中考数学(动点专题)

1、中考动点专题专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容. 动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某一个图形有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系.一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1，在半径为6，圆心角为90°的扇形AOB的弧AB上，有一个动点P，PHOA，垂足为H，OPH的重心为G.(1)当点P在弧AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段? 如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度.(2)设PH，GP，求关于的函数

2、解析式，并写出函数的定义域 (即自变量的取值范围).(3)如果PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长.二、应用比例式建立函数解析式 例2(2006年·山东)如图2，在ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动. 设BD=CE=. (1)如果BAC=30°，DAE=105°，试确定与之间的函数解析式； (2)如果BAC的度数为，DAE的度数为，当，满足怎样的关系式时，(1)中与之间的函数解析式还成立? 试说明理由.例3(2005年·上海)如图3(1)，在ABC中，ABC=90°，AB=4，BC=3. 点O是边AC上的一个动点，以点O为圆心

3、作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E. 作EPED，交射线AB于点P，交射线CB于点F.(1)求证： ADEAEP.(2)设OA=，AP=，求关于的函数解析式，并写出它的定义域.(3)当BF=1时，求线段AP的长.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式ABCO例4(2004年·上海)如图，在ABC中，BAC=90°，AB=AC=，A的半径为1. 若点O在BC边上运动(与点B、C不重合)，设BO=，AOC的面积为.(1)求关于的函数解析式，并写出函数的定义域.(2)以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当O与A相切时，AOC的面积.专题二：动态几何型压轴题一、以动态几何

4、为主线的压轴题 (一)点动问题1如图，中，点在边上，且，以点为顶点作，分别交边于点，交射线于点(1)当时，求的长； (2)当以点为圆心长为半径的和以点为圆心长为半径的相切时，求的长； ABCDEOlA(二)线动问题2、在矩形ABCD中，AB3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线l过点B，把ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A重合，求BC的长；(2)若直线l与AB相交于点F，且AOAC，设AD的长为，五边形BCDEF的面积为S. 求S关于的函数关系式，并指出的取值范围；探索：是否存在这样的，以A为圆心，以长为半径的圆与直线l相切，若存在，请求出

5、的值；若不存在，请说明理由(三)面动问题 3、如图，在中，、分别是边、上的两个动点(不与、重合)，且保持，以为边，在点的异侧作正方形.(1)试求的面积；(2)当边与重合时，求正方形的边长；(3)设，与正方形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式，并写出定义域；【类题】例1：已知O的弦AB的长等于O的半径，点C在O上变化(不与A、B)重合，求ACB的大小 .变式1：已知ABC是半径为2的圆内接三角形，若，求C的大小.变式2：如图，半经为1的半圆O上有两个动点A、B，若AB=1，判断AOB的大小是否会随点A、B的变化而变化，若变化，求出变化范围，若不变化，求出它的值和四边形ABCD的面积的最大值。

6、变式3：如图，有一块半圆形的木板，现要把它截成三角形板块. 三角形的两个顶点分别为A、B，另一个顶点C在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大? 要求说明理由(广州市2000年考题) 专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题 例题1 如图1，已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。求抛物线的解析式；若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得OBP与OAB相似?若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。Oxy练习2图CBED练习2、

7、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折痕，且。(1)判断与是否相似? 请说明理由；(2)求直线CE与x轴交点P的坐标；练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，点的坐标分别为，(1)求过点的直线的函数表达式； (2)在轴上找一点，连接，使得与相似(不包括全等)，并求点的坐标；(3)在(2)的条件下，如分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由专题一：建立动点问题的函数解析式例1解：(1)当点P在弧AB上运动时，OP保持不变，于是线段GO

8、、GP、GH中，有长度保持不变的线段，这条线段是GH=NH=OP=2.(2)在RtPOH中，.在RtMPH中，=GP=MP= (0<<6).(3)PGH是等腰三角形有三种可能情况：GP=PH时，解得. 经检验， 是原方程的根，且符合题意.GP=GH时， ，解得. 经检验， 是原方程的根，但不符合题意.PH=GH时，. 综上所述，如果PGH是等腰三角形，那么线段PH的长为或2.例2解：(1)在ABC中，AB=AC，BAC=30°，ABC=ACB=75°，ABD=ACE=105°.BAC=30°，DAE=105°，DAB+CAE=75&

9、#176;，又DAB+ADB=ABC=75°，CAE=ADB， ADBEAC， ， ， .(2)由于DAB+CAE=，又DAB+ADB=ABC=，且函数关系式成立，=， 整理得. 当时，函数解析式成立.例3解：(1)连结OD.PDEACB3(2)OF 根据题意，得ODAB，ODA=90°，ODA=DEP.又由OD=OE，得ODE=OED.ADE=AEP， ADEAEP.(2)ABC=90°，AB=4，BC=3， AC=5. ABC=ADO=90°，ODBC， ，OD=，AD=. AE=. ADEAEP， ， . ().(3)当BF=1时，若EP交线段CB

10、的延长线于点F，如图3(1)，则CF=4.ADE=AEP，PDE=PEC. FBP=DEP=90°， FPB=DPE，F=PDE，F=FEC，CF=CE. 5=4，得.可求得，即AP=2.若EP交线段CB于点F，如图3(2)， 则CF=2.类似，可得CF=CE. 5=2，得. 可求得，即AP=6.综上所述， 当BF=1时，线段AP的长为2或6.例4解：(1)过点A作AHBC，垂足为H. BAC=90°，AB=AC=，BC=4，AH=BC=2. OC=4. ， ().(2)当O与A外切时，在RtAOH中，OA=，OH=， . 解得. 此时，AOC的面积=.当O与A内切时，在R

11、tAOH中，OA=，OH=， . 解得. 此时，AOC的面积=.综上所述，当O与A相切时，AOC的面积为或.专题二：动态几何型压轴题11直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程2圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用d=R ± r ()建立方程3解题的关键是用含的代数式表示出相关的线段.解：(1) 证明 ，代入数据得，AF=2(2) 设BE=，则利用(1)的方法，相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，；内切，当和相切时，的长为或(3)当以边为直径的与线段相切时，2、ABCDEOlF1找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法2直

12、线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程3解题的关键是用含的代数式表示出相关的线段.(1)A是矩形ABCD的对称中心ABAAACABAB，AB3AC6 (2)， ()若圆A与直线l相切，则，(舍去)，不存在这样的，使圆A与直线l相切3、1找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图31、32重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况2正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图33、34、35用方程思想解决3解题的关键是用含的代数式表示出相关的线段.解：(1). (2)令此时正方形的边长为，则，解得.(3)当时， ，当时， .(4).【类题】例1分析：点C的变化是否影响ACB的大小

13、的变化呢? 我们不妨将点C改变一下，如何变化呢?可能在优弧AB上，也可能在劣弧AB上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C在优弧AB上变化时，ACB所对的弧是劣弧AB，它的大小为劣弧AB的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结AO、BO，则由于AB=OA=OB，即三角形ABC为等边三角形，则AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：ACB=AOB=300，当点C在劣弧AB上变化时，ACB所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由AOB=600得，优弧AB的度数为3600600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：ACB=1500，因此，本题的答案有两个，分

14、别为300或1500.变式1本题与例1的区别只是AB与圆的半径的关系发生了一些变化，其解题方法与上面一致，在AOB中，则，即，从而当点C在优弧AB上变化时，C所对的弧是劣弧AB，它的大小为劣弧AB的一半，即，当点C在劣弧AB上变化时，C所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由AOB=1200得，优弧AB的度数为36001200=2400，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：C=1200，因此或C=1200.变式2解：(1)由于AB=OA=OB，所以三角形AOB为等边三角形，则AOB=600，即AOB的大小不会随点A、B的变化而变化。(2)四边形ABCD的面积由三个三角形组成，其中三

15、角形AOB的面积为，而三角形AOD与三角形BOC的面积之和为，又由梯形的中位线定理得三角形AOD与三角形BOC的面积之和，要四边形ABCD的面积最大，只需EH最大，显然EHOE=，当ABCD时，EH=OE，因此四边形ABCD的面积最大值为+=.对于本题同学们还可以继续思考：四边形ABCD的周长的变化范围.变式3分析：要使三角形ABC的面积最大，而三角形ABC的底边AB为圆的直径为常量，只需AB边上的高最大即可。过点C作CDAB于点D，连结CO，由于CDCO，当O与D重合，CD=CO，因此，当CO与AB垂直时，即C为半圆弧的中点时，其三角形ABC的面积最大。本题也可以先猜想，点C为半圆弧的中点时

16、，三角形ABC的面积最大，故只需另选一个位置C1(不与C重合)，证明三角形ABC的面积大于三角形ABC1的面积即可。如图显然三角形ABC1的面积=AB×C1D，而C1D< C1O=CO，则三角形 ABC1的面积=AB×C1D<AB×C1O=三角形 ABC的面积，因此，对于除点C外的任意点C1，都有三角形 ABC1的面积小于三角形三角形 ABC的面积，故点C为半圆中点时，三角形ABC面积最大.本题还可研究三角形ABC的周长何时最大的问题。提示：利用周长与面积之间的关系。要三角形ABC的周长最大，AB为常数，只需AC+BC最大，而(AC+BC)2=AC2+

17、CB2+2AC×BC=AB2+4×ABC的面积，因此ABC的面积最大时，AC+BC最大，从而ABC的周长最大。专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题 例题1分析：1. 当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论：按OB为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用

18、勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。图1例题、解：由题意可设抛物线的解析式为抛物线过原点， .抛物线的解析式为，即 如图1，当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时，CDOB，由得，B(4，0)，OB4.D点的横坐标为6 ，将x6代入，得y3，D(6，3)； 根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点D，使得四边形ODCB是平行四边形，此时D点的坐标为(2，3)， 当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时，D点即为A点，此时D点的坐标为(2，1)图2如图2，由抛物线的对称性可知：AOAB，AOBABO.若BOP与AOB相似，必须有POBBOABPO 设OP交抛物线的对称轴于A点，显然A(2，1)直线OP的解析式为 ，由，得.