可化为一元一次方程的分式方程(1)---分式方程及其解法

1、小夜曲1 1、什么叫做方程？什么是一元一次方程？什么、什么叫做方程？什么是一元一次方程？什么是方程的解？是方程的解？2 2、解一元一次方程的基本方法和步骤是么？、解一元一次方程的基本方法和步骤是么？3 3、分式有意义的条件是什么？、分式有意义的条件是什么？4 4、分式的基本性质是怎样的？、分式的基本性质是怎样的？ 轮船在顺水中航行轮船在顺水中航行8080千米所需的时间和千米所需的时间和逆水航行逆水航行6060千米所需的时间相同千米所需的时间相同. .已知水流的已知水流的速度是速度是3 3千米千米/ /时，求轮船在静水中的速度时，求轮船在静水中的速度. .解：解：设轮船在静水中的速度为设轮船在静

2、水中的速度为x x千米千米/ /时，根时，根据题意，得据题意，得360380 xx分式方程的主要特征：分式方程的主要特征：（1 1）含有分式）含有分式 ；（；（2 2）分母中含有未知数。）分母中含有未知数。 方程方程 中含有分式，并且分中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程分式方程. .360380 xx根据定义可得：(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程辨析：辨析：判断下列各式哪个是分式方程判断下列各式哪个是分式方程? ?521)5(05)4(1)3(3252)2(5)1 (xxxyxzyxyx23(1)0132(2

3、)42(3)3 01xxxxxx 下列下列方程方程哪些哪些是是分式方程：分式方程：2334(4)249141(5)1(6)1xxxxxxxy1 1、思考、思考: :分式方程分式方程 怎样解呢？怎样解呢？为了解决这个问题，请同学们先思考并回答为了解决这个问题，请同学们先思考并回答以下问题：以下问题：1 1）回顾一下一元一次方程时是怎么去分母的，）回顾一下一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？从中能否得到一点启发？2 2）如何去掉分式方程的分母把它转化为整式）如何去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？方程呢？ 3 3）去分母的依据是什么？）去分母的依据是什么？360380 xx试一

4、试：试一试：解方程解方程方程两边同乘以（方程两边同乘以（x+3x+3）(x-3)(x-3)，约，约去分母，得去分母，得 80 80（x-3x-3）=60(x+3).=60(x+3).解这个整式方程，得解这个整式方程，得 x=21. x=21.所以轮船在静水中的速度为所以轮船在静水中的速度为2121千米千米/ /时时. .360380 xx概括：概括：上述解分式方程的过程，实质上是将方程上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约的两边乘以同一个整式，约去分母去分母，把分式，把分式方程转方程转化为整式方程化为整式方程来解来解. .所乘的整式通常所乘的整式通常取方程中出现的各分式的

5、最简公分母取方程中出现的各分式的最简公分母. . 所以，解方式方程的关键是去分母，化所以，解方式方程的关键是去分母，化为整式方程。为整式方程。例例1 1解方程：解方程：12112xx. 在将分式方程变形为整式方程时，方程在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为（或根），这种根通常称为. .因此，因此，在解分式方程时必须进行在解分式方程时必须进行检验检验. .那么，可能产生那么，可能产生“增根增根”的原因在哪里呢？的原因在哪里呢

6、？ 对于原分式方程的解来说，必须要求对于原分式方程的解来说，必须要求使使方程中各分式的方程中各分式的分母的值分母的值均不为零均不为零，但变形，但变形后得到的整式方程则没有这个要求后得到的整式方程则没有这个要求. .如果所如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说有一个分式的分母的值为零，也就是说使使变变形时所乘的整式（各分式的形时所乘的整式（各分式的最简公分母最简公分母）的的值为零值为零，它就不适合原方程，即，它就不适合原方程，即是是原分式方原分式方程的程的增根增根. . 解分式方程进行检验的关键是看所求得的解分式方程进

7、行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使整式方程的根是否使原分式方程原分式方程中的分式的中的分式的分分母母为零为零. .有时为了简便起见，也可将它代入所有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零零. .如果为零，即为增根如果为零，即为增根. . 如例如例1 1中的中的x=1x=1，代入，代入x x2 21 10 0，可知，可知x=1x=1是原分式方程的增根是原分式方程的增根. . 有了上面的经验，我们再来完整地解例有了上面的经验，我们再来完整地解例1 1中的中的分式方程。分式方程。例例1 1解方程：解方程：12112xx

8、，得12x012x41451 ) 1 (xxx , 4x154xx5x解得：检验：把检验：把x=5x=5代入代入 x-4x-4， 得得x-40 x-40 x=5x=5是原分式方程的解是原分式方程的解. .,41451 ) 1 (xxx22162242xxxxx解：方程两边同乘以解：方程两边同乘以),2)(2(xx,)2(16)2(22xx, 44164422xxxx. 2x解得：检验：把检验：把x=-2x=-2代入代入 x x2 2-4-4，得得x x2 2-4=0-4=0。x=-2x=-2是是原分式方程的增根原分式方程的增根. .61317141xxxx )6)(3(36)7)(4(47xx

9、xxxxxx得，5x经检验经检验 是原分式方程的根是原分式方程的根 是原分式方程的解。是原分式方程的解。7463xxxx5x5x)6)(3(3)7)(4(3xxxx即，xaxx3232解解: :去分母去分母, ,方程两边同乘以方程两边同乘以),3( xaxx)3(22 得解得解得ax 4方程有增根方程有增根, , . 3, 03xx即. 1,43aa当当1a时时, ,原方程产生增根原方程产生增根. .11) 1)(16xmxx（baxbbxaa11解解: :去分母去分母, ,方程两边同乘以方程两边同乘以,abx22 abaxbaxb得移项移项, ,得得baabaxbx22ababxab. ba

10、 经检验经检验abx 是原分式方程的根是原分式方程的根. .xabx ）。（）（）（两边应同时乘以化为整式方程时，）（）（把分式方程；化为整式方程得把分式方程；的解是方程；的解是方程11181411211412212231111221211222xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 01141xx 111 22xxxx 21424563523xxxx 16234222xxxxx )5)(4(1)3)(2(15xxxx 215231xx 141211 22xxx 651322322xxxxxxx 21111433xxxx.61519181)5(xxxx02nmmxnxnxmxxkxk131k的值。，求BAxBxAxxx,25521401163xxkxxxk （1）去分母时）去