材料力学计算题库

1、第一章绪论【例 1-1】 钻床如图1-6a 所示，在载荷P 作用下，试确定截面m-m 上的内力。【解】（ 1）沿 m-m 截面假想地将钻床分成两部分。取 m-m 截面以上部分进行研究（图1-6b），并以截面的形心O 为原点。选取坐标系如图所示。（ 2）为保持上部的平衡， m-m 截面上必然有通过点O 的内力 N 和绕点 O 的力偶矩M 。（ 3）由平衡条件【例 1-2】 图 1-9a 所示为一矩形截面薄板受均布力p 作用，已知边长=400mm ，受力后沿 x 方向均匀伸长=0.05mm 。试求板中a 点沿 x 方向的正应变。【解】由于矩形截面薄板沿x 方向均匀受力， 可认为板内各点沿x 方向具

2、有正应力与正应变，且处处相同，所以平均应变即a 点沿 x 方向的正应变。x 方向【例 1-3】 图 1-9b 所示为一嵌于四连杆机构内的薄方板，b=250mm 。若在 p 力作用下CD 杆下移b=0.025，试求薄板中a 点的剪应变。【解】由于薄方板变形受四连杆机构的制约，可认为板中各点均产生剪应变，且处处相同。第二章拉伸、压缩与剪切【例题 2.1】 一等直杆所受外力如图2. 1 (a)所示，试求各段截面上的轴力，并作杆的轴力图。解：在 AB 段范围内任一横截面处将杆截开，取左段为脱离体(如图 2. 1 (b) 所示 )，假定轴力F N1 为拉力(以后轴力都按拉力假设)，由平衡方程Fx0，FN

3、1300得FN130kN结果为正值，故F N1 为拉力。同理，可求得BC 段内任一横截面上的轴力(如图 2. 1 (c)所示 )为FN2304070(kN)在求 CD 段内的轴力时，将杆截开后取右段为脱离体(如图2. 1 (d)所示 )，因为右段杆上包含的外力较少。由平衡方程Fx0 ，FN330200得FN3302010(kN)结果为负值，说明F N3 为压力。同理，可得DE 段内任一横截面上的轴力F N4 为FN420kN30kN40kN80kN30kN20kN(a)40kN80kN30kN20kN30kNA(a)CDEB20kN30kN40kN80kN30kN(b)30kN(a)A(a)B

4、CDE40kN80kNF30kN20kN30kN40kN80kN30kN30kN20kNCDE(a)B30kN30kN(b)40kNAF N1(a)(c)BDFN2EA30kNC(b)40kNFD80kN30kN20kNABC30kNE(b)30kN30kN(c)40kNFN2(b)F N330kN20kN30kN(a)F(b)(d)F30kN40kN(c)BCDF N2E30kN20kN30kNA(d)F N340kNFN2(c)30kN(c)30kNe)(d)(c)F N420kN20kN(b) 40kNFN2FF N330kN(d)30kN(e)FN370kN30kN20kNF N420

5、kN(d)(c)FN340kN30kNFN220kN(e)30kN70kN20kN(f)(d)20kNF N4(e)F N420kN30kN70kN(d)(f)30kN20kN20kNFN3(e)70kNF N410kN20kN30kN(f)20kN70kN(f)(e)30kN(e) 20kNF N410kN20kN(f)30kN70kN 20kN10kN10kN(f)30kN 10kN20kN10kN(f)图 2.1例题 2.1 图【例题 2.2】 一正方形截面的阶梯形砖柱，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图 2.8(a)所示。已知 P 40kN 。试求荷载引起的最大工作应力。解：首先作柱

6、的轴力图，如图 2.8(b)所示。由于此柱为变截面杆，应分别求出每段柱的横截面上的正应力，从而确定全柱的最大工作应力。、 两段柱横截面上的正应力，分别由已求得的轴力和已知的横截面尺寸算得FN140103 N1(240mm)0.69(MPa) (压应力 )A1(240mm)FN2120103 N2(370mm)0.88(MPa) (压应力 )A2(370mm)由上述结果可见，砖柱的最大工作应力在柱的下段，其值为0.88MPa ，是压应力。【例题 2.3】 一钻杆简图如图 2.9(a)所示，上端固定， 下端自由， 长为 l ，截面面积为 A ，材料容重为 。试分析该杆由自重引起的横截面上的应力沿杆

7、长的分布规律。解：应用截面法，在距下端距离为x 处将杆截开，取下段为脱离体(如图2.8(b) 所示 )，设下段杆的重量为G(x) ，则有G(x)xA(a)设横截面上的轴力为FN ( x) ，则由平衡条件Fx0 ， FN (x)G( x)0(b)将 (a)式值代入 (b)式，得FN (x)Ax(c)即 FN ( x) 为 x 的线性函数。当 x0 时， FN (0)0当 xl 时， FN ( l )FN,maxAl(a)(b)(a)(b)(c)图 2.8例题 2.2 图图 2.9例题 2.3 图式中 FN,max 为轴力的最大值，即在上端截面轴力最大，轴力图如图2.9(c) 所示。那么横截面上的

8、应力为(x)FN (x)(d)xA即应力沿杆长是x 的线性函数。当 x0 时，(0)0当 xl 时，(l )maxl式中max 为应力的最大值，它发生在上端截面，其分布类似于轴力图。【例题2.4】 气动吊钩的汽缸如图2.10(a)所示，内径 D 180mm ，壁厚8mm ，气压 p2MPa ，活塞杆直径 d 10mm ，试求汽缸横截面 B B 及纵向截面 C C 上的应力。解：汽缸内的压缩气体将使汽缸体沿纵横方向胀开，在汽缸的纵、横截面上产生拉应力。(1) 求横截面 B B 上的应力。取 B B 截面右侧部分为研究对象 (如图 2.10(c)所示 )，由平衡条件Fx 0 ，22(Dd )p F

9、N 04当 Dd 时，得 B B 截面上的轴力为FND 2 p4B B 截面的面积为A( D)( D2)D那么横截面B B 上的应力为FND2 pDp18024xAD4411.25(MPa)8x 称为薄壁圆筒的轴向应力。图 2.10例题 2.4 图(2) 求纵截面 C C 上的应力。取长为l 的半圆筒为研究对象(如图2.10(d) 所示 )，由平衡条件Fy0 ，p D dl sin2 FN1 002得 C C 截面上的内力为2FN1plDC C 截面的面积为A12l当D20时，可认为应力沿壁厚近似均匀分布，那么纵向截面C C 上的应力为2 FN1plDpD1802y2l2222.5(MPa)A

10、18y 称为薄壁圆筒的周向应力。计算结果表明：周向应力是轴向应力的两倍。【例题 2.7】 螺纹内径 d 15mm 的螺栓， 紧固时所承受的预紧力为 F 22kN 。若已知螺栓的许用应力 150 MPa，试校核螺栓的强度是否足够。解：(1) 确定螺栓所受轴力。应用截面法，很容易求得螺栓所受的轴力即为预紧力，有FN F 22kN(2) 计算螺栓横截面上的正应力。根据拉伸与压缩杆件横截面上正应力计算公式(2-1) ，螺栓在预紧力作用下，横截面上的正应力为FNF4 22103A23.142 124.6 (MPa)d154(3) 应用强度条件进行校核。已知许用应力为150(MPa)螺栓横截面上的实际应力

11、为124.6MPa 150 (MPa)弦杆所以，螺栓的强度是足够的。【例题 2.8】 一钢筋混凝土组合屋架，如图2.25(a)所示， 受均布荷载q 作用， 屋架的上AC 和 BC 由钢筋混凝土制成，下弦杆AB 为 Q235 钢制成的圆截面钢拉杆。已知：q10kN/ m ， l8.8m ， h1.6m，钢的许用应力170 MPa，试设计钢拉杆AB的直径。解：(1) 求支反力 F A 和 F B ，因屋架及荷载左右对称，所以FAFB1 ql 1 10 8.8 44(kN)22图 2.25例题 2.8 图(2) 用截面法求拉杆内力F NAB ，取左半个屋架为脱离体，受力如图2.25(b)所示。由M

12、C0 ， FA 4.4 qll1.6 02FNAB4得1444.41108.82FNABql2/1.6860.5(kN)FA 4.41.68(3)设计 Q235钢拉杆的直径。由强度条件FNAB4 FN2AB Ad得4FNAB460.510321.29(mm)d 170【例题 2.9】 防水闸门用一排支杆支撑着，如图2.26(a)所示， AB 为其中一根支撑杆。各杆为 d 100mm的圆木，其许用应力 10MPa。试求支杆间的最大距离。解：这是一个实际问题， 在设计计算过程中首先需要进行适当地简化，画出简化后的计算简图，然后根据强度条件进行计算。(1)计算简图。 防水闸门在水压作用下可以稍有转动

13、，下端可近似地视为铰链约束。 AB杆上端支撑在闸门上，下端支撑在地面上，两端均允许有转动，故亦可简化为铰链约束。于是 AB 杆的计算简图如图 2.26(b)所示。图2.26例题2.9 图(2) 计算AB 杆的内力。水压力通过防水闸门传递到AB 杆上，如图2.26(a)中阴影部分所示，每根支撑杆所承受的总水压力为FP1h2 b2其中为水的容重， 其值为10 kN/m3 ； h 为水深， 其值为3 m； b 为两支撑杆中心线之间的距离。于是有FP110 10332b 45 103b2根据如图 2.26(c) 所示的受力图，由平衡条件M C0， FP 1 FNABCD 0其中CD3sin342.4(

14、m)3242得FP453FNAB10 b18.7532.42.410 b(3) 根据 AB 杆的强度条件确定间距b 的值。由强度条件FNAB418.752103 b Ad得b d 2101063.140.124.19(m)418.75103418.75103【例题 2.10】 三角架 ABC 由 AC 和 BC 两根杆组成，如图2.34(a)所示。杆 AC 由两根No.14a 的槽钢组成，许用应力160 MPa；杆 BC 为一根 No.22a 的工字钢，许用应力为 100 MPa。求荷载 F 的许可值 F 。(a)(b)图 2.34 例题 2.10 图解：(1)求两杆内力与力F 的关系。 取节

15、点 C 为研究对象， 其受力如图 2.34(b)所示。节点 C的平衡方程为Fx0， FNBCcosFNACcos066Fy0， FNBCsinFNACsin6F 06解得FNBCFNACF(a)(2)计算各杆的许可轴力。由型钢表查得杆AC 和 BC 的横截面面积分别为AAC18.51 10 4237.0210 4 m2 ， ABC4210 4 m2 。根据强度条件FN A得两杆的许可轴力为 FNAC(160106 )(37.02 10 4 ) 592.32103 (N) 592.32(kN) FNBC(100106 )(4210 4)420103 (N)420(kN)(3)求许可荷载。将 FN

16、 AC 和 FN BC 分别代入 (a)式，便得到按各杆强度要求所算出的许可荷载为FAC FNAC592.32kNFBC FN BC420kN所以该结构的许可荷载应取 F 420kN 。【例题 2.5】已知阶梯形直杆受力如图2.37(a)所示，材料的弹性模量 E200GPa，杆各段的横截面面积分别为AAB=ABC=1500mm 2， ACD=1000mm 2。要求：(1) 作轴力图； (2) 计算杆的总伸长量。图 2.37例题 2.5 图解：(1) 画轴力图。因为在A、B、 C、D 处都有集中力作用，所以AB 、BC 和 CD 三段杆的轴力各不相同。应用截面法得FNAB300100300 10

17、0(kN)FNBC300100200(kN)FNCD300(kN)轴力图如图2.37(b)所示。(2) 求杆的总伸长量。因为杆各段轴力不等，且横截面面积也不完全相同，因而必须分段计算各段的变形，然后求和。各段杆的轴向变形分别为l ABFNAB l AB1001033000.1(mm)EA2001031500ABFNBC l BC2003300lBC100.2(mm)EABC2001031500lCDFNCD l CD3001033000.45(mm)EA2001031000CD杆的总伸长量为3lli0.1 0.20.45 0.55(mm)i 1【例题2.6】 如图 2.38(a)所示实心圆钢杆

18、AB 和 AC 在杆端 A 铰接，在 A 点作用有铅垂向下的力F。已知F30kN ， dAB，AC，钢的弹性模量E。试求=10mmd =14mmA200GPa点在铅垂方向的位移。图2.38例题2.6 图解：(1) 利用静力平衡条件求二杆的轴力。由于两杆受力后伸长，而使A 点有位移，为求出各杆的伸长， 先求出各杆的轴力。在微小变形情况下，求各杆的轴力时可将角度的微小变化忽略不计。以节点A 为研究对象，受力如图2.38(b)所示，由节点A 的平衡条件，有Fx0， FNC sin30° FNB sin 45° 0Fy0， FNC cos30° FNB cos45

19、6; F 0解得各杆的轴力为FNB0.518F15.53(kN) ，FN C0.732F21.96kN(2) 计算杆 AB 和 AC 的伸长。利用胡克定律，有l BFNB lB15.5310321.399(mm)EAB92200104(0.01)lCFNC lC21.961030.8 21.142(mm)EAC200109(0.014)24(3)利用图解法求A 点在铅垂方向的位移。如图2.38(c)所示，分别过AB 和 AC 伸长后的点 A1和 A2 作二杆的垂线，相交于点A ，再过点A 作水平线，与过点A 的铅垂线交于点A ，则 AA 便是点 A 的铅垂位移。由图中的几何关系得lBcos(4

20、5°) ，l Ccos(30° )AAAA可得tan0.12，6.87°AA1.778(mm)所以点 A 的铅垂位移为AA cos° 1.765(mm)从上述计算可见，变形与位移既有联系又有区别。位移是指其位置的移动，而变形是指构件尺寸的改变量。变形是标量，位移是矢量。【例题 2.11】 两端固定的等直杆 AB，在 C 处承受轴向力 F (如图 2.37(a)所示 )，杆的拉压刚度为 EA ，试求两端的支反力。解：根据前面的分析可知，该结构为一次超静定问题，须找一个补充方程。为此，从下列 3 个方面来分析。图 2.38例题 2.11 图(1) 静力方面。

21、杆的受力如图 2.38(b) 所示。可写出一个平衡方程为F y0， FRA FRB F 0(a)(2) 几何方面。由于是一次超静定问题，所以有一个多余约束，设取下固定端B 为多余约束，暂时将它解除，以未知力F RB 来代替此约束对杆 AB 的作用，则得一静定杆(如图2.38(c) 所示 )，受已知力 F 和未知力 F RB 作用，并引起变形。 设杆由力 F 引起的变形为lF (如图 2.38(d)所示 )，由 FRB 引起的变形为l B (如图 2.38(e)所示 )。但由于 B 端原是固定的，不能上下移动，由此应有下列几何关系l Fl B 0(b)(3) 物理方面。由胡克定律，有l FFa

22、， lBFRBl(c)EAEA将式 (c)代入式 (b)即得补充方程FaFRB l0(d)EAEA最后，联立解方程 (a)和 (d) 得FRAFb ， FRBFall求出反力后，即可用截面法分别求得AC 段和 BC 段的轴力。【例题 2.12】 有一钢筋混凝土立柱，受轴向压力 P 作用，如图 2.39 所示。 E1 、A1 和 E2 、A2 分别表示钢筋和混凝土的弹性模量及横截面面积，试求钢筋和混凝土的内力和应力各为多少？解：设钢筋和混凝土的内力分别为FN1 和 FN2，利用截面法，根据平衡方程Fy0，FN1FN2P(a)这是一次超静定问题， 必须根据变形协调条件再列出一个补充方程。 由于立柱

23、受力后缩短 l ，刚性顶盖向下平移，所以柱内两种材料的缩短量应相等，可得变形几何方程为l1l 2(b)由物理关系知l 1FN1l，l 2FN2 lE1A1(c)E2 A2将式 (c)代入式 (b)得到补充方程为FN1lFN2 l(d)E1 A1E2 A2联立解方程 (a)和 (d) 得FN1E1 A1PE1A1E2 A2PE2 A21E1 A1FN2E2 A2PE1A1E2 A2PE1 A11E2 A2FN1E1A1可见E2 A2FN2图 2.39例题 2.12 图即两种材料所受内力之比等于它们的抗拉(压 )刚度之比。又1FN1E1PA1E1 A1E2 A22FN2E2PA2E1 A1E2 A

24、2可见1E1E22即两种材料所受应力之比等于它们的弹性模量之比。【例题 2.14】 如图 2.42(a)所示，、杆用铰相连接，当温度升高t 20°C 时，求各杆的温度应力。已知：杆与杆由铜制成，E1E2 100 GPa，30°，线膨胀 系数1216.5 10 6 /(°C) ，A1 A2200mm 2 ；杆由钢制成， 其长度 l 1m ，E3 200 GPa，A3100mm 2 ， 3 12.5 10 6 /(°C) 。解：设 FN1、 FN2 、 F N3 分别代表三杆因温度升高所产生的内力，假设均为拉力， 考虑 A铰的平衡 (如图2.42(b)所示

25、)，则有图 2.42例题 2.14 图Fx0， FN1sinFN2 sin0 ，得 FN1 FN2(a)Fy0， 2FN1cosFN30FN3(b)，得 FN12cos变形几何关系为l1l3 cos(c)物理关系 (温度变形与内力弹性变形)为llFN1l1cos1t(d)cosE1 A1l 3tlFN1l3(e)E3 A3将 (d)、 (e) 两式代入 (c)得lFN1 l3 tlFN3 l(f)1tE1 A1coscoscosE3 A3联立求解 (a)、 (b)、 (f) 三式，得各杆轴力FN31492NFN1FN2FN3860N2cos杆与杆承受的是压力，杆承受的是拉力，各杆的温度应力为F

26、N18604.3 (MPa)12200A13FN3149214.92 (MPa)A3100【例题 2.13】 两铸件用两钢杆1、2 连接，其间距为 l200mm (如图 41(a) 所示 )现需将制造的过长e 0.11mm的铜杆 3(如图2.41(b)所示 )装入铸件之间，并保持三杆的轴线平行且有间距a 。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径d10mm ，铜杆横截面为20mm30mm 的矩形，钢的弹性模量E210GPa，铜的弹性模量E3100GPa。铸铁很厚，其变形可略去不计。解：本题中三根杆的轴力均为未知，但平面平行力系只有两个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。因铸铁可视为刚体，其变形协

27、调条件是三杆变形后的端点须在同一直线上。由于结构对称于杆 3，故其变形关系如图2.41(c) 所示。从而可得变形几何方程为l 3el1(a)图 2.41例题 2.13 图物理关系为l1FN1l(b)EAl3FN3 l(c)E3A3以上两式中的A 和 A3 分别为钢杆和铜杆的横截面面积。式(c)中的 l 在理论上应是杆3的原长 le，但由于 e 与 l 相比甚小，故用l 代替。将 (b)、 (c) 两式代入式 (a) ，即得补充方程FN3 lFN1l(d)E3 A3eEA在建立平衡方程时，由于上面已判定1、2 两杆伸长而杆3 缩短，故须相应地假设杆1、2 的轴力为拉力而杆3 的轴力为压力。 于是

28、， 铸铁的受力如图2.41(d)所示。 由对称关系可知FN1FN2(e)另一平衡方程为Fx0 ， FN3FN1FN20(f)联解 (d)、 (e)、 (f) 三式，整理后即得装配内力为eEA1FN1FN2EAl12E3 A3eE3 A31FN3E3 A3l12EA所得结果均为正，说明原先假定杆1、 2 为拉力和杆3 为压力是正确的。各杆的装配应力为FN1eE112lEAA12E3 A3(0.1110 3 m)(210 109 Pa)10.2m2(210 109Pa)(10103m)21109 Pa) (204(3010 3 m)(10010 3 m)74.5310 6 Pa74.53(MPa)

29、3FN3eE31A3l19.51(MPa)E3 A312EA【例题3.6】 两块钢板用三个直径相同的铆钉连接，如图2.44(a)所示。已知钢板宽度b 100mm ，厚度 t10mm ，铆钉直径 d20mm ，铆钉许用切应力 100MPa ，许用挤压应力 bs 300MPa ，钢板许用拉应力 160MPa 。试求许可荷载F 。图 2.44例题 3.6 图解：(1) 按剪切强度条件求 F 。由于各铆钉的材料和直径均相同，且外力作用线通过铆钉组受剪面的形心，可以假定各铆钉所受剪力相同。因此，铆钉及连接板的受力情况如图2.44(b)所示。每个铆钉所受的剪力为FFS3根据剪切强度条件式(3-17)FS

30、AS可得23.142F3d2094.2kN3 100494200N4(2) 按挤压强度条件求 F 。由上述分析可知，每个铆钉承受的挤压力为FbsF3根据挤压强度条件式 (3-19)bsFbs bs Abs可得F 3bsAbs3bsdt33002010180000N180(kN)(3) 按连接板抗拉强度求 F 。由于上下板的厚度及受力是相同的，所以分析其一即可。如图2.44(b) 所示的是上板的受力情况及轴力图。11 截面内力最大而截面面积最小，为危险截面，则有FN1 1F A1 1A1 1由此可得F ( b d )t 160 (10020)10128000N128kN根据以上计算结果，应选取最小的荷载值作为此连接结构的许用荷载。故取 F 94.2kN【例题3.7】 两块钢板用铆钉对接，如图2.47(a)所示。已知主板厚度t115mm ，盖板厚度t210mm，主板和盖板的宽度b150mm ，铆钉直径d25mm 。铆钉的许用切应力100MPa，试对此铆接进行校核。解：(1) 校核铆钉的剪切强度。此结构为对接接头。铆钉和主板、盖板的受力情况如图2.47(b) 、图 2.47(c) 所示。每个铆钉有两个剪切面，每个铆钉的