近世代数题库

1、群、填空题1. 设f(x) X4是复数集到复数集的一个映射，那么f 1 (1) =_.2. 设 =(134),=(13)(24),贝U=.3. 群G的元素a的阶是m , b的阶是n , ab ba ,那么ab ，如果(n,m) = 1 ,贝U ab .4. 设a 是任意一个循环群.假设|a|=，那么a与 构；假设| a|=n,贝卩a与同构.5. 设=14 235，= 153 24，那么 | = ,1 =.6. 设群G的阶为m， a G,那么am.7. 设“是集合A的一个关系，如果“满足 ，那么称“是A的元素间的一个等价关系.8. 设(23)(35) ，t= (1243)(235) S5，那么

2、ct =(表示成假设干个没有公共数字的循环置换之积)， 是_L 奇、偶)置换.9. 设群G中元素a的阶为m，如果an e，那么m与n存在整除关系为.10. 一个群G的非空子集H做成一个子群的充分必要条件是.11. 设G为群，假设对于任意的元a,b G,都有ab ba，贝U称群G为群.12. n次对称群Sn的阶是.13. 设G=a是10阶循环群，那么G的全部生成元有, G的子群有个，分别是.14. 设H是群G的子群，a,b G，那么Ha Hb .15. 设G=a是循环群，那么G与整数加群同构的充要条件是.16. 在3次对称群S3中，H =(1),(123),(132) 是S3的一个正规子群，那么

3、商群Ss H中的元素(12) H =.17. 如果f是A与A间的映射，a是A的一个元，贝U f 1 f a18. 设集合A有一个分类，其中A与Aj是A的两个类，如果A Aj ,那么Ai Aj .19. 凯莱定理说：任一个群都与一个 同构.20. 设G=a是12阶循环群,那么G的生成元集合为 .21. 一个群G的一个子群H的右陪集或左陪集的个数叫做 H在G中的 .22. 设G是一个pq阶群，其中p,q是素数，那么G的子群的一切可能的阶数是 丄23. 写出S3的一个非平凡的正规子群.24. 群G中的元素a的阶等于50,那么a4的阶等于25. 一个有限非可换群至少含有元素.26. 设G是p阶群p是素

4、数，那么G的生成元有个.27. 一个有限群中元素的个数叫做这个群的28. 设R是实数集，规定R的一个代数运算:a b 2ab ,右边的乘法是普通乘法，就结合律、交换律而言，“ 适合如下运算律：.29. 设H是群G的子群，a,b G，那么aH bH 30. 写出三次对称群S的子群H 1 , 13的一切左陪集 .31. 如果G是一个含有15个元素的群，那么，G有 个5阶子群，对于 a G ,那么元素a的阶只可能是.32. 设G是一个pq阶群，其中p,q都是素数，那么G的真子群的一切可能的阶数是, G的子群的一切可能的阶数是.33. 群G中的元素a的阶等于n ,那么ak的阶等于n的充分必要条件是.3

5、4. 设(G , )是一个群，那么对于a,b G , ( ab) -1 =.35. 群中元素a的阶为3n , ak的阶为n,那么(k,3 n) =36 假设一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的方幕，那么G称为 .37. 5-循环置换(31425)，那么 138设G为群，N G，且对于任意的a G，有，那么N叫做G的正规子群.39. 设G为乘群，a G，贝U能够使得am e的最小正整数m，叫做a的.设G为加群，a G,贝唯够使得的最小正整数m，叫做a的阶.40. 设 t= (1243)(235)S，那么 1 =.是(奇、偶)置换.41. 设是集合A的元间的一个等价关系，它决定 A的一个分类

6、：那么a所在的等价类a =.42. 设A= a,b, c,d ，那么A到A的映射共有 个, A到A的一一映射共有 ， A A到A的映射共有 A上可以定义个代数运算.43. 设G是6阶循环群，那么G的生成元有个.44. 非零复数乘群C中由i生成的子群是.45. (125)，(246)，贝U的阶数等于46素数阶群G的非平凡子群个数等于.47. 设G是一个n阶交换群，a是G的一个mm n阶元，那么商群G a 的阶等于.48. 设 是集合A到集合B的一个映射，那么存在B到A的映射 ，使 1A为；存在B到A的映射，使 1B 为49. 假设群G中的每个元素的阶都有限,那么称G为群.假设群G中除了单位元外,

7、其余元素的阶都无限,那么称G为群.50. n阶循环群有个生成元,有且仅有个子群.51. 假设kn,那么n阶循环群G a必有k阶子群，其k阶子群为52. 在同构意义下,4阶群只有两个，一个是4阶循环群，另一个是53. 在同构意义下,6阶群只有两个，一个是6阶循环群，另一个是54. 非交换群G的每个子群都是其正规子群，那么称G为群.55. n 元置换(hi? ik)的阶为 ，(怖2 ik)(j1j2jm) 1 二、选择题1. 设A B R (实数集)，如果A到B的映射:x x 2, x R,那么是从A到B的 .A) 满射而非单射；B)单射而非满射;C)映射；D)既非单射也非满射.2. S3中可以与

8、(123)交换的所有元素有.A) (1),(123),(132); B) (12),(13),(23); C) (1),(123); D)S3中的所有元素.3. 设Z15是以15为模的剩余类加群，那么Z15的子群共有丨个.A) 2 B) 4 C) 6D) 8.4. 设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a bxc 1, acx xac，那么x . A) bc 1a 1 B) c 1a 1 C) a 1bc 1 D) b 1ca .5. 设f是复数集到复数集的一个映射.如果对任意的复数X，有f(x) x4，那么f 1(f (1)=().A) 1 ，-1； B) i，-i； C) 1，-1，i，-

9、i； D) 空集._6. 设A=所有实数，A的代数运算是普通乘法，那么以下映射作成A到A的一个子集A 的同态满射的是().A) x 10x B) x 2x C) x xD) x x.7. 设G是实数集，定义乘法:a b a b k，这里k为G中固定的常数，那么群G,中的单位元e和元x的逆元分别是.A) 1 和 x ; B) 1 和 0; C) - k 和 x 2k ； D) k 和 (x 2k).8. 下面的集合对于给定的代数运算不能成为群的是().A)全体整数对于普通减法；B)全体不为零的有理数对于普通乘法；C)全体整数对于普通加法；D) 1 的3次单位根的全体对于普通乘法.9. 设G是群，

10、a,b,c是群G中的任意三个元素,那么下面阶数可能不相等的元素对为 ().1 1A)ab,ba B) abc,bac C) a,bab D) a,a .10. 设R是实数集合，规定R的元素间的四个关系如下,() 是R的等价关系.A) aRb a b; B) aRb ab 0; C) aRb a2 b20; D) aRb ab<0.11. 设G是一个半群，那么下面的哪一个不是做成群的充要条件().A) G中有左单位元，同时G中的每个元素都有左逆元；B) 对于G中任意元素a和b，G中恰好有一个元素x满足a x = b ；同时G中恰好有 一个元素y满足y a = b ；C) G中有单位元，同时

11、G中的每个元素都有逆元；D) 在G中两个消去律成立.12. 设H是群G的子群，且G有左陪集分类 H,aH,bH,cH .如果子群H的阶是6,那 么G的阶G 丨.A) 6 B) 24 C) 10 D) 1213. 三次对称群Sa= (1),(12),(13),(23),(123),(132)，那么下面关于S3的四个论述中，正确的个数是().(1) S3是交换群；(2) S3的2阶互异子群有三个；(3) S3的3阶互异子群有两个； (4) S3的元素(123)和(132)生成相同的循环群.A) 1 B ) 2 C) 3 D) 414. 设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有丨个。

12、A) 2B) 4 C) 6D) 815. 指出以下那些运算是二兀运算A)在整数集Z 上, a b -一b ； B)在有理数集Q上, a b|ab ；abC)在正实数集R 上, a b al nb ； D)在集合nZn0上，a b a b .16. 设 是整数集Z上的二元运算，其中a b max a,b 即取a与b中的最大者，那 么在Z中.A)不适合交换律；B)适合结合律；C)存在单位元；D)每个元都有逆元.17. 设f : GG2是一个群同态映射，那么以下错误的命题是 丨.A) f的同态核是G的不变子群； B) G2的不变子群的逆象是 G的不变子群；C) G的子群的象是G2的子群； D)G的不

13、变子群的象是G2的不变子群.18. 设G,G是两个带有乘法的非空集合，且GG，那么以下结论不正确的选项是(). _ _A) G是群时，G也是一个群；B) G是群时，G也是一个群；C) G是交换群时，G也是交换群；D) G的单位元的象是G的单位元.19. 设A为实数集，B位正实数集，如果A到B的映射：x 2x， x A，贝U是从A到B的.A满射而非单射； B)单射而非满射；C)映射；D)既非单射也非满射.20. 设G是实数集，定义乘法:a b a b 1，那么群G,中的单位元e和元x的逆 元分别是.A) 1 和 1 x ; B) 1 和 2 x ； C) 0 和 2 x ； D) -1 和 x

14、1.21. 设N是群G的正规子群，且G关于N的商群G n为五阶群.如果子群N的阶是6,那么群G的阶G A) 6 B) 36 C) 30D)25.22. 设集合A含有n个元素，那么A的子集共有()个.D)2A) n!B) n2 C) 2n23. 以下法那么，()是集合A的代数运算.A)A = N, aB)A=Z, aab2b那么S关于所给代数运算作成的代数系统中的单位元和可逆元素分别为().A) c，a 与 bB)c，b 与 cC) b，c 与 dD)a，d 与 a.25. p(素数)阶有限群的子群个数为().A) 0B) 1C) 2D)26. 6元置换23 1356的阶数为A) 2B) 4C)

15、 5D) 827. M是正有理数集合，以下规定不是 M的关系的是A) aRb a b 是整数；B) -R-14a c a cC) aRb a b 15D)aRb ab 028. 设集合A含有n个元素，那么A的代数运算共有() 个.2A) n!B) n2C)nnD) nn三、判断题1.设N是正整数集，a,b N规定aRb ab，那么R是N的元间的一个等价关 系.2.如果群G中的每个元素都满足方程x2 e,那么G必是交换群.3. 一个非交换群至少要有6个元素.4.群G的任意个子群的交仍是G的一个子群.5.四次交代群中存在6阶子群.6.设M是非空集合，那么M M到M的每个映射都叫作M上的二元运算.7

16、. f是A到A的单射，贝U f有唯一的逆映射f 1.8.如果循环群G a中生成元a的阶是无限的，那么G与整数加群同构.9.如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群.10.群G的子群H是正规子群的充要条件为g G, h H;g 1Hg H .11.阶为两个互异素数乘积的交换群一定是循环群.12.集合A的一个关系可以决定A的一个分类.13.有限群G的任一元素的阶整除G的阶.14.整数集按照普通乘法可以构成一个群.15.循环群G < a >中生成元a的阶是无限的，贝U G与整数加群同构.16.有限群G的任一子群N的阶都能整除G的阶.17. G是一个群，N是G的正规子群，那么 a G与N

17、中元素相乘可交换.18.在一个群G中，消去律不一定成立.19.任何一个k循环置换的阶是k.20.集合A的一个分类决定A的元间的一个等价关系；反之，集合 A的元间的 一个等价关系也决定A的一个分类.21.阶为素数的群一定是循环群，循环群的阶也一定是素数.22.群G的子群H 在 G中的指数为2,那么H 一定是G的正规子群.丿23 .设 为集合A到A的满射，贝假设S是S的逆象，S 定是S的象；假设S是S的象，S也一定是S的逆象.24. N是群G的正规子群，H是N的正规子群，那么H是群G的正规子群.25. 一个群同它的每一个商群同态.26.个群G的子群H的左陪集个数和右陪集个数不一定相同.27.群G的

18、两个正规子群的交集还是正规子群.28.循环群的子群也一定是循环群.29.全体有理数作成的集合对于普通乘法来说做成一个群.30.设G为群，它的两个正规子群的交和乘积还是正规子群.31. 一个循环群32. 一个群的两个不同的子集一定不会生成相同的子群.33.有理数加群与非零有理数乘群同构.34.无限循环群可与任何循环群同构.35.设 是集合X到集合Y的任意一个映射，A为X的非空子集,那么1( (A) A.36.设 是集合X到集合Y的任意一个映射，B为Y的非空子集，那么(1(B) B.37.设 是集合X到集合Y的任意一个映射，A，B为X的两个非空子集,那么(1) (A B) (A)(B); (2)

19、(A B) (A)(B).38. G为一个群，a G,b G为有限阶元,ab ba ,那么ab a b .39. G为交换群,且G中所有元素有最大阶m,那么x G有xm e .40. G为一个群,a G, b G为有限阶元,那么ab为有限阶元.41.在一个有限群里，阶大于2的元素个数必为偶数.42.偶数阶群必有2阶元.43.设A,B,C是群G的3个子群，那么A(B C) AB AC.44.设A,B,C是群G的3个子群,那么A(B C) AB AC.45.交换群中所有有限阶元作成一个子群.46.群G中所有有限阶元作成一个子群.47.任何群都不能是两个真子群的并.48.任何群都不能是三个真子群的并

20、.49.有限群的元素的阶都有限50.无限群至少有一个无限阶元.51.集合M的变换群G含有M的单射变换,那么G必为双射变换群.52.集合M的变换群G可能既含有M的双射变换，又含有M的非双射变换. 丨53. M 2,集合M的全体非双射变换关于变换的乘法作成一个变换群.54.互不同构的n阶群只有有限个.55.不相连的置换相乘可交换.97.置换(口2)(悶3)的阶为2,36.56.当n 3时,n次对称群Sn为无中心群.57. G为一个群，H G,A a,b,c,.为G关于H的一个左陪集代表系,那么A也 是G关于H的一个右陪集代表系.58.设 G 为一个群，H G,K G,(G:H),(G:K)有限，贝

21、 U(G : H K) (G: H )(G : K).59.设 G 为一个有限群，H G,K G,H K e,那么 HK H|K.60. G为n阶群,kn,那么G必有k阶子群.61. pq阶(p, q为互异素数)交换群必为循环群.62.设 为群 G到G的同态满射，a G与(a G有相同的阶.63.设G与G各有一个代数运算，且GG , G是群,那么G也是群.64.素数阶群是单群._65.设 是群G到群G的一个同态映射，H G ,那么1( (H) H .66.设 是群G到群G的一个同态满射，那么G的含ker的子群与G的子群之间存 在一'一对应关系.67. 任意一个无限集合可以与它的一个真子

22、集之间建立一一对应关系.68. 存在有限集合可以与它的一个真子集之间建立一一对应关系69. 两个有限集合之间存在双射的充要条件是它们的元素个数相等.70. 设G为群，它的两个子群的交和乘积还是子群.71.有限群中每个元素的阶都有限，无限群中必有无限阶元.72. 一个置换群中要么都是偶置换，要么奇偶置换各半._73.设G,G是两个群，且GG，如果G是有限群，那么G必是有限群，而且|G 整除G .74.整数加群和它的任意一个非零子群同构.75.在同构意义下，无限循环群只有一个.76.在同构意义下，n阶循环群只有一个.环与域复习题一、填空题1. 模12的剩余类环 乙2的特征是 它的全部单位为 .2.

23、 设R是有单位元的环，a是R中任一元素，那么由a生成的主理想a =.3. 模8的剩余类环Zb上的二次多项式X2 1在Zb内的所有根为 .4. 设R是交换环，a是R的任意一个元素，那么由a所生成的主理想a的元素表达形式为.5. 设高斯整数环_ZJi a bi|a,b Z，其中i2二一1,那么Zi中的所有单位.6. 设乙=0,1,2, 3,4,5是模6的剩余类环，那么 乙中的所有零因子是 .R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么R|是一个域当且仅当I8. 设R是一个无零因子的环，其特征 n是一个有限数，那么n是.9. 除环的理想共有个.10. 一个无零因子的 称为整环.11. 设Zx是整

24、系数多项式环，x是由多项式x生成的主理想，那么 x = _ _.12. 设F是一含有4个元的域，那么F的特征是.13. 剩余类环Z6的子环S = 0 , 2 , 4的单位元是.14. 一个环R的一个不等于R的理想U叫做一个，假设除了 R同U自己外，没有包含U的理想.15. 一个交换除环叫做一个.16. 实数域R的全部理想是.仃.一个环R的非空子集S做成一个子环的充分必要条件.18. 剩余类环 乙 的零因子个数等于 _ ，Z12的零因子个数等于 .19. 当R是有单位元的交换环时，a R生成的主理想 a.20. 整环R的一个元 叫做R的一个，假设 是一个有逆元的元.21. 一个整环I叫做一个，假

25、设I的每一个理想都是一个主理想.22. 设R为环，a,b R，a 0,b0,且ab 0，那么a叫做环R的，b叫做环R的.25. 一个无零因子环R的非零元相同的对于加法阶，叫做环 R的.二26. 设F是一个含有p2个元的域，那么F的特征是27. 剩余类环Z6的子环S= 0, 3,那么S的单位元是.28. R是一个特征为p的环，a,b R,那么(a b)p .29. R是一个单环，那么 R有日寸，R是一个域.30. N是环R的理想，rn是单环的充分必要条件是 31. R是有单位元的整环，那么R有子环与整数环同构； ，那么R有子环与模p剩余类环同构。32. R是一个无零因子环，R 2k，贝U R的特

26、征必为 .二、选择题1. 以下集合关于所给的运算不作成环的是.A整系数多项式全体Zx关于多项式的加法与乘法；B有理数域Q上的n阶矩阵全体Qn n关于矩阵的加法与乘法；C整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“：m,n Z,m n 0;D整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“： m, n乙m n 1.2. 设f :RR2是环同态满射，f(a) b，那么以下结论错误的为 丨.A)假设a是零元，那么b是零元；B) 假设a是单位元，那么b是单位元；C)假设a不是零因子，那么b不是零因子；D)假设R2是不交换的，那么R不交换.3. 整数环Z中，可逆元的个数是().A) 1个B) 2个C) 4个D)无限个.4.

27、 设F是一个四元域，那么域F的特征为().A) 1 B) 2 C) 4 D) 0.5. 下面的四个群中，不是循环群的是().A)模12的剩余类加群；B)整数加群；C) U(Z 17); D) U(Z 8).6. 下面哪一个环必定是域().A)整数环；B) Z 37； C) Z 10; D) 四元数除环.7. 模10的剩余类环乙。上二阶全阵环M2(Z10)中以下元素可逆的是丨.A)B)C)D)8. 以下命题中，正确的选项是().A) 任意一个环R，必含有单位元；B) 环R中至多有一个单位元；C) 环R有单位元，那么它的子环也有单位元；D) 一个环与其子环都有单位元，那么两个单位元一定相同.R的素

28、理想的是R.A)4; B)6; C)0 ;D)10. 以下命题正确的个数为A)1;B)2;C)3;D) 4. 整数环Z的非平凡素理想都是极大理想； 整数环Z上的一元多项式环Z x的非平凡素理想都是极大理想； 数域F上的一元多项式环F x的主理想x是极大理想； R是一个有单位元的交换环，N是R的理想，R N是域，那么N是R的极大理想.三、判断题1.除环是单环2.有限除环必为域.3. 一般的环R中以下运算规那么成立：(a b)2 a2 2ab b2, a,b R.4.域和其子域有相同的单位元.5.除环R是无零因子环.6.如果环R的阶 2，那么R的单位元10.7.假设环R满足左消去律，那么R必定没有

29、右零因子.8 个环的理想必是一个子环，子环未必是理想 .9一个环没有零因子，那么它的同态象也没有零因子.10.一个环R有单位元，那么它的子环也有单位元.11.如果环R没有右零因子，那么在环R上左消去律成立.12. N是环R的理想，I是N的理想，那么I必是环R的理想.13. R是整数环，R的理想4r r R等于由4生成的主理想 4.14.如果环R没有左零因子，那么在环R上右消去律成立.15.一个环R的两个子环S都有单位元，那么它们的单位元必定一致.16.域 Q (i) a bi|a,b Q 与域 Q (72)a b后 a,b Q 同构.17. R是偶数环，R的理想4r r R等于由4生成的主理想

30、4.18.设R是整数环，那么2, x是Rx的一个主理想.19.设R是有理数环，那么2, x是Rx的一个主理想.20.除环F的所有非零元集关于F的乘法构成一个群.21.设R为整数环，p为素数，那么R卩 为域.22.假设无零因子环R的特征是有限整数n,那么n定是素数.23.除环或域里一定没有零因子.24. 一个除环 -个整环.25. 一个环R中可能没有单位元，但假设有单位元，那么单位元必是唯一的.26.假设有单位元(0)的交换环R除了零理想同单位理想以外没有其它的理 想，那么R 定是一个域.丨27. x是Qx的极大理想.丨28. x是Zx的极大理想.29. R是有单位元的交换环,那么Rn n中方阵

31、A在Rnn中可逆的充要条件是 A在R 中可逆.30. R是有单位元的环,1是R的单位元，那么1对加法的阶数就是R的特征.31.设R是一个环,|R 2,对a,b R,a 0,方程ax b在R中有解，那么R为一 个除环.32.设R是有单位元的环，且R 2,那么R是单环的充要条件是全阵环 Rn n是单 环.33. R为偶数环,4是R的极大理想,从而R 4是一个域.34. R为偶数环,R的极大理想只有 2p , p为素数.35. R为偶数环，R的素理想只有0,R和4.36.整数环的每个理想都是主理想.37.域上的多项式环的每个理想都是主理想.38.整数环上的多项式环的每个理想都是主理想.39. 一个环

32、与它的子环都有单位元，那么它们的单位元一致.40. 一个域和他的子域有相同的单位元.41. 一个环的同态象没有零因子，那么这个环没有零因子.42.有限环的特征必有限，无限环的特征必无限.43. R是一个有单位元的交换环，A Rnn，当A 0时，A可逆.44.整数环和它的任意一个非零子环同构.45.剩余类环Z6的子环S=0,3是有单位元的环._ _46.在乙6 x中,因为x2 4 (x 2)(x 2),所以x24只有两个根2, 2.47.有单位元交换环的极大理想必为素理想.48.域F的所有非零元集合关于F的乘法构成一个交换群.R的中心必是环R的理想.50.个域不-个整环.51 .域F的所有非零元

33、集合关于F的乘法构成一个交换群.52.除环F的所有非零元集关于F的乘法构成一个群.53.当n 3时,n次交代群 代是一个n 2重传递群.54.循环群的同态象必为循环群，循环环的同态象必为循环环55.设G,G是两个群，是G到G的同态满射，贝U G与G的子群之间可以建立保持包含关系的双射.答复说明题以下题均需给出肯定或否认的答复，并说明理由或给出反例X、Y都是有理数集合，法那么:- a b是否X到Y的映射？a2. X是数域F上全体n阶方阵做成的集合，C为F上一个取定的可逆n阶方阵，法那么(A) CAC 1是否X的双射变换？3. X是数域F上全体n1阶方阵做成的集合，法那么：A A是否X到丫的满射？

34、4. X是数域F上全体n阶方阵做成的集合，法那么 A、B |AB是否X的满足结合律的代 数运算？M的变换的乘法是否满足交换律？(M,；),(M，可是两个代数系统且MM,当 满足交换律时，亏是否也满足交换律？(m),(M,可是两个代数系统且m M ,当三满足交换律时，是否也满足交换律？8.设X是有理数集合，X的关系aRb a b Z是否X的等价关系？9设X是实数集合，X的关系aRb ab 0是否X的等价关系？10. 是集合X到集合丫的映射，A,B分别是X、丫的非空子集合，1( (A) A是否 一定成立？11. 是集合X到集合丫的映射，A,B分别是X、丫的非空子集合，(1(B) B是否 一定成立？

35、12., 分别是集合A到B和集合B到C的映射，是满射，是否一定是满射？13., 分别是集合A到B和集合B到C的映射，是单射，是否一定是单射？14. G为一个有限半群且在G两个消去律成立，G是不是一个群？15. G为一个群，它的每个元素都满足方程 x2 e，G是一个交换群吗？16. G为一个有限群，它的每个元的阶是否都有限？17. G为一个无限群，它是否必有无限阶元？18. G为一个群，G的中心C(G)是否一定是一个子群？19. G为一个群，代B,C是G的三个子集合，A(B C) (AB) (AB)是否成立？20. G为一个群，A,B,C是G的三个子集合，A(B C) (AB) (AB)是否成立？21. a,b G均为有限阶元，ab是否为有限阶元？22. G为一个偶数阶群，G是否一定有一个2阶元？23. G为一个群，它能否表成它的两个真子群的并？24. G为一个群，H,K是它的两个子群，HK是否G的子群？25. G为一个群，H,K是它的两个正