3-2-4环形跑道问题,题库教师版

1、目tM怔 教学目标1、掌握如下两个关系：(1) 环形跑道问题同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次(2) 环形跑道问题同一地点出发，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次2、遇见多人多次相遇、追及能够借助线段图进行分析3、用比例解、数论等知识解环形跑道问题目“11归 知识精讲本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。是多人(一般至少两人)多次相遇或追及的过程解决 多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合 理的线段图进行分析。一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：路程和=相遇时间X速度和路程差=追及时间X速度差二、解环形跑道问题的

2、一般方法：环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行， 贝y每追上一圈相遇一次这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。环线型同一出发点直径两端同向：路程差nSnS+0.5S相对（反向）：路程和nSn S-0.5S【例1】一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米.经过几分钟才能相遇 ？【解析】黄莺和麻雀每分钟共行 66 59 =125 （千米），那么周长跑道里有几个 125米，就需要几分钟，即500-：-（6659） =500-：一125二4 （分钟）.【巩固】小张和小王各以一定速度，在周长为500米

3、的环形跑道上跑步.小王的速度是200米/分.小张 和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？小张 和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？【解析】两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是500"-200 =300 （米/分）.在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是：500 "（300 -200） =5 （分）.300 5-：-500 =3 （圈）.【例2】（2008年第八届 春蕾杯”小学数学邀请赛决赛）上海小学有一长300米长的环形跑道，小亚

4、和小 胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑6米，小胖每秒钟跑 4米，（1）小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？ （2）小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？【解析】 第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要300（6-4） =150秒，小亚跑了 6 150 = 900 （米）。小胖跑了 4 150=600 （米）；第一次追上时，小胖跑了 2圈，小亚跑了 3圈，所以第二次追上时，小胖跑4圈，小亚跑6圈。【巩固】 一条环形跑道长 400米，甲骑自行车每分钟骑450米，乙跑步每分钟 250米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？【解析】400 一（450 -250 =2 （分钟）.3-2-4.环

5、形跑道问题.题库教师版page 3 of 220家家学I名師网络小班JiaJiaXUecom"*中小学龙肺隔络小施耙碼育整姉对片卜兀各髓【巩固】 小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑250米，正南每分钟跑 210米，一圈跑道长 800米，他们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？【解析】小新第一次超过正南是比正南多跑了一圈，根据冷二V差t ,可知小新第一次超过正南需要：800 -：（250 -210 = 20 （分钟），第三次超过正南是比正南多跑了三圈，需要800 3（250 -210= 60 （分钟）.【巩固】 幸福村小学有一条 200米长的环形跑道，冬冬和晶晶

6、同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米,晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？【解析】 这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致因此，当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长（200米），又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程. 冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：200 （6 -4 = 100（秒） 冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6 100 =600（米） 晶晶第一次被追上时所跑的路程：4 100 =400 （米） 冬冬第二次追上晶晶时

7、所跑的圈数：（600 2亠200 =6（圈） 晶晶第2次被追上时所跑的圈数：（400 2 - 200 =4（圈）【例3】 在300米的环形跑道上， 田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？【解析】同向而跑，这实质是快追慢起跑后，由于两人速度的差异，造成两人路程上的差异，随着时间的增长，两人间的距离不断拉大，到两人相距环形跑道的半圈时，相距最大接着，两人的距离又逐渐缩小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑了一圈.背向而跑即所谓的相遇问题，数量关系为：路程和r速度和=相遇时间.同向而行2分30秒相遇，2分30秒=150秒，两个人的速

8、度和为：30' 150=2 （米/秒），背向而跑则半分钟即30秒相遇，所以两个人的速度差为：300"30=10 （米/秒）两人的速度分别为：（10-2） :- 2=4（米/秒）,10一4=6（米/秒）【巩固】 在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？【解析】甲乙的速度和为：40040=10（米/秒），甲乙的速度差为：400200 =2 （米/秒），甲的速度为：（10 2）一 2=6（米 /秒），乙的速度为：（10-2） 2 =4（米 / 秒）.【巩固】 两名运动员在湖的周围环形道

9、上练习长跑甲每分钟跑250米，乙每分钟跑 200米，两人同时同地同向出发，经过 45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？【解析】在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题同地出发，其实追及路程或相隔距离就是环形道一周的长这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度环形道一周的长度可根据两人同向出发，45分钟后甲追上乙，由追及问题，两人速度差为：250 -200=50（米/分）,所以路程差为：50 45 =2250（米），即环形道一圈的长度为2250米所以反向出发的相遇时间为：2250 亠（250 200） = 5（分钟）.【巩固】（第4届希望杯培训题）在环形

10、跑道上，两人在一处背靠背站好，然后开始跑，每隔4分钟相遇一次；如果两人从同处同向同时跑，每隔20分钟相遇一次，已知环形跑道的长度是1600米，那么两人的速度分别是多少？【解析】两人反向沿环形跑道跑步时，每隔4分钟相遇一次，即两人 4分钟共跑完一圈；当两人同向跑步时，每20分钟相遇一次，即其中的一人比另一人多跑一圈需要20分钟两人速度和为：1600 "4 =400 （米/分），两人速度差为：1600-：-20 =80 （米/分），所以两人速度分别为：（400+80 斗2 =240（米/分）, 400240 =160（米/分）【例4（难度等级 两人在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发，小

11、明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇【解析（4+3）用5=315米一一环形跑道的长（相遇问题求解）315+（4-3） =315秒一一（追及问题求解）3-2-4.环形跑道问题题库教师版page 6 of 22中小学龙肺閘琳小施规碼育整呻对耳卜兀各羅家家学I名师网络小班JlAJlAXUECOM"*【巩固】（难度等级 一条环形跑道长钟跑 260米，小兰每分钟跑 210米，两人同时出发，经过多少分钟两人相遇【解析】 小青每分钟比小兰多跑 50米一圈是400米400/50=8所以跑8分钟【巩固】 甲、乙两人从400米的环形跑道上一点 A背向

12、同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒 钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米？【解析】176【例5】（难度等级 探）周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55米，周老师每分钟走65米。已知林荫道周长是480米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第10次相遇后，王老师再走 米就回到出发点。【解析】两人每共走1圈相遇1次，用时48055+60）=4（分），到第10次相遇共用40分钟，王老师共走了。55X0=2200 （米）,要走到出发点还需走，480X5-2200=200 （米）【例6（难度等级 在400米的环行跑道上，A, B两点相距

13、100米。甲、乙两人分别从 A, B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑5米，乙每秒跑 4米，每人每跑 100米,都要停10秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？【解析甲实际跑100/ （ 5-4） =100 （秒）时追上乙，甲跑100/5=20 （秒），休息10秒； 乙跑100/4=25（秒），休息10秒，甲实际跑100秒时，已经休息 4次，刚跑完第 5次，共用140秒；这时乙实际跑了 100秒，第4次休息结束。正好追上。【例7在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次，问两人跑一圈各需要几分钟？1 1【解析

14、由题意可知，两人的速度和为，速度差为412M1 1M1 1可得两人速度分别为2 和2 =1412 丿6U12 丿12所以两人跑一圈分别需要6分钟和12分钟.【例8（难度等级 探）有甲、乙、丙 3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米，丙每分钟 行走70米.如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之 后,3人又可以相聚在跑道上同一处？3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page 8 of 22家家学I名师网络小班JIAJEAXUECOM厂3中小学雀肺削琳小施觀势青老师j对补;t各髓5【解析】由题意知道：甲走完一周需要时间为 300+120=（分）;乙走

15、完一周需要时间为300+100=3 （分）230丙走完一周需要时间为300+700= 30，那么三个人想再次相聚在跑道同一处需要时间为：7_2 72,7,11【例9】（难度等级 甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是 70分钟，如果在出发后 45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是 多少分钟？【解析】甲行走45分钟，再行走70 - 45=25分钟即可走完一圈而甲行走45分钟，乙行走45分钟也能走完一圈所以甲行走25分钟的路程相当于乙行走 45分钟的路程甲行走一圈需70分钟，所以乙需70+25X45=126分钟.即乙走一圈的时间是126分钟.【例1

16、0】（难度等级 探）林琳在450米长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒？【解析】设总时间为X，则前一半的时间为 X/2，后一半时间同样为 X/2X/2*5+X/2*4=450X=100总共跑了 100秒前50秒每秒跑5米，跑了 250米后50秒每秒跑4米，跑了 200米后一半的路程为 450 +2=225米后一半的路程用的时间为（250-225） +5+50=55秒【巩固】 某人在360米的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑 4米,则他后一半路程跑了多少秒？【解析】44【例11】（难度等级 探）甲、乙

17、、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小 时5.4千米， 乙速度是每小时 4.2千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小 时后甲和丙相遇，在过 5分钟，乙与丙相遇。那么绕湖一周的行程是多少？3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page 10 of 22中小学龙肺閘络小施规势卉帯姉1对耳卜兀習髓【解析】30分钟乙落后甲（5.4-4.2）吃=0.6 （千米），有题意之乙和丙走这0.6千米用了 5分钟，因为乙和丙从出发到相遇共用35分钟，所以绕湖一周的行程为：355X0.6= 4.2 （千米）。【例12】（难度等级 探）甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀

18、速按相反的方向绕此 圆形路线运动，当乙走了 100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇。 求此圆形场地的周长？【解析】2注意观察图形，当甲、当甲、乙第二次相遇时，甲乙1 3共走完1+丄=3圈的路程所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为2 21 : 3,因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100X3=300米.有甲、乙第二次相3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page # of 22中小学龙肺閘络小施规势卉帯姉1对耳卜兀習髓3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page # of 22中小学龙肺閘络小施规势卉帯姉1对耳卜兀習髓3遇时，共行走（

19、1圈60）+300，为一圈，所以此圆形场地的周长为480 米.2【巩固】如图，A、B是圆的直径的两端，小张在 A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；【解析】第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算,两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从 A到C距离的3倍，即A到D是80 3 = 240（米）.240 -60 =180（米）.180 2 =360（米）.【巩固】 如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端A与C同时出发，绕圆周相向而

20、行它们第一次相遇在离 A点8厘米处的B点，第二次相遇在离 C点处6厘米的D点，问，这个圆周的长是 多少？班【解析】如图所示，第一次相遇，两只小虫共爬行了半个圆周，其中从A点出发的小虫爬了 8厘米，第二次相遇，两只小虫又爬了一个圆周，所以两只小虫从出发共爬行了1个半圆周，其中从 A点出发的应爬行8 3 =24 （厘米），比半个圆周多 6厘米，半个圆周长为 8 3-6=18（厘米），一个圆周长 就是：（8 3-6） 2=36（厘米）【巩固】A、B是圆的直径的两端，甲在 A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇,在D点第二次相遇.已知 C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少

21、米？【解析】340【例13】（难度等级 探）两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶20米甲、乙两车同时分别从相距90米的A, B两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达 B点时，甲车过 B点后恰好又回到 A点此时甲车立即返回（乙车过 B【解析】右图中C表示甲、乙第一次相遇地点因为乙从B到C又返回B时，甲恰好转一圈回到 A，所以甲、乙第一次相遇时，甲刚好走了半圈，因此C点距B点180-90= 90 （米）.甲从A到C用了 18020= 9 （分），所以乙每分行驶 909 = 10 （米）.甲、乙第二次相遇，即分别同时从 A, B出发相向而行相遇需要 9

22、0+（20+ 10）= 3 （分）.【巩固】（难度等级 探）周长为 400米的圆形跑道上，有相距 100米的A , B两点.甲、乙两人分别从A , B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B .如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米？3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page 13 of 220家家学I名师网络小班JIAJIAXUE.COMr中小半窑肺期堆小施驢势育幣师对耳卜兀各髓络小班【解析】如下图，记甲乙相遇点为 C当甲跑了 AC的路程时，乙跑了 BC的路程；而当甲跑了 400米时，乙跑了 2BC的路程.由乙的

23、速度保持不变，所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次到达A1 1点所需时间的即AC=>400=200（米），也就是甲跑了 200米时，乙跑了 100米，所以甲的速度是乙速度的2倍.那么甲到达 A，乙到达B时，甲追上乙时需比乙多跑 400-100=300米的路程，所以此后甲还需跑 300讯2-1） 2=600米，加上开始跑的I圈400米所以甲从出发到甲追上乙时,共跑了 600+400=1000 米.【巩固】 （难度等级 在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达 B点，又过8分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？【解析】由题意知，甲行乙段路

24、程时间或速度的比例关系）从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行12分，而乙行12分相当于甲行 8分，所以甲环行一周需 12 + 8 = 20 （分），乙需 20詔>6= 30 （分）【例14】（难度等级 探）（2000年华校入学试题）甲、乙两车同时从同一点 A出发，沿周长6千米 的圆形跑道以相反的方向行驶甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上一车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第 11次相遇的地点距离有多少米？【解析】首先是一个相遇过程，相遇时间：6" （65 55） =0.05小时，相遇地点距离 A点：55 0.

25、05=2.75千米然后乙车调头，成为追及过程，追及时间：6“（65 -55） =0.6小时，乙车在此过程中走的路程：55 0.6 =33千米，即5圈余3千米，那么这时距离 A点3-2.75=0.25千米甲车调头后又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离A点0.25 *2.75 = 3千米，而第4次相遇时两车又重新回到了 A点，并且行驶的方向与开始相同所以，第8次相遇时两车肯定还是相遇在A点，又11“3=3|川|2，所以第11次相遇的地点与第 3次相遇的地点是相同的，距离A点是3000 米.【巩固】 二人沿一周长 400米的环形跑道均速前进，甲行一圈4分钟，乙行一圈 7分钟，他们同时同地同向

26、出发，甲走10圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。问第十五次击 掌时，甲走多长时间乙走多少路程？【解析】1428【例15】（难度等级 探）下如右图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page 16 of 220家家学I名师网络小班JIAJIAXUE.COMr中小半窑肺期堆小施驢势育幣师对耳卜兀各髓3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page # of 220家家学I名师网络小班JIAJIAXUE.COMr中小

27、半窑肺期堆小施驢势育幣师对耳卜兀各髓300米长，当甲追上乙一条【解析】甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有边（300 米）需 300- （90- 70）= 15 （分），此时甲走了 90X15300 = 4. 5 （条）边，甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙.甲再走 0. 5条边就可以看到乙了，即甲走5条边后可看到乙，共2需 300X590= 16 （分钟 0,即 16 分 40 秒.3【巩固】（难度等级 探）如图，一个长方形的房屋长13米，宽8米.甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟行3 米,乙每秒钟行 2米.问：经过多长时间甲第次看见乙3-2-4.环形跑道问题

28、.题库教师版page # of 220家家学I名师网络小班JIAJIAXUE.COMr中小半窑肺期堆小施驢势育幣师对耳卜兀各髓3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page # of 220家家学I名师网络小班JIAJIAXUE.COMr中小半窑肺期堆小施驢势育幣师对耳卜兀各髓【解析】3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page # of 22开始时，甲在顺时针方向距乙8+13+8=29米因为一边最长为13、所以最少要追至只相差13,即至少要追上 29-13=16米.甲追上乙16米所需时间为16讯3-2）=16秒，此时甲行了 3X16=48米，乙行了 2X16=32米.甲、乙的位置如右图所示：

29、显然甲还是看不见乙，但是因为甲的速度比乙快，所以甲能在乙离开上面2的那条边之前到达上面的边，从而看见乙而甲要到达上面的边，需再跑2米，所需时间为2£=32 2秒所以经过16+=16 秒后甲第一次看见乙3 3【例16】（难度等级 探）如图，在400米的环形跑道上，A,B两点相距100米.甲、乙两人分别从 A, B两点同时出发，按逆时针方向跑步.甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟.那么甲追上乙需要时间是多少秒？【解析】 如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的时间为100讯5-4）=100秒.此时甲跑了 100X5=500米，乙跑了 100=400米.而实际上甲跑50

30、0米，所需的时间为100+4X10=140秒，所以140150秒时甲都在逆时针距 A点500处.而乙跑400米所需的时间为 100+3X10=130秒，所以130140秒时乙走在逆时针距 B点400处显然从开始计算 140秒时，甲、乙在同一地点，即甲追上乙需要时间是140秒.【例17】（难度等级 下图是一个边长90米的正方形，甲、乙两人同时从A点出发，甲逆时针每分行75米，乙顺时针每分行 45米.两人第一次在 CD边（不包括C, D两点）上相遇，是 出发以后的第几次相遇？【解析】两人第一次相遇需360（75 453分，其间乙走了 45 3=135 （米）.由此知，乙没走 135米两人相遇一次，

31、依次可推出第7次在CD边相遇（如图，图中数字表示该点相遇的次数）【例18】（难度等级 探）如图，8时10分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A, B两地顺时针方向沿长方形ABCD的边走向D点.甲8时20分到D点后，丙、丁两人立即以相同速度从D点出发.丙由D向A走去,8时24分与乙在E点相遇；丁由 D向C走去，8时30分在 F点被乙追上.问三角形BEF的面积为多少平方米 ？A D& C【解析】如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置.酎24分乙丙呂时10分柿耐30分 _£l 乙丁£时10分卓甲3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page 18 of 223-

32、2-4.环形跑道问题.题库教师版page # of 22先分析甲的情况，甲10分钟，行走了 AD的路程；再看乙的情况，乙的速度等于甲的速度,乙14分钟行走了 60+AE的路程，乙20分钟走了 60+AD+DF的路程.所以乙10分钟走了（60+AD+DF）-（AD）=60+DF 的路程.七 AD 60 AE 60 DF 亠 AD =60 DF10 一 14-10，7 AE - ED =5 60 AE然后分析丙的情况，丙4分钟,行了走ED的路程，再看丁的情况 丁的速度等于丙的速度，丁 10分钟行走了 DF的距离.有=-DF，即 5ED = 2DF .=87=18=454 10AD = AE ED

33、=60 DFAEI 77联立 7 AE ED =5 60 AE，解得 ED I 5ED =2DFDF于是，得到如下的位置关系:3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page # of 22家家学I名师网络小班JlAJlAXUE.COME中小学窑肺期络小雄驢势育老肺j对补充.各髓S BEF = S四边形 ABCD - S ABE - S*DF - S FCB111=60 (87+18)60 8718 4515 (87+18)222=2497.5、环形跑道变道问题【例19】如图是一个跑道的示意图，沿 ACBEA走一圈是400米，沿ACBDA走一圈是275米，其中A 到B的直线距离是75米甲、乙二人同

34、时从 A点出发练习长跑，甲沿 ACBDA的小圈跑，每 100米用24秒，乙沿 ACBEA的大圈跑，每100米用21秒，问：乙跑第几圈时第一次与甲相遇？发多长时间甲、乙再次在 A相遇？3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page 19 of 22家家学I名师网络小班JlAJlAXUE.COME中小学窑肺期络小雄驢势育老肺j对补充.各髓3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page # of 22家家学I名师网络小班JlAJlAXUE.COME中小学窑肺期络小雄驢势育老肺j对补充.各髓【解析】因为甲、乙沿不同的路线，所以并不是谁多跑一圈，就一定有一次超过超过只可能发生在他们共同经过的路线上，也就是

35、ACB上.甲跑半圈ACB用时48秒，乙跑半圈ACB用时42秒.也就是说如果某次乙经过 A点的时间比甲晚不超过6秒，他就能在这半圈上追上甲.甲跑一圈用的时间为 275-100 24=66秒，乙跑一圈用的时间为 400100 2仁84秒，下面看甲、乙经过 A点的时间序列表（单位：秒）甲066213819426033乙084816225633可以看出336秒与330秒恰好差6秒，由此可知乙跑完第四圈、在跑第五圈时会第一次与甲相遇.要在A点相遇，两人跑的必须都是整数圈，甲跑一圈用66秒，乙跑一圈用84秒，它们的最小3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page # of 22家家学I名师网络小班JlAJ

36、lAXUE.COME中小学窑肺期络小雄驢势育老肺j对补充.各髓3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page # of 22家家学I名师网络小班JlAJlAXUE.COME中小学窑肺期络小雄驢势育老肺j对补充.各髓公倍数为66,84 1 = 924 因此924秒即15分24秒后，甲、乙第一次同时回到A点.【例20】如图所示，大圈是400米跑道，由A到B的跑道长是200米，直线距离是50米。父子俩同时3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page 20 of 22e家家学I名师网络小班JlAJlAXUE.COMFP中小学窑肺隊堆小雄驢势育疟肺j对耳卜Jt各髓从A点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿

37、子跑大圈，父亲每跑到B点便沿直线跑。父亲每100米用20秒，儿子每100米用19秒。如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时， 第一次与父亲相遇？3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page # of 22e家家学I名师网络小班JlAJlAXUE.COMFP中小学窑肺隊堆小雄驢势育疟肺j对耳卜Jt各髓3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page # of 22e家家学I名师网络小班JlAJlAXUE.COMFP中小学窑肺隊堆小雄驢势育疟肺j对耳卜Jt各髓【解析】首先我们要注意到：父亲和儿子只能在由 A沿逆时针方向到B这一段跑道上相遇.而且儿子比父亲跑得快，所以相遇时一定是儿子从后面追上父亲.儿

38、子跑一圈所用的时间是 19 （400亠100） =76 （秒），也就是说，儿子每过 76秒到达A点一次同样道理，父亲每过 50 秒到达A点一次在从 A到B逆时针方向的一段跑道上，儿子要跑 19 （200 “100） = 38 （秒）, 父亲要跑20 （200-700） =40 （秒）因此，只要在父亲到达 A点后的2秒之内，儿子也到达 A 点，儿子就能从后面追上父亲于是，我们需要找76的一个整数倍（这个倍数是父子相遇时儿子跑完的圈数），它比50的一个整数倍大，但至多大 2换句话说，要找 76的一个倍数，它除以50的余数在0到2之间.这试一下就可以了： 76"50余26,76 2 50余

39、2，正合我们的要求.因此，在父子第一次相遇时，儿子已跑完2圈，也就是正在跑第 3圈.【例21】如图，学校操场的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有 200米路程相重.甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑，两人同时从两跑道的交点A处出发,当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？甲乙VA甲»【解析】根据题意可知，甲、乙只可能在AB右侧的半跑道上相遇易知小跑道上AB左侧的路程为 100米,右侧的路程为200米，大跑道上AB的左、右两侧的路程均是 200米我们将甲、乙的行程状 况分析清楚当甲第一次到达B点时,乙还没有到达 B点，所以

40、第一次相遇一定在逆时针的BA某处而当乙第一次到达 B点时，所需时间为200亠4 = 50秒，此时甲跑了 6 50 = 300米，在离B点300-200=100米处乙跑出小跑道到达A点需要100"4=25秒,则甲又跑了 6 25 = 150米,在A点左边（100 *150） -200 =50米处.所以当甲再次到达 B处时，乙还未到B处,那么甲必定能 在B点右边某处与乙第二次相遇从乙再次到达A处开始计算，还需（400 -50）（6 4） =35秒,甲、乙第二次相遇，此时甲共跑了 50 25 3110秒所以，从开始到甲、乙第二次相遇甲共 跑了 6 110 =660米.【例22】（2005年

41、小学生数学报优秀小读者评选活动）有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的两条跑道，其中长跑道长400厘米，短跑道长300厘米，且有200厘米的公用跑道（如下图）。机 器人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒4厘米的速度在短跑道上跑动。如果甲、乙两个机器人同时从A点出发，那么当两个机器人在跑道上第3次迎面相遇时，机器人甲距离出发点A点多少厘米？【解析】第一次在点相遇，这时甲、乙共跑了400厘米（见左下图）;第二次在B2点相遇，这时甲、乙又共跑了700厘米（见右上图）;3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page 23 of 22e家家学I名师网络小班JlAJl

42、AXUE.COMFP中小学窑肺隊堆小雄驢势育疟肺j对耳卜Jt各髓3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page # of 22e家家学I名师网络小班JlAJlAXUE.COMFP中小学窑肺隊堆小雄驢势育疟肺j对耳卜Jt各髓同理，第三次相遇时，甲、乙又共跑了700厘米.那么到第三次相遇时两者共跑了400 700 700 =1800厘米，共用时间1800“（6 4） = 1803-2-4.环形跑道问题.题库教师版page # of 22e家家学I名师网络小班JlAJlAXUE.COMFP中小学窑肺隊堆小雄驢势育疟肺j对耳卜Jt各髓3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page # of 22e家家学I

43、名师网络小班JlAJlAXUE.COMFP中小学窑肺隊堆小雄驢势育疟肺j对耳卜Jt各髓（秒），甲跑了 6 180=1080 （厘米），距 A 点 400 3-1080 = 120 （厘米）.【例23】（难度等级 探）下图中有两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米。两只甲虫同时从 A点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行。问：当小圆上甲 虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远？3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page # of 22中小学巷肺隔络小施觀碼育老姉对补兀習髓家家学I名师网络小班JlAJlAXUECOM IE【解析】我们知道，大小圆只有一个公共点 (内切

44、)，而在圆上最远的两点为直径两端，所以当一只甲虫在A点，另一只在过 A的直径另一直径端点B，所以在小圆甲虫跑了n圈，在大圆甲虫跑了m+ 1圈；于是小圆甲虫跑了30n，大圆甲虫跑了 48(m + -)2 2=48m + 24。因为速度相同，所以相同时内路程相同，起点相同，所以30n = 48m + 24;即5n= 8m+ 4,有不定方城知识，解出有 n= 4, m = 2,所以小甲虫跑了 2圈后，大小甲虫相距最远。【例24】三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为210厘米；甲、乙两只爬虫分别从 A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕 1、2号环行跑道作“8字形循环运动，乙爬虫绕 3、2号环行跑

45、道 作“8字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟20厘米和每分钟15厘米，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米 ？【解析】根据题意，甲爬虫爬完半圈需要 210"2"20 =5.25分钟，乙爬虫爬完半圈需要 210"2"15=7分钟由于甲第一次爬到1、2之间要5.25分钟，第一次爬到 2、3之间要10.5分钟，乙第一次爬到2、3之间要7分钟，所以第一次相遇的地点在2号环形跑道的上半圈处.由于甲第一次爬到 2、3之间要10.5分钟，第二次爬到1、2之间要15.75分钟，乙第一次爬到1、2之间要14分钟，所以第二次相遇的地点在2号环形跑道的下半圈处.3-2-4.环形跑道问题.题库教师版page 24 of 22当两只爬虫都爬了 14分钟时，甲爬虫共爬了 20 14 = 280米，210亠2 210-280 = 35（米），所以甲在距1、2交点35米处，乙在1、2交点上，还需要3- （20 151（分钟）相遇，所以第 二次相遇时，两只爬虫爬了 14 1 =15分钟.所