快速口算法补数

1、快速口算法补数 第一章 预备概念1、补数和齐数若两数之和是10、100、1000、10n的乘方数（n是正整数），这两个数就互为补数。例如：4和6、88和12、455和545等就互为补数。看补数的方法：某数是几位数，它的补数也是几位数。若补数的有效数字前面有空位，用“0”补齐。互为补数的各对应位，末位相加为10，其余各位相加为9，两数之和，叫做它们的齐数。某数与其补数、齐数的关系如下：某数补数齐数齐数补数某数齐数某数补数如：齐数某数补数 补数半数10 2 8 4100 88 12 061000 998 002 0012、强数和填数位数相同，比某数的首位数字大1，后面带若干个零的数，叫某数的强数，

2、例如：317、369、383的强数是400。某数的强数与该数之差，叫做该数的填数，例如：389的填数是11等等。计算填数方法：首位不填，中间相加成9，末位相加成10。某数与其强、填数的关系如下：某数填数强数强数某数填数强数填数某数补、填数应用于珠算四则运算均较为简捷，特别是乘除法。下面分章节叙述。所以应养成心算凑整方法，求一数的补（填）数，就不必另行拨珠运算了。第二章 加减法第一节 无诀加减法在实际工作中，加减法应用最广泛，约占所有计算量的80%左右。同时，加减法又是乘除运算的基础，不掌握过硬的加减法，乘除运算就不可能达到既准又快的水平。加法的算式是：被加数加数和。被加数和加数可以交换位置，其

3、和不变。减法的算式是：被减数减数差。被减数和减数不可交换位置。加法和减法互为逆运算。补数加减法的理论依据是：“加原数=进1减补数”，“减原数=退1加补数”。其实质是将原数变成“10”，进行加减，用补数调整。一、加法珠算加法的特点是“补五进十”。上珠一颗作5，下珠一颗作1，下珠满5颗用上珠一颗代替。因此，在直接加减法的同时，有补五加法，算盘相邻两档，本档满10要向前档进1，因此，珠算是十进制加法。（一）一位数加法一位数加（减）法是最基本的运算，因为，计算多位数加（减）时，都要分解为一位数的加（减），所以，只要能熟练地掌握一位数的加（减），就能计算多位数的加（减）。珠算一位数加法，分为外珠够加和外

4、珠不够加两类：1、外珠够加类如：3+1，2+3，4+5，2+6。先分别在算盘上拨3、2、4、2靠梁，再分别把加数1、3、5、6在同档上拨入，得数分别为4、5、9、8。它们相加有一个共同的特点是：外珠（靠上下两边的珠）都比加数大，这叫同档相加看外珠，外 珠够加直接加入加数。2、外珠不够加类外珠不够加，就是外珠比加数小，直接加不进加数。这种情况就需要利用补数参与运算。如：47、85、96、38。先分别在算盘上拨被加数靠梁，它们的外珠都比加数小，无法拨入加数，于是就采取“加原数=进1减补数”这一规律来解决。这些加数的变码分别是：7103，5105，6104，8102。用这些加数的变码分别换出原式中的

5、加数，其形式变为：474103，858105，969104，383102。在算盘上计算时，先分别拨被加数4、8、9、3入盘，然后，分别拨加数7、5、6、8入盘时，因外珠小于加数，直接加不进加数，只好用十位进1，本位减加数的补数，即“进1减补数”加数入盘，得数分别为：11、13、15、11。再如：77，59，68，76。这些也是外珠小于加数，直接加不进加数，只好“进1减补数”。变码为777103，595101，686102，767104。在算盘上计算时，先分别拨被加数7、5、6、7入盘。先分别用“进1减补数”，拨加数7、9、8、6入盘，其和分别是14、14、14、13。这四道题的拨珠形式与上面四

6、道题的拨珠形式有所不同，在减补数时，都需要“减5加凑”来减，要反复练习，熟练掌握。凑即凑数，是指若两个一位数的和是5，（只有三对，1与4，2与3，0与5）这两个数互为凑数。如2与3凑成5，2是3的凑数，3也是2的凑数。利用补数作加法，是先进1后减补数，这样合乎珠算由左而右的拨珠方向，指路不迂回，能提高运算效率。上述加法运算的法则概括地说就是：同位相加看外珠，外珠够加加加数，外珠不够加进1减补数。（二）多位数加法多位数加法是利用补数进行运算，即逐位单独用这一位原数（加数）的补数去合10。如4972的各位补数分别是6、1、3、8（每位补数上下不能联合，是逐位单独动用）。因此，在多位数加法的运算过程

7、中，逐位分别采用如同一位数的“进1减补数”。运算方法仍是“同位相加看外珠，外珠够加加加数，外珠不够加进1减补数。”如572938169545在算盘上先拨被加数5729入盘，再依次拨加数3816入盘，得数为9545。5、7、2、9同位相加看外珠：+3，千位外珠4，加3够加，加3；+10，百位外珠2，加8不够加；-2，前位进1，本位减补数2；+1，十位外珠7，加1够加，加1；+10，个位外珠0，加6不够加；-4，前位进1，本位减补数4。得数为9545。二、减法减法是加法的逆运算。加法的特点是：“补五进一”，减法的特点是“破五退一” 。它们在一切方面都是正反关系。（一）一位数减法一位数减法，分内珠够

8、减和内珠不够减两类：1、内珠够减类如：43、52、86、97，在算盘上先分别拨被减数4、5、8、9入盘，再分别在同档拨去减数3、2、6、7，得数分别是1、3、2、2。它们相减有一个共同特点是：内珠都比减数大，这叫同档相减看内珠，内珠够减直接减去减数。2、内珠不够减类内珠不够减，就是内珠比减数小，直接减不掉减数，于是就采取“减原数=退1加补数”这一规律来解决。这些减数的变码分别是：-7-103，-8-102，-9-101，-6-104。用这些减数的变码分别换出原式中的减数，变码式为：10710103，12812102，14914101，13613104。在算盘上先分别拨被减数10、12、14、1

9、3入盘，然后拨去减数7、8、9、6时，因同档内珠小于减数，直接减不掉减数，只好用十位退1，本位加减数的补数，即“退1加补数”，拨去减数，得数分别是3、4、5、7。后二题和前二题拨珠形式有所不同，在加补数时都需用“加5减凑”来加，要反复练习，熟练掌握。上述减法运算的法则概括地说：同位相减看内珠，内珠够减减减数，内珠不够减退1加补数。（二）多位数减法在多位数减法的运算过程中，逐位分别采用如同一位数的“退1加补数”。运算法则仍是“同位相减看内珠，内珠够减减减数，内珠不够减退1加补数”。如954538165729，在算盘上先拨被减数9545入盘，再依次拨去减数3816，得数为5729。9545同位相减

10、看内珠：3，千位内珠9，减3够减，减3；10，百位内珠为5，减8不够，前位退1；+2，本位加补数2；1，十位内珠为4，减1够减，减1；10，个位内珠为5，减6不够减，前位退1；+4，本位加补数4。第二节：脑珠结合加减法脑珠结合加减法，既能增强脑力，又能简化运算程序，减少大量的拨珠动作，提高运算速度。（一）简捷加法1、加1减补法口诀：“前加1，和必余，减补数，定无疑”。（此法适用于位数相同的加法）。例：3456+9989=13445（减少拨珠6次）算法：（1）3456前加1，得13456；（2）13456减去9989的补数0011，得13445。2、加齐减补法口诀：“齐先加，和必大，减补数，不会

11、差”。（此法适用于多位数字相加）例：19002+998=20000（减少拨珠5次）算法：（1）19002先加998的齐数1000得20002；（2）20002减去补数002得20000。3、取强减填法口诀：“先凑强，后减填”（此法适用于首位数字大于1的加数）。例：884+896=17 80（少拨珠3次）算法：（1）取896的强数900加上884，得1784；（2）1784减去896的填数4，得1780。4、一目三行连加弃九法先研究一目三行加法的进位规律。三行数字相加的进位规律有三种情况：一是有进2的，如6+8+9=23；二是有进1的，如5+3+7=15；三是有不进位的，如2+1+4=7。据研究

12、得出，三行数字组合有165种，其中111种是进1的（占总数的67%），有31种是进2的，有23种是不进位的。所以三行数字组合进1的可能性最大。为了省略各位上的和进1，减少拨珠量，我们可以利用补数原理，作一次性的进一，即先在首位加1个10的整数次幂，然后，再用中间各位减去9，末位减去10的方法。如三行六位数相加，首位加1，即增加100000，中间各位都减9，即减少了99990，末位减10，即增减相抵，正好轧平，原来的和不变。为了将竖列三个同位数之和计算方便一些，可假设有竖列三个同位数之和都进位一。这样就得出“首位进1”的普遍规律。若某竖列三个同位数之和大于或小于10，可分别通过加减来调整。计算中

13、间各位时，因已提前进位一，本应先减去10，然后，再加上大于10的数，但后边的各位还要进位一，所以中间各位减去9，就等于减去10，这样就得出“中间各位减去9”的结论。若中间各位和大于或小于9，也通过加减来调整。计算末位时，因提前进位一，后边不再进位，应从末位和中减去10，余几加几。根据上述推理，得出弃九法的运算方法是：1、计算首位时，三个数字相加之和再加1，就是提前进位1。如和数是6拨入7，和数是14就拨入15，和数是23就拨入24。2、计算中间各位时，三个数字相加之和等于或大于9的，将9弃去，只加和数弃9后的余数。如和数是14就加5，和数是23就加14，若三个数字之和小于9的，则减去它与9的差

14、数。如和数是6就减3。在实际运算时，中间各位的同位三个数中有一个是9或两个之和是9，可以把这个9舍去，余几就在本位上加几。如同位三个数8、9、6，可直接加上14；4、5、7可直接加上7。3、在计算末位时，三个数相加之和等于或大于10的，将10弃去，只加弃10后的余数。如和数是13即加3，和数是24即加14，若三个数字相加之和小于 10的，则减它与10的差额。如和数是7即减3。把上述弃九法的运算法则概括地说就是：首和进1拨入，中和弃九加余，末和弃十加余，欠弃拨去差数。例如：1259.63615.492940.13850.14304.70613.03-6583.12在算盘上计算形式：1259.63

15、615.492940.13-+4首位（千位）和是3，后位进1，加4；+8百位弃九余8，加8；+1 十位弃九余1，加1；+5个位数弃九余5，加5；+2十分位弃九余2，加2；+5末位（百分位）弃十余5，加5。三行之和为4815.25。850.14304.70613.03-+18首位和是17，后位进1，加18；-3十位欠弃九，减差数3；-2个位欠充九，减差数2；-1十分位欠弃九，减差数1；-3末位欠弃十，减差数3，累加和为6583.12。上述弃九法也适应于一目二行连加。一目四行、五行连加，用“弃双九法”。其运算法则可概括为：首和进二拨入，中弃双九加余，末弃双十加余，欠弃拨去差数。举例略。（二）简捷减

16、法1、减齐加补法口诀“齐先减，差必短。补再加，理当然”。例：3832994=2838（少拨4次）算法：（1）3832先减去1000得2832；（2）2832加上994的补数006，得2838。2、倒减变向法口诀：“小减大不难，空借首位前。借那要还那，随借要随还。借债没还清，补数变答案。如还清所借，梁珠为答案。”（此法适用于加减算法中，开始或中途发生减数小于被减数的混合运算）。例：9998199991001116388879165818893000（1）99981999910001（十万位借1，20000加上1，借债没还补数变答案，梁珠为89999）；（2）1001110（借债还清，梁珠为答案）

17、；（3）16381648；（4）88797231（万位借1，9000加121，补数变答案，梁珠为2769）；（5）16588889（同上）；（6）+118893000（万位借1还清，梁珠为答案）。上述六笔混合运算的倒减法，减少了4次清盘和4次重新布数，提高了效率一倍。3、一目三行连减弃九法减法是加法的逆运算。一目三行也可以应用弃九法，只要三行合并后将加改作减或减改作加就行。其运算法则可概括为：首和进一拨去，中和弃九减余，欠弃拨入差数。如：4 9 1 3 53 4 7 29 5 0 66 3 9 42 1 6 01 4 0 34 2 3 5-2 1 9 6 5在盘上计算形式，拨被减数49135入

18、盘。3 4 7 29 5 0 6 第一组（够弃减余）6 3 9 4-19首位和18，后位进1，减去19；3百位弃九余3，减去3；7十位弃九余7，减去7；2末位弃十余2，减去2。得数为29763。2 1 6 01 4 0 3 第二组（欠弃加差）4 2 3 5-8首位和7，后位进1减去8；+2百位弃九欠2，加差数2；0十位弃九，为0；+2末位弃十欠2，加差数2。得数为21965。第三章 ：补数乘法一、运算原理我们用9作乘数，研究以下19乘以9的内在关系。9的补数是1，齐数是10。1×91×（101）101×1，1作被乘数可看作减乘数补数1倍；2×92

19、5;（101）202×1，2作被乘数可看作减乘数补数2倍；3×93×（101）303×1，3作被乘数可看作减乘数补数3倍；4×94×（101）404×1，4作被乘数可看作减乘数补数4倍；5×95×（101）505×1，5作被乘数可看作减乘数补数5倍；6×96×（101）606×1，6作被乘数可看作减乘数补数6倍；7×97×（101）707×1，7作被乘数可看作减乘数补数7倍；8×98×（101）808×1，

20、8作被乘数可看作减乘数补数8倍；9×99×（101）909×1，9作被乘数可看作减乘数补数9倍。二、基本算规（一）口诀法从上一小节中，我们看出，被乘数1、2、3、4、5、6、7、8、9的运算规律，列表如下，作为口诀（注：学“一口清法”的人，应用此口诀法）。表1：小数组 中数组 大数组1 由下位减乘数补数的1倍 4 由下位减乘数补数的4倍 7 由下位减乘数补数的7倍2 由下位减乘数补数的2倍 5 由下位减乘数补数的5倍 8 由下位减乘数补数的8倍3 由下位减乘数补数的3倍 6 由下位减乘数补数的6倍 9 由下位减乘数补数的9倍假若会“1、2、5法”口算的人，可运用1

21、、2、5加几遍；4、5、6折半看，7、8、9当十算的人，可采用下表，进行计算：表2：小数组 中数组 大数组1 由下位减乘数补数1次 4 本位减补数半数下位加补数一次 7 本位减补数一次下位加补数三次2 由下位减乘数补数2次 5 本位减补数一半 8 本位减补数一次下位加补数二次3 由下位减乘数补数3次 6 本位减补数一半下位减补数一次 9 本位减补数一次下位加补数一次以上9个算规，由下列例题详解（本教材中口诀用表1法。）例1：123×889109347（补数111）图一：111 123直拨乘数补数111在算盘左边，被乘数123在右边图二：111 122667个位3，在下位减3×

22、;111成为12.2667图三：111 120447十位2，在下位减2×111成为1.20447图四：111 109347百位1，在下位减1×111成为109347，即为积例2：456×889405384图一：111 456直拨乘数补数111在左边，456在右边图二：111 455334个位6在下位减6×111成为45.5334图三：111 448784十位5，在下位减5×111成为4.48784图四：111 405384百位4，在下位减4×111成为405384即积例3：789×889701421图一：111 789直拨乘

23、数补数111在算盘左边，被乘数789在右边图二：111 788001个位9，下位减去 9×111成为78.8001图三：111 779121十位8，下位减去8×111成为7.79121图四：111 701421百位7，下位减去7×111成为701421注：1，图式可改成珠算图式；2，凡被乘数乘以乘数的补数，无进位从被乘数本位的下位减，有进位从本位减。以上是补数算法中算规的基本方法口诀法，用此方法可以算对任何题，我把它称作补数算法的第1种方法。（二）逐位减补数法逐位减补数法是否正确，下面我们用例题来加以证明：例：789×889789×（10001

24、11）789000789×111即789000789×111（减9×111，即减999；减80×111，即减8880；减700×111即减77700）可看作在789000中减去999，再减8880，再减77700，得数即701421。这和我们在盘式中（个位9，下位减999，十位8，下位减888，百位7，下位减777）得数完全一致，证明此口诀法准确无误。然而，虽无误，亦有缺陷，对于一般例题，可用此法，但对于特殊例题：如99999×99999，1998×778，27×964等，还有没有更快更完善的方法呢？答案是肯定的，

25、从以下几节中，我们再共同探讨快速法。首先，再从以上例题中，往下演变，引申出两种补数方法：加补减齐法和加填减强法。例1：789000789×111789000（1000211）×1117890001000×111211×111789000211×111111000，即789000211×111（在盘式上9的下位加1×111，8的下位加1×111，7的下位加2×111）后再在首位减111000得数701421，得数也是正确的，即加补减齐法。例2：789000789×111789000（80011）&

26、#215;1117890008880011×11178900011×111（9的下位加1×111，8的下位加1×111，7的下位减<71>×111，即88800）701421，得数也是正确的,即加填减强法。从而得出逐位减补数法中的加补减齐法和加填减强法，应用到乘法例题中，都是适用的，用那种方法参与运算要由具体数据来定，总之要做到化繁为简，达到“快”和“准”的目的，不要适得其反，这是我们科学速算的原则。（三）一般公式法前面提到，如：27×964、1998×778、999992应怎样计算，才会更为快捷

27、、方便。根据以上原理，笔者研究出补数乘法的一般公式法，暂定为魏氏公式法：（1）设被乘数的最末一位数的补数为a，乘数的补数为b，那么在被乘数的末位的下位加a×b（a×b有进位者，要进到本位）；（2）设被乘数去掉尾数后的数为n，那么应从被乘数首位的下位减去（n1）×b。注意（n1）×b有进位，从首位减，b前有0位，有几个零应移档向后几位再减，就是：先从尾后加a×b，再在次档减（n1）×b，这就是补数乘法的一般公式法。利用此公式可以解决以下类别的数乘以任意数的快速计算 问题：1、被乘数是两位数的例题；2、被乘数是两位以上的数时，n1等于齐数

28、或强数的例题。如：例1：27×96426028（补数036）（1）先在被乘数个位7的下位加上（a×b），即3×036108，得27.108；（2）再从被乘数的次高档7的本位减去（n1）×b，即（21）×036，得26028，即是积数。例2：19998×77815558444（补数222）（1）先在被乘数个位8的下位加上（a×b）即2×222，得19998.444；（2）再从被乘数的次高档减去（n1）×b即（19991）×222，得15558444，即得积。注：实际上，（n1）×b比原数

29、少了10倍，把（n1）再扩大10倍后，就是实际需要减的数。如例2：第1步尾下加上444后，可看作19998444；达到千万位；（19991）×222×104440000，达到百万位；从19998444中减去444000015558444。以上2例为加填减强法。例3：9999929999800001（补数为00001）（1） 先在99999的尾数后加00001，得99999.00001；（2） 再在99999的首位减00001；得9999800001；即积。因（n1）×b有进位，所以从首位减。本例为加补减齐法。利用此一般公式，可以套用任何一道乘法算题，本公式都是正确

30、的。但我们可以从中看出，对于（n1）等于齐数或强数的例题，实在是简单而又简单，但对于一般的例题，它并不完全显示优越性，实在是一般公式，却适用于特殊情况。那么，在一般情况下呢？（四）、补满法补满法就是把被乘数联成一个整体，被乘数的个位按（10x）补加补数，中间几位一律按（9x）补加补数，差几就补几个补数。补到首位时，首位数是x，就从次高位减去（x1）×b的乘积，分两种情况，如下例：1、加补减齐法例1：9897965×7787700616770。（补数222）（1） 被乘数个位5加补数半数222的一半111成为：989796.611；（2） 十位6在6的下位加三次补数666成为

31、98979.7277；（3） 百位9不补；（4） 千位7下位加两次补数444，成为989.841677；（5） 万位9不补；（6） 十万位8下位加一次补数222成为9.92061677；（7） 百万位9不补；（8） 从百万位减一次补数222得积:7700616770。2、加填减强法：例2：789×789622521（补数211）（1） 个位9在下位加上（109）×211成为78.9211；（2） 十位8,在下位加上（98）×211成为7.91321；（3） 百位7,在7的本位减去（71）×2111688（有进位，从本位减）成为622521，即积。以上介绍

32、的三种方法：口诀法、公式法、补满法都是通用的，套任何一道算题，得数都是一样，归纳起来，也只有两类：口诀法：即逐位减补数法，从个位到首位逐位减去；公式法：即补满法，先补后减法，从个位按10补 满，中间按9补满，补完后，从首位（x1）×b，一次性减去多加的数即得积。用那种方法好呢？这个要灵活掌握，非靠多算多练，方能熟能生巧，做到举一反三、触类旁通。一道例题中，有时用一种，有时用两种，有时也可用三种方法。例如：分节运算法：例1：8979021×6685997986028（补数332）（1） 被乘数个位1，下减一次补数332，成为897902.0668；（2） 被乘数十位2，下减二

33、次补数664，成为89790.14028；（3） 百位“0”不动；（4） 被乘数千位9下位加一次补数332，成为897.9346028；（5） 被乘数万位7下位加二次补数664，成为85986028；（6） 被乘数十万位9不动；（7） 被乘数百万位8下位加补数一次332，成为9317986028；（8） 再从首位减去一次补数为积数5997986028；例2：12100998×881064887824（补数12）（1） 个位8，下位加补数二次24（加a×b）减（n1）×b从百位减去（991）×12。这是998这一节。成为1210087824；（2） 千位、

34、万位零不动；（3） 十万、百万、千万按口诀法规运算即：a、十万位下位减补数一次成为12088887824 ；b、百万位下位减补数两次成为1184887824；c、千万位下位减补数一次得积1064887824。例3：9995995009990004999999×9999980011、乘法个位9的下位加001，成为999.001（公式法）；2、乘数首位9的本位减001，成为998001。998001×9999970029991、在1的下位减去001，成为998.00999（口诀法）；2、十位、百位零不动；3、千位8，在下位加002，成为998.02999（公式法）；4、从首位9

35、减去001，成为997002999（公式法）。997002999×9999960059960011、被乘数个位9的下位加001，成为997002999.001（公式法）；2、从被乘数千位2的下位减003，成为99700.2996001(公式法）；3、万位，十万位零不动；4、从百万位7的下位加003，成为997.005996001(公式法）；5、从首位9减去001，成为996005996001(公式法）；996005996001×9999950099900049991、从1的下位减去001，成为996005996000.999(公式法）；2、十位、百位零不动；3、千位6，下位

36、加004，成为996005996004999（补满法）；4、百万位5，下位减006，成为996005.990004999（补满法）；5、千万位、亿位零不动；6、十亿位6，下加004，成为996009990004999（公式法）；7、从首位减001，成为995009990004999（公式法）。三、“1、2、5”一位数乘法在补数乘法中运用在实际运算中，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、这十个数字是以各种形式出现的，会出现各种形式的算式，比如：168752这种算式，用补数算法应用补满法中加填减强法进行运算，这就出现了补加补数5、2 、1、3后减2倍补数的形式，而乘数的补数较为复杂（83125），这就要求我们掌握一种新的方法：一位数乘多位数的方法，“1、2、5”法对于初学者则是一种既简便又好学的方法。以下简单介绍之：（1）“1”的运算方法，用“1”去乘任何一个数，其值不变；（2）“2”的运算方法，“2”就是要求计算者，能一眼看出任意一个数的2倍是多少。其口诀是：掌握二倍并不难，算盘横梁分界线；首位有5暗记1，左下右上斜着看；梁上没珠加倍算，连续积数一次完。例：567895×21135790按照以上口诀方法，把以上数即可分解为：05、05、15、25、35、45六次。为了加快看数的速度，看2倍5的时候，不要看作10，而