计算简便起见，这里规定：轴方向。为了计算简便起见，这里规定： z轴方向与结构坐标系中的轴方向与结构坐标系中的Z轴方向相同。轴方向相同。 根据图根据图4-18容易确定单元坐标轴容易确定单元坐标轴x、y、z在结构在结构坐标系中的方向余弦，从而直接得到坐标系中的方向余弦，从而直接得到 矩阵：矩阵： 10000001212（4-71） 式（式（4-71）对于图）对于图4-18中的两种情况都适用。对中的两种情况都适用。对（a）图，）图， 12=1；对（；对（b）图，）图， 12=-

52、1。 竖直空间铰接杆单元的坐标变换矩阵竖直空间铰接杆单元的坐标变换矩阵R与一与一般空间铰接杆单元之不同，在于应使用式（般空间铰接杆单元之不同，在于应使用式（4-71）而不要使用式（而不要使用式（4-70）去计算）去计算 矩阵。矩阵。 6、空间梁单元、空间梁单元 和空间铰接杆单元比较，空间梁单元有以下两和空间铰接杆单元比较，空间梁单元有以下两个特点：个特点：特点特点1：每个节点有沿单元坐标轴方向的两组位移：每个节点有沿单元坐标轴方向的两组位移 向量，即线位移（向量，即线位移（ui、vi、wi）和角位移）和角位移 （ xi、 yi、 zi）。它们都需要坐标变换。）。它们都需要坐标变换。特点特点2：

53、空间梁单元单元坐标系中的：空间梁单元单元坐标系中的y、z轴是单元横截轴是单元横截 面上的两个惯性主轴，可能是不能任意确定面上的两个惯性主轴，可能是不能任意确定 的，因而无法保证的，因而无法保证z轴一定在水平面内，即在轴一定在水平面内，即在 结构坐标系中的结构坐标系中的XZ平面内。这就导致平面内。这就导致 矩阵矩阵 的计算变得比空间铰接杆复杂得多。的计算变得比空间铰接杆复杂得多。因此，坐标变换矩阵应为：因此，坐标变换矩阵应为： R00（4-72） 式（式（4-72）表明了它和铰接杆单元式（）表明了它和铰接杆单元式（4-66）的）的第一项区别。第一项区别。 （1）可以使用空间铰接杆单元）可以使用空

54、间铰接杆单元 矩阵的梁单元矩阵的梁单元 具有轴对称截面的梁单元具有轴对称截面的梁单元 这时，截面内过形心的任一根轴皆可作为惯性主轴。这时，截面内过形心的任一根轴皆可作为惯性主轴。因而，恒可因而，恒可z轴取在水平面内。轴取在水平面内。 对于竖直空间梁单元，也可使对于竖直空间梁单元，也可使z轴与结构坐标系的轴与结构坐标系的Z轴重合。因而可用竖直铰接杆单元的轴重合。因而可用竖直铰接杆单元的 矩阵（式（矩阵（式（4-67）、（）、（4-71） 。 截面有一根形心轴在水平面内截面有一根形心轴在水平面内 这时，可使用一般空间铰接杆单元的这时，可使用一般空间铰接杆单元的 矩阵（式矩阵（式（4-70）、（）、

55、（4-67）进行计算。必须指出，如果是）进行计算。必须指出，如果是单元是竖直的，只要不能保证单元是竖直的，只要不能保证z轴与结构坐标系中的轴与结构坐标系中的Z以下两种情况可以使用铰接杆单元的以下两种情况可以使用铰接杆单元的 矩阵。矩阵。轴重合，都不能使用竖向铰接杆单元的轴重合，都不能使用竖向铰接杆单元的 矩阵。矩阵。 （2）截面惯性主轴无一在水平面内的空间梁单元）截面惯性主轴无一在水平面内的空间梁单元 不能使用空间铰接杆单元不能使用空间铰接杆单元 矩阵的情形矩阵的情形 设结构坐标系设结构坐标系XYZ，单元坐标系，单元坐标系xyz。y、z是梁截是梁截面的两个惯性主轴（图面的两个惯性主轴（图4-19a）yzXYZ(a)图图4-19xXYZxyz(b)图图4-191e3e2e 在单元坐标系的在单元坐标系的3个坐标轴上分别取个坐标轴上分别取3个单位矢个单位矢量：量： e1、e2、e3。结构坐标系中。结构坐标系中3个坐标轴上的单位个坐标轴上的单位矢量为矢量为i1、i2、i3 。yzXYZ(a)xXYZxyz3e2e3132121111iiie3232221212iiie3332321313iiie 11、 12 、 13由式（由式（4-67）确定，是已知的，）确定，是已知的，即即e1是已知